Численное решение одной задачи оптимального управления системой, описываемой линейным эллиптическим уравнением, при наличии нелокальных ограничений на состояние системы

Залялов Динар Гумарович; Лапин Александр Васильевич

Том 154, кн. 3

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2012

УДК 519.63^517.977.58

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМОЙ,

ОПИСЫВАЕМОЙ ЛИНЕЙНЫМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ, ПРИ НАЛИЧИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ

Д. Г. Залялов, A.B. Лапин

Аннотация

Рассмотрена задача оптимальпого управления правой частью лилейного эллиптического уравнения при наличии поточечных ограничений па функцию управления и нелокального ограничения па функцию состояния системы. Построены сеточная аппроксимация задачи, доказано существование единственного приближенного решения и сходимость к точному при измельчении сетки. Изучена сходимость двух классов итерационных методов решения полученной сеточной задачи оптимизации. Проведено сравнение численных результатов, полученных разными методами, проанализирована зависимость скорости сходимости от шага сетки и параметра регуляризующего слагаемого в целевом функционале.

Ключевые слова: линейное эллиптическое уравнение, оптимальное управление, копечпо-разпостпая аппроксимация, итерационные методы.

Введение

Задачи оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных при наличии ограничений на состояние системы, представляют собой весьма сложный объект численного анализа.

Известны два основных подхода при решении указанных задач оптимального управления. В первом из них для дифференциальной задачи строится функция Лагранжа и затем находятся ее стационарные точки. Основная трудность в этом случае связана с отсутствием какой-либо гладкости множителей Лагранжа. которые являются лишь мерами. В связи с этим используются методы регуляризации дифференциальных задач (регуляризации типа Моро Иосиды или Лаврентьева), затем регуляризованные задачи аппроксимируются конечномерными задачами и решаются каким-либо из известных методов (см. статьи [1 7] и библиографию в них). Второй подход к решению задач оптимального управления, в том числе с ограничениями на состояние, состоит в первоначальной аппроксимации дифференциальной задачи с использованием, как правило, сеточных методов, и в дальнейшем решении дискретной задачи оптимизации с ограничениями-равенствами и ограничениями-неравенствами. Несмотря на «классический» характер таких задач (см. монографии [8 10]). проблемы построения эффективных итерационных методов их решения продолжают оставаться актуальными [11]. поскольку в большинстве случаев эти задачи характеризуются очень высокой размерностью и плохой обусловленностью.

Настоящая статья является продолжением исследований в области построения и теоретического и численного анализа итерационных методов решения сеточных

задач оптимального управления с ограничениями на функции управления и состояния (см. [12 14]).

Рассматривается следующая задача оптимального управления. В качестве задачи состояния выступает однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной области П с липшицевой границей дП:

-Ау = и, х е П, у(х) = 0, х е дП. (1)

Здесь и — функция управления, решение у — состояние системы. Множества ограничений на функции управления и состояния задаются формулами

Ua

{u G L2(fi) : |u(x)| < 1 Vx G О}, Yad = jy G #1(0) :J y(x) dx < lj,

а целевой функционал имеет вид

J(y, u) = i f(y~ Уdx + ^ J1,2 dx> r = const > yd G ^(fl). n n

Рассматриваемая задача оптимального управления аппроксимирована конечно-разностной задачей на равномерной сетке в случае квадратной области О. Изучена однозначная разрешимость исходной и сеточной задач, сходимость приближенных решений к точному. Наряду с исходной дискретной задачей оптимального управления рассмотрена регулярпзованная задача. Получена оценка нормы разности решений исходной и регуляризованной задач.

Для обеих конечномерных задач построены итерационные методы решения, доказана их сходимость. Проведены численные эксперименты, направленные на сравнение скорости сходимости предложенных итерационных методов, в том числе при уменьшении шага сетки, и параметра r.

