Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 2 (2010). С. 27-40.

УДК 517.5

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ЛАКУНАРНЫЕ В СМЫСЛЕ ФЕЙЕРА

А.М. ГАЙСИН, Ж.Г. РАХМАТУЛЛИНА

Аннотация. Изучаются наиболее часто используемые в теории целых функций и рядов экспонент характеристики распределения положительных неограниченно возрастающих последовательностей.

Доказаны эквивалентные утверждения, интерпретирующие заданную характеристику.

Ключевые слова: целые функции, ряды экспонент, индекс конденсации, считающая функция.

1. Введение

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая

n

условию

те і

Е

— < то.

п=1 Рп

В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция

те

/ у cnz

n=0

f(z)=y \cnZn

имеет лакуны Фейера, если последовательность Б(/) = {п ^ 1: сп = 0} имеет лакуны Фейера.

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [1]. При некоторых дополнительных условиях на концентрацию последовательности {рп} у соответствующей целой функции появляется ряд других интересных свойств, например, хорошее асимптотическое поведение на вещественной оси (см., например, в [2]).

Здесь будут рассматриваться более общие последовательности Л = {Ап} (0 < Лп | то), удовлетворяющие условию

те

Бл = ^ А- < то . (1)

Ап

п=1

В этом случае будем также говорить, что данная последовательность имеет лакуны Фей-ера.

Отметим ряд фактов, непосредственно связанных с условием (1).

Пусть I — любой отрезок, не параллельный мнимой оси. Для того, чтобы система экспонент Ел = {ел}лел была не полна в С(I), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

A.M. Gaisin, Zh.G. Rakhmatullina, Real Sequences with FejEr Gaps. © ГАйсин А.М., РАХМАТУЛЛИНА Ж.Г. 2010.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00779-а), НШ-3081-2008.1. Поступила 31 марта 2010 г.

условие (1) (если I — отрезок мнимой оси, неполнота системы Ел в С(I) может иметь место и при Бл = то [3]) [4].

Пусть

те

F(s) = ane^s (s = а + it)

n

n=1

— ряд Дирихле, сходящийся во всей комплексной плоскости. Если F ф 0, то из (1) следует, что sup |F(а)| = то [5].

Предположим дополнительно, что

t2

1

( ) dt < то , (3)

где c(t) = max qn, qn = - in ^(Лп)!,

те

g(z) = П і1 - 4). (4)

л„с*

СЮ 2

х2

л Ап

п=1 п

Справедливы утверждения:

1. Для того, чтобы для любой функции ^ вида (2) при а ^ то вне некоторого исключительного множества Е С нулевой плотности имело место асимптотическое равенство

1пЫр(а) = (1 + о(1)) 1п |^(а)| ,

необходимо [2] и достаточно [6], чтобы выполнялись условия (1) и (3).

2. Пусть выполняется условие (3). Если

^ А-11п -П < то , (5)

П=1

то при а ^ то вне некоторого множества нулевой плотности [6]

1п Ир (а) = (1 + о(1)) Іптіп |^ (а + й)| .

|*|<й

Здесь Ир(а) = sup |^(а + гі)|.

|*|<ю

Цель статьи — в более простых терминах дать интерпретацию наиболее часто встречающимся в подобных утверждениях характеристикам распределения последовательности

Л.

2. Предварительные сведения

Приведем все основные определения и обозначения, необходимые в дальнейшем.

Пусть Ь — класс всех непрерывных на К+ функций / = /(х) таких, что 0 < /(х) | то при х ^ то (здесь и далее символы | и | означают соответственно возрастание и убывание),

СЮ

W =| ю Є Ь: J ^х) ^х< то| , П=| ю Є W: ^(х) | при х ^ то | .

1

Введем в рассмотрение также множество

Ю

I f Юі (х) х |

Wl = < ю Є W: —— ^х < то , где ю1(х) = ю(х) 1п+ —— > , а+ = тах{0, а}.

