Статистические оценки для степеней оператора Грина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование

УДК 519.245; 519.632.4

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРА ГРИНА

А. Н. Кузнецов, А. С. Сипин

Вологодский государственный педагогический университет,

160035 Вологда, ул. С. Орлова, 6.

E-mails: pm_kan@uni-vologda.ac.ru, cac@uni-vologda.ac.ru

Рассмотрены как известные, так и новые алгоритмы, позволяющие вычислять степени оператора Грина методом Монте—Карло на траекториях марковской цепи. Полученные статистические оценки используются для решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром. Проведено численное моделирование и сделан сравнительный анализ эффективности алгоритмов.

Ключевые слова: метод Монте—Карло, задача Дирихле, уравнение Гельмгольца, аналитическое продолжение, функция Грина, оператор Грина.

Введение. Пусть G(x, у) — функция Грина первой краевой задачи для оператора Лапласа в области V С Rm (m ^ 3). Оператор G с ядром G(x,y), действующий в C(V), будем называть оператором Грина. Оценки степеней оператора Грина могут использоваться для решения задачи Дирихле для уравнений Гельмгольца и Лапласа, а также при оценке значений собственных чисел оператора Лапласа. Для вычисления Gk f можно использовать стандартный процесс блуждания по сферам, но это приводит к необходимости моделирования ветвящегося процесса и, следовательно, к значительным затратам времени для расчётов. В работе рассмотрены методы, позволяющие получить оценки Gk f на траекториях марковских цепей, связанных с тем или иным интегральным представлением решения уравнения Гельмгольца. Проведено сравнение с алгоритмами, вычисляющими оценку решения уравнения Гельмгольца без вычисления степеней оператора Грина. Рассмотрены возможности использования аналитического продолжения решения.

1. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца без вычисления степеней оператора Грина. Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца:

Ап + Au = — f, u\r = 0. (1)

Для решения задачи (1) обычно используются статистические оценки на траекториях марковского процесса блуждания по сферам, теория которых наиболее полно представлена в работе [1]. Укажем здесь только построенную там оценку.

Андрей Николаевич Кузнецов, старший преподаватель, каф. прикладной математики. Александр Степанович Сипин (к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. прикладной математики.

Определим случайный процесс блуждания по сферам рекуррентными формулами: хп = хп-1 + гпшп, где шп — вектор изотропного направления, а гп — расстояние от точки хп-1 до границы Г. Блуждание ведётся до момента N выхода процесса в е-окрестность границы. Оценка решения имеет следующий вид:

г2п д(А, Гп)

N /п—1\ 2

С = ^ П 9(^,ггЛ /К,^и)

п \ • п / 6д(х, Гп - Vп);

п=0 \г=0 / -IV/ /

где уп — случайная величина, распределенная в интервале (0; г) с плотностью

Г\[.

а(т\

бх(\^х/г) ^ ^ (дЛЯ М3); Д1 _ первое собственное число оператора

с = -д.

В [1] доказано, что Е |{2| < +оо при Г1е(А) < 4р.

В случае размерности пространства больше 3 аналог этой оценки требует вычисления функции Бесселя. Оценку, лишённую этого недостатка, можно построить на траекториях блуждания по шарам.

Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа при размерности пространства т = 3 (распространение на случай т > 3 не вызывает затруднений) в шаре V = Кг (х) радиуса г с центром в точке х с границей Бг (х):

Ди = -/, и|г = 0; / € С'^) П С (У). (2)

Пользуясь теоремой о среднем для задачи Дирихле и определением функции Грина [5], решение задачи можно записать в виде

1

4пг2

Бт (х) Кг(х)

и(Х) = ТТІ9 I и{у)йув+ Ог(х,у)/(у)с1у,

где Ог(х,у) = ^\х^-у\ ~ ^ — шаровая функция Грина.

Умножим обе части уравнения на г2 и проинтегрируем от 0 до Л:

н н н

[г2и(фг = ^[ [ и(у)с1у8с1г +[ г2 [ Сг (х, у)/(у)с1ус1г,

0 0 Яг (х) 0 Кг (х)

3 Н г

\и<ух) = -^ J U(y)dy + ^J J Г2 J р2 f(x + шp)dpdrdш.

