Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 71-82.

УДК 517.9

УСЛОВИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ

КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ СПЕЦИАЛЬНОГО

ВИДА

М.Б. ДОНЦОВА

Аннотация. Рассмотрена задача Коши для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида. Получены условия нелокальной разрешимости рассмотренной задачи Коши. Исследование нелокальной разрешимости задачи Коши для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений с правыми частями специального вида основано на методе дополнительного аргумента. Доказательство нелокальной разрешимости задачи Коши для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида опирается на глобальные оценки.

Ключевые слова: уравнения с частными производными первого порядка, задача Коши, метод дополнительного аргумента, глобальные оценки.

Mathematics Subject Classification: 35F50, 35F55, 35A01, 35A02, 35A05

1. Введение

Для исследования разрешимости систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка применяются разнообразные методы. Например, классический метод характеристик, метод Галеркина, метод потоков, метод дополнительного аргумента [1].

Метод дополнительного аргумента — новый способ исследования разрешимости систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, который не заменяет собой другие известные методы, а дополняет их [2].

Применение этого метода позволяет во многих случаях более эффективно и конкретно определить условия локальной разрешимости в исходных координатах систем нелинейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка без привлечения теоремы об обратной функции [2]-[13].

Впервые в работе [3] с помощью метода дополнительного аргумента определены условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы вида:

д^Ь, х) + (аи{Ъ, х) + Ьи^, х))дхи{Ъ, х) = 0, (1)

д^(Ь,х) + (си(1,х) + ду(1,х))дху(1,х) = 0, ( )

М.У. Dontsova, Nonlocal solvability conditions for Cauchy problem for a system of first order partial differential equations with special right-hand sides. © ДонцовА М.В. 2014. Поступила 30 июня 2014 г.

где u(t, x), v(t, х) —- неизвестные функции, а, c,b, g - известные положительные константы, (t, х) G Qt, где Qt = {(t,x) |0 < t < Т, х G (-ж, ж>),Т > 0} с начальными условиями:

и(0,х) = <fi(x), v(0,x) = p2(x), (2)

где ^i(x),^2(x) - известные функции.

В работе [4] с помощью метода дополнительного аргумента определены условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы вида:

dtu(t, х) + (au(t, х) + bv(t, х) + hi)dxu(t, х) = fi(t, х), (3)

dtv(t,x) + (cu(t,x) + gv(t,x) + h2)dxv(t,x) = f2(t,x), ^ '

где u(t, x), v(t, x) - неизвестные функции, a, с, b, g, hi,h2 - известные положительные константы, f\, f2 - известные функции, (t,x) G Qt с начальными условиями (2).

Системы вида (1), (3) встречаются в самых разных задачах из области естественных наук, например, при описании распространения возмущения конечной интенсивности при нестационарном одномерном течении идеального газа [5]. К системам такого вида приводится система уравнений Франкля [6], [7].

Рассмотрим систему вида:

dtu(t, x) + (aiu(t, x) + biv(t, x))dxu(t, x) = a2u(t, x) + b2v(t, x), (4)

dtv(t,x) + (c\u(t,x)+ giv(t,x))dxv(t,x) = g2v(t,x), ^ '

где u(t, x), v(t, x) - неизвестные функции, ai, bi, ci, g\, г = 1, 2 - известные положительные константы, а2, д2 - известные константы.

Для исследования разрешимости системы, близкой к системе (4), применялись самые разнообразные подходы. Описание многих современных подходов содержится в [1]. Например, в [1] содержится анализ разрешимости на основе классического метода характеристик, так и с использованием понятия обобщенного решения. Оба эти подхода, как и многие другие, имеют свои достоинства и недостатки. Так, в частности, в методе характеристик условием разрешимости в исходных координатах является существование обратной функции для решения характеристического уравнения. Нахождение обратной функции представляет собой более сложную проблему, чем исходная задача. Поэтому её не решают, а принимают допустимость обратного преобразования переменных в качестве условия [1].

В данной работе с помощью метода дополнительного аргумента определяем условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы вида (4) с начальными условиями (2) на Qt, где ai, bi, ci, д\, г = 1,2 - известные положительные константы, а2, д2 -известные константы.