[ J х2 ю(х))

В статье наряду с Ш и Ш будут использованы символы Шт и Шгт для обозначения классов неубывающих (не обязательно непрерывных) на К+ функций, для которых конечны соответствующие интегралы (они те же, что и для классов Ш и Шг).

Пусть п(£) — считающая функция последовательности Л (число точек Ап, не превосходящих £). Так что п(£) = ^ 1. Заметим, что данная функция неубывающая и непрерывна

справа. Наряду с п(і) обычно рассматривается и функция

N (і)

п(х)

Зх.

X

Через О = {ш} будем обозначать семейства полуинтервалов ш вида [ а, Ь). Считаем, что длина |ш| каждого полуинтервала ш из О положительна и конечна. Всякая последовательность л = ш (о < Лп | то) порождает целочисленную считающую меру

Пусть — аналогичная мера, порожденная последовательностью М = {^п}

(0 < ^п | то). Тогда включение Л С М означает, что ^д(ш) ^ ^м(ш) для любого ш є О.

Пусть 3 = {ш^-}^=-1 система полуинтервалов ш^-, где ш-і = [0, 1), ш^- = [2^', 2-?+1)

(І ^ 0), ш, = 0 при ^ < -1. Через Л' обозначим какую-нибудь подпоследовательность Л. Для любого Л Є Л' найдется полуинтервал ш& є 3, содержащий Л. Обозначим шк = шк-1 и шк и шк+1 (Л Є шк). Пусть 3' = {шк}ЛеА'. Ясно, что в системе 3' каждый полуинтервал шк может пересекаться не более, чем с четырьмя полуинтервалами из 3'.

Будем говорить, что Л' является /-регулярной подпоследовательностью последовательности Л, если существует функция ш Є такая, что для любого полуинтервала ш Є 3'

Мш) ^ ш(-у)

|^| — длина ^, ^а(^) — число точек Л, попавших в ^.

Пусть д — целая функция экспоненциального типа, определенная формулой (4), которая, очевидно, имеет минимальный тип при порядке единица. Так как д(0) = 1, то согласно известной теореме Йенсена

2п

N (г) = [ Зі = -1 Ап |#(ге^)| ^ 1п Мд (г)

где Мд(г) = тах |#(г)|. Отсюда следует, что п(г) ^ N(ег) = 1п Мд(ег), и (см. также в [7], гл. I, §1.10)

И=г

N(0 = 1іт 1п Мд(г) = 0 .

г^-те г г^-те г г^-те г

Далее, условие (1) равносильно сходимости интеграла [8] (гл. I, §1, следствие из теоремы 1.1.6)

1п Мд (г)

Зг

С

г

г

Так как

К к

^ 1 [ йп(0 п(Д) + [ п(^)

ЛК АП = / — = — + у ~ л

А"^к 0 0

то в предположении (1)

к к

п(Д) Г ^ ф _ п(Д) N (Д) Г N (г)

+ У + + у ~ ’

00

пМ йг = / ^ йг = Д, < то.

Г 2 I г*

Таким образом, при условии (1) функции п(г), N (г) и 1п Ыч (г) принадлежат одному классу сходимости [7] (гл. I, §1.7).

В дальнейшем нам понадобится следующая элементарная

Лемма 1. Справедливы утверждения:

( и2 \

1) если |о| ^ 1, то 1п(1 + и2) ^ о? 1п( 1 +—*) для всех и € К;

( и2 \

2) если |о| ^ 1, то о? 1п( 1 +—^ ^ 1п(1 + и2) для всех и € К;

(X ^ (X

3) функция <^(и) = и 1п — (о > 0) возрастает при 0 < и < —.

и е

Утверждения 1, 2 есть простая переформулировка известного неравенства Бернулли [9]:

а) если х ^ —1 и 0 < а ^ 1, то (1 + х)а ^ 1 + ах;

б) если же а < 0 или а ^ 1, то (1 + х)а ^ 1 + ах.

