Задача кратной интерполяции в классе аналитических функций нулевого порядка в полуплоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 18-29.

УДК 517.52

ЗАДАЧА КРАТНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В КЛАССЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА В ПОЛУПЛОСКОСТИ

О.А. БОЖЕНКО, К.Г. МАЛЮТИН

Аннотация. В работе рассматривается задача кратной интерполяции в классе аналитических в верхней полуплоскости функций нулевого порядка и типа не выше нормального. Задача относится к классу задач свободной интерполяции, которые впервые начал рассматривать А.Ф. Леонтьев. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи. Полученные критерии формулируются как в терминах канонических произведений, построенных по узлам интерполяции, так и в терминах неванлинновской меры, определяемой этими узлами. Работа является продолжением исследований первого автора, рассматривавшего аналогичные задачи в классах аналитических в полуплоскости функций ненулевого порядка.

Ключевые слова: нулевой уточненный порядок, дивизор, каноническое произведение, кратная интерполяция, условие Левина, неванлинновская мера.

Mathematics Subject Classification: 30E05, 30D15

1. Введение

Классическая задача интерполяции состоит в отыскании функции данного класса (аналитической функции с ограничениями на рост, в частности, целой функции, функции аналитической в верхней полуплоскости комплексного переменного, функции класса и т. п.), принимающей в заданных точках — узлах интерполяции — заданные значения.

В 1948 году А. Ф. Леонтьев [1] впервые рассмотрел интерполяционную задачу в классе целых функций [р, то] конечного порядка р > 0, получившую впоследствии название задачи свободной интерполяции. Эти исследования были продолжены А. Ф. Леонтьевым в работах [2, 3] в классах [р, то) целых функций нормального типа при порядке р. В более общем классе [р(г), то), где р(г) - заданный уточненный порядок, задачу свободной интерполяции решила О. С. Фирсакова [5]. Г. П. Лапин [4] перенес результаты А. Ф. Леонтьева о свободной интерполяции в классе [р, то) на задачу о кратной интерполяции. Теория кратной интерполяции в пространствах целых функций, описываемых уточненным порядком р(г), получила дальнейшее развитие в работах А. В. Братищева [6], А. В. Братищева и Ю. Ф. Коробейника [7]. Аналогичные задачи в классах функций аналитических в верхней полуплоскости изучены недостаточно полно. Отметим только работу [8], в которой решена задача кратной интерполяции в полуплоскости в классе аналитических функций ненулевого конечного порядка и нормального типа. Законченные результаты для полуплоскости имеют место для класса (начиная со знаменитой теоремы Карлесона и многочисленных работ, посвященных этой тематике). Настоящая работа является продолжением исследований первого автора [8, 10].

O.A. Bozhenko, K.G. Malyutin, Problem of multiple interpolation in class of analytical functions of zero order in half-plane.

© Боженко О.А., Малютин К.Г. 2014.

Работа поддержана Министерством образования и науки Украины (грант 0111U002152).

Поступила 27 декабря 2013г.

2. Классы аналитических функций в полуплоскости

Будем пользоваться терминологией работ [8, 10]

Обозначим через С+ = (г : > 0} верхнюю полуплоскость. Через С (а, г) будем

обозначать открытый, а через В (а, г) — замкнутый круг радиуса г с центром в точке а, через П+ пересечение множества П с полуплоскостью С+: П+=П П С+.

Пусть О = (ап, дп}^=і — дивизор, т.е. множество различных комплексных чи-

сел (ага}^=1 С С+ вместе с их кратностями (дп}£=1 С N. По заданному дивизору О = (ага,дга}^=1, а„ = г„егбп определим следующие меры: ив(С) = ^а„ес Яп,

п£(С) = Еа„ес Зп^п ПЪ(С) = ЕапЄС\В(0,1) 9п ЙІП Єп + пї)(С П В(0, 1)). Если это не будет вызывать недоразумений, то индекс О будем опускать. Дивизор корней произвольной функции f будем обозначать через Оf. Обозначим через п/ = п^, п+ = п^, п/,а(г) = nf (С(а, г)), п+а(г) = п+ (С(а, г)), пД|а(г) = пд(С(а, г)), п£>а(г) = п£(С(а, г)). В частности, положим п/(г) = п/,0(г), п+(г) = п+0(г), п^(г) = пд0(г), п^(г) = п^,0(г). Все рассматриваемые меры мы будем считать продолженными в комплексную плоскость, считая их ограничения на С_ нулевой мерой, а если речь идет о внутренних мерах, заданных в С+, то их ограничение на вещественную ось — есть нулевая мера.