1. Аппроксимация задачи оптимального управления

Обобщенная постановка задачи состояния (1) формулируется в виде интегрального тождества

y G #1(0): Jvy •Vzdx = J uzdx Vz G #1(0). (2)

n n

Оно имеет единственное решение y G #°(0) при любой правой части u G ¿2(0), при этом справедливо неравенство устойчивости

\\у\\но(п) < k\\u\\L2{n), к = const. (3)

Лемма 1. Задача оптимального управления

найти min J (y,u),

(y,u)eK (4)

K = {(y, u) : y G Yad, u G Uad, выполнено (2)}, имеет единственное решение.

Доказательство. Множества Uad и Yad выпуклы и замкнуты, при этом Uad ограничено. Отсюда, а также из линейности уравнения состояния (2) и неравенства устойчивости (3) следует выпуклость, замкнутость и ограниченность множества K. Функционал J - непрерывный и строго выпуклый в #°(Q) х ¿2(0).

KJ

задачи (4). □

Пусть И = (0,1) х (0,1). Построим конечно-разностную аппроксимацию задачи (4) на равномерной сетке = {(х^,у^) = (гН,]Н), г,] =0,1,. . . , п+1; (п+1)Н = 1}, считая, что функции и и у^ непрерывны. Будем обозначать через узловые параметры сеточной функции то есть = ун(гН,]Н).

Конечно-разностные аппроксимации задачи состояния (2). множеств ограничений на сеточные функции управления ин и состояния ун и целевого функционала имеют соответственно вид:

-уг-13- + 2уц - -У4-1 + 2уИ - Уц+1 _

И2 + Ь? (5)

„ Уо>з = Уз0 = Узи+1 = Уп+1] = 0.

п

иЬ = {ин : \иц | < 1, г,] = 1, 2,...,и}, Унл = {ун : Н2 V у^ < 1}.

h2 v^ , ч2 rh2

Jh{yh, Uh) = — (yii ~yd^2 + ~ u-

i,j=1 i,j=1 В результате получаем конечномерную задачу оптимального управления

найти min Jh(yh,uh),

(yh,uh)eKh (6)

Kh = {(yh,Uh) : yh G Y/hd, uh G выполнено уравнение (5)}.

Аналогично лемме 1 легко доказать следующее утверждение.

Лемма 2. Задача (6) имеет единственное решение.

Проведем исследование сходимости последовательности решений задачи (6) при h ^ 0 к решению задачи (4). С этой целью прежде всего запишем конечно-разностную задачу (6) в виде задачи для сеточных функций из конечномерного подпространства пространства Hq(Q) х L2(Q).

Пусть каждая ячейка [x1,x1 + h] х [x2,x2 + h] сетки wh разбита на два треугольника диагональю, параллельной биссектрисе положительного квадранта. Множество полученных треугольников ßi образует триангуляцию Th замыкания области Q. Обозначим через Vh = {yh G C(Ü) П Hq(Q) : yh(x) линейна на каждом ei G Th} С Hq(H) пространство конечных элементов.

Пусть далее S(x) = [xi — h/2,xi + h/2] x [x2 — h/2,x2 + h/2] для x G Wh и Wh С L2(Q) - это пространство кусочно-постоянных функций, постоянных на S(x) и продолженных нулем на Q \ |J S(x).

Ясно, что функции yh G Vh и yh G Wh однозначно определяются своими узловыми значениями {yij} в узлах сетки Wh, поэтому между yh и yh существует взаимно-однозначное соответствие. Кроме того, справедливо неравенство:

\\yh — Vh\\b2 < ch\\yh\\Hi. (7)

Используя введенные обозначения, сеточную задачу состояния перепишем в виде

J ^yh •^zh dx = j UhZh dx Vzh G Vh, (8)

n n

а сеточную задачу оптимального управления (6) в следующем виде:

наити nun {Jh(yh,uh) = - f(yh-ydh) d,x + - f uhdx}, (yh,uh)eKh 2 J 2 J

n n

Kh = {(yh,uh) : yh G Yhd,uh G Uhd и выполнено уравнение (8)}.

Лемма 3. Пусть (yh,v>h) G Kh и последовательность {(yh,v>h)} слабо в Hq(Q) х L2(Q) сходится к (у, и). Тогда (у, и) G K.