Третье утверждение проверяется непосредственно.

3. Основные свойства характеристик распределения Пусть Л — последовательность, удовлетворяющая условию Фейера (1). Справедлива

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:

о А

а) Дл,г = ]Т) А-11п — < то;

п=1 п

^ Т / \ 0 п(£), t ,

б) 7л(п) = / ~ЦГ1п Щ то;

00 N (Л t

в) /л^) = / ^у1п ^<то;

00 — (t) t

г) /л(—) = Г —— 1п—— ^ < то, где — (Л = 1п Мд (t).

Данное утверждение не новое (см., например, в [6], [10]). Здесь приведем лишь краткое обоснование импликаций с уточнением некоторых оценок.

1°. Равносильность а и б. Проверяется, что для любого п ^ 1

^п + 1

[ п(^1„ t Лп Ап 1п А™+Л „ч ( 1 1

1п —- ^ = п — -------------------------------------------------------------- - — (п — п 1п п) -------

п

отсюда

ОО ОО / -г ч

/л (n) = Y I" = Y( ^ - г

1 1 \

"=1 "=1 4

n" °° с _ 1п n

где c1 = 1, cn =1 — 1п-------- 1 (n ^ 2). Следовательно, /л(п) = $л,г + Y1 -------------• Но

(n 1) "=1

по формуле Стирлинга при больших значениях n

n! = V2nnn"e-V(ra), |0(n) | < —.

’ 1 v л 12n

Отсюда следует, что cn + 1n n = o(1) при n ^ то. Значит,

|/л(п) — $л,г| ^ const 5д < то ,

что означает эквивалентность а и б.

2°. Из г следует в, из в следует б. Действительно, согласно неравенству Йенсена

't'

n^-j ^ N(t) ^ w(t) , w(t) = 1n Mg(t).

е

Значит, учитывая утверждение 3 леммы 1, при t ^ t0 получаем, что

пГ-4) 1п , ^ N(t) 1п ^ — (-) 1п —— .

\е) п( 1 ; N (-) 1 ; —(-)

Отсюда все и следует.

3°. Из б следует в. Так как согласно (7) п(|^ N(t), достаточно доказать сходимость интеграла

СЮ

1 У -2 п(-) У ^У -2 п(-) у

Л1 Л1 ж

Пользуясь определением функции п(-), в [10] показано, что

0 1 t 1 1п -гг

^2 = 721п —й- ^ -+--------— (х ^ А1) .

] -2 п(-) х х

г

Следовательно, учитывая (6), получаем, что

Л ^ Дл + /л(п) < то .

4°. Из в следует г. Для - ^ 0 имеем

СЮ

-2

w(t) = 1п^1 _—dn(_).

0

Отсюда, интегрируя по частям и оценивая сверху интеграл, который берется по отрезку [0, 2-], получаем, что

СЮ

—(-) ^ 2N(2-) + 2 / К(х, -) йх = 2N(2-) + 2А ,

2t

где K(_, t) = . Ho

2j t 2j

GO / Л \ сю

OO / n \ OO я

A = Y( J K (X,-) / ^ Y 4j-T J

j=2 2j-1t j=_ 2j-1

_

значит,

23 г

1 [ _ А N (21 *)

: 1 Гп(х) :

т(^ ^ 2 V 4^=1 — ^ = 8 V

.7=1 П .7=1

х 41

о

следовательно,

/лм«8 £ !( /

7 = 1 М

/л (то) « 8 V Ц [ 1п-2^- *■

Л( ) " 1=1 21 V/ т2 41т (£)

Отсюда после замены переменной т = 21 £ получим оценку, которую запишем в виде

:

1 ( [ N(т) п 21 т

2

1 = 1 2 23

Воспользуемся теперь леммой 1, полагая а = 21. Тогда

/ и2 \

411п^1 + — J ^ 1п(1 + и2) (и ^ 0)

Следовательно,

41 т{27\ ^ ^(Т) ^ N(Т)'

Учитывая (6) и последнюю оценку, из (8) имеем

СЮ

/л(т) ^ 8/л(N) + 81п 2 V 7^7 Дл < то •

1=1

Значит, из б следует в, и все доказано.

