CC BY
24
СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ
УДК 518:517.944
Н. Ю. Агафонова
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В СОСТАВНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ
В [1] было получено интегральное представление решения уравнения Лапласа в составных трехмерных областях. Найдем аналогичное представление для уравнения Пуассона
В прямоугольной системе координат х,у,г рассмотрим в общем случае многосвязную область Q, которая состоит из М подобластей С?1»(?2> >бл/> ограниченных соответственно подобластями Е1,Е2,..,ЕМ. В каждой из подобластей задано уравнение Пуассона
дх2 ду дг2 К где - известные постоянные, а х,у,г) - известные функции.
Область, внешнюю к <2, обозначим через . Границу между подобластями (), и обозначим через Ь'у, индексы I,] могут принимать значения 0,1,2,. М Под А/, будем подразумевать множество тех значений у , которые обозначают номера QJ, граничащих с Ql.
Согласно [2, 3] для решения уравнения (1) в подобласти 0[ имеет место следующее интегральное представление:
- 7] - \\\Е,(х,у,2)Ыд, (2)
Е, "П< °П1 0,
которое справедливо для точек (х0 ,у0 ,г0), лежащих внутри области (), или на ограничивающей ее поверхности Е,. Здесь (х0,у0^0) - любая фиксированная точка, ¿Е - элемент поверхности Е,, й/йп, - производная по внешней к подобласти Е, нормали; функция источника 5 имеет вид
5 = 1 /г, г = ^х-х0)2 + (у-у0)2+^-г0)2.
Точка (лг0,_у0,20) может лежать как внутри или вне области (), так и на ее границе. Величина р(х0,у0,г0) равна нулю для точек _у0,г0), лежащих вне (), для внутренних точек р = 4л; на поверхности Е величина р(х0,у0,г0) равна телесному углу, вырезаемому из сферы с центром в точке (*0, уп, г0) поверхностью Е при стремлении радиуса этой сферы к нулю - телесный угол при этом должен измеряться внутри области <2.
Обозначив £'у - границу между подобластями Е, и Е), М, - множество номеров подобластей Е}, фаничатих с подобластью Я,, д/дп^ -производную по нормали к границе Е^, направленную вовне из подобласти Е,, представим (2) в виде
дпч дпЦ <?,
Умножив /-с равенство на величину цД-Хо.-Уо^о) 0 и просуммировав по / от 1 до М , получим
М М зт 35
' = ' i=\jeM, £ °пч "пч
м
/=10,
Так как в этом выражении суммирование по внутренним границам между двумя подобластями Е, и Е] производится дважды: по Е:] и Ер
(здесь J>0), а на границе между Е, и имеет место соотношение
д/дпу = -д/п, перепишем (4) в виде
XЛЙ,7;(х0,>0,20) = X Я (и. Т^-5 - Т^)^7 +
/=1 /=1^с дп,0
+ Х I Я [(М, - ц, - (ц,7; - - (5)
м __
Во многих приложениях [3] на внутренних границах E,J(j > 0) должны выполняться условия вида
Положив в (5) (i, = , получим интегральное представление для решения уравнения Пуассона (1) в составной трехмерной области Q, удовлетворяющее условиям (6),
M M ЭТ' 3S
,=1 ,=\Е. дпю дп, о
(7)
M as M v '
+ IZÎÎ K*/ - M^zr^' -Ijffx,
-=1уеЛ/,£. ôn,, /=10,
здесь принято /'(jc, y, z) = 7} (x, y, z), если точка (x, y, z) принадлежит подобласти (2, > функция T(x,y,z) непрерывна во всей составной области благодаря граничному условию (6).
Если точка (x0, v0,z0) лежит внутри подобласти Qk, то из (7) получаем
Л/ Д7' ДХ
4пГ(х0,у0>го) = X JJ (X, f-ô - X,T^°~)dE +
M дх А/
l=ljeM, EtJ ônij i=l g,
Из формулы (5) можно получить и другое интегральное представление для решения уравнений Пуассона (1) с граничными условиями (6). Положив в (5) ц, = 1 для всех значений ;, с учетом траничных условий получаем
Т(Ч, Уо, )£ А (*о • Уо > z0 ) = Z Я (т^ 5 - 7' +
.=!£„ дпю дп,•„
(8)
Л/ ЯТ дТ м w
i=ljeM, EtJ °nij cn'J '=10,
В этой формуле решение выражено через скачки производных по нормали на внутренних границах. Таким образом, доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Если функции 7](x,y,z) удовлетворяют уравнениям Пуассона (1) и условиям (6) на границах между подобластями Q\,Qi,-.,QM составной области Q, то имеют место интегральные представления (7), (8).
При помощи полученных интегральных представлений, аналогично [4, 5], краевые задачи для составных трехмерных тел могут быть сведены к интегральным уравнениям.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Агафонова НЮ., Михайлов В.Н Интегральные представления уравнения Лапласа в составных трехмерных областях // Математика, механика, математическая кибернетика. Сб науч тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1999 С. 7-10
2 Тихонов А Н, Самарский А А Уравнения математической физики М : Наука,
1972.
3 Федик ИИ, Колесов B.C., Михайлов В.Н Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах М. Энергоатомиздат, 1985.
4 Ьоб;тк А.И., Михайлов В Н. Решение некоторых задач для уравнения Пуассона с граничными условиями IV рода // ЖВММФ 1974 Т. 14.1. С. 126-134
5 Аккуратов Ю Н., Михайлов В.Н Решение нелинейных стационарных задач теплопроводности с граничными условиями I - IV рода//ЖВММФ 1984 Т. 24, № 12. С. 1819-1826
УДК 517.977
FL Л. Андреева
О ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ДВУМЯ ЗАКРЕПЛЁННЫМИ КОНЦАМИ
Рассмотрим задачу оптимального управления, описанную системой линейных дифференциальных уравнений
dx
— = Ax + bu, fe[f0,i,], (1)
at
с двумя закреплёнными концами траектории
x(t0)=xüy х(/1)=х1, (2)
с интегральным критерием качества
<i
/(х,и)= jf(x(t), u(t),l)dt-+mf. (3)
'о
Здесь заданные матрица А размерности пхп, векторы Ь, х0, х] и функция F(х, и, t) таковы, что:
1) пара (А, b) управляемая,
2) F(x, и, t) равномерно выпуклая по и) функция,
3) функция F(х, и, t) ограничена снизу, например F(x, и, t)> 0;
4) функция F(x, и, t) имеет производные Fx, Fu, Fuu, Fx,, Ful,
5) производные Fx, Fu удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных (дс, и),
6) функция F(x, и, t) такова, что lim /(х, и,г)= +оо.
S1->о°-1»Ii,