В соответствии с методом дополнительного аргумента запишем для задачи (4), (2) расширенную характеристическую систему [7]—[11]:

drqi(s, t, x)

ds

d^2(s,t,x) = ds

du(s, rq\(s, t, x))

ds

V(S,^2(S,t,X))

aiu(s,^i(s,t,x)) + biv(s,^i(s,t,x)), (5)

ciu(s, щ(в, t, x)) + giv(s, щ(в, t, x)), (6)

= a2u(s,rqi(s,t,x)) + b2v(s,rqi(s,t,x)), (7)

g2V(s,^2(s,t,x)), (8)

ds

щ{(Ь,1,х) = х,^2(Ь,1,х) = х, (9)

и(0,щ(0,1,х)) = рмо^х)), у(0,ъ(0,г,х)) = Мт(0,Ъх)). (10)

Особенность полученной системы состоит в том, что неизвестные функции входят в нее в виде суперпозиции, что существенно затрудняет доказательство разрешимости задачи.

Вводим новые неизвестные функции:

х) = и(8,Щ (8,Ь,х)), ^^2(в,1,х) = ь($,'Ц2(8,1,х)), ^^3(в,1,х) = ь(8,'Ц\(8,1,х)), х) = и($,'Ц2(8,1,х)).

Тогда расширенная характеристическая система примет вид:

(^, ^^) / \7/\

-:-= а1 1иЛз,1,х) + Ь1^^3(з,1,х), (11)

аз

¿щ($,1,х)

¿8

dwl(s, I, х)

¿8

dw2(s, I, х)

(в^,х) + д1/ш2(8,1,х), (12)

а2ы1 (в^,х) + Ь2^^3(в,1,х), (13)

= 92-^2(3,Ь,х), (14)

т3(в,1,х)= т2(з,з,щ), т4(в,1,х) = т1(з,в,^2), (15)

'ц1(1,Ь,х) = х, гц2(Ь,1,х) = х, (16)

т^0,г,х) = 1р1(щ(0,Ь,х)), т2(0,Ь,х) = <р2(щ(0,г,х)). (17)

Неизвестные функции ^, Wj, г = 1, 2, ] = 1, 4 зависят не только от Ь и ж, но и от дополнительного аргумента в. Интегрируя уравнения (11)-(14) по аргументу в, и учитывая условия (15)-(17), получим эквивалентную систему интегральных уравнений:

г

,ц1(з,1,х) = х — / (а1'ш1 + Ъ^з)^, (18)

з I

'ц2(8,Ь,х) = х — / + д1т2)д,т, (19)

т1(в, Ь, х) = 1£1(щ(0, Ь, х)) + / (й2'Ш1 + Ь2'Шз)^, (20)

о

т2(в,г,х) = ^2(^2(0, г,х)) + / д2Ы2<1т, (21)

о

тз(в,1,х)= т2(в, в, щ), (22)

'Ш4(в,1,х)= 'ш^в, в, щ). (23)

Подставим (18), (19) в (20)-(23), получим следующую систему:

х) = р1(х — /(а1'ш1 + Ъ^^в^т) + / (а2т1(т, I, х) + Ь21и3(т, I, х))в,т, (24) оо

ш2(8, I, х) = <^2(х — /(с1 т4(т, I, х) + д1т2(т, I, х))в,т) + / д2ы2(т, I, х)д,т, (25)

оо

г

,ш3(в, I, х) = т2(в, 8,х — /(а1'ш1 + Ь1т3)д,т), (26)

I

/ш4(з, I, х) = ы^з, 8,х — /+ д^-^¿т). (27)

Мы будем писать, что константы К0, К1, К2... определяются через исходные данные, если эти константы определяются через известные характеристики задачи, нормы и экстремумы известных функций при помощи конечных алгебраических, дифференциальных или интегральных выражений, то есть в рамках исходной задачи могут быть выражены конкретным числом. Справедлива лемма:

Лемма 1. Пусть функции ^^1(в,1,х), 1и2(з,1,х) удовлетворяют системе интегральных уравнений (24) - (27), являются непрерывно дифференцируемыми и ограниченными вместе со своими первыми производными. Тогда функции и(Ь,х) = т^_(1,1,х), ь(Ь,х) = будут решением задачи (4), (2) на ОТо, Т0 < Т, где Т0 — константа,

определяемая через исходные данные.

Лемма 1 составляет основу метода дополнительного аргумента. Лемма 1 доказывается так же, как в работах [7]—[11].

2. Существование локлльного решения

Для доказательства существования решения задачи (4), (2) в классе ограниченных функций будем использовать систему интегральных уравнений (24)-(27).

Обозначим Гт = { Cv = max{sup

R

(I)

s,t,x)\0 < s < t < T, x e (-ж, +ж), T > 0}, г = 1, 2, I = 0, 2}, I = max{a1, \a2\, b\, b2, c1, g1, \g2\},

= sup \U(s,t,x)\ , Ц/1| = sup \f (t,x)\, (J1,2,2(QT) - пространство функций один раз

дифференцируемых по переменной t, дважды дифференцируемых по переменной х, имеющих смешанные производные второго порядка и ограниченные вместе со своими производными на Qt, Са1,а2,'"а" (Q*) — пространство функций, определенных, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до порядка ат по т-му аргументу, т = 1,п

на неограниченном подмножестве Q* С Rn, п = 1, 2.....