Кд(х) ПО 0

Изменив порядок интегрирования во втором интеграле правой части, полу-

чим

= і І (чі/) + (Д~р)^2й + р)/м)%, (3)

Кп(х)

где Ун = І7ГК3.

Определим случайный процесс блуждания по шарам рекуррентными формулами:

хп — хп- 1 + ^(хп- 1)yn,

где уп распределены равномерно в шаре радиуса 1 с центром в нуле и независимы, а Я(х) —расстояние от точки х до границы Г. Последовательность хп образует ограниченный мартингал и, следовательно, сходится с вероятностью 1. Осредняя по уп, получаем

4

И(хп—1) — - Е \ хп жга_1|,

откуда следует, что Е(хп) ^ 0 с вероятностью 1, а хп сходится к точке на границе области.

Используя подстановку / :— / + Ли, получим оценку решения задачи (1):

N— 1 /га—1 \

«= ЕП (1 + \s(Xi,Xi+i))\ s(Xn,Xn+l)f (Xn+1),

n=0 \i=0 )

(4)

где з(х,у) = (д |ж У^Ц+]х у1) ■

Сравнение результатов работы на модельной задаче (п. 3) этих алгоритмов представлено в табл. 1 и 2. Время расчётов по 10 000 000 траекторий для Л — 9 + 9г составляет 8 мин 56 сек1 и 4 мин 45 сек соответственно.

Т аблица 1

Оценки решения уравнения при х = (0,3; 0,7; 1), и(х) и -0,3822

Л = 5 + Ы А = 9 + 9 г Л = 10 + Юг Л = 13 + 13г Л = 15 + 15г

С -0,3821 + 0,0001* -0,3832 + 0,0022* -0,3890 + 0,0009г -0,2464 + 0,1092* -1,6371 - 0,9366г

ш — 0,3826 - 0,0003г -0,3932 - 0,0218г -0,3969 - 0,0764г 1,4559 - 1,2611г 17,179 + 3,8600*

Таблица 2

. ____.2

Выборочная дисперсия (|£ — £| )

А = 5 + 5г А = 9 + 9г Л = 10 + Юг Л = 13 + 13г Л = 15 + 15г

С 0,3561 29,221 234,13 2 • Юь 2 • Юу

Ш 4.2864 8874,6 74088 4 • Юу 2 • 10й

2. Оценки, использующие степени оператора Грина. Задача (1) эквивалентна интегральному уравнению и = Л G и + G f, решение которого при малых Л представляется рядом

те

и = £ Лп Gn+1 f. (5)

n=0

При больших Л можно использовать аналитическое продолжение решения методом замены переменных [2]. Приведём краткое его описание.

1 Здесь и далее указано чистое процессорное время расчёта на AMD Athlon 64 X2 Dual Core Processor 4200+, в один поток под управлением ОС WinXP (x86) SP3. Библиотеки собраны на MS VC++ Express 2008.

Пусть О — односвязная подобласть области существования и(х,Л) относительно Л, в которой функция и не имеет никаких особых точек по Л кроме полюсов, и Л — 0 лежит в О. На комплексной плоскости переменной п выберем односвязную область Н, содержащую точку п — 0, и функцию Л — 0(п), осуществляющую конформное отображение области Н на О, причем так, что 0(0) — 0. Функция Л — 0(п) может быть разложена в ряд: Л — 0(п) —

— £^=1 аппп Тогда функция ^(х, п) — и(х, 0(п)) — £~=0 0(п)п Сп+1 / регулярна в окрестности нуля и может быть разложена в степенной ряд:

^(х, п) — и(х,^(п)) — С / + ^ ппЬп, (6)

п=1

Ьп = Е 4п) ск+1 /,

к=1

(г(га) - —

<9г/

#(п)]к

п=о

Пусть Сп — круг |п| < , в котором сходится ряд (6) на плоскости п,

И' = И П Сп, а V' — образ И' при отображении Л = 0(ж), тогда:

- если область V' выходит за пределы круга сходимости ряда (5), то ^(ж,0-1 (Л)) = £^=о[0-1(Л)]пЬп является аналитическим продолжением функции и(ж,Л) из круга Сд в V'; если V С Сд, то данная функция не является аналитическим продолжением, но использование такого представления может оказаться более удобным для вычислений;

- если и(ж,Л) регулярна в V, а И — круг |п| < 1, то ^(ж,0-1(Л)) даёт аналитическое продолжение функции и(ж, Л) из круга Сд во всю область V'.

