Процесс «Блуждания по полусферам» и его применение к решению краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОЦЕСС «БЛУЖДАНИЯ ПО ПОЛУСФЕРАМ»

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ*

С. М. Ермаков1, А. С. Сипин2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, ermakov@star.math.spbu.ru

2. Вологодский государственный педагогический университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, cac1909@mail.ru

1. Введение

Применение метода Монте-Карло для определения решений краевых задач математической физики связано с построением несмещенных или малосмещенных оценок этих решений на траекториях марковского случайного процесса с дискретным временем. Хорошо известны «блуждание по сферам» [3], «блуждание по эллипсоидам» [4], «блуждание по шароидам» [5], «блуждание по шарам и сферам» [7].

Все перечисленные методы основаны на использовании функции Грина, которая известна для областей простого вида и может эффективно вычисляться (моделироваться). При этом для обоснования вычислительных процедур используется два взаимосвязанных подхода: подход, основанный на так называемой схеме Неймана—Улама, и вероятностный — использующий свойства мартингалов. Остановимся сначала коротко на первом из них. Первая краевая задача для уравнения Лапласа

в области Б С Дя с границей Г может быть формально представлена в форме

где йд —поверхность сферы в Д5 с радиусом Д, и |^д| —её площадь. Ядро является ^-мерой, а 1г(х) —функция, равная 1, если х € Г и 0 — в противном случае. Предполагается, что сфера целиком содержится в Б и выполнены условия регулярности, при которых существует решение (1.1). Представление (1.2) есть следствие теоремы о среднем, или легко может быть получено с использованием функции Грина для шара. Соотношение (1.2) является интегральным уравнением 2-го рода и может быть решено путем моделирования цепи Маркова, переходная плотность которой согласована с его ядром [1]. В данном случае само ядро может служить переходной плотностью (процесс блуждания по сферам), но норма Ь1 соответствующего оператора равна 1, и необходима регуляризация. Как правило, она состоит в том, что граничное условие ^ «размазывают» по е-окрестности границы Г. Это обеспечивает обрыв блужданий на границе и выполнение условия сходимости ряда Неймана для (1.2). Говорят также в этом случае, что оценки значения решения задачи во внутренней точке области являются малосме-щенными, или е-смещенными.

Мы отметим далее факт, который ранее не обсуждался в литературе, что использование двойственных (сопряженных) оценок должно базироваться на регуляризации

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-00194).

© С. М. Ермаков, А. С. Сипин, 2009

Дм = 0, и|г =

(1.1)

У £(|ж - у| = Я Му) дщ + у>(ж)1г(ж),

(1.2)

иного рода. В этом случае начальная точка траекторий находится на границе, и введение е-окрестности в качестве поглощающего состояния противоречит условиям согласования [1]. В задаче (1.2) в рассматриваемом случае можно вводить малый параметр е(х) > 0, например, как

Интегральное представление для (1.4) смотри в [2].

Применение регуляризаций такого типа позволяет в полной мере использовать аппарат схемы Неймана—Улама для построения как прямых, так и сопряженных оценок.

Кроме того, отметим, что вычисление и£(х) с помощью сопряженных оценок не предполагает быстрого выхода за границу области. Блуждание может осуществляться по сферам фиксированного радиуса. Такого рода алгоритм очень близок к алгоритмам, использующим связи задачи (1.1) со стохастическими дифференциальными уравнениями.

После этих замечаний перейдем к детальному рассмотрению с теоретико-вероятностной точки зрения процесса «блуждания по полусферам», впервые без детального обоснования предложенного в [10].

Статистические оценки решений краевых задач, построенные на траекториях этих процессов, являются несмещенными, если область является многогранником. Далее, везде область V произвольная с регулярной границей. Если часть границы области, где задано условие Неймана, является выпуклой, то смещение будет обусловлено лишь досрочной остановкой процесса вблизи границы, где задано условие Дирихле. Аналогичные, но смещенные, оценки в областях с произвольной границей построены в работах Симонова [11, 12].

2. Процесс «блуждания по полусферам»

Пусть Б — половинка шара радиуса Я с центром в нуле в Ят, т > 3. Плоскую границу области Б обозначим Н, а сферическую — 5. Пусть Г = Н и 5. Рассмотрим задачу Дирихле

Функция Грина 0(х, у) задачи Дирихле (2.1) строится методом отражений и имеет вид

где |^х| —площадь поверхности сферы единичного радиуса в Ят, х € Б, х* —точка, симметричная х относительно сферы в, х и х* — точки, симметричные X И X* относительно плоскости Н.