Введем условия, играющие ключевую роль в доказательстве нелокальной разрешимости задачи Коши (4), (2):

ai > 0, bi > 0, ci > 0, gi > 0, ip\(x) > 0, <p'2(x) > 0, i = 1, 2. (28)

Справедлива следующая теорема, в которой сформулированы условия существования локального решения задачи Коши (4), (2), у которого гладкость по переменной не ниже, чем у начальных данных.

Теорема 1. Пусть pi e C2(R), г = 1, 2, и выполняются условия (28). Тогда для любого Т2 > 0, где Т2 = min(, i1^), задача Коши (4), (2) имеет единственное решение

u(t,x),v(t,x) e С1,2,2(QT2), которое определяется из системы интегральных уравнений (24) - (27).

Доказательство теоремы разбито на две леммы.

Лемма 2. Система интегральных уравнений (24)-(27) имеет единственное решение е С 1,1,1(Гп), где з = М , Т2 = шш(^, ±).

Доказательство. Доказательство этой леммы проводится по схеме, изложенной в [13]. Поэтому приведем только его ключевые пункты.

Нулевое приближение к решению системы интегральных уравнений (24)-(27) зададим равенствами:

■Ш1о(з,г,х) = <Р1(Х), ■Ш2о($,г,х) = ф2 (х), -Шзо(в^,х) = ^(х), -Ш4о(в^,х) = ^(х).

Первое и последующие приближения системы уравнений (24)-(27) определим при помощи рекуррентной последовательности систем уравнений (п = 1, 2,...) :

'Шы(в, г, х) = >^(х - /(а^ы + Ь1т3п)<1т) + / (а2'Ш1П + Ъ21ш3п)с1т, (29)

оо

^2п(в, ь, х) = 2(х - /(С1т4п(г, ь, х) + д№2п(т, Ь, х))(1т) + / д2^2п(т, ь, х)(1т, (30)

оо

1Ш3п(8^,х) = 'Ш2(п-1)(8, 8,х - / (а^ы + Ь 'Ш3п )Лт), (31)

г

т4П(в,1,х) = т1(,п-1)(в, в, х — /(с^п + д1 )(1т). (32)

Для системы уравнений (29)-(32) нулевое приближение определим равенствами:

ы°0п = ^з(п—1], 3 = 1, 4.

Для системы уравнений (29)-(32) первое и все последующие приближения определим на основе соотношений:

Ыы1^^,^ = — /(а1™1П + Ь^Зп,)^) + / (а,2'Ш1П + Ь21ш3^п)^, (33)

о о

тЗ+1(8,г,х) = $2(х — /(с1т4Зп(т,г,х) + д1 тЗп(т,г,х))^) + / д2-ыЗп(т,1,х)ё,т, (34)

оо

г

т3З+1(8,г,х) = Ю2(п-1) (з,8,х — / (а^п + Ь^п)^), (35)

s

t

w\+l(s,t,x) = Wi(п-1)(s,s,x - f (ciw\n + giw^Jdr). (36)

s

Так же, как в [13], установлено, что для всех 0 < t < Т\, где

Т\ = min( 20ç г, 1 ), последовательные приближения (33)-(36) ограничены, непрерывны, сходятся к непрерывному решению системы (29)-(32), для которого справедливы оценки:

IKnll < 2CV, з = I~4. Так же, как в [13], установлено, что для всех 0 < t < Т\, где

= min(20ç l, 1 ), существуют производные dxWjn, j = I, 4, и справедливы оценки:

lldxwinll < 4CV, IldxW^nlI < 4CV, HdxW3nnII < 6CV, IdxW^nl < 6CV. Для всех 0 < t < T\, где T\ = min( 20^ l, 1 ), последовательные приближения, определяемые из системы (29)-(32), сходятся к решению системы (24)-(27), и справедливы оценки:

lK ll < 2CV, 3 = I~4.

После доказывается, что Wjnx ^ Wjx = dxWj, j = 1,4, где функции dxWj являются непрерывными по всем своим аргументам на Гт2, Т2 = min( l, ). Справедливы оценки:

HdxWiH < 4CV, i = I, 2, lldxW3ll < 6CV, HdxW^H < 6CV.

Аналогично доказывается, что Wj, j = I, 4 имеют непрерывные и ограниченные производные по переменной t на Гт2. Единственность решения доказывается так же, как в статье [13].