Говоря о дивизоре О/ = (ага,5га}^=1 корней некоторой функции f, мы иногда будем обозначать его через (гга}^=1, где в последовательности (гга}^=1 точка ап встречается ровно дп раз.

Дифференцируемая функция р(г) на полуоси (0, +то) называется уточненным порядком, если выполняются условия:

1) Ііт р(г) = р, 2) Ііт гр;(г)1пг = 0.

Г—Г—

Детальное изложение свойств уточненного порядка можно найти в работах [11, 12, 13]. В статье используется обозначение V(г) = гр(г). Дополнительно мы предполагаем, что V(г) = 1 при г Є [0,1]. Это условие не ограничивает общность, однако, упрощает некоторые рассуждения.

По ходу работы мы будем использовать широко известное свойство уточненного порядка, которое сформулируем в виде леммы.

Лемма 1. Пусть р(г) — уточненный порядок. Тогда при любом і > 0

Ііт РТ! = (р, (1)

т—ж V (г)

причем предел равномерный на фиксированом сегменте [а, Ь] С (0, +то).

В случае, если число р в определении уточненного порядка равно нулю, то уточненный порядок р(г) называется нулевым уточненным порядком. В принципе, на нулевой уточненный порядок р(г) мы не накладываем никаких ограничений. Однако, в основном тексте статьи мы предполагаем, что выполняется дополнительное условие

Ііт ^ = . (2)

г—1п г

Уточненный порядок р(г) называется формальным порядком функции f, если существует такая константа М/, зависящая только от f, что для всех г Є С+ выполняется неравенство

^ ^(г)| < М/V(|г|) . (3)

Символом [р(г), то)+ мы будем обозначать класс аналитических в С+ функций f формального порядка р(г).

Уточненный порядок р(г) называется полуформальным порядком аналитической в С+ функции f, если р(г) — формальный порядок функции f и выполняется следующее условие Левина [11, стр. 128]: существуют числа д Є (0,1), 8 Є (0,п/2), такие, что в каждой

области

D(R, q, £) = {z : qR ^ |z| ^ -R, £ < arg z < п — £}

q

найдется точка z, в которой выполняется неравенство:

log |f (z)| ^ — M/V(|z|).

Класс аналитических в C+ функций, для которых p(r) является полуформальным порядком, обозначим через [p(r), то)+. Этой терминологии мы обязаны А.Ф. Гришину. Ясно, что [p(r), то)+ С [p(r), то)+.

Если p = lim p(r) > - и p(r) является формальным порядком функции f в C+, то p(r)

Г—

будет и полуформальным порядком этой функции [14]. С другой стороны, для функции eiz p(r) = 0 является формальным порядком, а p(r) = - - полуформальным порядком этой функции. Действительно, функция eiz ограничена в полуплоскости, и для любого z £ C+ выполняется неравенство |eiz | ^ e_|z|.

Таким образом, различие между формальным и полуформальным порядком обнаруживается в полуплоскости только при p ^ - (и, в частности, при p = 0).

Функции f из класса [p(r), то)+ обладают следующими свойствами [15]:

a) log |f (z)| имеет некасательный предел log |f (t)|, t £ R, почти всюду на вещественной

оси log |f (t)| £ ^LX-^ ^);

b) на вещественной оси существует знакопеременная мера (заряд) v такая, что

b

Ит / log |f (t + *y)| dt = v(M]) — -(v({a}) + v({b})).

y—+0J 2

a

Мера v называется граничной мерой функции f;

c) dv(t) = log |f (t)| dt + da(t), где a — сингулярная мера относительно меры Лебега.