Если V — односвязная область, в которой и(ж, Л) мероморфна по Л, Л = 0 Є V, точка Л = Л*, для которой ищется значение функции, лежит внутри V, а Л = 0(п) осуществляет однозначное конформное отображение круга И(|п| < 1) на область V, -0(0) = 0, и для п* = 0-1(Л*) выполняются неравен-

ства шахПгЄя

< 1 и шах^єя

< шахдіЄд

по всем полюсам Лі в области V, п = 0 1(Лі). При этом:

, где максимумы берутся

у*

п+1 \

), где Л, > 0

остаточный член ряда (5) имеет оценку |Дп| = 0(

сколь угодно маленькое число, если в области V функция и(ж, Л) регулярна;

= о

п+1

пг ^, где п1 —ближайший полюс ^(х,п) из О, а г —

наибольшая кратность полюса.

При 1т(Л) — 0, в качестве области О рассмотрим плоскость с разрезом по вещественной оси [Л0, то), где 0 < Л0 ^ Л1. Отображающие функции в этом случае имеют вид [2]:

Л = 0(П) = -

4Л0г?

(1-г?)2

П = 0 (Л) =

\/Ао — А — \/Ло \/\о — X + \/Ло

Найдём коэффициенты для ряда (6): разложение функции Лк — [0(п)]к в ряд Маклорена имеет вид (—4Ао)#г £^=1 г}т+к-, подставляя его в (5)

п

Л

*

Л

г

и меняя порядок суммирования, получаем

го n

F(ж, n) = G f + ^ nn E(-4Ao)fcC2+--1 Gfc+1 f.

n=1 fc=1

Проведя ограничение количества членов ряда и выполнив замену :—

— (—4Л0)^£т=к ппСк2+-11, получим формулу для разложения

т

^(х, п) — С / + Е ¿пт) Сп+1 /.

п=1

Мероморфная по Л функция (5) имеет полюсы в точках спектра задачи (1) и, следовательно, аналитична на комплексной плоскости с разрезом по лучу [Л0; +то), где Л0 ^ Л1.

Рассмотрим последовательность ип — Сп /. Очевидно, что Дип — —ип-1. Применяя равенство (3) к этому уравнению, получим:

un(x) = J (un(y) + ——Р^6^2Д+ P^n-i(y)^ dy,

1 I f ґ \ і (-^ — р) (2-R + р) г J

Un(x) = E(un(xi) + s(x,xi)un-i(xi)).

Используя эту оценку для Ufc(жг) получим формулы:

N

Ul(Xo)=E Е s(Xi-i,Xi)f (Жг),

г=1

N NN

U2(xo)=^E s(xi-i,xi)ui(xi) = E Е s(Xi-i,Xi) £ s(Xj-i,Xj)f(Xj),

г=1 г=1 j=i+1

N NN (7)

ua(xo)=E£ s(Xi-i,Xi)U2(Xi) = E E s(Xi-i,Xi) £ s(Xj-i,Xj)ui(Xj) =

г=1 г=1 j = i+1

N N N

= E£ s(Xi-1,Xi) E s(Xj-i,Xj) ^ s(xz-i,xz)f (xi), i=1 j = i+1 l=j+1

которые очевидным образом позволяют оценивать конечное число степеней оператора Грина на одной траектории блуждания.

В трехмерном случае степени оператора Грина можно вычислять на траекториях процесса блуждания по шарам и сферам, описанном в [3], который естественно обобщается на случай комплексного параметра.