Лемма 3. При выполнении условий (28) функции {wj} , j = I, 4, представляющие собой решение системы уравнений (24)-(27), имеют непрерывные и ограниченные производные ^, S, 3 = M на Гт2, где Т2 = min(, ^).

Доказательство. Дважды продифференцируем последовательные приближения (29)-(32) по х и обозначим шп = Wjnxx, j = I, 4. В результате получим систему уравнений:

шП = -<р\ f (aii^n + biun)dr + f (a2un + Ъ2шП)(1т+

0 t 0 (37)

• (I - f (a\W\nx + biw3nx)dr)2, 0

ш'П = -<p2 f (c^ + gid^dr + f g2(^2dT + ip'2 • (I - f (CiWAnx + giW2nx)dr )2, (38) 0 0 0

Шп = и?*-1 • (1 - /(№1™ + Ь'Шэтс)(1т)2 - ~Ш2(п-1)х /(а^ + Ъ1Шп)(1т, (39)

= ш'Ч-1 • (1 - /(с1т4пх + д^2пХ)^)2 - тцп-1)х /(с^ + д^^т. (40)

При выполнении условий (28), с учетом установленных выше оценок \\wfnW < 2С^, ] = 1, 4, имеем

I/(атщ + Ьш^т| < И(ЦШ1пЦ + |К>||) < 4ИС^ < ^ < 0.16.

Аналогично I /(с]^4п + д1'ш2п)йт| < 0.16.

Зафиксируем точку х0. Рассмотрим множество

ОХ0 = {х 1х0 - 0.16 < х < х0 + 0.16}.

Докажем равностепенную непрерывность функций ш'п, шп по х при х е ОХ0, из которой следует равностепенная непрерывность функций ш'^, ш^п по х в выбранной, произвольной точке х0, т.е. на К. Равностепенная непрерывность функций ш'п, шп по х используется для доказательства сходимости последовательных приближений , ] = 1, 4. Возьмем х1,х2 е ОХ0. Докажем, что справедливы неравенства

1щп (з,Ь,Х1) - Щп (э,Ь,Х2) | < 1^1 - Х21, (41)

1щп (ё,Ь,Х1) - Щп (8,Ь,Х2) I < 1x1 - Х2 |, (42)

где

Щп(з, ь,х) = х - /(а,1>Ш1п(т, г, х) + Ь1>шзп(т, Ь, х))йт,

гП2п(8,Ь,х) = х - /(с11Щп(т,1,х) + glW2п(т,t,x))dт. Продифференцировав последовательные приближения (29)-(32) по х, получим

Ыых = у!(Х - /(0,^1 + Ь1 ) • (1 - /(а^пх + blWзпх)dт) +

00

+ / (а2Ш1пх + b2W3пх)dт,

0

0

+ / Ь2гшЪпх ехр(а,2(в - т))<!т,

(43)

Ы2пх = ^2 (Х - / (С1Ш4п + д^п^Т) • (1 - / (С^пх + д^пх^Т) + / д2-Ш2пхЛт, (44) 0 0 0

^3пх — ^2(п-1)х • (1 -/ (а.11^1пх + Ь^зпх^т), (45)

^4пх — ^1(п-1)х • (1 - / (С^пх + д1^2пх)Лт). (46)

Система (43) - (46) эквивалентна следующей системе:

ыых = ^1(х - /(а^ + blWз)dт) • (1 - /(а^пх + blWзпх)dт) ехр(а2з) + 00

(47)

^2пх = ^!2(х - /(с1т4п + glW2п)dт) • (1 - /(с1 т4пх + д1 W2пх)dт) ехр(д2в), (48) 00

^3пх — ^2(п-1)х • (1 -/ (а.11^1пх + Ь^зпх^т), (49)

Ы4пх = (п-1)х • (1 — / (С^4пх + д1Ы2пх)(1т). (50)

Предположим, что

(п-1)х > 0, "Ш2(п-1)х > 0. (51)

При выполнении условий (28) по свойствам интегралов, модулей, супремума функции установлено, что для всех п Е N на Г^2 справедливы неравенства:

1 — /(ах-шхпх + blWзпx)dт > 0, 1 — /(с^пх + д^пх)Лт > 0. (52)

Из (49)-(52) следует, что тзпх > 0, Ш4пх > 0.

Из (47), (48) при выполнении условий (28), с учетом неравенств (52), получаем

Ш\пх > 0, т2пХ > 0.