Для функции f £ [p(r), то)+ определим, следуя [15], полную меру А как

A(G)=2n / 3<dMC) — v(G),

C+nG

где p — риссовская мера субгармонической в верхней полуплоскости функции log | f |. Мера А обладает следующими свойствами:

1) А — конечная мера на каждом компакте G С C,

2) А — неотрицательная мера вне R,

3) А равна нулю в полуплоскости C_ = {z : Sz < 0}.

Мы будем использовать следующую лемму [15].

Лемма 2. Пусть А/ — полная мера функции f £ [p(r), то)+. Тогда выполняется неравенство

U / < M (/^ dt+^ )• (4)

B+(0,R) \0 /

с некоторой постоянной M/ > 0, не зависящей от R.

3. Постановка интерполяционной задачи в классе [р(г), то)+ (в классе

[р(г) ^)+)

Обозначим через Лх = т1п{1; Лп = Лап. Пусть / £ [р(г), то)+ (/ € [р(г), то)+). Из

формулы Коши для производных нетрудно получить следующее неравенство

1/(к_1,М1 < (кЛ5-1)!ехр[М/V(|г|)], к £ N.

лг

Это неравенство приводит к разумности введения следующего определения.

Определение 1. Дивизор О = {ап,5п}^=1 называется интерполяционным в классе [р(г), то)+ (в классе [р(г), то)+), если для любой последовательности комплексных чисел Ьпк, к = 1, 2,... ,дп, п £ N удовлетворяющих условию

П

1 1 + |6п,к |ЛП-1

т/л—й йиР 1о§+^-------------і

V(|ап-) 1^к^дп (к 1)*

йиР 77ТІ—ГГ йиР —рт------------< ТО , (5)

существует функция Е € [р(г), то)+ (Е € [р(г), то)+) со свойством

^(к_1,(ап) = Ьп,к, к = 1, 2,... ,^п, п € N . По заданному дивизору О определим семейства функций

Ф+ (*,«) = п£(С(^Ф!) \ К», а> о ,

где ап — точка носителя дивизора О, ближайшая к точке г (если таких точек несколько, то выбираем любую из них). Положим

6

т+< п • а Г ФД(г,а) л

1+(г,д) = 81П в / —------;-;—^2, в = аГё г.

0

а(а + від 0)2'

Сформулируем основную теорему нашей работы.

Теорема 1. Пусть р(г) — нулевой уточненный порядок. Тогда следующие три утверждения эквивалентны.

1) Дивизор О является интерполяционным в классе [р(г), то)+ (в классе [р(г), то)+).

2) Выполняются условия:

2.1)

СЮ

С>,

Чп ^ ап

£ 1+Ы2 < ТО'

2.2) каноническое произведение

ОД= П ^ П , _

ККЛг а'и' Ы>1 ^г аи аи

дивизора О удовлетворяет условию:

и у \^и

где

1 і |7и,1|

8ир ум 15 -л-т < то

гУп,к

(к — 1)! Vйгу Е(г)

к = 1,..., чи, п Є N.

г=а

п

3) Выполняются условия (7) и

3.1) при любом 5 > 0

sup 1+(z, 5) < то ; (9)

zGC+

3.2)

qn 1 2San

suP^Ti—h log^\— < то . (10)

nGN V (|an|) Лп

4. Необходимые условия разрешимости интерполяционной задачи

Теорема 2. Пусть D = {an,qn}0= — интерполяционный дивизор в классе [p(r), то)+ (в классе [p(r), то)+) и р(г) — нулевой уточненный порядок. Тогда выполняется условие (7).

Доказательство. Пусть F - функция класса [p(r), то)+, решающая интерполяционную задачу F(a1) = 1, F(k-1)(a1) = 0, k = 2,... , qi, F(k-1)(an) = 0, k = 1,... , qn, при n > 2. По предположению теоремы такая функция существует. Так как дивизор D, за исключением точки a1, является частью корней функции F, то из неравенства (4) леммы 2 следует, что

£ ^ < *(/ ^+^) (и) KKR 1 n| \о )

с некоторой постоянной MF > 0, не зависящей от R.

