Продолжение вероятностного представления резольвенты для краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 13, Специальный выпуск 4, 2008

Продолжение вероятностного представления резольвенты для краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца*

В. Л. Лукинов

Институт вычислительной математики и геофизики СО РАН,

Новосибирск, Россия Новосибирский государственный университет, Россия e-mail: [email protected]

A problem of construction of statistical methods for solution of the Dirichlet problem for the Helmholtz equation when the spectral parameter is close or greater then the first eugenvalue of the Laplace operator is considered. The corresponding estimates and a probabilistic representation of solution are constructed by shifting the spectral parameter.

1. Постановка задачи

Рассмотрим краевую задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в области D С R3 с границей Г:

(Д + c)u = -g, u|r = у. (1)

Предположим выполненными следующие условия. Функция g удовлетворяет условию Гёльдера в D, D — ограниченное открытое множество в R3 с регулярной границей Г, функция у непрерывна на Г c < c*, где c* — первое собственное значение оператора

D

ноеть решения данной задачи, а также возможность его вероятностного представления и представления с помощью функции Грина для шара, предполагаются выполненными, в том числе и после замены всех параметрических функций на их модули. Введем следующие обозначения:

DD

d(P) — расстояние от точки P до границы Г;

Ге — е-окрестность границы Г, т. е. Ге = {Р G D : d(P) < е};

S(P) — максимальная го сфер (точнее, из гиперсфер) с центром в точке P, целиком лежащих в Д S(P) = {Q eD : \Q - Р\ = d(P)}.

Известно, что решение задачи (1) удовлетворяет интегральному соотношению [3]

u(r) = J k(r,r'; c)u(r')dr' + h(r), или u = Kcu + h. (2)

D

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-01-00334) и программы "Ведущие научные школы" (грант № 587.2008.1).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.

Алгоритмы метода Монте-Карло для решения (2) основаны на представлении

те

и = (I - Кс)-1й = к + КГ]1,КС =^ К, (3)

г=1

которое имеет смысл, когда для спектрального радиуса оператора КС верно неравенство р(КС) < 1, т.е. при с < с*. При с близком к с*, ряд сходится очень медленно и расходится, если с > с*. Таким образом, первая задача заключается в ускорении сходимости степенного ряда (3) при с < с*. Вторая задача состоит в по строении (I — КС)-1 при с > с*, когда ряд (3) расходится.

2. Схема аналитического продолжения резольвенты путем сдвига спектрального параметра с на с0

Стандартным подходом к аналитическому продолжению резольвенты является постро-

с

ражением односвязной области параметров на область сходимости ряда (3) [6]. Сдвиг параметра с па со приводит к методу простых итераций резольвенты ДС. Для этого рассмотрим следующую задачу:

Г(Д + (с — со))ио = -0, ио|г = <£,

\(Д + (с - со))и = -соиг-1 - 0, и*|г = <£, г > 1.

Перепишем (4) в виде

(Д + (с - со))(и1 - ио) = -соио, и1 - ио|г = 0,

(Д + (с - со)) (щ - и^-1) = -со(и;_1 - и^-2), (5)

и - и^_1 |г = 0, г > 2.

Заметим, что разность щ - и^_1 удовлетворяет следующему метаэллиптичеекому уравнению:

(Д + (с - со))г+1(иг - иг_1) = (-1)г+1со0,

(Д + (с - со))г(иг - иг_1)|г = (-1)гсо^, (6)

(Д + (с - со))к(и - иг_1)|г = 0, к = 0,..., г - 1.

Из вида задачи (4) следует, что предельная функция для рекуррентной последовательности решений щ удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1), При условии ||со(Д + (с -

п

со)) _11| < 1, используя равепство ип = ^ щ - и^, нетрудно показать ограниченность

г=1

нормы предельной функции (например, в пространстве Таким образом, справедливо следующее утверждение.

п

Лемма 1. Если ||со(Д + (с - со)) 111 < 1, то ^ щ - и^_1 — и щи п — то.

г=1

3. Алгоритмы "блуждания по сферам"

Рассматриваемые далее оценки метода Монте-Карло для решения уравнения (1) связаны с так называемым процессом "блуждания по сферам" в области Д В процессе "блуждания по сферам" очередная точка Рк+1 выбирается равномерно по поверхности

сферы Б(Рк); процесс обрывается, если точка попадает в Г£, Рассмотрим метагармони-ческое уравнение вида

(А + с)г+1у = -д,

(А + с)к = Ук, к = 0,...,г.

(7)

Справедливо следующее утверждение [4].

Теорема 1. Пусть выполнены условия, сформулированные выше, и с < с*, тогда, па,рам,етри,ческая, производная %-й степени от решения задачи (1) с функциональными параметрами

(-1)к(с - с1)*-к (-1)*

У =

к=0

-Ук, д =

-д

(8)

с1

При этом параметрическая производная и(г) с функциональными параметрами

д\ = -д-^-, <р1 = удовлетворяет уравнению (6), Поскольку разность функций

иг - иг-1 является решением метагармоничеекого уравнения (6), на основании следующей теоремы [5] очевидным образом строится смещенная оценка пк "блуждания по сферам" для аналитического продолжения резольвенты.

