CC BY
26
СЕКЦИЯ МЛ ТЕМА ТИКИ
УДК 518:517.944
Н. Ю. Агафонова, В. Н. Михайлов
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СОСТАВНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ
Рассмотрим в прямоугольной системе координат х,у,г в общем случае многосвязную область Q, которая состоит из М подобластей бибг»—>6м > ограниченных соответственно подобластями Е1,Е2,.~,ЕМ. В каждой из подобластей задано уравнение Лапласа
. д2и. Э2м. Э2ы. . — ,
+ + ^ = 1 = 1'М- (1)
ОХ ду С2
Область, внешнюю к 6, обозначим через 6о • Границу между подобластями <¿1 и QJ обозначим через Е^; индексы /,_/ могут принимать значения 0,1, 2,... ,М. Под М; будем подразумевать множество тех значений у, которые обозначают номера 6у, граничащих с Q¡.
Для решения и^х,у,г) уравнения (1) в подобласти Qi имеет место интегральное представление [1,2].
а(*оо'о.2о)и.-(*оо'о.*о)= (2)
е] дп> дп<
где (х0,у0,г0) - любая фиксированная точка, (1Е - элемент поверхности £,,
0
—- - производная по внешней к подобласти £ нормали; функция источники,
ка 5 имеет вид:
5 = -, г = - х0)2 +(у-у0)2+(г- г0)2. г
Точка (х0 ,у0,г0) может лежать как внутри или вне области Q, так и на ее границе. Величина р(х0, у0, г0) равна нулю для точек (х0, _у0, г0 ), лежащих вне 6; Для внутренних точек р = 4л; на поверхности Е величина Р(хо' У о»2о) равна телесному углу, вырезаемому из сферы с центром в точке
(x0,y0,z0) поверхностью E при стремлении радиуса этой сферы к нулю -телесный угол при этом должен измеряться внутри области Q. Представим (2) в виде
3 и д §
MWo>zo)M;(*oOVzo)= Z -
Е" дпч дпи
Здесь ^ - производная по нормали к фанице £ , направленная во-
вне из подобласти . Умножим i -тое равенство на величину ^¡(хо>У0'2о) * ^ и> просуммировав по г от 1 до М, получим м м Qu Qfo
о.-Ио>го)=Е X Я^-г-^б-ц,-«,---)dE. (4)
/=1 i=\jaM, Ejj 0пч dnij
В этом выражении суммирование по внутренним границам между двумя подобластями и Ej производится дважды: по Е¡j и Е(здесь у > 0).
Объединим эти интегралы. Границы между подобластями Ек и Ehk> I будем обозначать через Еы независимо от того, рассматривается она как граница подобласти Ек или как граница подобласти £,. Заметим, что на грани-
Г V д д
це между и Е, имеет место соотношение-=--.
дпи дпл
С учетом сказанного выше перепишем (4) в виде
V ^ ч V П, dui х Э6.,г
- = l ,=i£,.0 Зи/0 dni0
+ 1 I /jKHil^-Hyl^je-Oi^-n^AdB,
(5)
где Л, - множество номеров 0 < у < /' подобластей Е), граничащих с .
Во многих приложениях на внутренних границах 0) должны
выполняться условия:
. 5м. . ди-дпи Эи/у где А., - постоянная для подобласти £, величина. Положим в (5) ц, = Я.,, в результате получим
М М Qu g§
Jj(Л/я-S -XiU-—)dE +
1 = 1 i=l£i0 öni 0 aniO
М ях
+ 11 (7)
i-ljeRj E,j Önij
Здесь принято u(x,y,z) = ut{x,y,z), если точка (x,y,z) принадлежит подобласти Qt \ функция u(x,y,z) непрерывна во всей составной области Q благодаря граничному условию (6).
Если точка (x0,y0,z0) лежит внутри подобласти Qk, то из (7) получаем
< = l£,0 dni0 °ni0 i=\jeRj Ejj 1
Из формулы (5) можно получить и другое интегральное представление для решения уравнений Лапласа (1) с граничными условиями (6). Положим в (5) = 1 для всех значений i; с учетом граничных условий получаем
м
> Уо > zo) 1>, (*о' .Уо > zo) = /=1
= 1 ЖI JJ(p-hLytäB. (8)
В этой формуле решение выражено через скачки производных по нормали на внутренних границах. Таким образом, доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Если функции Uj(x,y,z) удовлетворяют уравнениям Лапласа (1) и условиям (6) на границах между подобластями Q\,Qi,--,Qm со~ ставной области Q, то имеют место интегральные представления (7),(8).
Полученные интегральные представления решения уравнения Лапласа могут быть использованы для сведения краевых задач к интегральным уравнениям подобно [3, 4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А.Я., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
2. Федик И.И., Колесов B.C., Михайлов В.Н. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985.
3. Бобрик А.И., Михайлов В Н. Решение некоторых задач для уравнения Пуассона с граничными условиями IV рода // ЖВММФ. 1974. Т. 14, № 1. С. 126- 134.