Поскольку р(г) — нулевой уточненный порядок, то V(R) ^ M1R1/2 с некоторой постоян-

СО

ной M1 > 0, не зависящей от R. Поэтому lim "(R) =0, и интеграл [ "(t) dt сходится.

R J 1 +12

о

Тогда отсюда и из (11) следует (7). Теорема доказана. □

Теорема 3. Пусть D = {an,qn}0=1 — интерполяционный дивизор в классе [p(r), то)+ (в классе [p(r), то)+) и p(r) — нулевой уточненный порядок. Тогда выполняется утверждение 2) теоремы 1.

Доказательство. Условие 2.1) следует из теоремы 2. Доказательство условия 2.2) дословно повторяет доказательство аналогичного условия в работе [8]. □

Теорема 4. Пусть D = {an,qn}0=1 — интерполяционный дивизор в классе [p(r), то)+ (в классе [p(r), то)+) и p(r) — нулевой уточненный порядок. Тогда выполняется утверждение 3) теоремы 1.

Доказательство условий 3.1) и 3.2) проведено в работе [8] при р > 1. Анализ этих рассуждений показывает, что эти утверждения справедливы и при 0 ^ р ^ 1.

Теорема 5. Пусть D = {an,qn}0=1 — такой дивизор, что выполняется условие (7) и p(r) — нулевой уточненный порядок. Тогда утверждения 2) и 3) теоремы 1 эквивалентны.

В работе [8] эквивалентность этих условий доказана для р > 1. Снова анализ этого доказательства показывает, что это справедливо для 0 ^ р ^ 1.

Нам понадобится следующая лемма из [8].

Лемма 3. Пусть дивизор D = {an,qn}0=1 является интерполяционным в классе [р(г), то)+ (в классе [р(г), то)+) и р(г) — нулевой уточненный порядок. Тогда

ОО

\ qk Sak San /10х

sup > ----------------------------3 < то . (12)

nGN k=1 |an - afc |2(1 + r2) 3

Заметим [8], что если дивизор D удовлетворяет условию (8), то выполняется условие (10). Кроме того, справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Пусть дивизор D удовлетворяет условию (8), тогда

1 !7n,fc1

sup ——т max ----------j—-r < оо . (13)

neN V(rn) 1^fc^9n Ann-fc+1 V '

Доказательство. Для доказательства нам понадобится следующее утверждение из работы [9].

Пусть функция G(Z) аналитична в круге C(0, r), |G(Z)| ^ M, и пусть G(Z) имеет нуль кратности m в точке Z = 0 и нуль кратности q в точке Z = а. Тогда

G(m) (0)

r

m+q

И9 >-------•^^ . (14)

11 т! М v У

Обозначим через /п величину

/„ = шт {Л„/2, ^ ({а^ \ {а„}; {а„})} , п Е N ,

где означает расстояние между множествами. Пусть, например, /п = |а* — ап|. Положим С(£) = Е(а* + £), г = Л*. Замечая, что в этом случае Л* > Лп/2 > /п = |а* — ап|,

применим неравенство (14) к функции С(£). Имеем

> Е“(а*) Л*к«"

®! ,,Ша^. 1Е К )1

|С-«к КЛк

Из последнего неравенства, ограниченности функции Е(£) (|Е(£)| ^ 1, С Е С+), из условий (8), (10) и свойств уточненного порядка (1) следует, что

/«" > ЛПП ехр(—М^(|а„|)), п Е N , (15)

при некотором М1 > 0. Это неравенство, в силу условия (10), справедливо и когда /п = Лп/2, п Е N.

Определим аналитическую в круге С(0,1) функцию ^(£) равенством '0(£)£9" = Е(ап + /га£). Применяя правило Лопиталя, а также неравенства (8) и (15), получим:

М0)| = /?," |Е(°")|!а“)| > ехр(—М2У(|а„|>)

при некотором М2 > 0. Кроме того, при |£| ^ 1 функция "0(£) ограничена, так как

|^(£)| ^ шах |^(£)| = шах |'0(£)£9" | = шах |Е(ап + /га£)| ^ 1.