Так как "Ш\пх > 0, ~ш2пх > 0, ,ю3пх > 0, > 0, то

1 — /(а^1пХ + ЪlWзпX)dт < 1, 1 — /(с^4пХ + д^2пх)dт < 1. (53)

В силу неравенств (52), (53) по теореме о конечных приращениях получаем, что справедливы неравенства (41), (42).

Из (37), (39) при выполнении условий (28) по свойствам интегралов, модулей, супремума функции получаем, что справедливы следующие неравества:

К (з,г,хг) — шп (в,г,х2)1 < фы+ +(с^а + и)(1шп (8,г,хх) — шп (в,г,х2)1 + 1ш'п (8,г,хх) — шп (э,г,х2 )|),

1ш'п (в,г,XI) — и'п (в,г,Х2 )| < Ф2п + 1шп-1(з,8,Щп )) — ш'п-1(з,3,Щп (в,г,Х2))1 +

где

+4С1рН(1шп (з,г,Х!) — Шп (8,Ь,Х2)1 + № (з,г,Х!) — ^п (в,г,Х2)1),

Ф1п = ^р'^Шп^^^г )) — (0^,Х2)))г]\пХ (8,г,х1) +

+ ^1(Л1п(0^,Х2))[г]1пХ(0,1,Х1) — Г]1пХ(0,1,Х2)} —

—(Ж(ч1п(0,г,х!)) — (щп(0,г,х2))) • /(а^п(т,г,хг) + Ъшп(т,г,хг))&I,

о

Ф2п = 1Шп-1(8,8,Щп(8,1,Х2)) • №пх(8^,Х1) — Vlпx(s,t, Х2)} —

— /(а^п (т, г, XI) + Ьш3п(т, г, хх• •[Ы2(п-1)х($, 8, Щп (8, Ь, Хх)) — 'Ш2(п-1)х(8, 8, Щп (8, Ь, Х2Ш, щп (в, Ь,х) = х — /(ат1п (т, I, х) + (т, I, x))dт.

Следовательно, на Гт2, где Т2 = шт(25^ 1, ), справедливы следующие неравества:

К (з,г,хг) — шп (в,г,х2)1 < фы+

+0.14(1шп (8,ь,хг) — шп (в,г,х2)1 + 1шп ) — шп (8,г,х2)\),

№ (з,г,Х1) — ш3п (з,г,Х2)| < Ф^п + 1шп-1(з,8,Щп (8,1,Хх)) — Ш^1 (в, 8,Щп +

+0.16(К ($,1, Хх) — шп (в,г,Х2)1 + № (8,Ь,Хх) — шп (в,г,Х2)1). Пользуясь равномерной и равностепенной непрерывностью, а также ограниченностью всех функций, входящих в Ф1п, Ф2п, для любого сколько угодно малого числа е можно подобрать такое 8 > 0, что для всех п будет Ф1п < 0.5е, Ф2п < 0.5е при 1х\ — х21 <8.

Предположим, что 1)(в,1,х1) — ш^ 1\в,1,х2)1 < £ при 1х\ — х21 <8. Тогда

1шп (в,г,х1) — шп (з,г,х2)1 < 0.5е+

+0.и{\ш'Ч (s,t,X!) - Ш? (S,t,X2)l + К ) - ш? (S,t,X2)l),

20

к (s,t,xx) - и? (s,t,x2)l + (s,t,xx) - и? (s,t,x2)l < — е.

Следовательно, Щ1 (в,1,Х\) — ш™ (в,1,х2)1 < £ при ^ — ж2| < 6. Аналогично (в, I, Х\) — (в, I, х2)1 < £ при — ж2| <5. Итак, последовательности {ш'П(8,1,х)}, г = 1, 2 равностепенно непрерывны по х при

х Е .

Рассмотрим систему уравнений

ш' = — <р\(щ(0,г,х)) /(а^П + Ъ1й"П)йт + /^П + Ь2+

0 0

I

+Ч>\ • (1 — /(а^1Х + Ъ^зх)(1т)2, 0

= —ЖЫО^х)) /(с&П + д^йт + / д2ш'2<1т+ 00

I

• (1 — /(с^Ах + д^2Х)(1т)2, 0

г г

ш' = ш'-1 • (1 — /(а^хх + Ъ^зх)йт)2 — т2Х(в, з,щ(з,1,х)) /(а^ + ЬхшЗ^йт,

в в

г г

ш' = ш'-1 • (1 — /(с^Ах + д^2Х)(1т)2 — ^Х(з,з,щ(з,г,х)) /(с^' + д^'йт.