Доказательство. Возьмем функцию z G C(Q) П Hq(Q) и обозначим через zh и zh ее Vh- и Wh-интерполянты (сеточные функции из соответствующих пространств, совпадающие с z(x) в у злах сетки wh). Тогда последовательность {zh} сходится сильно в H1 к z, а последовательность {Zh} сходится к z сильно в L2. Переходя к пределу при h ^ 0 в интегральном тождестве

У ^yh • Vzh dx = J ZhZh dx, Vzh G Vh, n n

получим (2). Поскольку пространство C (Q) П Hq (Q) плотно в Hq(Q), to пара (у,и) удовлетворяет уравнению состояния (2).

Множества Yad С HQ(il) и Uad С L2(Q) выпуклы и замкнуты, следовательно, слабо замкнуты, поэтому у £ Yad, и £ Uaci. В итоге (у, и) €= К. □

(у, и) G K

{(yh,uh)} функции из Kh, которая силь но в Hq(Q) х L2(Q) сходится к (у, и).

Доказательство. Пусть (у, и) G K, в частности j y(x) dx ^ 1. Поскольку

n

последовательность (уп,ип) = п(у, и) принадлежит K и сильно в Hq(Q) х L2(Q) сходится к (у, и) при п ^ 1 — 0, то можно доказывать утверждение леммы для

пары (у, и) G K такой, что j у (x) dx ^ п < 1.

n1 Определим Zh G Wh равенством Zh = h-2 j и(Ь) dt на ячейке S(x) и пусть

S(x)

уъ - решение уравнения состояния (8) с правой частью nh. Тогда uh G Uhd, последовательность Zh сильно в L2(Q) сходится к и и последовательность уъ сильно в Hq(Q) сходится к у при h ^ 0. Из последнего утверждения вытекает, что

Jуъ dx ^ J у dx ^ п < 1, поэтому, начиная с некоторого h(n), функции уъ G Yhd. nn

Таким образом, начиная с h ^ h(n), последовательность (уъ,nh) иринадлежит Kh и сильно в х L2(il) сходится к (у, и). □

Теорема 1. Последовательность решении {(уь,,^^)} сеточных задач оптимального управления (9) сильно в Hq(Q)xL2(Q) сходится к решению (у, и) задачи оптимального управления (4).

Доказательство. Из (8) и ограниченности ||Zh||L2 следует ограниченность \\у^\т ■ Отсюда и из неравенства (7) следует существование подпоследовательности (сохраним за ней обозначение (уъ, nh)) и пары (у, и) G Hq(Q) x L2(Q) таких,

уЪ ^ у слабо в Hq(Q) и сильно в L2(Q) при h ^ 0, zh ^ у сильно в L2(Q), nh ^ и слабо в L2(Q) щи h ^ 0.

(у, и) K

любой пары функций (z,v) G K существует последовательность (zh,Zh) из Kh, сильно в Hq(Q) х L2(Q) сходящаяся к (z,v). Поэтому

J (у, и) < liminf Jh^h^h) < lim Jh(zh,Vh) = J (z,v). (10)

h0 h0

Итак, пара (y, и) является решением задачи (4). В силу единственности решения и вся последовательность {(yh,uh)} слабо в H¿(íl) х L2(íl) сходится к (y,и).

Докажем ее сильную сходимость. Для этого возьмем в цепочке неравенств (10) последовательность (zh,vh) из Kh, сильно в х L2(íl) сходящуюся к (y, и),

откуда получим, что последовательность Jh(yh, uh) стремится при h — 0 к J (y, и).

Поскольку yh — y, ydh — yd сильно в Ъ2(й), то J(yh - ydh)2 dx — J(y - yd)2 dx,

n n

поэтому и j uhdx — J u2 dx при h to0. Вместе га слабой сходимостью в L2(Ú) ио-nn

следовательпости {Uh} к и это влечет ее сильную сходимость. Осталось доказать сильную сходимость в Hq(Q) последовательности решений {yh} уравнения состояния (8) к y. Пусть zh сильно в Hq(Q) стремятся к y. Тогда, используя уравнения состояния (8), получим