Если 0 < в < 1 и точка х лежит на оси симметрии полушара на расстоянии вЯ от его центра, то нормальная производная функции Грина по внутренней нормали к

J И\х - у\ = Я)\фє(у) ^У + ¥>(ж)1г(ж),

(1.3)

или рассматривать краевую задачу

Аиє — є(х) = 0, иє\г =

(1.4)

Аи=-д, м|г = у>, иЄ С2(Б)Г\С(Б), (р Є С'(Г).

(2.1)

С(х,у)

), (2.2)

поверхности полушара имеет вид

2Д£ /" 1 1

у е я,

к(Х,у) = \ 1^1 VI Х~У\т Ш-У\ГТ ’ (2.3)

»**

Для любой функции и £ С2 (О) П С (О) справедливо интегральное представление

и(ж) = ^" ^(ж,у)и(у) <1уБ — J С(ж, у)Ди(у) йу. (2-4)

г в

Очевидно, что ^(ж, у) является плотностью вероятностей перехода по переменной у. Представления, аналогичные (2.4), справедливы для произвольной внутренней точки, произвольной области Д, граничные точки которой регулярны [8]. Для решения краевой задачи в произвольной замкнутой ограниченной области V с регулярной границей в пространстве Ет зададимся семейством областей Д(ж), ж е V. Тогда представление (2.4) можно рассматривать как интегральное уравнение в пространстве С(V):

и(ж) ^ У Р(ж, йу)и(у)+ Е(ж), ж е V, (2-5)

V

где субмарковское ядро Р(ж, йу) имеет плотность ^(ж, у). Пусть ж(0) = ж, ж(1), ж(2), ... — цепь Маркова с переходными вероятностями Р(ж, А). Вообще говоря, это обрывающаяся цепь. На траекториях цепи стандартным образом строится последовательность £(п) (п = 0,1, 2, 3,...) несмещенных оценок для и(ж). Пусть N — момент обрыва цепи

(Ж = то, если цепь не обрывается), N Л п — минимум из N и п, п(*) —несмещенная

оценка для Е(ж(*)). Тогда

N Ап — 1

£(п) = и(ж(Ж Л п))+ п(*), п = 1, 2, 3,... (2.6)

®=0

Из марковского свойства цепи и уравнения (2.5) следует

Лемма 1. Пусть Е(ж) > 0, и(ж) —ограниченное решение уравнения (2.5) и оценки п(*) неотрицательны. Тогда последовательность несмещенных оценок (2.6) образует мартингал. Если он равномерно интегрируемый, то он сходится с вероятностью 1 к случайной величине £(то), имеющей конечное математическое ожидание. Для любого марковского момента т случайная величина £(т) является несмещенной оценкой и(ж).

Доказательство. Пусть |и(ж)| < М, тогда в силу уравнения (2.5) Е(ж) < 2М. Пусть Вп — а-алгебра, порожденная процессом до момента времени п. Тогда Еп(*) = ЕЕ(п(*)|В*) = ЕЕ(ж(г)) < 2М и, следовательно, Е|£(п)| < (2п + 1)М. Далее,

N Ап—2

Е(£(п)|Вп—1) = Е(и(ж(Ж Л п))|Вп— 1)+ п(*)+ Е(п(Ж Л п — 1)|Вп—1) =

г=0 N Ап —2

= и(ж(Ж Л п — 1)) — Е(ж(Ж Л п — 1)) + 53 п(*) + Е(ж(Ж Л п — 1)) = £(п — 1),

значит последовательность является мартингалом. Остальные утверждения леммы следуют из теоремы сходимости мартингалов [9].

Поведение траекторий процесса характеризует

Лемма 2. Пусть координатные функции ж* (г = 1, 2, . .. т) являются супергармони-ческими для ядра Р(ж, А), тогда цепь ж(п) сходится с вероятностью 1 к некоторому случайному вектору ж(то).

Доказательство. Координатные последовательности ж*(п) (г = 1, 2,... т) являются ограниченными супермартингалами и, следовательно, сходятся с вероятностью 1 [9].

Пусть область V является многогранником. Для каждой внутренней точки области определим й(ж) —расстояние от ж до границы области V — и точку жо е дV, ближайшую к ж. В качестве подобласти Д(ж) выберем половину шара с центром в точке жо и радиусом Д(ж) = й(ж)/в, если она содержится в V и жо является ортогональной проекцией ж на некоторую грань многогранника, в противном случае, Д(ж) —шар радиуса й(ж) с центром в точке ж. Ядро Р(ж, А) сосредоточено на границе выбранной области Д(ж) и имеет плотность ^(ж, у) в случае полушара, либо определяет равномерное распределение на сфере. Цепь Маркова, определяемую таким ядром, будем называть «блужданием по полусферам».

