Научная статья на тему 'Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера'

Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера Текст научной статьи по специальности «Математика»

128
31
Поделиться
Ключевые слова
целые функции / ряды экспонент / индекс конденсации / считающая функция

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гайсин Ахтяр Магазович, Рахматуллина Жанна Геннадьевна

Изучаются наиболее часто используемые в теории целых функций и рядов экспонент характеристики распределения положительных неограниченно возрастающих последовательностей. Доказаны эквивалентные утверждения, интерпретирующие заданную характеристику.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гайсин Ахтяр Магазович, Рахматуллина Жанна Геннадьевна,

We study the characteristics of the distribution of positive indefinitely increasing sequences that are most frequently used in the theory of entire functions and exponential series. We prove the equivalent propositions that interpret the given characteristic.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 2 (2010). С. 27-40.

УДК 517.5

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ЛАКУНАРНЫЕ В СМЫСЛЕ ФЕЙЕРА

А.М. ГАЙСИН, Ж.Г. РАХМАТУЛЛИНА

Аннотация. Изучаются наиболее часто используемые в теории целых функций и рядов экспонент характеристики распределения положительных неограниченно возрастающих последовательностей.

Доказаны эквивалентные утверждения, интерпретирующие заданную характеристику.

Ключевые слова: целые функции, ряды экспонент, индекс конденсации, считающая функция.

1. Введение

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая

n

условию

те і

Е

— < то.

п=1 Рп

В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

те

/ у cnz

n=0

f(z)=y \cnZn

имеет лакуны Фейера, если последовательность Б(/) = {п ^ 1: сп = 0} имеет лакуны Фейера.

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [1]. При некоторых дополнительных условиях на концентрацию последовательности {рп} у соответствующей целой функции появляется ряд других интересных свойств, например, хорошее асимптотическое поведение на вещественной оси (см., например, в [2]).

Здесь будут рассматриваться более общие последовательности Л = {Ап} (0 < Лп | то), удовлетворяющие условию

те

Бл = ^ А- < то . (1)

Ап

п=1

В этом случае будем также говорить, что данная последовательность имеет лакуны Фей-ера.

Отметим ряд фактов, непосредственно связанных с условием (1).

Пусть I — любой отрезок, не параллельный мнимой оси. Для того, чтобы система экспонент Ел = {ел}лел была не полна в С(I), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

A.M. Gaisin, Zh.G. Rakhmatullina, Real Sequences with FejEr Gaps. © ГАйсин А.М., РАХМАТУЛЛИНА Ж.Г. 2010.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00779-а), НШ-3081-2008.1. Поступила 31 марта 2010 г.

условие (1) (если I — отрезок мнимой оси, неполнота системы Ел в С(I) может иметь место и при Бл = то [3]) [4].

Пусть

те

F(s) = ane^s (s = а + it)

n

n=1

— ряд Дирихле, сходящийся во всей комплексной плоскости. Если F ф 0, то из (1) следует, что sup |F(а)| = то [5].

Предположим дополнительно, что

t2

1

( ) dt < то , (3)

где c(t) = max qn, qn = - in ^(Лп)!,

те

g(z) = П і1 - 4). (4)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

л„с*

СЮ 2

х2

л Ап

п=1 п

Справедливы утверждения:

1. Для того, чтобы для любой функции ^ вида (2) при а ^ то вне некоторого исключительного множества Е С нулевой плотности имело место асимптотическое равенство

1пЫр(а) = (1 + о(1)) 1п |^(а)| ,

необходимо [2] и достаточно [6], чтобы выполнялись условия (1) и (3).

2. Пусть выполняется условие (3). Если

^ А-11п -П < то , (5)

П=1

то при а ^ то вне некоторого множества нулевой плотности [6]

1п Ир (а) = (1 + о(1)) Іптіп |^ (а + й)| .

|*|<й

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Здесь Ир(а) = sup |^(а + гі)|.

|*|<ю

Цель статьи — в более простых терминах дать интерпретацию наиболее часто встречающимся в подобных утверждениях характеристикам распределения последовательности

Л.