У V(yh - Zh) • V(yh - Zh) dx = J iihOUh - Zh) dx - J Vzh • V(yh - zh) dx. n n n

Левая часть этого равенства стремится к пулю, поэтому ||yh - zh||Hi — 0, откуда следует сильная сходимость {ун} к у в Hq(í1). □

2. Конечномерные седловые задачи

Пусть множество внутренних узлов xij, 1 ^ i, j ^ n, сетки i¿h каким-либо образом упорядочено. Поставим во взаимно-однозначное соответствие сеточным функциям векторы из RN, N = n2, их узловых параметров с координатами, соответствующими выбранному упорядочению узлов. Далее || • || и (•, •) - это евклидова норма и скалярное произведение в RN.

Система линейных уравнений (5) может быть записана в виде Ly = и с симметричной и положительно определенной матрицей L - матрицей сеточного оператора Лапласа при пулевых граничных условиях Дирихле. Отметим, что минимальное

собственное число L равно ¿tm¡n = — sin2 — и ограничено снизу константой.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

h2 2

h

Множества ограничений в сеточной задаче принимают вид:

N

Uad = {и е Rn : Ы < 1 Vi}, Yad = {y G Rn : ]Т h2yi < 1 Vi},

i= i

1 V

а целевая функция после деления на

h2

равна -||у - yd||2 + тт1Н|2- Пусть <р(и) =

= Iuad (и) и в (y) = Iyad (y) — индикаторные функции множеств Uad и Yad■ В итоге сеточная задача оптимального управления (6) преобразуется к виду

mm jj(y,u) = \Wy-ydW1 + ^|М|2 + %)} . (И)

Определим функцию Лагранжа для задачи (11) равенством

Цу, «) = \h - У*II2 + ^IMI2 + <р(и) + е(у) - (Ly - и, А). (12)

Седловая точка функции Лагранжа является решением (см.. например. [16]) следующей системы, дающей условия оптимальности первого порядка:

Е 0 —Ь\ (у\ (дв(у) \ (уЛ 0 гЕ Е I I и I + I д<р(п) I Э I 0 I . (13)

—ЬЕ 0 ) \Х) \ 0 ) \0/

Лемма 5. Задача (13) имеет решение (у, и, X), при этом пара (у, и) определяется однозначно и совпадает с решением. задачи (11).

Доказательство. Введем следующие обозначения: х = (у,и), ф(х) =

Ш,?(и)),

(14)

С=(-Ь Е)- А = (Е гЕ)-

Матрица А положительно определена, в то время как матрица С имеет полный

(у, и) = (0, 0)

жества Уаа х иаа и удовлетворяет уравнению Ьу = и. Перечисленные свойства обеспечивают справедливость сформулированного результата (см. [13. гл. 5]). □

Пусть теперь индикаторная функция в(у) = 1уаЛ (у) множества Уай аппроксимирована дифференцируемой функцией

1 ( к

Рассмотрим наряду с седловой задачей (13) следующую регуляризованную задачу: Е 0 —Ь

0 гЕ Е | | ие | + | 3^(ие) | Э | 0 | . (15)

-Ь Е 0

Здесь градиент Уве(у) функции в(у) - вектор с постоянными координатами, рав-

1 N

нымп — ^ И? у г — 1

Аналогично лемме 5 нетрудно доказать, что задача (15) имеет решение (уе, ие, Хе) с единственными компо нентами уе и ие. Более то го, Хе также определяется однозначно из равенства Хе = Ь-1(уе — уа + Уве(уе)).

Оценку близости решений исходной и регуляризованной задач дает следующая

Лемма 6. Пусть (уе, ие, Хе) - решение регуляризованной задачи (15), (у,и,Х) -решение исходной седловой задачи (13), 7у € дО(у) - соответствующий этому решению однозначно определяемый вектор из множества дв(у), то ееть чу = = у а — у + ЬХ. Тогда справедлива оценка

+ (16)

Доказательство. Будем использовать введенные ранее обозначения для векторов и матриц А и С (см. (14)) и пусть, кроме того, фе(х) = (9е(у), <р(и)). Используя эти обозначения и вычитая (13) из (15), получим

А —СТ\ /Хе — х\ + /дфе(Хе) — дф(х)^ Э 0

Умножая теперь скалярно соотношения этой системы соответственно на хе — х и А — Ае и складывая, приходим к равенству

||уе — у||2 + г ||ие — и||2 + (У0е(уе) — д0(у), уе — у) + (д^(ие) — д^и), ие — и) = 0.