М=1 |^|=1 |^|=1

Далее воспользуемся следующей теоремой [11, Теорема 9, Глава I, §6].

Теорема. Пусть голоморфная в круге С(0, Я) функция / (г) не имеет нулей. Тогда в круге С(0,г), г < Я, справедливо неравенство

^ |/(г)| > я—г шах1о§|/(С)|. (16)

Положим д(£) = ^(С)^-1(0). Поскольку функция д(£) не имеет нулей в круге С(0,1/2)

и д(0) = 1, к ней применимо неравенство (16), которое при |£| ^ г = 1/4 и Я = 1/2 дает

#(() > ехр(—2М2У(|а„|)) . Откуда

I т 1^" /

|Е(ап + т)| > |-/-|^" ехР( —Мэ^|т| ^ ^ , (17)

при некотором Мз > 0.

Далее по определению имеем

1 ГК — О’""*

7»,к = 2Л^ У Е(С) <гс к Е 1'9"'п Е М.

|С—о" |=1"/ 4

Неравенство (13) следует теперь из этого соотношения, определения /а, (17) и (10). Лемма доказана. □

5. Доказательство импликлции 2) ^ 1) теоремы 1 Обозначим через

( —1)т-1 1

/ 1\| ^ ^ ■■ Тга,^"+1—т—гЬга,г+1, т Е ^«ао п Е N . (18)

(т — 1)! ^ г!

Перенумеровав, если есть необходимость, точки дивизора Д, можно считать, что

Зага+1

' а+1

Положим

1 + а* (г + гЛ„) За*

2 ^^, п Е N. (19)

1 + гП+1 1 + гП

впМ = У 1,+ а*За* 3, п е N. (20)

г(а* — г — гЛ„) (1 + г2) 2

Ряд, определяющий функции вп(г) в (20), сходится равномерно в каждой области

= {г : |г| ^ г, Зг > —Л„ + 5, 5 > 0} ,

т.к. при г Е , г > 2

1 + а* (г + гЛ„)

г(а* — г — гЛп)

За* < \/(1 + г)(1 + г*) За*

(1 + г2) 22 ^ 5 (1 + г!) 22

и ряд (7) сходится.

Оценим ^вп(г). Имеем

^ (За* + Зг + Л„ + г|(Зг + Л„) + |г + гЛ„|2За*) За*

( ) __ V-'' (За* + + Ла + г *(Зг + Ла) + |г + гЛа| За*) За* , ,

(^ = ^ |а* — г — гЛ,,|2 (Т+Тр ■ (21)

Т.к. Заа > 0, За* < 0, то |а* — аа — гЛа| > |а* — аа|. Отсюда, из леммы 3, неравенства (19) и (21) получаем, в частности, что

щд ( \ ^ За*(За*(1 + |ап + гЛП|2) + 2Зап(1 + г2)) ^

лРга(ага) ^ у 5

*=п |а* — ап|2(1 + г!) 2

/ За* 2За„ \ За*(1 + г|)(1 + 4гП)

*=а 4 ' *

оо

V-"' За* + 2Заа \ За*(1 + г *)(1 + 4гга) ^ (22)

^и + г2 + 1 + 4гП у |а* — ап|2(1 + г2)! ^ ( )

/ с 1 + 4гП ^ Заа За* / ^ „

^ 5------— > —------------гг---------т ^ К1 < то

1 + гП *=П|а*— ага|2 (1 + г2)т

А также

СЮ

(За*) 2 1

^ > 19а (1 + г^)2 |а* — г — гЛп|2 ■

Положим далее

’" Г т (г) Т (т—1)

Ра (г) = у аа.„, ^

т=1

г — аг

где

^п(ї)

1 + гага\ 3 $(г) / 23а 4 2

1 + гП / #(««) Vї - а.

ехр[вп(ага) - вп(^)]

$(г) — целая функция класса [р(г), то)+ (класса [р(г), то)+), которая будет определена ниже.

Заметим, что

^п(ага) = 1, п Є N .