2. Предварительные сведения

Приведем все основные определения и обозначения, необходимые в дальнейшем.

Пусть Ь — класс всех непрерывных на К+ функций / = /(х) таких, что 0 < /(х) | то при х ^ то (здесь и далее символы | и | означают соответственно возрастание и убывание),

СЮ

W =| ю Є Ь: J ^х) ^х< то| , П=| ю Є W: ^(х) | при х ^ то | .

1

Введем в рассмотрение также множество

Ю

I f Юі (х) х |

Wl = < ю Є W: —— ^х < то , где ю1(х) = ю(х) 1п+ —— > , а+ = тах{0, а}.

[ J х2 ю(х))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В статье наряду с Ш и Ш будут использованы символы Шт и Шгт для обозначения классов неубывающих (не обязательно непрерывных) на К+ функций, для которых конечны соответствующие интегралы (они те же, что и для классов Ш и Шг).

Пусть п(£) — считающая функция последовательности Л (число точек Ап, не превосходящих £). Так что п(£) = ^ 1. Заметим, что данная функция неубывающая и непрерывна

справа. Наряду с п(і) обычно рассматривается и функция

N (і)

п(х)

Зх.

X

Через О = {ш} будем обозначать семейства полуинтервалов ш вида [ а, Ь). Считаем, что длина |ш| каждого полуинтервала ш из О положительна и конечна. Всякая последовательность л = ш (о < Лп | то) порождает целочисленную считающую меру

Пусть — аналогичная мера, порожденная последовательностью М = {^п}

(0 < ^п | то). Тогда включение Л С М означает, что ^д(ш) ^ ^м(ш) для любого ш є О.

Пусть 3 = {ш^-}^=-1 система полуинтервалов ш^-, где ш-і = [0, 1), ш^- = [2^', 2-?+1)

(І ^ 0), ш, = 0 при ^ < -1. Через Л' обозначим какую-нибудь подпоследовательность Л. Для любого Л Є Л' найдется полуинтервал ш& є 3, содержащий Л. Обозначим шк = шк-1 и шк и шк+1 (Л Є шк). Пусть 3' = {шк}ЛеА'. Ясно, что в системе 3' каждый полуинтервал шк может пересекаться не более, чем с четырьмя полуинтервалами из 3'.

Будем говорить, что Л' является /-регулярной подпоследовательностью последовательности Л, если существует функция ш Є такая, что для любого полуинтервала ш Є 3'

Мш) ^ ш(-у)

|^| — длина ^, ^а(^) — число точек Л, попавших в ^.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть д — целая функция экспоненциального типа, определенная формулой (4), которая, очевидно, имеет минимальный тип при порядке единица. Так как д(0) = 1, то согласно известной теореме Йенсена

2п

N (г) = [ Зі = -1 Ап |#(ге^)| ^ 1п Мд (г)

где Мд(г) = тах |#(г)|. Отсюда следует, что п(г) ^ N(ег) = 1п Мд(ег), и (см. также в [7], гл. I, §1.10)

И=г

N(0 = 1іт 1п Мд(г) = 0 .

г^-те г г^-те г г^-те г

Далее, условие (1) равносильно сходимости интеграла [8] (гл. I, §1, следствие из теоремы 1.1.6)

1п Мд (г)

Зг

С

г

г

Так как

К к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ 1 [ йп(0 п(Д) + [ п(^)

ЛК АП = / — = — + у ~ л

А"^к 0 0

то в предположении (1)

к к

п(Д) Г ^ ф _ п(Д) N (Д) Г N (г)

+ У + + у ~ ’

00

пМ йг = / ^ йг = Д, < то.

Г 2 I г*

Таким образом, при условии (1) функции п(г), N (г) и 1п Ыч (г) принадлежат одному классу сходимости [7] (гл. I, §1.7).