Пусть уравнение (1) однозначно разрешимо и 0 ^ |А| ^ c2, c = const, тогда интегральное представление для и имеет вид:

Ф) = 47ГД2(Ж) J u(y)dyS + (I - q) J Р(х,у)(М + С-^и(у)уу,

SR(x) KR(x)

йс / \ с2 вЬ((Я—г)с)

ГДе Ч = ЩЩ> = 47гт-(8Ь(Дс)-Дс) - плотность перехода из ж в у,

г = |ж — у|. Траектория для получения несмещенной оценки и(ж) строится следующим образом: пусть жо = ж. Точка жга+1 с вероятностью д(жп) распределена равномерно на сфере $д(Хп) и с вероятностью 1 — д(жп) - в шаре КД(Хп) с плотностью р(ж,у)2

Оценка и(ж) имеет следующий вид:

с2 \ с2

п=0 ^

где гга — индекс п + 1-го перехода в шар, N — число переходов в шар на траектории |жг}°=0.

Произведя перегруппировку по Л, получим, что

/(ж )

(- _ \ Л \П \ Л / (ж^ш)

4 — 2^ с2га+2 ^тХ(т^М)-

га=0 т=п

Сравнивая с (5), получаем несмещенную оценку для (п + 1)-й степени оператора Грина:

/оо,

с2

¿•(го+1) _ \ ' / ) /-'<п „, /о\

£ — 2п+2 ^тХ(т^М)- (о)

В [3] доказано, что описанный процесс с вероятностью 1 сходится к границе области и N < то с вероятностью 1. Кроме того, величина N имеет моменты всех порядков. Пусть М = шах(|/(ж)|), тогда

(п+1)

С

,2га+2 ^"1 с2га+2 М+1 "" с2га+2 (и + 1)!'

Значит, оценка £(га+1) имеет все моменты.

Решение задачи (2) можно представить в виде суммы объемного потенциала и гармонической внутри области функции:

и = V + г,

V = ^ 1 тЩлу,

4^ |ж — у1 (9)

э у ’

Дг = 0, г|Г = —V.

Значение функции V оценивается по одному случайному узлу, а г находится методом блуждания по сферам [4]. Повторное применение этого алгоритма позволяет вычислить степени оператора Грина на траекториях ветвящегося процесса, программная реализация которого выполнена с помощью простой рекурсии. Конечность дисперсии оценок очевидна.

2 Метод моделирования плотности описан в [4].

Ещё один способ вычисления степеней оператора Грина связан с вычислением самой функции Грина краевой задачи:

а{х'у) = щЬу\+з{х'у)-

Ду £(ж,у )=0, (10)

¿?(ж,г/)|г = -4?Т\х-у\-

В данном методе оценки степеней оператора Грина строятся как оценки соответствующих кратных интегралов

Оп / (ж) = ^ ••^ С(ж,У1)С(У1,У2) ...С(уп-1,Уп)/(Уп) ¿У1 ...¿Уп.

э

3. Модельная задача. Для проверки алгоритмов решалась внутренняя задача Дирихле для уравнения Гельмгольца в параллелепипеде размерами 1 х 2 х 3 с гранями параллельными координатным осям. Разрез для применения метода аналитического продолжения [13,43; +то). Известно, что в данном

Т аблица 3

Оценки решения уравнения без использования аналитического продолжения

те (8), с =10 (7) (9) (10) ветв.

Л = 5 + 5*

3 — 0,4211 + 0,0416* -0,4223 + 0,0396* -0,4101 + 0,0404* -0,4440 + 0,0381* -0,4225 + 0,0411*

4 — 0,4115 + 0,0041* -0,4121 - 0,0004* — 0,4152 + 0,0208* -0,4362 - 0,0013* —

5 — 0,3945 - 0,0060* -0,3933 - 0,0115г — 0,4159 + 0,0125* -0,4105 - 0,0183* —

6 -0,3847 - 0,0035* — 0,3821 - 0,0086* -1,7579 - 0,5223* -0,3697 - 0,0101* —

7 -0,3821 + 0,0009* -0,3790 - 0,0034* -23,755 - 35,169* -0,3578 + 0,0077* —

Л = 9 + 9г

3 -0,6074 + 0,2353* -0,6146 + 0,2322* -0,5622 + 0,2089* -0,6825 + 0,2668* -0,6136 + 0,2339*