Полезным доплнением к теореме 1 является

Теорема 2. Верны утверждения:

1. Функция т принадлежит Ш (или Шт) тогда и только тогда, когда функция Ат(В£) + С принадлежит Ш (или Шт). Здесь А, В, С — положительные и конечные постоянные. Аналогичное утверждение справедливо и для класса Ш (или Ш1т);

2. Функция т Е Ь принадлежит классу Ш (или Шт) тогда и только тогда, когда

: т(21)

> . < то •

^ 21 1=1

Аналогичное утверждение верно и для класса Ш (или Ш1т);

3. Для любой функции т Е Ь интегралы

: :

Т, . (т(ж) , т.„т . Г Nw(ж) ,

3(т) = —— ^ж, 3(^)= -- — ^ж,

У ж2 ,/ ж2

11

а также интегралы / (т) и / (^) сходятся или расходятся попарно одновременно. Здесь /(—) = 3(—г), —г(ж) = —(ж) 1п+ —(ф Е Ь),

— (ж)

X

Nw(ж) = J т(^) ^, = шт{£: т(£) ^ 1} .

4. Каждое из условий а-г теоремы 1 эквивалентно утверждению: существует функция т Е Жг такая, что

^л(^-) ^ т(|^|) (з' ^ -1) ,

где ^л(^1) _ число точек Л Е Л из полуинтервала ^, где = [0, 1), ^ = [2^, 21+1) при з ^ 0.

Доказательство. Утверждения 1 и 2 очевидны. В 2 следует только учесть оценки

23+1 2;,'+1

= -2т(-2>) [ % «2 / т|> <й < 212.

21 У £2 У *2 21+1

2-7 27

Предложение 3 есть следствие теоремы 1. Действительно, для любой функции т Е Ь положим ^(£) = [т(£)] ([а] — целая часть числа а). Тогда ^(£) — считающая функция последовательности |^п} (0 < ^га | то), где ^га — корень уравнения т(£) = п. Так как |т(£) — ^(£)| ^ 1, |^ш(£) — ^(£)| ^ 1п —-, то все следует из теоремы 1 и свойства 1 данной теоремы.

Наконец, докажем 4. Пусть, например, выполняется условие б теоремы 1, то есть /л(п) < то. Тогда найдется функция т1 Е Ь такая, что п(£) ^ т1(^) ^ п(£) + 1. Так что /г(т1) < то. Положим т(£) = т1(2^), тогда /г(т) < то, и ^(^-) ^ п(21+1) ^ т(2^) = т(|^|) (|^11 = 21). Ясно, что данная оценка верна для всех ] ^ —1. В силу свойства 3 леммы 1 и утверждения 1 данной теоремы заключаем, что /г(т) < то, то есть т Е Жг.

Обратно, пусть ^л(^1) ^ т(|^11) (з ^ —1), т Е Жг, тогда

т+1 2т+1

т т X Л Г ( \

п(2т) = £ №) « / “(2‘)* = Ь2 / * ^

1=1 1=1 1 2

Следовательно, п(2т) ^ с#и(2т+1), с = ^. Значит ( это следует из леммы 1),

2т 2т+1

п(2т) 1п^— ^ (2т+1)1п—ЛТ , ^1Ч .

1 ; п(2т) ^ ; 2сЖад (2т+1)

Так как /(т) < то, то согласно предыдущему свойству /л(п) < то.

Теорема 2 доказана полностью. □

Замечание 1. Введенное выше понятие /-регулярности подпоследовательности Л' С Л

в случае Л' = Л равносильно условиям а-г теоремы 1 и условию 4 теоремы 2. В общем

случае /-регулярность Л' есть более слабое требование, чем каждое из условий а-г и 4.