В дальнейшем нам понадобится следующая элементарная

Лемма 1. Справедливы утверждения:

( и2 \

1) если |о| ^ 1, то 1п(1 + и2) ^ о? 1п( 1 +—*) для всех и € К;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

( и2 \

2) если |о| ^ 1, то о? 1п( 1 +—^ ^ 1п(1 + и2) для всех и € К;

(X ^ (X

3) функция <^(и) = и 1п — (о > 0) возрастает при 0 < и < —.

и е

Утверждения 1, 2 есть простая переформулировка известного неравенства Бернулли [9]:

а) если х ^ —1 и 0 < а ^ 1, то (1 + х)а ^ 1 + ах;

б) если же а < 0 или а ^ 1, то (1 + х)а ^ 1 + ах.

Третье утверждение проверяется непосредственно.

3. Основные свойства характеристик распределения Пусть Л — последовательность, удовлетворяющая условию Фейера (1). Справедлива

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:

о А

а) Дл,г = ]Т) А-11п — < то;

п=1 п

^ Т / \ 0 п(£), t ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

б) 7л(п) = / ~ЦГ1п Щ то;

00 N (Л t

в) /л^) = / ^у1п ^<то;

00 — (t) t

г) /л(—) = Г —— 1п—— ^ < то, где — (Л = 1п Мд (t).

Данное утверждение не новое (см., например, в [6], [10]). Здесь приведем лишь краткое обоснование импликаций с уточнением некоторых оценок.

1°. Равносильность а и б. Проверяется, что для любого п ^ 1

^п + 1

[ п(^1„ t Лп Ап 1п А™+Л „ч ( 1 1

1п —- ^ = п — -------------------------------------------------------------- - — (п — п 1п п) -------

п

отсюда

ОО ОО / -г ч

/л (n) = Y I" = Y( ^ - г

1 1 \

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

"=1 "=1 4

n" °° с _ 1п n

где c1 = 1, cn =1 — 1п-------- 1 (n ^ 2). Следовательно, /л(п) = $л,г + Y1 -------------• Но

(n 1) "=1

по формуле Стирлинга при больших значениях n

n! = V2nnn"e-V(ra), |0(n) | < —.

’ 1 v л 12n

Отсюда следует, что cn + 1n n = o(1) при n ^ то. Значит,

|/л(п) — $л,г| ^ const 5д < то ,

что означает эквивалентность а и б.

2°. Из г следует в, из в следует б. Действительно, согласно неравенству Йенсена

't'

n^-j ^ N(t) ^ w(t) , w(t) = 1n Mg(t).

е

Значит, учитывая утверждение 3 леммы 1, при t ^ t0 получаем, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

пГ-4) 1п , ^ N(t) 1п ^ — (-) 1п —— .

\е) п( 1 ; N (-) 1 ; —(-)

Отсюда все и следует.

3°. Из б следует в. Так как согласно (7) п(|^ N(t), достаточно доказать сходимость интеграла

СЮ

1 У -2 п(-) У ^У -2 п(-) у

Л1 Л1 ж

Пользуясь определением функции п(-), в [10] показано, что

0 1 t 1 1п -гг

^2 = 721п —й- ^ -+--------— (х ^ А1) .

] -2 п(-) х х

г

Следовательно, учитывая (6), получаем, что

Л ^ Дл + /л(п) < то .

4°. Из в следует г. Для - ^ 0 имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

СЮ

-2

w(t) = 1п^1 _—dn(_).

0

Отсюда, интегрируя по частям и оценивая сверху интеграл, который берется по отрезку [0, 2-], получаем, что

СЮ

—(-) ^ 2N(2-) + 2 / К(х, -) йх = 2N(2-) + 2А ,

2t

где K(_, t) = . Ho

2j t 2j

GO / Л \ сю

OO / n \ OO я

A = Y( J K (X,-) / ^ Y 4j-T J

j=2 2j-1t j=_ 2j-1

_

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

значит,

23 г

1 [ _ А N (21 *)

: 1 Гп(х) :

т(^ ^ 2 V 4^=1 — ^ = 8 V

.7=1 П .7=1

х 41

о

следовательно,

/лм«8 £ !( /

7 = 1 М

/л (то) « 8 V Ц [ 1п-2^- *■

Л( ) " 1=1 21 V/ т2 41т (£)