Из монотонности оператора д<^> следует (ду(ие) — д<£>(и),ие — и) ^ 0. В силу выпуклости справедливо неравенство (У#е(уе),уе — у) > #е(уе) — 0е(у) = 0е(уе). В результате получим

||уе — у||2 + г ||ие — и||2 + 0е(уе) < (7у,уе — у), 7у е д0(у). (17)

Множество ограничений Уаа - это полупространство, граница которого - плоскость

n

Б = {у : ^ = 1}. Вектор 7У = 0, если у принадлежит внутренности Уаа, он ¿=1

N

ортогонален плоскости Б и направлен в сторону возрастания ^ тел и у е Б.

¿=1

Поэтому (7у, уе — у) > 0 только в том случае, когда уе е Далее считаем, что уе - такой вектор. Обозначим через Р^ оператор ортогонального проектирования па плоскость Б, тогда

(7у ,уе — у) = (7у ,уе — у — (у£ — у)) = (7у ,уе — Р« (у£)) = ьу Н^е — Р« (у£)| =

1 n

Il7.ll ( Е ^ " !)+ < + -(( Е ^ " !) + )2 = + Ш- (18)

n 1 n

е" 9 ¿((Е^-1)+)2 = ||

¿=1 ¿=1

Из (17) и (18) следует оценка (16). □

Замечание 1. а) Если решение седловой задачи (у, и, А) - единственное, то 7У е д0(у) - также единственный вектор, определенный равенством 7У = уа — — у + ЬА.

b) Для оценки близости точного и регулярнзованного решений можно использовать в (16) вектор 7У = у а — у + ЬА с вычисленными приближениями к у и А.

c) Величина ||7у || в оценке (16) зависит от количества точек сетки, в кото-

у

ограничения «жесткие».

Пусть теперь индикаторная функция ^ множества ограничений иаа также заменена регуляризованной функцией

где V- и - векторы с координатами и- и г>+ соответственно. Рассмотрим полностью регуляризованный вариант задачи:

У0е(уе) \ (у^

У^К)! = I 0 I . (!9)

Она имеет единственное решение (уе, ие, Ае).

Лемма 7. Пусть (уе,ие,Ае) - решение регуляризованной задачи (19), (у, и, А) - решение исходной еедловои задачи (13). Пусть 7У е д#(у) и 7„ е е д^(и) - соответствующие этому решению однозначно определяемые векторы

из множеств дв(у) и д<р(и), то ее ть 7у = у а — у + ЬА, 7и = —ги — А. Тогда справедлива оценка

Ь-у||+Н1»,-»112^|(117у112 + 1Ы12). (20)

Доказательство. Почти дословно повторяя доказательство леммы 6. получаем неравенство (аналог (17)):

\\уе — у||2 + Г \\и£ — и\\2 + в£(у£) + ^е(ие) < (^у, уе — у) + (1и,и£ — и),

где 7у £ дв(у), 7„ £ д<р(и). Оценка (7У,у£ — у) ^ т;||7у1|2 + получена выше.

Далее.

(7и,ие — и) < ^ 1иг(иеЛ + 1) + ^ 1иг(иеА — 1) = (7-, (ие + 1)") + (7+, (ие — 1)+), где I = (г : ие i < — 1; и < 0} и 3 = (г : и ел > 1 и 7^ > 0}. Отсюда

(7и? ие — и) < (ие + 1)-) + (7+, (ие — 1) + ) <

1 е < 27(11(«, + 1)-||2 + ||(«,-1) + ||2) + ^(||7и112 + 117^1|2) =

= ^Ы + |||7и||2. (21)

Объединяя полученные оценки, приходим к (20). □

3. Итерационные методы решения седловых задач

3.1. Градиентный метод решения регуляризованной задачи (15). Разу

А и

индекс е у вектора ие ):

ги + Ь-2и + Ь-1У0е(Ь-1и) + дф(и) Э Ь-1уа. (22)

Применим для решения (22) одношаговый итерационный метод

+ Реик + д^(ик+1) Э Ь-1уа, (23)

Т

где Ре = гЕ + Ь-2 + Ь-1У0е о Ь-1.