Пусть М = |^п} (0 < | то) — подпоследовательность всех точек Л, принадлежащих

множеству У ш'к, где ш'к = ^^_1 и^ и^+1, а ^ — тот полуинтервал, который содержит Л. лел'

Тогда последовательность Л' /-регулярна тогда и только тогда, когда последовательность М удовлетворяет условиям а-г теоремы 1 (или условию 4 теоремы 2).

Замечание 2. Условие

1п+ 1п Л„

3 = > ----- --- < то

^ Лп

п=1

сильнее, чем условие а теоремы 1. Действительно, если 3 < то, то 5л,г < то (условие а). Убедимся в этом.

Имеем 5л,г = Д1 + Д2, где

^1 = ^ ап, ^2 = ^ ап, а„ = Л-11п Лп, /1 = |п: 1 ^ ^ п}, /2 = N \ /1.

гае/1 гае/2 п п

Поскольку 1п ^ 21п 1п Ап при п Є /і, то £і ^ 23 < то. То, что $2 < то, очевидно. Значит,

5л,г < то.

Приведем пример последовательности {Ап}, для которой £л,г < то, но 3 = то. Для этого рассмотрим систему отрезков {Д,-} (^' ^ 1), где

Aj =[2J, 2J + Д, ], Д,

2J

in j, если j = 2n2 ,

aj = ^ j2, если j = 2n2 (n ^ 1)

[а] — целая часть а. Через {Лп} обозначим последовательность всех натуральных чисел из 11Д;, пронумерованных в порядке возрастания. Тогда

з

-П Л^ Г1 / чт I 2п-21пп, если ^ = 2

£ Л-1 in^ < [1+ о(1)]-^ =[1+ o(l)]

л k а,

Afc€Aj

k а, I 2j 2 in j, если j = 2n (n ^ 1)

Значит, Дл,г < то. Но поскольку для j = 2n2 (n ^ 1)

^ Л- 1 in in Лк ^ [1 + o(l)]inj = 1 + o(l), j ^ то Afc€Aj J

то J = ТО.

Во многих вопросах теории функций, в том числе задачах аппроксимации линейными комбинациями экспонент еЛг (Л Е Л) на различных множествах комплексной плоскости, в теории рядов Дирихле особую роль играет бесконечное произведение (произведение Вей-ерштрасса (4))

2

g(z) = Пі1

z

АЙ

П=1

определяющее целую функцию экспоненциального типа. Поэтому изучение поведения данной функции представляет собой актуальную задачу.

Функция д может вести себя очень нерегулярно на вещественной оси, даже если выполняется условие (1) (по этому поводу см. в [11]). Поведение д зависит не только от функций п(г) и N (г), но и от других величин распределения Л, учитывающих как концентрацию, так и взаимное расположение (сближаемость) точек последовательности Л. Одной из таких величин является так называемый индекс конденсации

1

б = iim — in

n^rc> Л„

#/(Лп)

Заметим, что

б = urn с(Лй)

Лп

где с = c(t) — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности }, где = — ln |g(Лп)|, то есть c(t) = max qn. Ясно, что функция c(t) непрерывна справа. В

An

зависимости от того, к какому классу монотонных на R+ функций принадлежит данная функция, можно судить о степени сгущаемости, а также о скорости взаимной сближаемо-сти точек Л Е Л.

Предположим, что с Е Wm, то есть

СЮ

Г c(t)

—— dt < то .

J t2

i

Выясним, в каких более простых терминах можно интерпретировать данное условие.

■ j ~

2 / А 2 \

Так как ^'(Ага) = П (1 - т|), то

АП ^ А& '

1 ^п —1 ^ ^п і=п

1п |^/(Ага)| = ^ 1п 1 АТ + X/ 1п^ + Т^) +

Аі

Ап

1 ^п —^і 1 ^ ^п і=п

+ ^ 1п

1 Ап —Аг1 >Ап

Аі

-, АП

1 - а2

22

+ 1п — = /і + /2 + /з + 1п — . (9)

Ап

Имеем

2Ап

І2 = I 1п^1 + ^п(і) = п(2А„) 1п 3 + А,

0

СЮ

2Ап

з + А ' п(і)

2+ "і і(і + А„)

0

/з = [ 1п^1 - ^ ^п(і) = п(2А„) 1п 4 - 2А!