Отсюда после замены переменной т = 21 £ получим оценку, которую запишем в виде

:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 ( [ N(т) п 21 т

2

1 = 1 2 23

Воспользуемся теперь леммой 1, полагая а = 21. Тогда

/ и2 \

411п^1 + — J ^ 1п(1 + и2) (и ^ 0)

Следовательно,

41 т{27\ ^ ^(Т) ^ N(Т)'

Учитывая (6) и последнюю оценку, из (8) имеем

СЮ

/л(т) ^ 8/л(N) + 81п 2 V 7^7 Дл < то •

1=1

Значит, из б следует в, и все доказано.

Полезным доплнением к теореме 1 является

Теорема 2. Верны утверждения:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Функция т принадлежит Ш (или Шт) тогда и только тогда, когда функция Ат(В£) + С принадлежит Ш (или Шт). Здесь А, В, С — положительные и конечные постоянные. Аналогичное утверждение справедливо и для класса Ш (или Ш1т);

2. Функция т Е Ь принадлежит классу Ш (или Шт) тогда и только тогда, когда

: т(21)

> . < то •

^ 21 1=1

Аналогичное утверждение верно и для класса Ш (или Ш1т);

3. Для любой функции т Е Ь интегралы

: :

Т, . (т(ж) , т.„т . Г Nw(ж) ,

3(т) = —— ^ж, 3(^)= -- — ^ж,

У ж2 ,/ ж2

11

а также интегралы / (т) и / (^) сходятся или расходятся попарно одновременно. Здесь /(—) = 3(—г), —г(ж) = —(ж) 1п+ —(ф Е Ь),

— (ж)

X

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Nw(ж) = J т(^) ^, = шт{£: т(£) ^ 1} .

4. Каждое из условий а-г теоремы 1 эквивалентно утверждению: существует функция т Е Жг такая, что

^л(^-) ^ т(|^|) (з' ^ -1) ,

где ^л(^1) _ число точек Л Е Л из полуинтервала ^, где = [0, 1), ^ = [2^, 21+1) при з ^ 0.

Доказательство. Утверждения 1 и 2 очевидны. В 2 следует только учесть оценки

23+1 2;,'+1

= -2т(-2>) [ % «2 / т|> <й < 212.

21 У £2 У *2 21+1

2-7 27

Предложение 3 есть следствие теоремы 1. Действительно, для любой функции т Е Ь положим ^(£) = [т(£)] ([а] — целая часть числа а). Тогда ^(£) — считающая функция последовательности |^п} (0 < ^га | то), где ^га — корень уравнения т(£) = п. Так как |т(£) — ^(£)| ^ 1, |^ш(£) — ^(£)| ^ 1п —-, то все следует из теоремы 1 и свойства 1 данной теоремы.

Наконец, докажем 4. Пусть, например, выполняется условие б теоремы 1, то есть /л(п) < то. Тогда найдется функция т1 Е Ь такая, что п(£) ^ т1(^) ^ п(£) + 1. Так что /г(т1) < то. Положим т(£) = т1(2^), тогда /г(т) < то, и ^(^-) ^ п(21+1) ^ т(2^) = т(|^|) (|^11 = 21). Ясно, что данная оценка верна для всех ] ^ —1. В силу свойства 3 леммы 1 и утверждения 1 данной теоремы заключаем, что /г(т) < то, то есть т Е Жг.

Обратно, пусть ^л(^1) ^ т(|^11) (з ^ —1), т Е Жг, тогда

т+1 2т+1

т т X Л Г ( \

п(2т) = £ №) « / “(2‘)* = Ь2 / * ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1=1 1=1 1 2

Следовательно, п(2т) ^ с#и(2т+1), с = ^. Значит ( это следует из леммы 1),

2т 2т+1

п(2т) 1п^— ^ (2т+1)1п—ЛТ , ^1Ч .