Теорема 2. Если с < с* и первые пространственные производные функций {и(г)}, г = 1,... ,п + 1, равномерно ограничены, в Б, то

|и(г) - Епп| < Спе, г е Б, £> 0,

где

Пп = Е

р=о

' N

N

г=0

П 3 (с) и=о

(р)

6(йг-щ)

N-1

П 3 (с)

И=о

(р)п

(9)

-2

Случайная величина и*, распределенная в интервале (0, ¿г) с плотностью 6х(1-х/й*)& и единичный изотропный вектор моделируются при помощи известных формул [3]

4. Связь аналитического продолжения с вероятностным представлением

и

мулированных выше условий для нее справедливо следующее вероятностное представление [1]:

и(г) = Е

ез(';с)д(Ш + е*(т ;с)у(Сг)

, 8(1; с)= с(&)<

(10)

где ^ — начинающийся в точке г соответствующий оператору Лапласа диффузионный процесс; т — момент первого выхода процесса из области Б. Справедливо следующее утверждение [4].

Лемма 2. Пусть выполнены у слову,я, сформулированные выше, и с < с*. Тогда

dju dcj

u

(¿) = e

d1

+ J] Clr^e^—^r, с)

1=0

(H)

Таким образом, из (6) и (11) получаем вероятностное представление для функции ига:

y^Uj - Ui-i = Er/n = E

i=1

i=0

E ( t*4 ) e(c~co)t9&)dt+E (V) e(c~co)r^)

i=0

(12)

Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим в п, 2, можно построить продолжение вероятностного представления резольвенты

u = lim En/

га—>00

Ее

i=0

i! i!

Лемма 3. ||c0(A + (c — c0)) 1|| < ^o Erjn ^ u при n ^ ж, где u — решение

задачи (1),

5. Результаты расчетов

Задача Дирихле решалась в кубе 0 < x, y, z < 1 для уравнения

Au + cu = 0,

м|г = cos (х-\/с/cos (yv^/3) cos c/3^ .

Точное решение имеет вид u(x,y,z-,c) = cos с/З^ cos [y^Jcj^j cos (^л/^/з)- ^ neP" bom случае решение оценивалось с помощью стандартной оценки "блуждания по сферам"

n- i

'Пе = u(rN,c) ТТ — J-J- Sin

Vcdj

j=0

(y/cdj)'

в точке г с координатами х = у = г = 0, 9 для разных значепий с. Известно, что для единичного куба с* = 3п2 ~ 29.609, Результаты расчетов приведены в табл. 1, Во втором случае решение оценивалось на основе вероятностного представления (12), Для этого с использованием метода Эйлера с постоянным шагом по времени Д£ статистически моделировались приближения гг к траектории случайного процесса ^ в моменты времени гД£. Решение находилось с помощью оценок

Zi = ecT ), Z2

' M ci T i \ ^ ^of

Z^ o\

i=0

i!

= (C-CQ

)T ).

T

T

Здесь Т — приближенное время выхода процесса Гг на границу куба; г^ — приближенная координага выхода. Результаты расчетов приведены в табл. 2.

Таблица 1

с N • Ю-6 е —и(г) —и(г) \u(r)-ù(r)\±^

50 16.7 кг4 0.639 280.4 281 ± 5674

50 1 ю-4 0.639 131162 131162 ± 131464

35 16.7 Ю-4 0.993 1.493 0.5 ±0.260

35 16.7 10"2 0.993 0.337 0.656 ±0.918

30 9.8 Ю-4 0.875 0.899 0.023 ±0.018

20 1 Ю-4 0.3197 0.3252 0.0055 ±0.004

15 0.4 Ю-4 0.078 0.0785 0.0004 ± 0.0003

10 0.24 Ю-4 0.00038 0.00046 0.00008 ± 0.0002

Таблица 2

со с N • Ю-6 Ai* • 102 —и(г) —и(г) \и(г) и(г) 1 ± У N

_ 30 102 1 0.875 1.086 0.001 ±0.179

_ 30 10 1 0.875 0.790 0.085 ±0.227

_ 35 1 1 0.993 5.385 4.392 ±3.452

5 30 1 1 0.875 1.143 0.268 ±0.185

5 30 ю2 1 0.875 1.086 0.211 ±0.179

10 35 ю2 Ю-2 0.993 2.923 1.93 ±0.516

Если решение оценивалось в помощью оценки Zi, то в первой колонке табл. 2 стоит прочерк, для оценки число слагаемых M бралось равным 50, Таким образом построены необходимые оценки метода Монте-Карло для аналитического продолжения резольвенты. Результаты расчетов показывают, что статистические алгоритмы, построенные путем сдвига спектрального параметра, эффективны в достаточно малой области изменения параметра.

Список литературы

[1] Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

[2] Елепов Б.С., Михайлов Г.А. О решении задачи Дирихле для уравнения Au + cu = —g моделированием "блужданий по сферам" // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. № 3. С. 647-654.

[3] Михайлов Г.А. Весовые алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Наука, 2003.

[4] Михайлов Г.А., Лукинов В.Л. Вероятностное представление и методы Монте-Карло для решения уравнений со степенями эллиптических операторов // Докл. РАН. 2003. Т. 390, № 6. С.' 1-3.

[5] Михайлов Г.А., Лукинов В.Л. Методы Монте-Карло для решения первой краевой задачи для полигармонического уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. Т. 45, № 3. С. 495-508.

[6] Савельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. М.: Наука, 1989. [Engl. Transi.: Springer-Verlag, 1991].

Поступила в редакцию 20 февраля 2008 г.