(25)

Кроме того, воспользовавшись элементарным неравенством 1+ж ^ \/2(1 + ж2), получим при |г| > 1:

1 + г2

I ' Г1

к |(1 + гга) /2|

1 + гП л/1 + гП ’

Отсюда следует, что

Формальный ряд

л/1 + г2/ |^(а«)||г - а«|2

х ехр{^[вга(ага) - вп(ї)]}, п Є N .

Е(ї) = Е(ї) ^ Р„(г)

П=1

(26)

(27)

решает интерполяционную задачу (6) [8].

Покажем, что при надлежащем выборе функции д(г) функция Е(г) принадлежит классу [р(г), то)+ ([р(г), то)+). Из условия (5), неравенства (13) и равенства (18) получаем для всех т = 1,... , «а, п Е N

. . — т +1 т гт^тг/ м

|ап,т| ^ лга ехр[К2V(гп)]

(т — 1)!

(28)

Обозначим

ига,т (ї)

^п(ї)

(т— 1)

, т = 1,..., дга, п Є N .

Оценим иа,т(г) при г Е С+, г Е С(аа,Ла/2). Заметим, что если |£ — г| = Ла/4, то,

во-первых,

| і — ап | ^ Лп/4, п Є N

(29)

во-вторых, |і — ап| ^ 3ага — Лп/4 > 33ага/4 (п Є N), |ї — ап| ^ |ї — і| + |і — ап = Лп/4 + |і — ап| ^ 3ага/4 + |і — ап| ^ 7|і — ап|/3, и |і — ап| ^ |ї — і| + |ї — ап

= Л„/4 + |ї — а„| ^ 3а„/4 + |ї — а„| ^ 5|ї — а„|/4, т.е.

3|г — аа|/7 ^ \Ъ — ап| ^ 5|г — аа|/4 ■

Кроме того, если |г — £| = Ла/4, то

|£ + гЛа — аа| > 3Лп/4 + Зг + Заа .

(30)

(31)

Воспользовавшись интегральной формулой Коши для производных по окружности Сг,а = {£ : |£ — г| = Ла/4}, из (26), (29), (30) и (31), получим

|un,m(z) 1

(m — 1)! 2п

^n(t) dt

(t — an)(t — z)r

<

4m(m — 1)! . . ..

------ ------- max |^n(t)| <

Am tec Wl

<

4m49(m — 1)!(3an)2 /V2(|z| + 1/4) \ |g(V2(|z| + 1/4))|

9Am|z — an|2

V1 +

|g(an)|

X

x max exp[^(en(an) — ^n(t))].

tec;

Отсюда получим окончательно, с учетом (22), (23) и (31):

L. ^,^4m49(m — 1)!eKl(V2(|z| + 1/4))3 (S^)2 w

|un,m(z)| < _ . i i x

9Amlz - a„I2

Jg(V2(N + 1/4)) |

x-------Г-,—r,------exp

|g(an)|

n

oo

(1 + гП ) 2

E

(3afc )2

k=n (3An/4 + + 3afc)2(1 + г£)2

(32)

т = 1,..., «а, п Е N.

Далее из (24), (28) и (32) получаем, что при г Е С+, г Е С(аа,Ла/2) справедливо неравенство:

^ 49

|Ра(г)| ^ |аат||иат(г)| ^ — ехр[Кз V(га)] X

m=1

X

(V2(|z| + 1/4))3(9an)2 |9(V2(|z| + 1/4))|

qn

X ехр

(1 + гП)2 |z — an|2 |g(an)|

(3afc )2

J^4m(qn — m + 1)x

m=1

E

k=n (3Лп/4 + + 3afc)2(1 + г£)2

< |g(V2(|z| + 1/4))|

< |g(an)|

(33)

x-

(Заа)2

49

|z — an|2(1 + гП )2 18

з 1 о qn(qn + 1) exp[K3 V(rn) + qn ln 4] x

x(V2(|z| + 1/4))3 exp

E

(3afc )2

k=n (3Лп/4 + + 3afc )2(1 +r2) 2

n e N.

