О линейно-выпуклой задаче оптимального управления с двумя закреплёнными концами Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Агафонова НЮ., Михайлов В.Н Интегральные представления уравнения Лапласа в составных трехмерных областях // Математика, механика, математическая кибернетика. Сб науч тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1999 С. 7-10

2 Тихонов А Н, Самарский А А Уравнения математической физики М : Наука,

1972.

3 Федик ИИ, Колесов B.C., Михайлов В.Н Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах М. Энергоатомиздат, 1985.

4 Ьоб;тк А.И., Михайлов В Н. Решение некоторых задач для уравнения Пуассона с граничными условиями IV рода // ЖВММФ 1974 Т. 14.1. С. 126-134

5 Аккуратов Ю Н., Михайлов В.Н Решение нелинейных стационарных задач теплопроводности с граничными условиями I - IV рода//ЖВММФ 1984 Т. 24, № 12. С. 1819-1826

УДК 517.977

FL Л. Андреева

О ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ДВУМЯ ЗАКРЕПЛЁННЫМИ КОНЦАМИ

Рассмотрим задачу оптимального управления, описанную системой линейных дифференциальных уравнений

dx

— = Ax + bu, fe[f0,i,], (1)

at

с двумя закреплёнными концами траектории

x(t0)=xüy д:(/,)=*,. (2)

с интегральным критерием качества

<i

/(х,и) = ¡F(x(t), u(t),l)dt-+mf. (3)

'о

Здесь заданные матрица А размерности пхп, векторы Ь, х0, х] и функция F(x, и, t) таковы, что:

1) пара (А, b) управляемая,

2) F(x, и, t) равномерно выпуклая по и) функция,

3) функция F(x, и, t) ограничена снизу, например F(x, и, t)> 0;

4) функция F(x, и, t) имеет производные Fx, Fu, Fuu, Fx,, Fu,,

5) производные Fx, Fu удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных (дс, и),

6) функция F(x, и, t) такова, что lim /(х, и,г)= +оо.

S1->о°-1»Ii,

Задача (I) (?) с двумя закреплёнными концами траектории безусловно является более сложной, чем задача с одним закреплением ,r(iu) = .ty. Тем не менее к исследованию этой задачи оказалась применима схема рассуждений, рассмотренная в [1]

Исходную задачу (1) - (3) рассмотрим как задачу нахождения минимума функционала (3) при ограничениях (1), (2), т. е.

min l(x,u), (4)

Ж, «(Ф2

где Q= {(x(t\ u(t)): x(t)G L"2[l0, f,]; u(t)e f,],

|-'o)

<x0 + jeA<>-'°)bukH},

здесь лл2[г0,г1]={40:^)=(дг,(/),х2(г),...>л',(г))1дг''(/)ел2[г0,г,],р = 1-«}; е4' - матричная экспонента или фундаментальная система решений

¿X

для — -Ах (¿1

Очевидно, что множество (2 выпуклое, при условии 1) управляемости пары (А, />) оно не пусто В силу условия 6) вместо множества Q можно рассмотреть ограниченное множество

&-<(*,И)6е: ИОЦ^,,^, |И(0|ч„в1,

где л > 0 - некоторая константа, возможно достаточно большая.

Равномерная выпуклость подынтефальной функции }7{х, и, г) обеспечивает строгую выпуклость функционала !(х, и) Тогда исходная задача (1) - (3) будет иметь единственное решение, как задача (4) минимизации строго выпуклого функционала 1(х,и) на ограниченном выпуклом замкнутом множестве гильбертова пространства

Пользуясь идеей метода штрафных функционалов, исходную задачу (1) - (3) заменим на последовательность задач минимизации функционалов Iк(х, и) без ограничений

пил 1к(х,и), (5)

где

/*(*,«)=/(*,«)+Ф*М, (6)

2

+

ijl'o. 'll

, I II2

+ ей*1 ~е -т0 - , (7)

Ч 'о II«-

числовая последовательность е* 4- О

Первое слагаемое в формуле (7) есть "штраф" за нарушение дифференциального уравнения (1) и начального условия дг(*0)=.г0, второе слагаемое соответствует закреплению траектории в правом конце д:(г1)=х1) и оно не равно нулю, как только это условие нарушается. Слагаемые выбраны таким образом, чтобы для любого к = 1,2,... функционал Фк(х, и) являлся выпуклым. Функционал 1к(х, и) из (6) являлся строго выпуклым, как сумма строго выпуклого и выпуклого функционалов Для каждого значения к - 1,2,... задача (5) - (7) имеет единственное решение, обозначим его

«*('))•

ТЕОРЕМА 1 Функции хк{1\ ик (г) являются единственным решением системы интегральных уравнений

^-"Ч+И-^мо* - „, о,

'о 2

К(х, и, I) + \(еА{Ь-\ и, а, = (8)

= ±^-\Х1-еА^х0 - Ге^МО^)..-е* /„

Схема доказательства. При условии существования и единственности решения задачи (5) - (7) необходимым и достаточным условием её решения являются уравнения м)= 0. Если

подсчитать &а(Ык(х, и) и преобразовать эти уравнения, учитывая асимптотику по малому параметру ек, то получим (8)

ТЕОРЕМА 2. Последовательность вектор-функций,

удовлетворяющих системе уравнений (8), сходится к решению (х*(/), и'(г)) задачи (1) - (3) в пространстве непрерывных вектор-функций.

Схема доказательства. Из метода штрафных функционалов, ограниченности множества получаем ограниченность последовательностей норм ||**(')1^[<0 г,|' I!(,0 (А" = 1» 2, ..) [2]. Это обеспечивает слабую сходимость в /-^'['о-М последовательности (г),ик ¡. Используя конкретный вид выпуклых штрафных функционалов Фк(х,и) из (7), можно доказать сходимость норм Цхк(г)!.,. -> х'(г)

¡МОП, (( , |^||к*(')||д | | ПРИ ':_>00> откуда получим сходимость по

норме и ¿2+'1'о>'|1 сначала 113 подпоследовательности, а затем и на всей последовательности: ) — лг (/)| ->0, ы*(')|| —>О

при к -у°° Исследуя интегральные уравнения (8) для приближённых решений хД/), можно доказать, что вектор-функции хк(1\ик(1) (к = 1,2,...) равномерно офаничены и равностепенно непрерывны, откуда и получим сходимость последовательности {**(/), «*(0}*=1 к решению задачи (1) - (3) в пространстве непрерывных вектор-функций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Андреева Н Л Интегральные уравнения с малым параметром для решения линейно-выпуклой задачи оптимального управления // Математика Механика: Сб. на-уч тр Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2000 Вып. 2 С. 6 -7.

2. Васильев Ф П. Численные методы решения экстремальных задач М : Наука,

1980

УДК 517.984

Л. Г1. Белоусова

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ИХ ТОЧНОЕ ОБРАЩЕНИЕ"

Впервые интегральные операторы вида

х 1

А/( х) = a,\A^x,t)f(t)dt + а2\A2(x,t)f(t)dt +

(1)

1-х 1 v '

+ а3 J/f3(l-A,0/W + a4 \A,{\-x,l)f{t)dt

О 1-х

были рассмотрены А.П. Хромовым [1]. В частности, получены формулы точного обращения оператора, показана равносходимость разложений Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора А ив обычный тригонометрический ряд Фурье, при некоторых ограничениях на

A,(x,t) и а,.

В данной статье рассмафивается оператор

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы «Ведущие научные школы», проект № 00-15-96123