Алгоритм реализации метода (23) состоит из следующих шагов.

ик

ния Ьук = ик;

2. Находим сопряженное состояние Ак = Ь-1(ук — уа + Ч9е(ук)) ■

3. Находим новое приближение к вектору управления, решив включение с диагональным максимально монотонным оператором Е + тд^>:

ик+1 + тд<р(ик+1) Э (1 + тг)ик — тАк.

При исследовании сходимости и скорости сходимости метода (23) будем использовать следующий результат.

Утверждение 1 [12, Теорема 4]. Пусть Q - монотонный (в общем случае многозначный) оператор, а оператор Р удовлетворяет условиям

(Р(и) — Р(о),и — V) > а\\и — ъ\\2в,

(24)

(Р(и) — Р^),ш) < в1/2 (Р(и) — Р(V),и — ^о)1/2\\ш\\в,

где В - симметричная и положительно определенная матрица. Тогда итерации стационарного одношагового .метода

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

-в{ик+1 - ик) + р(ик) + д(«*+1) Э О

т

сходятся к решению включения Р(и) + Q(u) Э 0 щи т € (0, 2/в) и любом начальном приближении и0. Для оптимального параметра т = 1/в справедлива оценка

\\ик+1 — и\\в < р1/2\\ик — и\\в, Р =1 — а/в- (25)

Теорема 2. Итерационный метод (23) сходится при

2е

0 <т <

Мт1п + Ф + Мтш)

где рт[п - минимальное собственное число сеточного оператора Лапласа. При

Mmin + Ф + Mmin)

скорость сходимости характеризуется неравенством ||«fc+1 -«|| < p1/2\[uk -«У, р= 1 -

¿min + £(r + Mmin)

В

статочно получить оценки вида (27) для оператора Ре = Р1 + Р2е, где Р1 = Ь-2 + гЕ, Р2е = Ь-1 Уве о Ь-1.

Для Р1 справедливы оценки гЕ ^ Р1 ^ (г + РтП)Е. Далее, оператор Р2е - моно-

-2 min

тонный:

(Р2е(и) — Р2е^), и — V) = (Уве(Ь-1и) — Уве(Ь-1о), Ь-1и — Ь-1v) > 0.

Р2

для вектора Уве (у). Напомним, что Уве (у) - это вектор с постоянными коорди-

1 „ N иатами. равными —гигс1еу+, у = ) — 1- Поэтому

£

г=1

1 N 1

(Ув£(у) - УвеН, у - = -Ау+ - - = ^гЛу+ - *+){у -*) >

1=1

и как следствие

1 К

(ЧвЕ(у) - = -(у+ - 1+) ][>< <

1

<

г=1

N

< ^-{УвМ - ¿)1ПЛ\х\\. (26)

Vе

В силу неравенства (26) справедлива следующая оценка для Р2 Е:

(Р2 . («) - Р2 . (V), го) < -Ц= (Р2 , («) - Р2 Л г»), « - г»):1/2 11 и-11,

Мтт V е

Объединяя оценки для Р1 и Р2 е, получим

II 112

(РЕ(и) - Ре(у),п - V) > г\\и - , (.Ре(и) - Ре^),т) < в1/2 (Ре(и) - Ре^),и - v)1/2\\w\l

(27)

где в = Мтт + г + Мтте • Для завершения доказательства достаточно воспользоваться утверждением 1. □

3.2. Предобусловленный метод Узавы для исходной задачи. Исключив векторы у и и в системе (13), получим уравнение для А

Р(А) = Ь(Е + дв)-1(ЬА + уй) - (гЕ + дф)-1{-А) = 0. (28)

Применим для решения (28) итерационный метод

Ай+1 — Ак

Ь2-+ Р(Хк) = 0, (29)

т

являющийся иредобусловленным методом Узавы для отыскания седловой точки функции Лагранжа (12). При реализации этого метода выполняются следующие шаги.

