CC BY
17
Н. Л. Андреева
УДК 517.977
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим задачу оптимального управления: найти траекторию х(г) е ¿2 [¿о, и управление и({)е ¿2[го>')] такие, которые связаны дифференциальными уравнениями
сЬ.:
— = Ах + Ьи, (1)
ш
х(^)=х0, (2)
доставляют минимум интегральному функционалу
J(x,u)=\F{x;,u,t)dt (3)
'о
при ограничениях на управление типа неравенства
|и(0|*1, i6po.il], (4)
здесь А - матрица размерности п х п; Ь,х0 - векторы размерности я; ^(х, и, г) - равномерновыпуклая по (х, и) функция, имеющая производные удовлетворяющие условию Липшица и имеющие вторые производные
Задачу (1) - (4) предлагается решать, используя идею штрафных функционалов [1].
2
+
Ы'о.'!)
+
где гк 4- 0 - малый параметр, ел' - матричная экспонента, функция у+ = тах(0, у).
Штрафные функционалы (5) позволяют задачу (1) - (4) заменить на последовательность задач на экстремум
м)= >/(х, и)+Ф^(х, ы)—» . (6)
ЛЕММА, Существует единственная точка минимума (хк(г), ик(1))е 1"2+1[с0, ?]_] функционала Jk(x, и) из (6).
Доказательство получается на основе сильной выпуклости функционала J(x, и) в пространстве 1?2+\ц, и выпуклости введённых функционалов штрафов (5).
ТЕОРЕМА 1. Функции хк({), ик({) являются единственным решением интегральных уравнений
*(0= + \еА^Ьи{1)^-\гкР'х{х,0, (7)
'о
К(х, и, 0+ —[(и(0 -1)+ - (- и(0-1)+] = -к, 0)я ^. (8) Ч !
Доказательство получается из необходимого и достаточного условия минимума сильно выпуклого функционала ¡р"а<1/А(х, и)= 0. Преобразуя эти уравнения и проводя асимптотику по малому параметру гк, получаем уравнения (7), (8) для (хк (V), ик({)).
Традиционным путём можно доказать, что последовательность \хк (?), точек минимума функционалов (6) со штрафами слабо схо-
дится к решению
М и(0
задачи (1) - (4), которое существует в силу
сильной выпуклости функционала J(x, и) из (3), линейности дифференциальных связей (1), (2), выпуклости ограничений (4). Слабая сходимость =1 позволяет называть пару ик(()) приближённым ре-
шением задачи (1) - (4). Использование уравнений (7), (8) с малым параметром гк позволяет доказать следующую теорему.
ТЕОРЕМА 2. Функции хк(<:\ (/), удовлетворяющие уравнениям (7), (8), являются равномерно ограниченными и равностепенно непрерывными.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреева Н. Л. Алгоритм решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления // Математика и её приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд - во Сарат. ун - та, 1991. Вып. 2. С. 56 - 57.
