Интерполяционная задача Павлова-Коревара-Диксона с мажорантой из класса сходимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 4 (2017). С. 22-35.

УДК 517.53

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПАВЛОВА-КОРЕВАРА-ДИКСОНА С МАЖОРАНТОЙ ИЗ КЛАССА СХОДИМОСТИ

Р.А. ГАИСИН

Посвящается столетию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР Алексея Федоровича Леонтьева

Аннотация. Изучается интерполяционная задача в классе целых функций экспоненциального типа, определяемом некоторой мажорантой из класса сходимости (неквази-аналитической мажорантой). В более узком классе, когда мажоранта обладала свойством вогнутости, аналогичная задача ранее рассматривалась Б. Берндсоном, но с узлами в точках некоторой подпоследовательности натуральных чисел. Им был получен критерий разрешимости данной интерполяционной задачи. При этом он впервые применил метод Хёрмандера решения 9-задачи. В работах А.И. Павлова, Я. Коревара и М. Диксона интерполяционные последовательности в смысле Б. Берндсона успешно применялись в ряде задач комплексного анализа. При этом была обнаружена некоторая связь с аппроксимативными свойствами систем степеней {zp"} и с известными задачами Полна и Макинтайра.

В статье установлен критерий интерполяционности в более общем смысле для произвольной последовательности действительных чисел. При доказательстве основной теоремы применяется модифицированный метод Б. Берндсона.

Ключевые слова: интерполяционная последовательность, целая функция, класс сходимости.

Mathematics Subject Classification: 30Е05

1. Введение

Пусть L — класс всех непрерыв ных на R+ функци й I = 1(х), таких, что 0 < l(x) "fro при х ^ го,

Множество W принято называть классом сходимости, а функции wn3W — весами (неква-зианалитичеекими весами).

R.A. Gaisin, Pavlov-Korevaar-Dixon interpolation problem with majorant in convergence

class.

© Гайсин Р.А. 2017.

Работа поддержана РФФИ (грант 15-01-01661). Поступила Ц сентября 2017 г.

Определение 1 ([1]). Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность {рп} называется интерполяционной в смысле Павлова-Коревара-Диксона, если найдется функция ш е П, зависящая только от последовательности, {рп}, такая, что для, любой последовательности, {Ьп} комплексных чисел, |bn| ^ 1, существует целая, функция f, обладающая свойствам,и,:

1) /Ы = ьп (п > 1), 2) Mf (г) = max |/(z)| ^

Пусть Л = {Ага} — произвольная последовательность дейетвительных чисел, 0 < \п ^ ж. Последовательность Л будем называть интерполяционной, если найдется функция w Е W, зависящая только от этой последовательности, такая, что для любой последовательности {Ьп} комплексных чисел, |Ьга| ^ 1, существует целая функция /, обладающая свойствами 1) и 2), но с функцией w.

Условия, необходимые и достаточные для интерполяционное™ последовательности {рп} (рп Е N) в классе П были получены в работе [1], Цель статьи — доказать критерий интерполяционное™ последовательности Л = {Ага} в классе функций W.

2. Вспомогательные утверждения

Пусть

n(t) = ^ 1

считающая функция последовательности Л, а

, . Г п(х) , N(t) = I dx.

х

Не умаляя общности, будем считать, что Ai = 1, Это несколько упростит выкладки в дальнейшем.

Справедлива следующая

Лемма 1. Пусть тп = min |Ага — Afchn = min(rra, 1),

k = n k> 1

Kn

{e: ^^ -Ara| ^ (n> 1).

)

Тогда, в кольцах Kn верны оценки:

Afc — z

1) sup

к=п

ln

^ ln 2;

Afc - Ага

Доказательство. Пусть z Е Кп. Имеем

2) sup

fc

ln

Afc + z

Afc + Ага

Afc — z

Afc - А га

1 +

Ага — z

(к = п).