2

п(і)

2Ап

3 і(і2 - АП)

2Ап

Далее, как показано в [12] (см. также [13]

Ап

^(Лга; £)

Ап

где ^(Лга; £) — число точек Л^ = Лп из отрезка {Л,: |Л — Лп| ^ £}. Следовательно,

-и(Ап) - / м(А"; г) Л С /і + /2 + /з С (2А„) - / м(А"' Л

10)

где

и (х) = 2х2

т(і)

2ж

і(і2 - х2)

^і (х > 0),

а т(£) — непрерывная и возрастающая на К+ функция, линейная на отрезках [0,Л1], [Лп, Лга+1 ] (п ^ 1), причем т(0) = 0, т(Лп) = п (п ^ 1), |т(£) — п(£)| ^ 1.

Из условия (1) следует, что (это проверяется непосредственно)

и (ж)

^х < оо.

ж2

Таким образом, из (9), (10) получаем, что

1п

2/(Ап)

^(Ага> і)

С 1п 2 + 1п Ага + 2Ж(2Ап) + и(Ага).

Функция и на К+ возрастает. Действительно, после замены £ = тх получим

СЮ

7-7-/ N 0 Г т(тх) ,

^<Х) = ^ т(т2 — 1) Йт'

Осталось учесть возрастание функции <^(х) = т(тх).

1

і

Таким образом, видим, что если выполняется условие (1), то найдется функция ,ш Е Ш такая, что

Лп

ln

1

g'(An)

dt

t

Тем самым доказана

Теорема 3. Пусть последовательность Л удовлетворяет условию (1).

Для того, чтобы выполнялось условие (3), необходимо и достаточно, чтобы

ЛП

I(Л„) = [ <Й < Ф"(Л„) (п > 1), (11)

0

где ф — некоторая функция из Ш.

Следствие 1. Если выполняется условие (11), то справедливы оценки:

1°• ^ Лгае-^(Лп) (п ^ 1), где Л,га = шт |ЛП — Л^ |;

2°. ^(A„; ^(A„)) (n > 1)

^(An)

ln

^(Ап)

Для того, чтобы убедиться в справедливости оценок 1°, 2°, заметим, что

Лп

I(Л,,) = I А.

НП

Так как ^(Лга; *) ^ 1 при * ^ Л,га, то отсюда имеем оценку 1п —- ^ ф(Лп), то есть

К

^ Лгае-^(Лп) (п ^ 1). Далее, при ф(Л,) ^ Л.га

ЛП

I(Л-) ^ / ^(Л-’ ^ ^ ^ ^(Л„; ф(Л-))1п Л- (п ^ 1).

] * Ф(Лп)

^(Лп)

Поскольку ^(Лга; ф(Л,)) = 0 при ф(Лп) < Л.га, то все доказано.

Приведем примеры последовательностей Л, для которых реализуются условия (1) и (3). Предварительно введем следующее

Определение 1. Последовательность {pn} (pn Е N) называется интерполяционной, если найдется функция w Е П, зависящая только от последовательности {pn}, такая, что для любой последовательности {bn} комплексных чисел, |bn| ^ 1, существует целая функция экспоненциального типа <^(z), обладающая свойствами [14]:

^(pn) = bn (n ^ 1), M^(r) = max |^(z)| ^ ew(r).

|z|<r

Примерами интерполяционных последовательностей являются следующие последовательности {pn} [14]:

n ^ 1

1. Павлова А. И.: — [ , — < то;

pn n=1 pn

2. Ковари Т.: pn ^ cn ln n (lnln n)2+n , c > 0 , n > 0 , n ^ ee .