1. Для известного вектора Ак находим ук и ик , решив включения с диагональными максимально монотонными операторами

(Е + дв)ук э ЬАк + уа и (г Е + д^)ик э -Ак.

2. Вычисляем рк = Ь-1ик .

3. Решаем уравнение

г Ак+1 - Ак к к Ь-= -ук+рк-

т

Теорема 3. Итерационный .метод (29) сходится при условии

2Г

0 <т<-(30)

Г + Мтт

Доказательство. Согласно [13] итерационный метод (29) сходится, если выполнено неравенство

ь2 > IСА(31)

где А и С - матрицы, определенные в (14). Поскольку СЛ-1СТ = Ь2 + г-1Е < (1 + 2 г

условие (31) выполнено при г < -□

Г + Мш1п

Рассмотрим теперь метод У завы для полностью регуляризованной задачи (19) и получим оценку скорости сходимости и теоретически оптимальный итерационный параметр т.

Исключив векторы у и и в системе (19), для нахождения А получим уравнение Ре(Х) = Ь(Е + Уве)-1 (ЬА + уа) - (гЕ + Усре)-1(-А) = 0. (32)

Применим для решения (32) итерационный метод

А&+1 _ Ак

Ь2-+ Ре{\к) = 0. (33)

т

Теорема 4. Итерационный .метод (29) сходится при условии

2г

0<г< ^ _2 . (34)

Г + Мшт

При

r + Mmin

скорость сходимости характеризуется неравенством ||«fc+1 -«|| < p1/2\[uk -«У, р= 1 -

(1+ e)(r + р

m2 ) min

Доказательство. В очередной раз используем утверждение 1, полагая В = = Ь2, Р = Р1Е + Р2е, Р1 е (А) = Ь(Е+Уве )-1(ЬА+у а), Р2 е (А) = -(гЕ+У^ )-1(-А). Непосредственные вычисления дают равенство

(Е + УвЕ)-1{у).1=у1--^-у+ У г, 1 + £

из которого следует неравенство

((Е + Ув£)-1(у) - (Е + Ув£)-1(г),у - г) =

1 £

= IIу ~ ¿II2 - ~ у - z) > —Цу - ,||2.

Р1

(Р1е(Х) -РМ,Х-(л) > —||Ь(А — р)\\2 VА,

1 + £

Р2

(Р2е(А)-Р2е(р),А-р) = (-(гЕ+У<^ е)-1(-А) + (гЕ+ )-1(-р),А-р) > 0 VА, р.

Далее, из неравенств

\\(Е + Уве)-1(у) - (Е + Уве)-1(г)|| < ((Е + Уве)-1(у) - (Е + Уве)-1(г), у - г)1/2,

re

r

следуют оценки сверху для операторов P1e и P2e:

(Pie(A) - Pi e(M),C) > (Pie(A) - Pie(M),A - m)1/2||LCУ VA, Z.

(РоЛА) - Р2Лм), С) < А) - Р2Лм), А - м)1/2||С|| <

< "ттт-—(Р2ЛА)-Р2Лм),А-м)1/21|ьС11 VA, С

r Mmin

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Объединяя оценки для Pi e и P2 e, получим

£ II 1|2

(РЛ'И) -PE{v),u- v) > —— kt-f Г,

1 + £ 11

(Pe (u) - Pe (v),w) < в1/2 (Pe (u) - Pe (v),U - v)1/2|

w

где /3 = 1 -|—ту^-. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться

? Мтт

утверждением 1. □

Как видно из оценок теорем 2 и 4. градиентный метод и метод Узавы для регу-ляризованных задач сравнимы по скорости сходимости (асимптотически по £ они имеют одинаковую скорость сходимости). При этом в методе Узавы допустимый интервал для итерационного параметра не зависит от £, более того, теоретически оптимальный параметр

г

т = --

Г + Мш1п

также не зависит от £. Поэтому формальный переход к пределу при £ ^ 0 дает теоретически «оптимальный» итерационный параметр в методе Узавы для исходной (нерегулярнзованной) задачи. Численные эксперименты показывают, что численно оптимальный параметр т близок к указанному значению.

3.3. Контроль точности и критерии остановки. Для контроля точности итераций мы используем оценку нормы вектора невязки, определение которого в случае решения включения с многозначным оператором, дано ниже. При решении системы

Ах - СтА + э /, Сж = 0

каким-либо итерационным методом, мы находим не только приближение (хк , Ак) к точному решению (х, А), то и единственный вектор 7к € д-0(жк). Определим компоненты вектора повязки равенствами

гк = / - Ахк - 7к + СтАк, гк = Схк. (35)

Тогда вектор погрешности (х — хк, А — Ак)т удовлетворяет системе включений

A -^fx - x^ + fd^(x) - 7^ ^ frk^

k \ _ \k\t

C 0 I \A-Ak 1 ' \ 0 / э Uk

Умножив скалярно эту систему на вектор (x - xk,A - Ak)T и воспользовавшись неравенством (d-^(x) - d^(xk),x - xk) ^ 0, получим

(A(x - xk),x - xk) < (rk,x - xk) + (rk, A - Ak).

Пусть (Ax,x) ^ m \\x\\2, тогда

m\\x - xk\\2 < \\rkx\\\\x - xk\\ + \\rkx\\ \\A - Ak\\,

или

\\x - xk\\ < сл\\гкХ\\ + C2\\A - Ak\\1/2\\rX\\1/2 Vк (36)

с постоянными ci, C2, те зависящими от номера итерации к. Так как \\A - Ak \\ ^ 0 при к ^ го, то \\A - Ak\\ < const, и неравенство (36) дает информацию о погрешности \\x - xk\\ через оценку норм компонент невязки \гхХ\\ и \\гх\\.

Пусть тройка векторов (yk, uk, Ak) -это к-я итерация градиентного метода (23). При реализации этого метода векторы uk и Ak - решения сеточного уравнения состояния и сеточного сопряженного уравнения соответственно находятся точно (или по крайней мере с очень высокой точностью). Поэтому контролем точности итераций выступает норма вектора невязки во включении для определения приближения к вектору управления u: SU = ruk + Ak + yU , где yU е d^(uk) - вектор, определенный на предыдущем итерационном шаге:

uk _uk-1

Т + rvk-' + A*-1 + 7u* = 0, 7u* G дфк). Несложные вычисления дают следующее выражение для невязки:

Sk = (г - i)(«fc - и6-1) + Afc - А*"1. В качестве нормы берем в дальнейшем сеточный аналог L2 -нормы:

N 1/2

\\SX\\l2 = (£ h2(Skul)2) . i=1

Отметим, что малость нормы вектора невязки характеризует близость итерации метода (23) к решению регуляризованной задачи (15), которое, в свою очередь, может достаточно существенно отличаться от решения исходной задачи (13) (см. оценку (16)).

(yk, uk, Ak) к

реализации этого метода решения двух включений на первом шаге описанного выше алгоритма находятся точно. Поэтому в качестве контроля точности итераций берется L2 -норма вектора не вязки Sk = Lyk - uk.

4. Результаты численных экспериментов

Численные эксперименты были проведены для задачи с функцией наблюдения yd = 10(sinnxi + sin nx2) и для разных весовых параметров r в целевой функции. Критерием остановки итераций были условия \|Sx\L2 < Ю-5 и \|Su\L2 < 10-5 для методов (23) и (29) соответственно.

В качестве начальных приближений в обоих методах выбирались пулевые векторы. Кроме того, были реализованы варианты итерационных методов, названные двухссточными. Именно, вначале проводились вычисления на сетке, в два раза более крупной, чем исходная. Затем полученные результаты интерполировались на мелкую сетку и принимались в качестве начальных приближений. Этот прием позволил ускорить вычисления. Как показали численные эксперименты, использование последовательности трех и более сгущающихся сеток не приводят к заметному ускорению сходимости.

Табл. 1

Градиентный метод для регуляризованной задачи, r = 0.005, е = 0.02