Afc — Ага

Так как |Ага — zi ^ ^f для z Е Кга, |Afc — Ага| > hn (к = п), то

Afc — z

1

- < 2

Afc — Ага

3

^ -. 2

Значит,

- ln 2 < ln

Afc - z

Afc — А га

3

^ ln-2

п 4 ^ ln-.

3

и

вир к=п 1п Хк Хк - — г " Хп

Имеем

Хк + £ Хк + хп = 1 +

С 1п 2.

х — Хга

Поскольку

х — Хга

то

Хк + Хп

3

- С

4

Значит,

Лемма доказана. Имеет место

Лемма 2. Для всех г из Кп (п > 1)

„2

С

Хк + Хп Нп

1

С -,

2(А^ + 4'

Хк + £

А& + Хп

вир к

1п Хк + £

Хк + хп

5

С -. 4

4

С 1п-.

3

1п

АН

С 1п 10 + 11п К„| +1п Х„

Доказательство. Имеем

1п

1 - ^ АН

1п

1 + г

Лп

+ 1п

Хп — 2

Хп

Так как И,е г > 0 для всех г € Кп (п > 1), а А1 = 1, то

Далее,

Следовательно,

1п

0 < 1п

1п

Хп ~ %

1 + т

С 1п 1 +

А„

)

\ + К \ 5

^п + 2 I „ 1 5

2 1 С 1п -. 2

Нп

4а:

С 1п

Хп — z

Хг,

С ^ < 0.

2Лп

Хг,

С

1п

к

4А,

С 11пКга| + 1п4Ага (п > 1).

Таким образом, для всех г € Кп (п > 1)

„2

1п

1 А2

С 1п 10 + 11п Кга| +1п Хп

Требуемая оценка получена.

Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность

п

Иш — = г < го.

Тогда

ф) =й(1 — $)

— целая функция экспоненциального типа.

□

□

Оценим функцию ln )| в кольцах Кп. Для любого фикеированного п > 1

ln lq(z)| = ln

i - il

АП

+ E ln

|Afc-A KA n

1 - f

Ak

1 -1

+ E ln

|Afc-A l>A П

(в суммах Ej (г = 1, 2, 3) считаем, что Ak = Ап Оценим сумму E^, Для Ak = Ап имеем:

ln

ln

1 - f

Ak

1

ln

ln -—+ ln

A k

Далее,

|Afc-A П

Ak - z

Ak

Ak - - z

Ak - An

1 2An í

Ak J о

АП

1

+ E ln

|Afc-A n

l

+ El + El + E3

1 + f

Ak

+

(1)

= ln — +ln |Ak - zl Ak

+ ln |Afc - Ап|.

(2)

(3)

где n1 (t) — считающая функция последовательности Л1 = Л\{Ап}, Интегрируя по частям, из (3) получаем

V ln^ = Ni(2An) - ni(2An)ln2An, (4)

Ai

|Afc-A П Л

где

Nl(t) = i ^ J x

0

Выясним теперь, чему равна сумма ln |Ak — Ага| (к = п). Для этого заметим, что

|Afc-А п

An

^ ln |Ak - An| = J ln tdu(An; t) (fc = n),

ч - An| = j lnid^(An; i) (k = n), (5)

|Afc-A nKAn о

где v (An; t) — число то чек Ak = An го отрез ка {h : |h - An| ^ t}. Интегрируя по частям интеграл Стилтьеса (5), последнее равенство запишем в виде

An

V(An; t)

У^ ln | Afc - Ага| = v(Ага; Ага) ln А,

n|^An о

Учитывая соотношения (2), (4), (6), получаем, что

An

и(Ага; t)

t

-dt.

(6)

Ei = Ni(2Xn) - ni(2An) ln2 -

t

dt + M",

(7)

где

Ж" = ^ ln |Afc-A n

El

A k — £

Ak - An

ln

1 + f

Ak

b(1 + £) +ln

(fc = ra).