1 ; п(2т) ^ ; 2сЖад (2т+1)

Так как /(т) < то, то согласно предыдущему свойству /л(п) < то.

Теорема 2 доказана полностью. □

Замечание 1. Введенное выше понятие /-регулярности подпоследовательности Л' С Л

в случае Л' = Л равносильно условиям а-г теоремы 1 и условию 4 теоремы 2. В общем

случае /-регулярность Л' есть более слабое требование, чем каждое из условий а-г и 4.

Пусть М = |^п} (0 < | то) — подпоследовательность всех точек Л, принадлежащих

множеству У ш'к, где ш'к = ^^_1 и^ и^+1, а ^ — тот полуинтервал, который содержит Л. лел'

Тогда последовательность Л' /-регулярна тогда и только тогда, когда последовательность М удовлетворяет условиям а-г теоремы 1 (или условию 4 теоремы 2).

Замечание 2. Условие

1п+ 1п Л„

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3 = > ----- --- < то

^ Лп

п=1

сильнее, чем условие а теоремы 1. Действительно, если 3 < то, то 5л,г < то (условие а). Убедимся в этом.

Имеем 5л,г = Д1 + Д2, где

^1 = ^ ап, ^2 = ^ ап, а„ = Л-11п Лп, /1 = |п: 1 ^ ^ п}, /2 = N \ /1.

гае/1 гае/2 п п

Поскольку 1п ^ 21п 1п Ап при п Є /і, то £і ^ 23 < то. То, что $2 < то, очевидно. Значит,

5л,г < то.

Приведем пример последовательности {Ап}, для которой £л,г < то, но 3 = то. Для этого рассмотрим систему отрезков {Д,-} (^' ^ 1), где

Aj =[2J, 2J + Д, ], Д,

2J

in j, если j = 2n2 ,

aj = ^ j2, если j = 2n2 (n ^ 1)

[а] — целая часть а. Через {Лп} обозначим последовательность всех натуральных чисел из 11Д;, пронумерованных в порядке возрастания. Тогда

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

з

-П Л^ Г1 / чт I 2п-21пп, если ^ = 2

£ Л-1 in^ < [1+ о(1)]-^ =[1+ o(l)]

л k а,

Afc€Aj

k а, I 2j 2 in j, если j = 2n (n ^ 1)

Значит, Дл,г < то. Но поскольку для j = 2n2 (n ^ 1)

^ Л- 1 in in Лк ^ [1 + o(l)]inj = 1 + o(l), j ^ то Afc€Aj J

то J = ТО.

Во многих вопросах теории функций, в том числе задачах аппроксимации линейными комбинациями экспонент еЛг (Л Е Л) на различных множествах комплексной плоскости, в теории рядов Дирихле особую роль играет бесконечное произведение (произведение Вей-ерштрасса (4))

2

g(z) = Пі1

z

АЙ

П=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

определяющее целую функцию экспоненциального типа. Поэтому изучение поведения данной функции представляет собой актуальную задачу.

Функция д может вести себя очень нерегулярно на вещественной оси, даже если выполняется условие (1) (по этому поводу см. в [11]). Поведение д зависит не только от функций п(г) и N (г), но и от других величин распределения Л, учитывающих как концентрацию, так и взаимное расположение (сближаемость) точек последовательности Л. Одной из таких величин является так называемый индекс конденсации

1

б = iim — in

n^rc> Л„

#/(Лп)

Заметим, что

б = urn с(Лй)

Лп

где с = c(t) — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности }, где = — ln |g(Лп)|, то есть c(t) = max qn. Ясно, что функция c(t) непрерывна справа. В

An

зависимости от того, к какому классу монотонных на R+ функций принадлежит данная функция, можно судить о степени сгущаемости, а также о скорости взаимной сближаемо-сти точек Л Е Л.

Предположим, что с Е Wm, то есть

СЮ

Г c(t)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

—— dt < то .

J t2

i

Выясним, в каких более простых терминах можно интерпретировать данное условие.