Используя (10), получим из (33) при г Е С+, г Е С(аа,Ла/2):

|Ра(г)| ^ ехр[^4V(га)](^2(|г| + 1/4))3х

2

X

х ехр

+ 1/4))| (3ап)2

|g(an)| |z — йп|2(1 + гП ) 2

^ ^_______

=п (3Лп/4 + + 3afc)2(1 + г2)2

х

(34)

n е N.

*=а V п'

Далее заметим, что если |£ — аа| ^ Ла/2, и |г — аа| = Ла/2, то

|г| < |«| + 1

(35)

и

3|t — an|/5 < |z — an| < 5|t — ап|/3 .

(36)

r

Применяя принцип максимума модуля к аналитической в С+ функции Фа(г) = Е(г)Ра(г), используя неравенства (34), (35), (36) и лемму 1, получим при £ Е С(аа, Ла/2), учитывая, что З£ > Зг/4,

I$n(t)I < max IE(z)IIPn(z)I < exp[K5(V(г») + V(H))]x

|z-а, |=Л"/2

x exp

x МУЗД + 1/4))I 25(San)2 x

Ig(an)I 9It - anI2(1 + гП)3 (ЗТ)

(Sak)2

E

kk=n (3ЛП/4 + 4St + Sak )2(І + r2 ) 3

В силу (34) неравенство (37) справедливо при всех t Е C+. Обозначим

A,,(z) = E----------------~-----------------2 ,

к=П (3Лп/4 + 43z + За*)2(1 + rjj)§

так, что

An(z) — An+1(z) =------------------(——---------------§ , n Е N.

(3Лп/4 + 4Sz + Эап)2(1 + гП) 2

Ясно, что An(z) I 0 при n ^ то, z Е C+. Замечая, что при z Е C+ выполняется неравенство

3Лп/4 + 4Sz + Эап < 4Sz + 7Эап/4 < 4(Sz + Эап) < 4|z — ап| , получим из (37):

|^n(z)| < 16exp[—An(z)][An(z) — An+1(z)]x

exp[MV (rn) + MV (|z|)]|g(V2(|z | + 1/4)) | x |g(an)| .

Воспользовавшись элементарным неравенством t < e* — 1, t ^ 0, при t = An(z) — An+1(z), получим далее

|^n(z)| < exp[K(V(rn) + V(|z|))][exp[—An+1(z)] —

[ A ( )]] |g(V2(|z| + 1/4))| (38)

— exp[— An(z)]]---------------Г~Т^\- .

|g(an)|

Выберем теперь функцию g(z) так, чтобы функция F(z), определяемая рядом (27), принадлежала классу [р(г), то)+. В качестве g(z) возьмем целую функцию вполне регулярного роста при порядке р(г), индикатор которой равен К5 + 1, и нули которой расположены на отрицательной мнимой полуоси Ж_ = {z : Sz < —1}. Так как р(г) - нулевой уточненный порядок, то такая функция может быть выбрана [16].

Вне C 0-множества выполняется асимптотическое равенство [16]:

ln |g(z)| ~ (K5 + 1)V(|z|) .

Поскольку нули функции g(z) расположены на полуоси Ж_, то можно считать, что исключительные круги, образующие C 0-множество, расположены в нижней полуплоскости. Тогда неравенство

ln |g(an)| ^ K5V(rn)

выполняется для всех достаточно больших n. Умножая, если есть необходимость, функцию g(z) на достаточно большое положительное число, можно считать, что это неравенство выполняется для всех натуральных n.

Из (38) тогда получаем для любого натурального N ^ 1:

|E(z)£ Pn(z)| < £ |E(z)Pn(z)| <

п=1 п=1

< exp[K6V(|z|)]{exp[— An+1 (z)] — exp[ A1 (z)]} < exp[KeV(|z|)].

Отсюда следует сходимость ряда (27) на компактах в C+ и принадлежность функции F классу [р(г), то)+. Для принадлежности функции F классу [р(г), то)+ необходимо еще выполнение условия Б.Я. Левина. Заметим, что каноническая функция E принадлежит классу [р(г), то)+. Из результатов работы [16] следует, что вне множества Cn со сколь угодно малой верхней плотностью п > 0 всюду в полуплоскости C+ выполняется неравенство:

tag |E(z)| ^ —MnV(|z|).