Ak + £

Ak + An

ТО

где

Но

S2 = £ ]п(1 + + М+,

|Afc-А |<А П

М+ = £ ln

П |<А П

Afc Afc + z

Afc + Ara

0<

2

£ ln^1 + y^) = /^1 + y) dnx(t) = ^i(2Ara) ln 3+

|Afc-A П|^АП Q

2 A n

+ A„

"i^ ,dt < ni(2Ara) ln3 + Ni(2\n). t(t + Ara) 2

Следовательно, из (8), (9) получаем, что

|^2| < ni(2Ara) ln3 + ^i(2Ara) + |M+|.

Тогда, учитывая лемму 1, имеем:

3 4

|^2| < ^i(2Ara)ln^ + ^i(2Ara) + ^i(2Ara)ln3,

то есть

^ щ(2Ага)1п2 + ^ (2Ага). Осталось оценить Е3, Поскольку в этой сумме при г € Кп

N < А» + f =1 + Al < 3 t < 2Хп 2 4Ага < 4,

то 1 — ^ > 0, и

Ез

ln

1 —

t2

2Хп

2Хп

dn(t) > I ln — ^ dn(t)

где г = |z|, n(t) = 1- Отсюда получаем, что Afc <i

Е3 >— n(2Ara)ln(\ — — 2r

n(t)

2 Xn

t(t2 — r2)

dt.

Отбрасывая первое выражение (в силу сказанного, оно положительно), имеем:

те

п(1)

Ез > —2г2

2 Аэт

t(t2 — Г2)

dt.

С другой стороны,

2 А п

Ез < I ln + ^ dn(t).

(9)

(10)

2

Отсюда аналогично получаем (подстановка отрицательна)

те

п(1)

Ез < 2г2

2 Хп

t(t2 + г2)

dt.

Поэтому в итоге

|Ез| < 2г2

2 Хп

n(t)

t(t2 — г2)

dt.

(П)

Так как г < Ага + 2 < 2Ага, то

2г2 < 4_ 2Л2 i2 + Л2

t2 — т2 t2 + A2 t2 — г2"

Поскольку г ^ Ап + 2 ^ — г'2 — ¿(1 — г) — ^ • Следовательно, учитывая

:м

¿2 + ЛП 5 Ь 5 2Лп

неравенство Ага < получаем

< --

< --

t2- г2 21 - 1 2 2А„ - 1

< 5.

Таким образом, из (11) окончательно имеем:

те

|Ез| < 40Л" I ¡(¡2+л1)

dt < 20 ln Mq (Ага)

(12)

2 Хп

где Mq(г) = max |g(z)|.

Учитывая (1), (7) запишем

ln ^(z^ = ln

1—4

АН

v(Ага; i)

dt + ^i(2Ara) — ni(2Ara) ln 2 + M" + Е2 + Е3, z Е Kn.

Следовательно, для z Е К,

ln

1

5

Xn

V(Ara; i)

|Ф)|

i

dt

<

ln

1 — 4

A2

+ ^i(2Ara) + щ(2Ara) ln 2 + |M"| + |Е2| + |Ез|.

Отсюда, учитывая леммы 1, 2, оценки (10), (12), окончательно получаем, что 1

ln

|Ф)|

t

< ln 10 + | ln h^ + ln Ага + 2^i(2Ara) + ni (2Ara) ln 8 + 20 ln Mq(Ara).

Полученное сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть последовательность Л = (Ап| (1 = А1 < Ап ^ го) имеет конечную верхнюю плотность, кп = шт(шт |А& — Ап|, 1),

( )

й(1—5)

Тогда в кольцах

Кп

С : у < Л"| < Т

}

верна оценка

1п

1Ф)1

^ т(Лга),

где //( Лга; ¿) — число точек Л^ = Лга из отрезка (Л : |Л — Лга| ^ те(Лп) = 1п 10 + 1п Лга + 11п Лга| +и(2Лга)1п8 + 2Ж (2Лга) + 201п Мд (Лга).