■ j ~

2 / А 2 \

Так как ^'(Ага) = П (1 - т|), то

АП ^ А& '

1 ^п —1 ^ ^п і=п

1п |^/(Ага)| = ^ 1п 1 АТ + X/ 1п^ + Т^) +

Аі

Ап

1 ^п —^і 1 ^ ^п і=п

+ ^ 1п

1 Ап —Аг1 >Ап

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аі

-, АП

1 - а2

22

+ 1п — = /і + /2 + /з + 1п — . (9)

Ап

Имеем

2Ап

І2 = I 1п^1 + ^п(і) = п(2А„) 1п 3 + А,

0

СЮ

2Ап

з + А ' п(і)

2+ "і і(і + А„)

0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/з = [ 1п^1 - ^ ^п(і) = п(2А„) 1п 4 - 2А!

2

п(і)

2Ап

3 і(і2 - АП)

2Ап

Далее, как показано в [12] (см. также [13]

Ап

^(Лга; £)

Ап

где ^(Лга; £) — число точек Л^ = Лп из отрезка {Л,: |Л — Лп| ^ £}. Следовательно,

-и(Ап) - / м(А"; г) Л С /і + /2 + /з С (2А„) - / м(А"' Л

10)

где

и (х) = 2х2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т(і)

і(і2 - х2)

^і (х > 0),

а т(£) — непрерывная и возрастающая на К+ функция, линейная на отрезках [0,Л1], [Лп, Лга+1 ] (п ^ 1), причем т(0) = 0, т(Лп) = п (п ^ 1), |т(£) — п(£)| ^ 1.

Из условия (1) следует, что (это проверяется непосредственно)

и (ж)

^х < оо.

ж2

Таким образом, из (9), (10) получаем, что

1п

2/(Ап)

^(Ага> і)

С 1п 2 + 1п Ага + 2Ж(2Ап) + и(Ага).

Функция и на К+ возрастает. Действительно, после замены £ = тх получим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

СЮ

7-7-/ N 0 Г т(тх) ,

^<Х) = ^ т(т2 — 1) Йт'

Осталось учесть возрастание функции <^(х) = т(тх).

1

і

Таким образом, видим, что если выполняется условие (1), то найдется функция ,ш Е Ш такая, что

Лп

ln

1

g'(An)

dt

t

Тем самым доказана

Теорема 3. Пусть последовательность Л удовлетворяет условию (1).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для того, чтобы выполнялось условие (3), необходимо и достаточно, чтобы

ЛП

I(Л„) = [ <Й < Ф"(Л„) (п > 1), (11)

0

где ф — некоторая функция из Ш.

Следствие 1. Если выполняется условие (11), то справедливы оценки:

1°• ^ Лгае-^(Лп) (п ^ 1), где Л,га = шт |ЛП — Л^ |;

2°. ^(A„; ^(A„)) (n > 1)

^(An)

ln

^(Ап)

Для того, чтобы убедиться в справедливости оценок 1°, 2°, заметим, что

Лп

I(Л,,) = I А.

НП

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Так как ^(Лга; *) ^ 1 при * ^ Л,га, то отсюда имеем оценку 1п —- ^ ф(Лп), то есть

К

^ Лгае-^(Лп) (п ^ 1). Далее, при ф(Л,) ^ Л.га

ЛП

I(Л-) ^ / ^(Л-’ ^ ^ ^ ^(Л„; ф(Л-))1п Л- (п ^ 1).

] * Ф(Лп)

^(Лп)

Поскольку ^(Лга; ф(Л,)) = 0 при ф(Лп) < Л.га, то все доказано.

Приведем примеры последовательностей Л, для которых реализуются условия (1) и (3). Предварительно введем следующее

Определение 1. Последовательность {pn} (pn Е N) называется интерполяционной, если найдется функция w Е П, зависящая только от последовательности {pn}, такая, что для любой последовательности {bn} комплексных чисел, |bn| ^ 1, существует целая функция экспоненциального типа <^(z), обладающая свойствами [14]:

^(pn) = bn (n ^ 1), M^(r) = max |^(z)| ^ ew(r).

|z|<r

Примерами интерполяционных последовательностей являются следующие последовательности {pn} [14]:

n ^ 1

1. Павлова А. И.: — [ , — < то;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

pn n=1 pn

2. Ковари Т.: pn ^ cn ln n (lnln n)2+n , c > 0 , n > 0 , n ^ ee .