в в

При выполнении условий (28) на Гт2 установлено, что и2 ^ , ] = 1, 4, справедливы оценки:

||Й11 < 2С^, \\ш2\\ < 2С<р, ||£>з|| < Ы <

Из неравенства

к

Ш»+к - Ш! || + \\iJ2+k - й>2\\ < (\К - Ш! || + \\ш2 - Ш2\\)+4£,

следует, что +к ^ , +к ^ ш2 при N ^ <х>, к ^ <х>. Также установлено, что ш? ^

при п ^ ж, ш' ^ при п ^ ж.

Получаем, что Wjnxx ^ WjXX = , где функции 3 = 1, 4 непрерывные и ограниченные на Гт2 при выполнении условий

ЭтЛ

Установлено, что существуют непрерывные и ограниченные производные ^г^, 3 = 1, 4

на Гт2 при выполнении условий (28).

3. Существование нелокального решения

Теорема 2. Пусть ifi Е C2(R), i = 1, 2, и выполняются условия (28). Тогда для любого Т > 0 задача Коши (4), (2) имеет единственное решение u(t,x),v(t,x) Е С 1'2'2(0>т), которое определяется из системы интегральных уравнений (24)-(27).

Доказательство. Продифференцируем систему уравнений (4) по х и обозначим p(t,x) = ux(t,x), q(t,x) = vx(t,x), получим систему уравнений:

dtp + (aiu(t, х) + b\v(t, х))дхр = -aip2 - b\pq + a2P + M, dtq + (c\u(t, x) + giv(t, x))dxq = -gxq2 - Cipq + g2q. (54)

p(0,x) = (p'i (x), q(0,x) = tp'2(x).

Добавим к системе уравнений (18)-(23) два уравнения:

!

= —а^2 — Ъ^ъ^^,^) + а,2Ъ + Ъ2ъ($,з,ш),

Лу2(^к'х) = —9111 — Cl^l(S, s, + 9212.

(55)

(56)

с условиями: 71(0,Ь,х) = рКщ), ^2(0,Ь,х) = ^2('Ц2). Перепишем систему уравнений (55) в следующем виде:

г, х) = (щ) + / [—а1 + (Ь2 — Ь1^1)^2(т,т,щ) + а2гу1]йт, о

^2(э,Ь,х) = 02Ш + / [—9112 — С1Ъ(Т,Т,Щ)Ъ + 9212}<1Т.

о

Существование непрерывного решения системы (56) на Гт2, где

Т2 = шт( г, 10) при выполнении условий (28) проводится с помощью метода последовательных приближений. Определим последовательные приближения:

(57)

1п+1 = р'Л'Ш) + / [—аМ)2 + (Ь2 — ЪппУЖт, т, VI) + а2!п¥т,

о

Ч2+1 = <Р2Ш + / [—91Ш2 — сап(т, г, ъЬп + 9212]ЛТ,

о

при этом = уК'Цх), = $2(42).

При выполнении условий (28) на Г^2 справедливы оценки:

Ъ'п+Л < 2Су, \цгхI < 1, I ^ I < 5С^, г = 1, 2.

Докажем сходимость последовательных приближений на Гт2. Рассмотрим неравенства:

ьп+1 — тш < I/ ыт2 — от1?)+Ьх оп-я—-иг^Мт |+

о

+ и[(цп — Цп-1)а2 + (ъп — 12п-1)Ъ2^тI <

о

< ЩИ+1п-1\\ • Ы — 1'п-1\\ + ы — чп-1\\ • \т\ + Ы — 72п-1\\ • |Ьт1||)

+ЩЪп — 72п-1\ + ы — тп-1\).

Учитывая оценки < 2Су, г = 1, 2, получим

— 1п\\ < (бИСу + И) Ц^п — 1п-1\\ + (2ИС<р + и) \\7п — 72п-1\.

Аналогично получаем, что справедливо неравенство:

\\— -Я\\ < (бНСу + и) № — 12п-1 \ \ + жСу Ц^-пп — Т^Ц.

Сложим последние неравенства и в результате получим:

Н7п+1 — тп II + Н72п+1 — 1>п\ \ < (ыСу + т)(№ — 1п~1\ \ + Нч? — ^пп-1II).

Установлено, что для всех 0 < Ь < Т2, где Т2 = ш1п(1, ), справедливо неравество:

\\тп+1 — ^Ц + \\тп+1 — ^Ц < 0.52(\\7п — 1п-1 \\ + Ьп — 1п-1\\).

Таким образом, приходим к выводу, что последовательные приближения {1™}, г = 1, 2 сходятся к непрерывному решению системы (56) на Гт2 при выполнении условий (28). Для решения будут справедливы оценки:

Ы < 2Су, г =1, 2.