те

Следствие 1. ^ А- < го, и для некоторой функции и^ € Ш

га=1

то для

1п

11п Лга | ^ и^Лга) (и > 1)

г

[ Ф; ^

1

1Ф)1 У * 0

^ (г),

где и2 — какая-то функция из Ш.

те

Мы воспользовались хорошо известным фактом, что сходимость ряда V" т1- равносиль-

-\ Ап

га=1

на сходимости интегралов [2], [3]:

те те те

[ и(г)

N (г)

2 2 11 Сделаем одно замечание. Так как

^г,

1пМд (г)

(¿Г.

1 Лга

1п

к = п

то для Е1( Лга) и А верны соотношения

Е ш

А-т п

1 Лга

+ £

тк < Л2п

1 Лга

—Е1( Лга) + А,

0 < А

£ ь( £—0< ч1+8

1п( 1 + ^2 ) ^ 1пМ9(Лга),

Ак^ ЛП

Ак^ ЛП

£1 ( Л„) = — [ + ^(2Лга) — щ(2Лп)1п2.

Так что имеет место Лемма 3. Верпа оценка

1п П

к = п

1 Лга

Ль

^ и(2Лга) + N(2Лга)+1пМ,(Лга)

^2п <Лк^2Лп

где //( Лга; ¿) — число точек Л^ = Лга из отрез ка (Л : |Л — Лга| ^ ¿}. В дальнейшем нам понадобится и следующая Лемма 4. Пусть и € Ш. Тогда, функция ^(г) = и*(|г|), где

те

2

и*(г) = у 1п ( 1 + — ) г = |г|,

1

субгармоническая в С.

2

Доказательство. Заметим, что

v(z) > u(z) = ln

те

i — f!

t2

i

dw(t),

причем и — еубгармопичеекая в С функция (см., например, в [4]), Возьмем произвольную точку го € С и выберем то на мнимой оси та к, что |и>о| = | 1. Так ка к го = т0е_т, то

2 я" 2я+а

-Ц ь(zо + ре^ = 2- У V [е~аг(то + ре^)] дяф,

0 а

ф = <р + а. Поскольку функция /(ф) = V \е~аг(то + рег^)] 2^-периодична, а ь(г) = то имеем:

2я 2я

у( го + ре *)с1<р = 2^1 у(то + ре ^ )йф. оо Далее, для любого р > 0 (и субгармонична в С)

2л" 2л"

11

— J v(wo + )йф > — J u(wo + )йф > u(wo) = г>(Zo). 0 0 Отсюда и следует субгармоничность функции v. □

3. Критерий интерполяционности последовательности Л Пусть Л = |Ага|, 0 < Xn t то, lim ^ = т < то,

га^те

Справедлива следующая

Л

димо и достаточно, чтобы, существовала функция т € Ш, та,кая, что

те1

а) ^ — < то; б) — ln Д

1 ^га ,

га=1 Af<Afc<2An

k = n

1 _ ^га

Л*

^ w(A„) (и > 1).

Отметим, что из леммы 3 и условий а), б) следует, что

ln h- ^ wo(A„) (n > 1),

hra

min |A„ — Afc|, 1 \ / \ /

где hn = min min |Ага — Xk |, 1 , w0 — некоторая функция из класса W.

k=n fc> 1

Доказательство достаточной части теоремы 2 основано на одной теореме существования Хёрмандера для д-уравнений. Приведем формулировку этой теоремы.

Теорема 3. Пусть р = p(z) — функция, субгармоническая, в C, g е Сте(С). Тогда, существует решение u Е Сте(С) уравнения || = д, удовлетворяющее условию

J |u|2е-^(1 + lzl2)-2d\ ^J lgl2e-vdX, (13)

с с

при условии, что правая часть конечна (X — м,ера, Лебега).

Доказательство. Докажем сначала достаточность теоремы 2, Для этого возьмем функцию ф € С те, такую, что ф(г) = 1 при |г| < 1 и ф(г) = 0 при |г| > Положим

А(г) = ^ 6гаФга(г — Л„), Фга(;г) = ф

п=1

((&га} _ любая заданная последовательность комплексных чисел, |Ьга| ^ 1), Поскольку А(г) = Ф^(г — Л^) для г € Б = (г : |г — Л^| < ^}, и А(г) = 0 для г из внешности объединения кружков (и > 1), то, очевидно, А € Сте. Далее, так как |Л& — Лп| > -п при к = и, то А(Л^) = Ькф(0) = (А; > 1), Пусть

2

^(г) = 21пД

те

1 — i

п=1

+ Ф),

где V — субгармоническая функция, которая будет выбрана позже. Так как последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность, то П(1 — А2) _ целая функция экспо-

ненциального типа, и является субгармонической функцией Имеем:

2

М^(г) =тах |^(г)| ^ 21п | | ( 1 + ^ ) + М,0(г). | |= 2

п (1+а

Далее,

е 1^1+=/ь (1+^ (м)

га=1 п 0

Интегрируя по частям интеграл Стнлтьеса (14) и учитывая, что ^^ ^ 0 при £ ^ го, получаем:

11п(1 + ^ = 2гv ¿(^Г^^ = » (г). 01

Проверим, что и1 € Ш, Действительно, полагая £ = зг, имеем:

оо

/ N 0 ,

и1(г) = 2 (2 | П ^

J «(«2 + 1)

1/т

и1

те те / те \ те

1 г»м г1[ Кв* гго,

2} г2 7*1./* 2 + г2 / 2 У * 2 '

1 1 \1 / 1

то и1 € Ш,

Построим субгармоническую функцию ^ так, чтобы величина М„ (г) (максимум модуля функции допускала оценку сверху через некоторую функцию из класса Ш, и при этом правая часть в (13) для д = была конечной. Пусть

^ = ^ < |£ —Лга| <-П} (и > 1).

Заметим, что кольца Хга (и > 1) попарно не пересекаются. Это следует из того, что

— —

у + -П+1 ^ Лга+1 — Лп (и > 1).

Имеем:

дА

д£

е-<pd X

д А

:|£-Л„|> Y }

+

те £

га=1

Vi™+lk /

de

д А

de

e-lfd X+

e-<pd X.

(15)

{? :|?-Лп|< ^ }

Первый и последний из интегралов справа в равенстве (15), очевидно, равны нулю. Далее, А(£) = Ьпф ^^^^ для £ Е Кп. Считая, что ф = ip(w,w), где w = х + iy =

получаем: = = Отсюда имеем:

ф

de

2 h

ф д ф х д

1

^ —

hra

ф

х

, Е Кга

Поскольку | Ьга| ^ 1, то

А

de

~vdX ^ Ci

га=1

где

= h? fй h"K b=i

Кп

1 - — 1 А!

-2

а С1 = max 1

1 - 1 ÖIK

|х|< 2

n Е Кга

р(о = П

fc=1

1 - — 1 AI

п

< т

1 - — 1 %

п

<Xk<2Xn

k = n

1 - — 1 Ai

П

Лй>2 Л Л

1 - — 1 А!

Так как Rei; > 0 для £ Е Кга (n > 1), то

1 + f

Afc

1.

1 - —

Ага

(16)

Далее, для Xk ^

1 - — 1 А!

> М- — 1 > 4

1

2 Ага

11

(17)

для Хп > 1 + -^д, то есть при n > n0. Учитывая оценки (16), (17), получаем, что для £ Е Кга n > no

р(0 > п

<Хк<2Хп

к = п

1 — f

Afc

п

Л& >2 Лэт

1 - — 1 А!

1 — — АН

(18)

Е Кга ( n > 1)

1 — f

Afc

1 ^га Хь

ie —Afc | _ |A„ — А^1 2

1

> -

1 ^га Хь

( fc = n).

(19)

2

2

2

1

2

2

2

1

Оценим теперь величину

1 — А-

для £ €

2

1 - — ЛП

>

—п |£ + Л„1 —

4 Л2

п

Но из условий а) и б) следует, что (см, выше)

1

>

4 Лп

^ еадо(Ап) (и > 1),

—п

где и0 — некоторая функция из класса Ш. Значит, для £ € Хп (и > 1)

> е-ад2(Ап), и2 € Ш.

2

1 Л2

(20)

Требуемая оценка через функцию из Ш для первого произведения в (18) легко следует

1

из условий а) и б), если учесть (19), Осталось оценить произведение П

Ак>2А п

1 Ак

1п П

Ак>2Ап

2

1 - — 1 Л2

1п

2

1 - — ¿2

2 А п

Л2

> — С2 \ ^^и(^) > —2С2Л;

оо

(21)

2 Ап

п7 I 3

2 Ап

(И.

Пусть

Имеем:

и3(г) = г2 / ^^

3

2

и3( )

те /те = —

2

те /те

^^ и =[ 4

3

1

те /те 1

3

21

те

^Г =

и(х) . I , х 1 [ и(х)

-Лг^х Ыз ^ - -^-г^Ах < ОО.

,/5 2 1 ./ X2

2

2 У X2 1

Так как р(£) > Р > 0 на ип^п0Хп, то отсюда и оценок (18)-(21), условий а), б) теоремы окончательно получаем, что существует функция и4 € Ш, такая, что для всех п > 1

р(£) > е-ад4(Ап), £€Хп. (22)

Положим

те

2

и*(г) = у 1п ( 1 + — ) + (и*(1) + 1) 1п(1 + г2),

1

Поскольку < < (1 + < |,то

1п

е2

1 - — 1 *2

3'

> 1п ( 1 — > —3II2

о — £)

так как функция ^(а) = 1п(1 — а) + 3а возрастает при а < Но ^ < | при £ € Кп (п > 1), поэтому

1п

е2

1 - — 1 ¿2

> — С*2 , = —.

3

2

2

1

где т** = т4 + то. Тогда при некотором С > 0 у(г) = Ст*(|г|) — искомая функция,

С

Мь (г) = Ст*(г), как мы видели выше с функцией и>1; представляет собой функцию из класса Ш.

те

Остается показать, что ^ Тп < го. Учитывая оценку (22) и определение функции ь,

п п=1

имеем:

Тп С т2 [ е-Сад*(|?|)+2ад4(Л^А(£) С Сз ехр

^п и

Кп

С3 = Заметим, что

2то( Лп) + 2т* (Ап) — Ст*(Ап — 2)

оо

а также

т*(г) = 2г2 I Л + 1п(1 + г2) — 2г2Ц(г) / ¿(^у — 1m*(r),

1

^ СМ (п — 1).

т*(Ап — 2)

Следовательно,

те те те

^Тп С Сз ^ е"жад*(Л™)+М(Л™) с Сз ^ е(_& +4Ь*(Л™).

п=1 п=1 п=1

Из определения функции т*(г) следует, что т*(г) — (т*(1) + 1) 1п(1 + г2), поэтому

ЕТп ССз£

те1

з

п=1

= (1 + Ап)С4

где С4 = — 4) (т*(1) + 1) С — постоянная го определения функции V. Так как последовательность Л = (Ап| имеет конечную верхнюю плотность, то последний ряд сходится, 2 С4 > 1 С > 5 М

Как уже говорилось выше, Му (г) = Ст*(г), т* € Ш. Значит,

Мф(г) Сшб(г), (23)

где = 2т1 + Ст* — функция из класса Ш.

Мы собираемся применить теорему 3 для д = ^.Поскольку функция <р выбрана так, что е имеет неинтегрируемую особенность в каждой точке Хп, должно быть и(Ап) = 0 (п — 1). Рассмотрим уравнение

^ = ^ и(Ап) = 0 (п — 1). (24)

Положим f = А — и, где и — решение уравнения (24) (оно существует по теореме Хёрман-дера). Ясно, что / — целая функция и /( Ап) = Ьп (п — 1).

| |2 > 0 при 1 С Р С т [5, гл.1, п.6]

|л^)12 с ^ у |¡(тт < ! I№)12лт, г = и.

Поскольку |/|2 ^ 2(|А|2 + |м|2), имеем:

f |/|2dA ^ 2 / |A|2dA + 2 f H2dA ^

^ r2 + 2

N<2r-

M*

(1+ |z|2)2

N<2r-

(1 + |z|2)2e ^A

Применив к последнему интегралу оценку (13) из теоремы Хёрмандера, получим: J |/|2^А ^ 8ттг2 + 2ехр (21п(1 + 4г2) + М^(2г)^ |#|2е

|.г|^2г С

Учитывая сходимость последнего интеграла и оценку (23), заключаем, что

где и>6 € Ш, Последнее означает, что функция / = А — и решает интерполяционную задачу.

Достаточность теоремы доказана.

Докажем необходимость. Пусть Л = (Ага| — интерполяционная последовательность и и) — функция из класса Ш, существование которой утверждается в определении

= 1 и Ьга = 0 (и > 1), Из неравенства Иенеена, используя свойство 2) интерполяционной последовательности, получаем

п(г) ^ 1пМ/ (ег) ^ г)(ег). Как уже говорилось в §1, сходимость интеграла

те

равносильна условию

Е

га=1

— < ГО. Ara

Для того чтобы доказать условие б), зафиксируем п и выберем такую целую функцию /, которая решает интерполяционную задачу для Ьга = 1 и = 0 ( А; = п). Справедливо представление

( )

п í1 -

'-<\к<2\„, к = п

(25)

где С — целая функция (если ни одно из А& (А; = п) те попало в интервал (Л?, 2Ага), то считаем, что С = /), Для Л? < А& < 2Ага имеем:

i - f

Afc

>

1

4A„

A*

> 1, N = 4A,

Отсюда следует, что |С(г)| ^ | /(<г)|, |г| = 4 Ага, По принципу максимума модуля,

|С( Ага)| ^ Мс(4Ага) ^ М,(4Ага) ^ ей(4ЛЧ

1

л

С другой стороны, из (25) следует, что

-1

С(А„)=ЛП 0 - £)' •

<\k<2\„, n = k

поскольку f(Ап) = 1, Из соотношений (26), (27) окончательно получаем:

-ln

П

<\k<2\n, k=n

1 Ап

Аь

^ ги(4Ап),

(27)

где w — функция из класса W.

Теорема доказана полностью, □

Автор выражает благодарность профессору A.M. Гайснну за указание на работу Б. Берндсона, а участникам семинара по теории функций — за полезное обсуждение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Berndtsson В. A note on Pavlov-Korevaar-Dixon interpolation // Indag. Math. 1978. V. 40. № 4. P. 409-414.

2. Леонтьев А.Ф. Ряды, экспонент. M.: Наука, 1976. 536 с.

3. Гайсин A.M. Целые функции: основы классической теории с приложениями к исследованиям, по комплексному анализу. Уфа: РИЦ БашГУ, 2016. 160 с.

4. Кацнельсон В.Э. Целые функции класса, Карт,раит, с нерегулярным поведением, // Функциональный анализ и его приложения. 1976. Т. 10. № 4. С. 35-44.

5. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. 472 с.

Рашит Ахтярович Гайсин,

Башкирский государственный университет,

ул. Заки Валиди, 32,

450077, г. Уфа, Россия

E-mail: rashit. gaj sin@mail. ru