В статье [15] доказан следующий критерий: для того, чтобы последовательность {рп} была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция ,ш Е П

такая, что:

а) п(і) ^ ад (і); б) — 1п П

^2^ ^рк ^2рп

Рк =Рп

1 — Р2

Рк

Здесь п(*) — считающая функция последовательности {рп}, то есть п(*) = 1.

Рп^

Естественное обобщение этого понятия на произвольные последовательности Л = {Лп} (0 < Лп | то) дано в статье [16]. Ряд эквивалентных к а условий доказан в [17].

Лемма 2. Интерполяционные в смысле Коревара -Диксона последовательности {рп} (рп Е К) удовлетворяют условиям (1), (3).

Докажем лемму 2. Так как w Е П, то (1) следует из условия а критерия интерполяци-онности.

Проверим условие (3). Имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2т-т1. рГ

= р— П11

Рп гг1 Рк

П|1 — Рг- П |1

Рк Ед" Рк=Рп

Рк

РкЛАп

Р2

гг

Рк

где Дп = [р1-, 2рп]. Учитывая условие б, получаем

1

#/(Рп)

Если обозначить Д(г) = [2, 2г], то

П

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рк/Д(г)

Р2е^(Рп) ^ |і

Рк£ Ап

Р2 -1 гг

Рк

;і2)

1--------2

Рк

* П|1

Рк>2г

Рк

в

причем

СО

1п В = J 1п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 -

йп(і)

п(і) 1п(1 — ^)

- 2г2

п(і)

і(і2 — Г2)

п(і)

і(і2 — Г2)

(подстановка положительна). В последнем интеграле сделаем замену * = гх. Тогда получаем

СЮ СЮ

п(гх) ^х 8 [ п(гх)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1п В > —2 / ^ —

У х(х2 — 1) 3 ^ X3

22

йх.

Из условия а имеем: п(гх) ^ ад(гх). Значит,

1п В > — ? / Цт-х) йх

3 У х3 2

но ад Е П, следовательно, для всех г ^ Л > 1

ад(гх) ад(г)

гх

2

2

Г

2

СЮ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Г

Значит, ад(гх) < хад(г), и для г ^ К

8 [ йх 4

1п В ^ — ад(г) / — = —-ад(г). з .їх 3

Таким образом, из (12), (13) для всех рп ^ Л получаем

< е1п Рп +ад(Рп) + 3™(р„) < е1прп+3ад(рп)

^'(р-)

Следовательно, с(*) ^ 1п* + 3ад(*), и интеграл (3) сходится. Приведем еще два примера.

21

Пример 1. Пусть До

21 -

— отрезок ([а] — целая часть а), Л = {Лп} —

возрастающая последовательность всех натуральных чисел, попавших в У До-. Так как

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А-1 = (1 + о(1)) 2 • , 3

^ 3 1п 3

то

А-1 = Х/(1 + о(1))3

г=1

1>2

3 1п2 3

< оо.

Покажем, что условие (3) не выполняется. Действительно, полагая ті =

Аг = 21 имеем

2^

і

і

т,-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3 1п2 3

для

Следовательно, при 3 ^ 30

Отсюда следует, что

1 21

2 3 1п 3

а(21) = 21

где а = а(*) — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности I(2о). Значит, из теоремы 2 получаем, что

а(і)

= оо.

Это означает, что условие (11) не выполнено. Тогда расходимость интеграла (3) вытекает из теоремы 3.