В статье [15] доказан следующий критерий: для того, чтобы последовательность {рп} была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция ,ш Е П

такая, что:

а) п(і) ^ ад (і); б) — 1п П

^2^ ^рк ^2рп

Рк =Рп

1 — Р2

Рк

Здесь п(*) — считающая функция последовательности {рп}, то есть п(*) = 1.

Рп^

Естественное обобщение этого понятия на произвольные последовательности Л = {Лп} (0 < Лп | то) дано в статье [16]. Ряд эквивалентных к а условий доказан в [17].

Лемма 2. Интерполяционные в смысле Коревара -Диксона последовательности {рп} (рп Е К) удовлетворяют условиям (1), (3).

Докажем лемму 2. Так как w Е П, то (1) следует из условия а критерия интерполяци-онности.

Проверим условие (3). Имеем

2т-т1. рГ

= р— П11

Рп гг1 Рк

П|1 — Рг- П |1

Рк Ед" Рк=Рп

Рк

РкЛАп

Р2

гг

Рк

где Дп = [р1-, 2рп]. Учитывая условие б, получаем

1

#/(Рп)

Если обозначить Д(г) = [2, 2г], то

П

Рк/Д(г)

Р2е^(Рп) ^ |і

Рк£ Ап

Р2 -1 гг

Рк

;і2)

1--------2

Рк

* П|1

Рк>2г

Рк

в

причем

СО

1п В = J 1п

2г

1 -

йп(і)

п(і) 1п(1 — ^)

- 2г2

п(і)

2г

2г

і(і2 — Г2)

п(і)

2г

і(і2 — Г2)

(подстановка положительна). В последнем интеграле сделаем замену * = гх. Тогда получаем

СЮ СЮ

п(гх) ^х 8 [ п(гх)

1п В > —2 / ^ —

У х(х2 — 1) 3 ^ X3

22

йх.

Из условия а имеем: п(гх) ^ ад(гх). Значит,

1п В > — ? / Цт-х) йх

3 У х3 2

но ад Е П, следовательно, для всех г ^ Л > 1

ад(гх) ад(г)

гх

2

2

Г

2

СЮ

Г

Значит, ад(гх) < хад(г), и для г ^ К

8 [ йх 4

1п В ^ — ад(г) / — = —-ад(г). з .їх 3

Таким образом, из (12), (13) для всех рп ^ Л получаем

< е1п Рп +ад(Рп) + 3™(р„) < е1прп+3ад(рп)

^'(р-)

Следовательно, с(*) ^ 1п* + 3ад(*), и интеграл (3) сходится. Приведем еще два примера.

21

Пример 1. Пусть До

21 -

2і

— отрезок ([а] — целая часть а), Л = {Лп} —

возрастающая последовательность всех натуральных чисел, попавших в У До-. Так как

1

А-1 = (1 + о(1)) 2 • , 3

^ 3 1п 3

то

А-1 = Х/(1 + о(1))3

г=1

1>2

3 1п2 3

< оо.

Покажем, что условие (3) не выполняется. Действительно, полагая ті =

Аг = 21 имеем

2^

і

і

т,-

2і

3 1п2 3

для

Следовательно, при 3 ^ 30

Отсюда следует, что

1 21

2 3 1п 3

а(21) = 21

где а = а(*) — наименьшая неубывающая мажоранта последовательности I(2о). Значит, из теоремы 2 получаем, что

а(і)

= оо.

Это означает, что условие (11) не выполнено. Тогда расходимость интеграла (3) вытекает из теоремы 3.

Пример 2. Пусть До-

212 -

21

3

2

212

— отрезок ([а] — целая часть а), а Л = {Лп} —

соответствующая последовательность натуральных чисел (см. пример 1). Поскольку для

61 = 21

21

>

61 -1

:і4)

1

Лп Є Аj

1

то условие а критерия интерполяционности не выполнено. Действительно, для любой функции w Е П

г г

ад(г) , ад(г) С Г ад(Ь) , . .

—^1п г = 2^^/ — ^ 2/—^ <И = о(1) , г ^оо . г г . Ь I Ь2

/г

Значит, в силу (14), оценка п(Ь) ^ ад(Ь) ни при какой функции ад Е П невозможна.

Убедимся, что тем не менее условие (3) выполнено. Для этого сначала заметим, что ряд (1) сходится. Более того,

А-11п — < сю .

^ п

П

Поэтому достаточно проверить условие (11) (теорема 3). Имеем

^(Ап) Ап

/(А„)= у ^Ап^) ^ + I ^(Ап Ь) ^ = А + В.

1 п(Ап)

Учитывая оценки ^(Ага; Ь) ^ Ь (Ап Е М), ^(Ага; Ь) ^ п(2Ап) в первом и втором интегралах соответственно, получаем, что

А ^ п(Ап), В ^ п(2Ага) 1п .Ага .

п(Ага)

Следовательно,

I(Ап) ^ 2 п(2Ага) 1п Ап (п ^ по).

п(Ап)

Но из сходимости ряда (5) следует, что (теорема 1)

СЮ

[ п(Ь) , Ь ,

—— 1п —— < сю .

У Ь2 п(Ь)

1

Значит, найдется функция w Е Ж такая, что I(Ап) ^ ад(Ага) (п ^ 1).

Таким образом, приведен пример неинтерполяционной последовательности, удовлетворяющей условиям (3), (5) (тем более условию (1)).

Примеры, на наш взгляд, иллюстрируют, насколько эффективна характеристика плотности распределения точек Л

Ап

I (Ап) = 1 <Й

о

для проверки неочевидного условия

у ь2

1

С(Ь)

< сю

Преимуществом характеристики I(Ап) является то, что она сформулирована в терминах считающей меры последовательности Л.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. L. Fejer Uber die Wurzel vom kleinsten absoluten Betraqe einer alqebraischen Cleichunq // Math. Ann. 1924. P. 413-423.

2. Гайсин А.М. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Матем. сб. 2003. Т. 194, № 8. С. 55-82.

3. Гайсин А.М. Оценка ряда Дирихле, показатели которого — нули целой функции с нерегулярным поведением // Матем. сб. 1994. Т. 185, № 2. С. 33-56.

4. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 с.

5. Евграфов М.А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле // УМН. 1962. Т. 17, № 3(105). C. 169-175.

6. Гайсин А.М. Об одной теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 501-516.

7. Хейман У.К. Мероморфные функции. М.: Мир, 1966. 286 с.

8. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

9. Коровкин П.П. Неравенства. М.: Наука, 1983. 72 с.

10. I. Cioranescu, L. Zsido A minimum modulus theorem and applications to ultra differential operators // Arkiv for matematik. 1979. V. 17, № 1. P. 153-166.

11. Кацнельсон В.Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функц. анализ и его прил. 1976. Т. 10, № 4. С. 35-44.

12. Красичков И.Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка // Сиб. матем. журн. 1965. Т. 6, № 4. С. 840-861.

13. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

14. J. Korevaar, M. Dixon Interpolation, strongly nonspanninq powers and Macintyre exponents //

Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 1978. V. 40, № 2. P. 243-258.

15. B. Berndtsson A note on Pavlov — Korevaar — Dixon interpolation // Nederl. Akad. Wet. Indag. Math. 1978. V. 40, № 4. P. 409-414.

16. Гайсин А.М. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых // Исследования по теории приближений. Уфа, БНЦ УрО АН СССР. 1989. С. 3-15.

17. Гайсин А.М. Условие Левинсона в теории целых функций. Эквивалентные утверждения // Матем. заметки. 2008. Т. 83, № 3. С. 350-360.

Ахтяр Магазович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: gaisinam@mail.ru

Жанна Геннадьевна Рахматуллина,

Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: rakhzha@gmail.com