О линейно-выпуклой задаче оптимального управления с ограничениями по норме Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

Н. Л. Андреева

О ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПО НОРМЕ

Рассмотрим задачу оптимального управления, описанную линейными дифференциальными уравнениями

— = Ах + Ьи, г €[0,1],

Л (1)

х(0)=х0,

интегральным выпуклым критерием качества

1

1{х,и)= ->• М (2)

о

и ограничениями на управляющую функцию

1Н')1ыо,1]-с- О)

Здесь А - матрица размерности пхп\ Ъ, х0 - заданные векторы, с - заданная константа, р(х,и,() - равномерно-выпуклая по (х,и) функция, имеющая производные Рх, Ри, Рии, Рхп Рш, причём Рх, Ри удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных (х,и).

Равномерная выпуклость подынтергальной функции р(х, и, г) обеспечивает строгую выпуклость функционала /(х, и). Исходная задача будет иметь единственное решение, как задача на минимум строго выпуклого функционала /(х,и) из (2) на выпуклом не пустом множестве пар функций (х(/), ы(?)), удовлетворяющих ограничениям (1) и (3).

Для решения задачи (1) - (3) используем метод штрафных функционалов, рассмотрим штрафные функционалы Фк(х,и) вида

, 2

о

Ф *(*,«) =

Ч

+

¿2[0,1] ~с). ] ' (4)

А/

где числовая последовательность £¿¿0, функция у+ = шах(0,у), е матричная экспонента.

Исходную задачу (1) - (3) заменим на последовательность задач [к = 1,2,...)

1к(х,и)= [(х,и)+фк(х,и)-^т{. (5)

Другими словами, задачу (1) - (3) на условный экстремум заменим на последовательность задач на безусловный экстремум функционалов (5), где

£2[0,1]; х({)е¿2[ОЛ]■ Функционалы Фк(х,и) определены в (4) и зависят от малого параметра гк ¿0. Первое слагаемое в формуле (4) есть "штраф" за нарушение дифференциальных уравнений (1). Второе слагаемое соответствует ограничениям (3), и оно не равно нулю, как только это ограничение нарушается. Эти слагаемые выбраны таким образом, чтобы для любого к = 1,2,... функционал Фк(х,и) являлся выпуклым. Функционал Iк (х,и) из (5) является строго выпуклым как сумма строго выпуклого и выпуклого функционалов. Для каждого значения к задача (5) имеет единственное решение По аналогии с тем, как это проделы-

валось раньше в [1, 2], можно доказать, что пара функций (хк (/), ик (г)) является единственным решением системы интегральных уравнений:

о ^

■ + ~с)+/|КО|12[0>1] + (6)

. г

где под знаком интеграла в последнем слагаемом записано скалярное произведение в пространстве векторов размерности п. Первое уравнение из системы (6) задаёт х(г)по формуле, "совпадающей" с формулой Коши с

точностью до слагаемого ^-Рх{х,и,г), которое является малым в силу

гк 4- 0. Если из первого уравнения системы (6) выразить х(г) и подставить во второе уравнение, то его можно рассматривать как уравнение относительно функции

ТЕОРЕМА. Последовательность функций, удовле-

творяющих системе уравнений (6), сходится к решению (х*(г), «*(/)) задачи (1) - (3) в пространстве непрерывных вектор-функций.

Схема доказательства. Из метода штрафных функционалов известна ограниченность норм последовательностей

1х*(')|1г[0,1]' 11.2[0,1] (* = 1>2>-) (см- [3]). Используя конкретный вид

выпуклых штрафных функционалов Фк(х,и) из (4), можно доказать сходимость норм 1и*(012[о>1]^'|м*(0||12[01] при к—><х, откуда будет следовать сходимость по норме в ¿2 [0,1]

|х*(0-Л0|^[о ,, |«*(0-ц 0 при Исследуя ин-

тегральные уравнения (6) для приближённых решений хк ({), ик О), можно доказать, что функции {хк (г), ик (?)} (к = 1,2,...) равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, откуда и получим сходимость последовательности {¿¿(г), ик(/)} к решению задачи (1) - (3) в пространстве непрерывных вектор-функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреева Н. Л. Алгоритм решения линейно-квадратичной задачи оптимального управления // Математика и её приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 2. С. 56 - 57.

2. Андреева Н. Л. Интегральные уравнения с малым параметром для решения линейно-выпуклой задачи оптимального управления // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 6 - 7.

3. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука,

1980.

УДК 519.61

Е. В. Бабенкова, Ю. П. Васильев

ДЕМПФИРОВАНИЕ МЕТОДА СЕКУЩИХ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

В работе [1] рассматривается демпфированный метод секущих приближенного решения нелинейного уравнения. В данной статье на основании работ [2, 3] предлагается построение модифицированного метода секущих с демпфирующим множителем для приближенного решения нелинейных уравнений с недифференцируемыми операторами.

Пусть такие уравнения имеют вид

Р(х) = 0, (1)

где Р: £> с 7?" Л" недифференцируемый оператор, действующий в области £> конечномерного банахова пространства Я".

Рассмотрим итерационный процесс с формулой

=*к -а-кАЧ'Хк-1 ~хк)~1Р(хк),к = 0,1..... х_ьх0€Д (2)

, х0 - начальные приближения; ак - демпфирующий множитель, подавляющий скачки отклонений от нуля невязки и увеличивающий скорость сходимости итераций [1]; 3 — линейный оператор, аппроксимирующий производную Гато некоторого дифференцируемого оператора

10