Пример 2. Пусть До-

212 -

21

3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

212

— отрезок ([а] — целая часть а), а Л = {Лп} —

соответствующая последовательность натуральных чисел (см. пример 1). Поскольку для

61 = 21

21

>

61 -1

:і4)

1

Лп Є Аj

1

то условие а критерия интерполяционности не выполнено. Действительно, для любой функции w Е П

г г

ад(г) , ад(г) С Г ад(Ь) , . .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

—^1п г = 2^^/ — ^ 2/—^ <И = о(1) , г ^оо . г г . Ь I Ь2

Значит, в силу (14), оценка п(Ь) ^ ад(Ь) ни при какой функции ад Е П невозможна.

Убедимся, что тем не менее условие (3) выполнено. Для этого сначала заметим, что ряд (1) сходится. Более того,

А-11п — < сю .

^ п

П

Поэтому достаточно проверить условие (11) (теорема 3). Имеем

^(Ап) Ап

/(А„)= у ^Ап^) ^ + I ^(Ап Ь) ^ = А + В.

1 п(Ап)

Учитывая оценки ^(Ага; Ь) ^ Ь (Ап Е М), ^(Ага; Ь) ^ п(2Ап) в первом и втором интегралах соответственно, получаем, что

А ^ п(Ап), В ^ п(2Ага) 1п .Ага .

п(Ага)

Следовательно,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

I(Ап) ^ 2 п(2Ага) 1п Ап (п ^ по).

п(Ап)

Но из сходимости ряда (5) следует, что (теорема 1)

СЮ

[ п(Ь) , Ь ,

—— 1п —— < сю .

У Ь2 п(Ь)

1

Значит, найдется функция w Е Ж такая, что I(Ап) ^ ад(Ага) (п ^ 1).

Таким образом, приведен пример неинтерполяционной последовательности, удовлетворяющей условиям (3), (5) (тем более условию (1)).

Примеры, на наш взгляд, иллюстрируют, насколько эффективна характеристика плотности распределения точек Л

Ап

I (Ап) = 1 <Й

о

для проверки неочевидного условия

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у ь2

1

С(Ь)

< сю

Преимуществом характеристики I(Ап) является то, что она сформулирована в терминах считающей меры последовательности Л.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. L. Fejer Uber die Wurzel vom kleinsten absoluten Betraqe einer alqebraischen Cleichunq // Math. Ann. 1924. P. 413-423.

2. Гайсин А.М. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Матем. сб. 2003. Т. 194, № 8. С. 55-82.

3. Гайсин А.М. Оценка ряда Дирихле, показатели которого — нули целой функции с нерегулярным поведением // Матем. сб. 1994. Т. 185, № 2. С. 33-56.

4. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 с.

5. Евграфов М.А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле // УМН. 1962. Т. 17, № 3(105). C. 169-175.

6. Гайсин А.М. Об одной теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 501-516.

7. Хейман У.К. Мероморфные функции. М.: Мир, 1966. 286 с.

8. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

9. Коровкин П.П. Неравенства. М.: Наука, 1983. 72 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

10. I. Cioranescu, L. Zsido A minimum modulus theorem and applications to ultra differential operators // Arkiv for matematik. 1979. V. 17, № 1. P. 153-166.

11. Кацнельсон В.Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функц. анализ и его прил. 1976. Т. 10, № 4. С. 35-44.

12. Красичков И.Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка // Сиб. матем. журн. 1965. Т. 6, № 4. С. 840-861.

13. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

14. J. Korevaar, M. Dixon Interpolation, strongly nonspanninq powers and Macintyre exponents //

Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 1978. V. 40, № 2. P. 243-258.

15. B. Berndtsson A note on Pavlov — Korevaar — Dixon interpolation // Nederl. Akad. Wet. Indag. Math. 1978. V. 40, № 4. P. 409-414.

16. Гайсин А.М. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых // Исследования по теории приближений. Уфа, БНЦ УрО АН СССР. 1989. С. 3-15.

17. Гайсин А.М. Условие Левинсона в теории целых функций. Эквивалентные утверждения // Матем. заметки. 2008. Т. 83, № 3. С. 350-360.

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: gaisinam@mail.ru

Жанна Геннадьевна Рахматуллина,

Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: rakhzha@gmail.com

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.