Лемма 3. Процесс «блуждания по полусферам» сходится с вероятностью 1 к точке, лежащей на границе области V. Среднее число шагов до выхода процесса на границу имеет конечные математическое ожидание и дисперсию.

Доказательство. Заметим, что Дж* = 0 (г = 1, 2,... т). Значит, координатные функции для ядра Р(ж, А) гармонические и, в силу Леммы 2, последовательность ж(п) сходится к некоторому случайному вектору ж(то) с вероятностью 1. При переходе из ж(п) на сферу верно равенство |ж(п +1) — ж(п)| = й(ж(п)), а при переходе на полусферу справедливо неравенство |ж(п + 1) — ж(п)| > шт(1, в—1 — 1)й(ж(п)), поэтому й(ж(п)) ^ 0.

Дальнейшее доказательство, для наглядности, проведем для трехмерной области. Пусть Ш — множество тех точек ж е V, для которых Д(ж) является полушаром.

Докажем, что существуют константы с > 0 и 6 > 0 такие, что для всех точек ж е V\Ш часть полушара с центром в точке жо и радиусом сй(ж), лежащая в некотором двугранном угле, величина которого больше 6 > 0, содержится в Ш. Пусть р(жо) —расстояние до наименее удаленной от жо точки, лежащей на грани, которой жо не принадлежит. Если жо является проекцией ж на некоторую грань многогранника, то р(жо) > шт(1, ctg(а/2))d(ж), где а — наименьший из двугранных углов многогранника, в которые входит выбранная грань. Если жо не является проекцией ж на какую либо грань многогранника, то жо лежит на ребре некоторого двугранного угла 7. Выберем из граней, содержащих точку жо, ту, расстояние ^1(ж) от которой до точки ж максимальное, тогда й1(ж) > й(ж)зш(7/2) и р(жо) > шт(1, ctg(а/2)) вт(7/2)й(ж), где а — наименьший из двугранных углов многогранника, в которые входит выбранная грань. Таким образом, найдется константа с такая, что полушар радиуса сй(ж) с центром в точке жо и осью симметрии, перпендикулярной некоторой грани, в которой лежит жо, лежит в области V. Искомым множеством является полушар радиуса всй(ж)/4, если жо является внутренней точкой грани, четверть шара, если жо лежит на ребре двугранного угла, и долька полушара, вырезанная двугранным углом с ребром, проходящим через

точку хо перпендикулярно выбранной грани, если хо является вершиной многогранника. При этом величина двугранного угла равна плоскому углу грани с вершиной в точке хо.

Из доказанного утверждения следует, что существует положительная постоянная є, ограничивающая снизу вероятность Р(х, Ш). Для точек х Є Ш блуждание выходит на границу области V за один шаг с фиксированной положительной вероятностью є і = єі(в). Пусть N — момент первого выхода блуждания на границу (Ж = то, если блуждание не выходит на границу за конечное время) и рп(х) = Рх({Ж > п}) (п = 0,1, 2, 3,...). Очевидно, что для внутренних точек области V вероятность рі(х) = 1. В силу марковского свойства рп(х) = / Р(х, йу)р„_і(у) (п = 1, 2, 3,...), поэтому

V

- ч Г 1 — єі, х Є Ш, Р2(х) =

1, х Є Ш,

Рз(х) = І Р(х, йу)р2(у) = і Р(х,^у)(1 — єі) + I Р(х,^у)) <

V Ж V\ж

< 1 — єіР(х, Ш) < 1 — єіє и Рзп(х) < (1 — єіє)”. Следовательно,

РХ({Ж < то}) = 1 — Ііт Рх({Ж > 3п}) = 1

”—— О

и в силу монотонности последовательности Р” (х)

ОО ОО

ЕхЖ = 53Р”(х) < ^53(1 — єіє)к = 3/(єіє),

ОО

ЕХЖ2 = 2^3 прп(ж) - < 18^3 к(1 - е^)*-1 = 18/(£1£)2.