Пусть g1(z) - целая функция вполне регулярного роста при порядке р(г), индикатор которой равен 2K5 + Mn + 1. Тогда вне C 0-множества выполняется неравенство:

tag |g1(z)| ^ (2K5 + Mn)V(|z|).

Множество Cn = CnUC0 имеет верхнюю плотность не больше, чем п. Вне Cn справедливо неравенство:

всюду в C+. Функция

tag |g1(z)E(z)| ^ 2K5V(|z|) F1(z) = F (z) + g1(z)E (z)

обладает свойством (6) и вне Cn-множества справедлива оценка:

tag |F1(z)| = log |g1(z)E(z)| +log

1+

F(z)

#1(г )Е (г)

> 2K5V(|г|) + 1о§(1 — 1/е).

Следовательно, функция Е1 принадлежит классу [р(г), то)+. Импликация 2) ^ 1) теоремы 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонтьев А.Ф. Об интерполировании в классе целых функций конечного порядка // Докл. АН СССР. Т. 5. 1948. С. 785-787.

2. Леонтьев А.Ф. Об интерполировании в классе целых функций конечного порядка нормального типа // Докл. АН СССР. Т. 66, № 2. 1949. С. 153-156.

3. Леонтьев А.Ф. К вопросу об интерполяции в классе целых функций конечного порядка // Матем. сб. Т. 4, № 1. 1957. С. 81-96.

4. Лапин Г.П. О целых функциях конечного порядка, принимающих вместе с производными заданные значения в заданных точках // Сиб. мат. журн. Т. 6, № 6. 1965. С. 1267-1281.

5. Фирсакова О.С. Некоторые вопросы интерполирования с помощью целых функций // Докл. АН СССР. Т. 120, № 3. 1958. С. 447-480.

6. Братищев А.В. Об интерполяционной задаче в некоторых классах целых функций // Сиб. мат. журн. Т. 17, № 1. 1976. С. 30-40.

7. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. Кратная интерполяционная задача в пространстве целых функций заданного уточненного порядка // Изв. АН СССР. Сер. мат.Т. 40, № 5. 1976. С. 11021127.

8. Малютин К.Г. Задача кратной интерполяции в полуплоскости в классе аналитических функций конечного порядка и нормального типа // Матем. сб. Т. 184, № 2. 1993. С. 129-144.

9. Трошин Г.Д. Об интерполировании функций, аналитических в угле // Матем. сб. Т. 39(81), № 2. 1956. С. 239-252.

10. Малютин К.Г. Модифицированный метод Джонса для решения задач кратной интерполяции в полуплоскости // Математический форум. Исследования по математическому анализу / отв. ред. Коробейник Ю.Ф. и Кусраев А.Г. Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А. T. 3. 2009. C. 143-164.

11. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. Москва: ГИТТЛ, 1956. 632 с.

12. N.H. Bingham, C.M. Goldie, J.L. Teugels Regular variation. Cambridge university press, Cambridge, London, New-York, New Rochele, Melburn, Sydney, 1987. 516 p.

13. Гришин А.Ф., Малютина Т.И. Об уточненном порядке // Комплексный анализ и математическая физика, Сб. статей, Красноярский госуниверситет, Красноярск. 1998. C. 10-24.

14. A.F. Grishin, T.I. Malyutina General properties of subharmonic functions of finite order in a complex half-plane // Вестн. Харьк. нац. ун-та. Сер. матем., прикл. матем. и механика. № 475. 2000. P. 20-44.

15. Гришин А.Ф. Непрерывность и асимптотическая непрерывность субгармонических функций // Математическая физика, анализ, геометрия. T. 1, № 2. 1994. C. 193—215.

16. Гришин А.Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып. 7. 1968. C. 59 - 84.

Оксана Анатольевна Боженко,

Сумской государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2,

40007, г. Сумы, Украина Константин Геннадьевич Малютин,

Сумской государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2,

40007, г. Сумы, Украина E-mail: malyutinkg@yahoo. com