Рассмотрим систему уравнений:

^21 = <р" (щ) г]хх+ в

+ /[(а,2 — 2а^х — ЬхЪ (т, Г, т))ш21 + ( Ь2 — Ьъ)^ (г, т, щ) щх](1т, о

и22 = ('П2) '12Х + в

+ / [(92 — 2д 1^2 — СЛ^1 (Т, Т, Г]2))Ш22 — СЛШ21 (т, т, щ) Ъ'П2х] о

Доказательство существования непрерывного решения системы (58) проводится с помощью метода последовательных приближений:

и'п+1 = уЧ (щ) щх+

21

s

+ | [(С12 - 2 aiji - bij2 (Т, т, rh)№i + ( b2 - biii)u?,2 (т, т, щ) r]ix}dr, n+l- (m) V2x+

Ш*

22

+ I [(92 - 2g 1^2 - СгЪ (т, т, щ))^ - Ci^i (г, т, щ) ъШх] dr. о

При выполнении условий (28) на Г^2 справедливы оценки:

< 5Су, г = 1, 2.

Рассмотрим неравенства:

(59)

п+1 2i

-u?i\ <U(1 + 2 |ъ1 + IЪ1) К - ^2-l\dr+

+11(1 + Ы) • т, т, rji) - и2-1(т, т, Vi)\ dr о

Учитывая оценки l^fil < 2Cv, i = 1, 2, получим

n+l -u^W < (61C + It) IL^ - + (21C + It) IL™ - и

n-l \ 22

Аналогично получаем, что справедливо неравенство:

n+l

\w22~ - u22W < (6ltC<p + It) \\иП2 - иП- \\ + (2ltC<p + It) \K - u2l

,n— l \

Сложим последние неравенства и в результате получим:

I, n+l

II + llu2+l -,n-ll< (81 tCv + 2lt)(llun2l - un-lll +1,- - ,n-ll

Установлено, что для всех 0 < t < Т2, где Т2 = min(* ,, ^), справедливо неравество:

, n+1 , , 21 - ,

+ llun+l -u-n-ll < 0.52(1,г -,n-lll + Ы- -и

21l

Jn2-ll

Следовательно, последовательные приближения {ш^}, 1=1, 2 сходятся к непрерывному решению системы (58) на Г^2 при выполнении условий (28). Из неравенства

N +р Ъх - u-l

+

N+р Ъх -

< (0.52)р(\\^х - U2l\\ + \\ 12х - ,2-\\) + 3£

следует, что

n

N +р Ъх Р - u2l

lim = ,2i, i

n—^^o

+

N+p Ъх ^ - u22

^ 0 при N ^ <X),p ^ <x>. Значит, 1, 2. Следовательно, существует непрерывная производная по ж у решения системы (56), '"'ji.c = = и2г, и справедливы оценки:

< 5 C

¡гх || < 5Ctpi 1

1, 2.

Так же, как в статье [3], доказано существование непрерывной производной по у решения системы (56). Так как существует непрерывно дифференцируемое решение задачи (56), то ,Ь,х) =р(Ь,х) = дхи, 72^,Ь,х) = <?(£,х) = дху.

s

$

Так же, как в [3], установлено, что последовательные приближения (57) сходятся к непрерывному решению системы (56), у которого существуют непрерывные производные по t и х .

Следовательно, j1(t,t,x) = p(t,x) = дхи, j2(t,t,x) = q(t,x) = dxv.

Из (13)-(14) следует, что

s

Wi(s,t,x) = exp(a2s) + f b2w3 exp(a2(s - т))dr,

0

W2(s,t,x) = <£2(m)exp(g2s).

Получаем, что

IMI < ^еМЫТ), IM < Cv exp(la2lT)(1 + Tb2 exp^T)), следовательно, справедливы оценки:

MI < сv exp^T), M < Cv exp(la2lT)(1 + Tb2 exp^T)). (60)

Из (55) имеем:

s

ji(s,t,x) = (рКт) exp(- f (aiji + bij2(r,T,'4i) - a,2)dr) +

0

s s

< + f Ь2ъ(т, r, m) exp(- f (aij! + biъ(v, v, Vi) - ^dv)dr, (61)

0 t

s

72(S,t,X) = ^2(V2)exp(-f (gil2 + Ci^i(T,T,^2) - g2)dr).

0

При выполнении условий (28) получаем: % > 0,i = 1, 2, значит,

ИъИ < Сф exp(lg2lT ), ЦъИ < Cv expi^T )(1 + Tb2 exp(lg2lT)), следовательно, справедливы оценки:

ЦдхьЦ < Cv exp(l92lT), ЦдхиЦ < Cv exp^T)(1 + Tb2 exp^T)). (62)

Так же, как в статье [3] установлено, что при всех t и х справедливы оценки:

\д2х2< Eii ch(t^Ci2C2i) + Е21\ ^sh(WCi2C2i), (63)

V Ь21

\ д2х2 V \ < E21 ch(WCi2C2i) + Eiu ^ sh(t^Ci2С21), (64)

V bi2

где Е11, Е21, С12, С21 —постоянные, определяемые через исходные данные.