п=1 к=1

Очевидным следствием доказанной леммы 3 является

Лемма 4. Пусть Е (ж) ограничена и существует константа С такая, что несмещенные для Е(ж(*)) оценки п(*) в (2.6) имеют дисперсию Ехп(*) < С, и N —момент выхо-

N-1

да «блуждания по полусферам» на границу области V, тогда ) = у>(ж^))+ ^ п(*)

®=0

является несмещенной оценкой для и(ж) и Ех(£^)) < С1 для некоторой константы С1 < то.

Доказательство. Из ограниченности дисперсий и функции Е(ж) следует ограниченность вторых моментов величин п(*) константой Со. Пусть М — наибольшее значение функции и(ж), тогда

/ N-1 \ 2

2

Е*£2(Ж)= Е*( ][0 п(і)+ и(х(Ж))) =

і \ і / і

= Ех ]Т п2(*)+ и2(х(Ж)) +2Е^ п(і) ( £ пС?) + и(х(Ж)) | <

V і=0 / і=0 \^=і+і

< Co Ex N + M2 + 2Ex 'У ' n(*)u(x(1 + i)) <

i=0

N-1

< CoExN + M2 + Ex £ (n2(i) + u2(x(1 + i))) < 2CoExN + M2(1 + ExN).

i=0

3. Моделирование траекторий и вычисление оценки решения

Для моделирования траекторий воспользуемся методом отбора. Для этого представим ядро (2.3) в виде

1 cos ipxy I'S'il |ж - y\r

к(х,у) = —~-----------^к^у), (3.1)

где cos — угол между вектором y — x и внешней нормалью к поверхности полушара D(x) в точке у. Несложные вычисления позволяют получить для функции ki(x, у) верхнюю границу M = max(Mi, M2), где

2 /г-Г^Л ( f3

M1 = -v/lТ/?2 1-

/3 \ \ у^1 + [3А

'1-/34 1-/3 V V1 + /3,

Для выбора следующей точки блуждания x(n + 1) моделируем изотропный вектор w единичной длины и случайную величину а, распределенную равномерно на отрезке [0,1]. Определяем точку y Є dD(x(n)), видимую из x(n) в направлении w. Если aM < kl(x(n), y), то x(n +1) = y. В противном случае процедура повторяется до тех пор, пока неравенство aM < kl(x(n),y) не будет выполнено.

Рассмотрим слагаемое правой части уравнения (2.5) F(x) = JD(x) G(x, y)/(y) dy. Для получения оценки n(i) достаточно записать этот интеграл в сферических координатах. Для вычисления оценки моделируем изотропный единичный вектор w и две случайные величины «і и «2, распределенные равномерно на отрезке [0,1]. Определяем точку y Є dD(x(i)), видимую из x(i) в направлении w, вычисляем a(2) = max(«l, «2) и находим

ф) = (m-2) |5i| ——|а(2) (у _ x(i))\m 2 G (x(i),x(i) + a(2) (у - ж(г))) x

x / (x(i), x(i) + «(2) (y - x(i))) .

4. Задача с разрывом нормальной производной

Пусть область V разбита некоторой гиперплоскостью на две подобласти V+ и V-, в каждой из которых функция u(x) гармоническая внутри области и непрерывная в замкнутой области. Известны значения y>(x) функции u(x) на границе области V, и выполняется условие сопряжения

>£ -р- , (4.1)

dv+ dv-

связывающее значения нормальных производных функции u(x), вычисленных для областей V+ и V-, на границе раздела. Будем считать, что нормаль v направлена в сторону V+, а А = const > 0 и А = 1. Для упрощения выкладок рассмотрим лишь задачу

в пространстве Д3. Не умаляя общности, можно считать, что плоскость раздела имеет уравнение хі = 0, и вектор V является ортом первой координатной оси.

Применим для решения задачи процесс «блуждания по полусферам». Действительно, в каждой из областей Ъ + и V- можно строить процесс, как это сделано ранее. При выходе блуждания на плоскую границу необходимо выполнить переход внутрь области.

Пусть точка х лежит на границе раздела области V на Ъ + и V-. Возьмем в качестве области Б шар максимального радиуса ! = !(х) с центром в х, лежащий в V. Пусть Б+ = Б П Ъ + и Б_ = Б П V-. Если решение и(х) имеет на границе раздела правильную нормальную производную, то из формулы Грина и свойств потенциалов простого и двойного слоя легко получить интегральные представления