4 — 0,6814 + 0,0177* -0,6936 + 0,0002* -0,7077 + 0,0946* -0,7852 + 0,0369* —

5 -0,5885 - 0,1709* -0,5912 - 0,2082* -0,7838 - 0,0622* -0,6579 - 0,2842* —

6 -0,4074 - 0,2325* -0,3844 - 0,2788* -26,144 + 2,0335* 0,1139 - 0,6241* —

7 -0,2519 - 0,1560* -0,2035 - 0,1897* -1372,9 - 577,83* 0,8417 - 0,3415* —

Л = 10 + 10г

3 -0,6922 + 0,3214* -0,7016 + 0,3181* — 0,6311 + 0,2827* -0,7871 + 0,3702* -0,6996 + 0,3203*

4 -0,8393 + 0,0212* -0,8577 - 0,0016* — 0,8702 + 0,1260* -0,9787 + 0,0549* —

5 -0,7286 - 0,3017* -0,7350 - 0,3573* -1,0128 - 0,1396* -0,8391 - 0,4889* —

6 -0,4164 - 0,4545* -0,3760 - 0,5319* -43,960 + 8,5757* 0,4680 - 1,2737* —

7 -0,0821 - 0,3400* 0,0223 - 0,3936* -2859,6 - 800,97* 1,9898 - 0,8941* —

Л = 15 + 15г

3 -1,4281 + 1,0719* -1,4595 + 1,0749* — 1,2371 + 0,9194* -1,6925 + 1,2775* — 1,4550 + 1,0764*

4 -2,6793 + 0,0586* -2,7892 - 0,0040* — 2,7120 + 0,3906* — 3,1945 + 0,2131* —

5 -2,9364 - 2,3934* -3,0685 - 2,7053* -4,1062 - 1,6261* -3,8639 - 3,9157* —

6 -0,5651 - 5,3197* -0,3418 - 6,0574* -330,23 + 260,71* 6,0616 - 17,818* —

7 5,1455 - 5,9184* 6,4623 - 6,7501* -48439 + 7075,7* 32,062 - 22,161* —

Л = 20 + 20г

3 — 2,8611 + 2,5252* -2,9352 + 2,5493* -2,4206 + 2,1430* -3,4413 + 3,0410* -2,9276 + 2,5488*

4 — 7,6159 + 0,1235* -7,9901 - 0,0082* -7,5000 + 0,8895* — 9,0292 + 0,5180* —

5 -11,012 - 10,209* -11,719 - 11,391* -14,031 - 7,6086* -15,495 - 16,881* —

6 -1,0190 - 29,982* -0,2284 - 34,056* -1388,3 + 1924,5* 26,331 - 108,94* —

7 41,762 - 44,041* 50,745 - 50,691* —4 • 10ь + 1 • 10ь* 221,12 - 182,03* —

случае все собственные значения задачи вещественны, положительны и А1 = = ^ и 13,4336.

В качестве точного решения выбиралась функция и(ж) = ж1(ж1 — 1)ж2 х х (ж2 — 2)жз(жз — 3), которая соответствует правой части

/(ж, А) = —2(ж2(ж2 — 2)жз(жз — 3) + ж1(ж1 — 1)жз(жз — 3) +

+ ж1(ж1 — 1)ж2(ж2 — 2)) — Аж1(ж1 — 1)ж2(ж2 — 2)жз(жз — 3).

В табл. 3 и 4 представлены результаты расчётов по алгоритмам, использующим оценки степеней оператора Грина (7)—(10) в точке ж = (0,3, 0,7,1), при этом точное решение и(ж) ~ —0,3822. Для сравнения в этой таблице также приведены оценки, полученные стандартным блужданием по сферам с ветвлением, но лишь для первых трех степеней по 10 000 траекторийз Время расчёта для значения А = 9 + 9г: 3 мин 16 сек (алг. (8), с = 10), 6 мин 54 сек (алг. (7)), 119 мин 59 сек (алг. (9)), 3 мин 32 сек (алг. (10)), 135 мин 51 сек

—12

(ветвление). Выборочная дисперсия оценок (|£—Я ) представлена в табл. 5.

Т аблица 4

Оценки решения уравнения с использованием аналитического продолжения

те (8), с= 10 (7) (9) (10) ветв.