Полученные глобальные оценки (60), (62)-(64) дают возможность продолжить решение на любой заданный промежуток [0, Т]. Взяв в качестве начальных значений и(Т0,х), v(T0,x), продлим решение на некоторый промежуток [Т0, Т1], а затем, беря в качестве начальных значений и(Т1,х), v(T1,x), продлим решение на промежуток [Т1, Т2]. Длина промежутка разрешимости не будет уменьшаться, так как она определяется величинами Ц^иЦ , Н^к^Н , которые ограничены глобальными оценками (62), справедливыми на любом промежутке разрешимости. Для вторых производных справедливы оценки (63), (64), где в качестве t можно взять Т. В результате за конечное число шагов решение может быть продлено на любой заданный промежуток [0, Т].

Единственность решения задачи Коши (4), (2) доказывается применением аналогичных оценок, которые позволили установить сходимость последовательных приближений.

Пример. Рассмотрим задачу Коши для системы вида

dtu(t, х) + (u(t, х) + 4v(t, x))dxu(t, х) = -2u(t, х) + 3v(t, х), (65)

dtv(t,x) + (7u(t,x) + 5v(t,x))dxv(t,x) = -v(t,x), ^ '

где и(Ъ, х), у(1, х) - неизвестные функции, (Ь,х) Е с начальными условиями:

и(0,х) = <рх(х) = аГдХ, у(0,х) = <р2(х) = — 1). (66)

Так как ^ Е С2(Я), г = 1, 2, аЧ = 1 > 0, ЬЧ = 4 > 0, сЧ = 7 > 0, дх = 5 > 0 Ь2 = 3 > 0 <р''Ч(х) = 4(4+2) > 0 ^2(х) = > 0,

то по теореме 2 задача Коши (65), (66) имеет единственное решение и(г,х),у(г,х) е сЧ'2'2(Пт).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рождественский Б.Л., Яненко Н.И. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике М.: Наука. 1978. 592 с.

2. Иманалиев М.И., Панков П.С., Алексеенко С.Н Метод дополнительного аргумента // Вестник КазНУ. Серия «Математика, механика, информатика». Спец. выпуск Алматы. №1. 2006. С. 60-64.

3. Алексеенко С.Н., Шемякина Т.А., Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико - математические науки. Вып. 3 (177). 2013. С. 190-201.

4. Донцова М.В. Исследование разрешимости системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со свободными членами // Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2014». М.: МАКС Пресс. 2014. 1 электрон. опт. диск (DVD-ROM).

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа М.: Наука. 1987. 840 с.

6. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике М.: Наука. 1973. 712 с.

7. Шемякина Т.А. Теорема существования ограниченного решения задачи Коши для системы Франкля гиперболического типа // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. Вып. 2 (146). 2012. С. 130-131.

8. Алексеенко С.Н., Донцова М.В. Исследование разрешимости системы уравнений, описывающей распределение электронов в электрическом поле спрайта // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Киров, ВятГГУ. Вып. 14. 2012. С. 34-41.

9. Алексеенко С.Н., Донцова М.В. Локальное существование ограниченного решения системы уравнений, описывающей 'распределение электронов в слабоионизированной плазме в электрическом поле спрайта // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Киров, ВятГГУ. Вып. 15. 2013. С. 52-59.

10. Донцова М.В. Условия локальной разрешимости задачи Коши для системы уравнений, описывающей распределение электронов в слабоионизированной плазме в электрическом поле спрайта // XVIII Нижегородская сессия молодых ученых. Естественные, математические науки. 28-31 мая 2013 г. Н. Новгород, НИУ РАНХИГС. 2013. С. 183-185.

11. Иманалиев М. И., Ведь Ю. А. О дифференциальном уравнении в частных производных первого порядка с интегральным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. Т.25. №3. 1989. С. 465-477.

12. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К теории систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа Уизема // Доклады АН СССР. Т.325. №6. 1982. С. 1111-1115.

13. Иманалиев М.И., Алексеенко С.Н. К вопросу существования гладкого ограниченного решения для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Доклады РАН. Т.379. №1. 2001. С. 16-21.

Донцова Марина Владимировна, НГПУ имени К. Минина, ул. Ульянова, 1,

603950, г. Нижний Новгород, Россия E-mail: [email protected]