^ 1 [ / \ л о , 1 [ ди(у) л о 1 [ 1 ди(у) л о

щх) = зг и(у)а,,Ь-\------------ —-—а,,Ь---------- -------г—г----а„й,

^ у 2тгсР У у 2тгсі У дV у 2тг У \х - у\ 8іу+ у ’

|х — у|

5+ 5+ Н

/ \ 1 (' г \ ,1 о , 1 (' ди(У) ,1 о , 1 (' 1 5м(У) л о

"(І) = Ьї .1 "Ы ^ + 2Ї5 У “ЙТ ^ + 2Ї У |х - „І 3|/_ ^

5- 5- Н

где ди(у)/д^ — производная по внешней нормали на сфере. Учитывая условия разрешимости

I' Му) , с [ Му) , с п

ди у ди+ у ’

Н

/^+/^ = 0

5- Н

задачи Неймана в и в ^_ и условие сопряжения, получаем интегральное представ-

ление решения

А 1 Г 11/*

= Т+л5У У “ы'('5+ ТТл У «•*>

й+ й-

Из (4.2) следует, что переход из точки ж нужно выполнять в точку, распределенную с вероятностью А/(1 + А) равномерно на полусфере 5+ и с вероятностью 1/(1 + А) равномерно на полусфере £_.

Отметим, что в данном случае переходная вероятность Р(ж, А) является марковским ядром и N = то с вероятностью 1. Всякое ограниченное решение исходной задачи является инвариантной функцией ядра и в силу леммы 1 определяет сходящийся мартингал оценок и(ж(п)). Координатные функции ж2 и жз являются инвариантными для ядра Р(ж, А), так как они гармонические и удовлетворяют условиям сопряжения на плоскости ж1 = 0. При А < 1 на плоскости ж1 =0 верно неравенство

/ т «ад»-щд/« 'V?

В й+ 5-

А11

5+

Следовательно, координатная функция ж1 —супергармоническая для ядра Р(ж, А). При А > 1 супергармонической является функция —ж1. Из леммы 2 теперь следует

Лемма 5. Процесс «блуждания по полусферам» для задачи Дирихле с условием сопряжения нормальных производных на плоской границе раздела сходится с вероятностью 1 к некоторому случайному вектору х(то) Є дУ.

Доказательство. Существование предела уже доказано. При переходе из точки х(п), лежащей на плоскости, на сферу верно равенство |х(п +1) — х(п)| = !(х(п)), поэтому х(то) Є дУ, если блуждание посетило плоскость хі =0 бесконечное число раз. В противном случае, начиная с некоторого момента времени, процесс не покидал одного из двух множеств, например, множества . Пусть !+(х(п)) —расстояние до границы области У+. При переходе на полусферу справедливо неравенство |х(п +1) — х(п)| > тіп(1,в-і — 1)!+(х(п)), поэтому !+(х(п)) ^ 0. Следовательно, либо х(то) Є дУ, либо хі(то) = 0. Рассмотрим множество В таких траекторий, для которых хі(то) = 0, !(х(то)) > г > 0 и хі(п) = 0, начиная с некоторого номера. Все точки последовательности х(п), начиная с некоторого номера, лежат в полушаре радиуса г/2 с центром в точке х(то), поэтому их проекции на плоскость хі =0 также лежат в этом полушаре. Следовательно, полушар с центром в хо(п) и радиуса г лежит в У+. Поскольку расстояние до полуплоскости от точки х(п) стремится к нулю, начиная с некоторого номера, каждая следующая точка блуждания лежит на полусфере. Итак, для траекторий из множества В переход на полусферу осуществляется бесконечное число раз. Вероятность такого перехода постоянна. Так как выбор направления на каждом шаге блуждания осуществляется независимо от предыстории процесса, вероятность перейти на полусферу бесконечное число раз равна нулю. Значит, для всех г > 0 с вероятностью 1 выполняется неравенство !(х(то)) < г. Справедливость леммы вытекает теперь из непрерывности вероятностной меры.

5. Задача со смешанными граничными условиями

Пусть граница Г области V состоит из двух частей Гі и Г2. Для определения гармонической в области V функции и(х) по ее значениям на Г і и значениям ее нормальной производной на Г2 также можно применить «блуждание по полусферам». Для упрощения выкладок рассмотрим задачу в пространстве Д3. Пусть точка х лежит внутри области или на границе Г2. Определим функцию !(х) как расстояние от точки х до Гі. Возьмем в качестве области Б пересечение шара радиуса ! = !(х) с центром в х и области V. Пусть 7 = Г2 П Б, а Б — сферическая часть границы области Б. Тогда из формулы Грина и свойств потенциалов простого и двойного слоя следует представление

7и£

/

7и£

где

х Є V, х Є Г2.