Л = 5 + 5г

3 -0,3953 + 0,0082г -0,3955 + 0,0050г -0,3824 +0,0111г -0,4165 - 0,0010г -0,3957 +0,0066г

4 -0,3863 + 0,0023г -0,3846 - 0,0021г -0,4123 +0,0052г -0,4119 - 0,0050г —

5 -0,3846 + 0,0032г -0,3821 - 0,0009г -0,4116 + 0,0084г -0,3897 + 0,0050г —

6 -0,3845 + 0,0034г -0,3820 - 0,0002г -0,2830 - 3,3551г -0,3826 +0,0514г —

7 -0,3846 + 0,0034г -0,3821 - 0,0002г 84,742 - 70,034г -0,3432 +0,0192г —

Л = 9 + 9і

3 -0,4732 + 0,0073г -0,4746 - 0,0042г -0,4100 +0,0326г -0,5443 - 0,0147г -0,4732 - 0,0031г

4 -0,4046 - 0,0179г -0,3915 - 0,0348г -0,5230 - 0,1965г -0,5037 - 0,0405г —

5 -0,3908 +0,0011г -0,3711 - 0,0069г -0,5718 - 0,1643г -0,3007 +0,2158г —

6 -0,3934 + 0,0045г -0,3763 - 0,0006г 59,769 - 46,457г -0,9679 + 1,2490г —

7 -0,3937 + 0,0044г -0,3691 + 0,0018г 4985,1 + 1713,1г 1,4216 + 2,0162г —

Л = 10 + 10і

3 -0,5068 - 0,0062г -0,5079 - 0,0211г -0,4251 + 0,0370г -0,5949 - 0,0366г -0,5059 - 0,0191г

4 -0,4048 - 0,0354г -0,3854 - 0,0557г -0,5098 - 0,3149г -0,5324 - 0,0696г —

5 -0,3863 - 0,0003г -0,3586 - 0,0042г -0,5993 - 0,2877г -0,2711 + 0,3775г —

6 -0,3943 + 0,0062г -0,3794 + 0,0126г 115,03 - 54,515г -1,8013 + 1,9182г —

7 -0,3964 + 0,0047г -0,3788 + 0,0115г 8388,2 +5821,8г 2,2753 + 4,6233г —

Л = 15 + 15і

3 -0,6912 - 0,2003г -0,6891 - 0,2397г -0,5460 + 0,0078г -0,8634 - 0,3306г -0,6840- 0,2385г

4 -0,3069 - 0,1499г -0,2288 - 0,1780г 0,1884- 0,8792г -0,5856 - 0,3336г —

5 -0,3476 + 0,0445г -0,2895 + 0,1057г -0,0855 - 1,2239г -1,0441 + 2,2660г —

6 -0,4153 + 0,0248г -0,4640 + 0,0532г 682,01 + 364,24г -16,163 - 1,0112г —

7 -0,4071 + 0,0007г -0,4572 + 0,0594г -29852 + 92991г -30,061 +44,489г —

Л = 20 + 20і

3 -0,7879 - 0,5837г -0,7710 - 0,6568г -0,6738 - 0,1367г -0,9964 - 0,8752г -0,7612 - 0,6571г

4 -0,0282 - 0,1670г 0,1380 - 0,1560г 1,4750- 0,6595г -0,4192 - 0,6269г —

5 -0,3912 + 0,2047г -0,3935 + 0,3852г 1,6289 - 1,6852г -5,1498 +4,4360г —

6 -0,4993 +0,0182г -0,6700 - 0,0984г 844,57 +2120,6г -30,997 - 35,630г —

7 -0,4112 - 0,0067г -0,6799 - 0,0741г -3- 10ь + 1 • 10ьг -194,99 + 14,507г —

3 Вычисление большего количества степеней при использовании однопоточной реализации занимает слишком много времени.

Следует заметить, что в методе блуждания по сферам и шарам (алг. (8)) время расчётов сильно зависит от значения параметра с, так при с = 100 время расчёта для значения А = 9 + 9г выполняется за 113 мин 10 сек, но при этом несколько повышается точность.