Учитывая, что

7и£

получаем интегральное представление

|х — у| !

11

з) !&»)<&, <ы)

аналогичное уравнению (2.5). Здесь v — внешняя нормаль к границе области, а — угол между внешней нормалью к 7 U S и вектором у — x.

Если D(x)nV —выпуклое множество, то ядро интегрального оператора в (5.1) является стохастическим и определяет блуждание, которое естественно назвать «блужданием по сферам и границе». Очередная точка в таком блуждании является ближайшей к x точкой границы области, или границы шара D, видимой из х, в направлении изотропного вектора w, распределенного в пространстве, если х £ V, или в полупространстве, если х £ Г2. Поведение траекторий этого процесса характеризует

Лемма 6. Пусть Г1 содержит замкнутое подмножество Гз, имеющее положительную площадь, и расстояние от которого до Г2 положительно. Тогда «блуждание по сферам и границе» сходится с вероятностью 1 к случайной точке х(оо) €= Гх.

Доказательство. Докажем, что существует гармоническая в области V функция u(x), такая что du/dv(x) = 1 при х £ Г2. Так как расстояние между множествами Г3 и Г2 положительно, существуют неотрицательная непрерывная функция tpi(x), равная 1 на Г2 и равная 0 на Гз, и неотрицательная непрерывная функция у>2(х), равная О на Г2 и равная 1 на Г3. Пусть Ai и А2 —поверхностные интегралы от этих функций по границе Г1 U Г2 области V. Поскольку А2 > 0, поверхностный интеграл от функции y>(x) = y>i(x) — (Ai/A2)y>2(x) равен нулю. Значит, существует гармоническая функция u(x), удовлетворяющая граничному условию du/dv(x) = y>(x).

Пусть x(n) — положение блуждания в момент времени n. Из уравнения (5.1) для построенной функции u(x) следует, что последовательность случайных величин u(x(n)) является ограниченным супермартингалом, который сходится с вероятностью 1. Аналогичными свойствами обладает последовательность u(x(n)) + xj(n) для любой координатной функции xj. Значит, последовательность x(n) сходится с вероятностью 1 к некоторой точке x(to). Если в процессе блуждания переход на сферическую часть границы области D был бесконечное число раз, то на некоторой подпоследовательности nj (j = 1, 2, 3,...) выполняется равенство d(x(nj)) = |x(nj + 1) — x(nj)|. Переходя в нем к пределу, получим d(x(ro)) = 0. Рассмотрим множество траекторий B, в которых, начиная с некоторого момента времени, блуждание происходит по границе Г2. Пусть n(x) — телесный угол, под которым видна поверхность Г1 из точки x, По = inf Q(x) > 0,

ЖЁГ2

p(x) —вероятность того, что блуждание не покинет Г2 при переходе из точки x £ Г2. Очевидно, что p(x) < 1 — По/(4п) = q < 1. В силу марковского свойства вероятность

того, что траектория не покинет Г2 за первые n шагов, не превзойдет qn. Ряд qn

n=1

сходится, поэтому по лемме Бореля—Кантелли вероятность того, что траектория не покинет Г2, равна нулю. Значит, множество траекторий B имеет вероятность ноль, что завершает доказательство леммы.

Литература

1. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. СПб., 2009.

2. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. 319 с.

3. Muller M. E. Some continuous Monte Carlo methods for the Dirichlet problem // Ann. Math. Stat. 1956. Vol. 27, N3. P. 569-589.

4. Сипин А. С. Решение первой краевой задачи для уравнения эллиптического типа методом Монте-Карло // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Новосибирск, 1979. Т. 2. С. 113-119.

5. Ермаков С. М., Некруткин В. В., Сипин А. С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М.: Наука, 1984. 205 с.

6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

7. Михайлов Г. А. Весовые алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003. 185 с.

8. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967. 232 с.

9. Мейер П. А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973. 325 с.

10. Сипин А. С. Процессы блуждания внутри области и их применение к решению краевых задач // Междун. конф. «Тихонов и современная математика». Тезисы докладов секции «Вычислительная математика и информатика». Москва, 2006. С. 113-114.

11. Симонов Н. А. Методы Монте-Карло для решения эллиптических уравнений с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную // Доклады РАН. 2006. Т. 410, №2. С. 1-4.

12. Симонов Н. А. Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения смешанной краевой задачи и задачи Неймана // Сибирский журнал вычислительной математики. 2007. Т.10, №2. С. 209-220.

Статья поступила в редакцию 12 марта 2009 г.