Полученные результаты показывают, что оценки без аналитического продолжения не работают при И,е А > Аь Методы блуждания по шарам (7) и блуждания по шарам и сферам (8) с использованием аналитического продолжения решения дают неплохие результаты даже при И,е А > А1 (например, при А = 15 + 15г). С увеличением степени наблюдается сильный рост отношения стандартного отклонения к оцениваемому значению, поэтому увеличение количества членов ряда не приводит к улучшению оценок решения. Следовательно, для построения оценок при больших значениях параметра необходимо изменять алгоритмы для уменьшения дисперсии оценок или использовать многократное аналитическое продолжение по малому количеству членов ряда.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08-01-00194-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Михайлов Г. А. Весовые алгоритмы статистического моделирования. — Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2003. — 185 с.

2. Кублановская В. Н. Применение аналитического продолжения посредством замены переменных в численном анализе / В сб.: Работы по приближенному анализу/ Тр. МИАН СССР. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1959. — Т. 53. — С. 145-185.

3. Ермаков С. М., Некруткин В. В., Сипин А. С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. — М.: Наука, 1984. — 208 с.

4. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование: 2-е изд., дополн. — М.: Наука, 1982. — 296 с.

5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1967. — 436 с.

Поступила в редакцию 19/УП/2009; в окончательном варианте — 16/УШ/2009.

Таблица 5

Выборочная дисперсия оценки решения уравнения с использованием аналитического продолжения

те (8), с = 10 (7) (9) (10) ветв.

Л = 5 + 5г

3 0,5401 1,7720 6270,8 59,008 0,2705

4 0,6466 2,8980 3 • Юь 229,99 —

5 0,6839 3,9171 1 • Юу 1056,8 —

6 0,6783 4,2635 6 • Ю8 10806 —

7 0,6538 4,2636 2 • Ю10 20672 —

Л = Э + 9г

3 2,8526 12,550 90239 686,57 1,0584

4 7,6966 56,156 1 • Юу 9370,7 —

5 18,655 185,16 2 • 10й 2 • Юь —

6 38,391 396,61 4 • Ю11 7 • 10ь —

7 57,381 502,68 5 • Ю13 5 • 10' —

Л = 10 + Юг

и и-(|| I I м;'

3 4,3827 19,970 1 Юь 1132,4 1,623

4 14,552 112,10 3 10' 18843 —

5 44,185 509,09 6 10й 4 • Юь —

6 111,44 1392,5 1 • 101'2 2 • Юу —

7 199,41 2458,7 2 • Ю14 2 • Ю8 —

Л = 15 + 15г

3 24,496 124,03 1 • 10ь 7939,7 10,314

4 150,18 1277,7 4 • Ю8 2 • Юь —

5 855,50 10488 1 • Ю11 1 • Юу —

6 3934,6 48173 7 • Ю13 1 • 10й —

7 12182 1 • Юь 2 • Ю1Ь 2 • Ю1и —

Л = 20 + 20г

3 80,491 421,7 4 • 10ь 28524 37,057

4 678,16 5925,3 2 • 10й 1 • 10ь —

5 5296,7 65701 9 • Ю11 8 • Юу —

6 33022 4 • Юь 6 • Ю14 1 • Ю1и —

7 1 • Юь 1 • 10ь 2 • Ю1У 3 • Ю11 —

MSC: 65C05, 35J05

STATISTICAL ESTIMATES FOR THE DEGREES OF GREEN OPERATOR

A. N. Kuznetsov, A. S. Sipin

Vologda State Pedagogical University,

6, S. Orlova str., Vologda, 160035.

E-mails: pm_kan@uni-vologda.ac.ru, cac@uni-vologda.ac.ru

In this paper we examine known and some new algorithms for calculation of degrees of Green operator using Monte Carlo methods. Statistical estimations used for solving Dirichlet problem for Helmholtz equation with complex parameter. The efficiency of numerical realization of these algorithms is also considered.

Key words: Monte Carlo method, Helmholtz equation, analytical continuation, Green function, Green operator.

Original article submitted 19/VII/2009; revision submitted 16/VIII/2009.

Andrey N. Kuznetsov, Lecturer, Dept. of Applied Mathematics. Aleksandr S. Sipin (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics.