CC BY
24
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 152, кн. 4 Физико-математические пауки
2010
УДК 519.6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ НА СОСТОЯНИЕ
A.B. Лапин, М.Г. Хасанов
Аннотация
Рассматривается сеточная аппроксимация задачи оптимального управления правой частью линейного эллиптического уравнения при наличии ограничений как па функцию управления, так и па функцию состояния системы. Теоретически и численно изучается сходимость итерационных методов решения полученной конечномерной задачи. Проводится сравнение числовых результатов, полученных разными методами.
Ключевые слова: оптимальное управление, седловая задача с ограничениями, метод конечных элементов, итерационные методы.
Введение
Аппроксимация задач оптимального управления в правой части линейного эллиптического уравнения или граничного условия Неймана приводит к конечномерной седловой задаче с ограничениями. При наличии простых ограничений лишь на вектор управления эта седловая задача сводится к вариационному неравенству относительно вектора управления и эффективно решается предобусловлен-ным методом простой итерации. По существу это градиентный метод с проекцией для минимизации квадратичной целевой функции с простыми ограничениями. При наличии ограничений на вектор состояния этот градиентный метод непосредственно применить нельзя. Ограничения на состояние можно внести в целевую функцию со штрафным параметром (иначе говоря, регуляризовать индикаторную функцию множества ограничений) и затем применить какой-либо метод минимизации (см. [1 3]). Другой подход состоит в применении методов двойственности для отыскания вектора множителей Лагранжа. При этом наличие простых ограничений как на вектор управления, так и па вектор состояния не ограничивает возможности применения методов двойственности. Такой подход был осуществлен в работе [4], в которой использован метод расширенного лагранжиана. Ряд других методов для решения задач с ограничениями на состояние системы рассмотрен в [5. б].
В настоящей работе проведено теоретическое и численное исследование двойственного метода и прямого метода с регуляризацией целевой функции для одной модельной сеточной задачи задачи управления в правой части уравнения с простыми ограничениями на векторы управления и состояния. Существенно использован тот факт, что наблюдение в задаче оптимального управления осуществляется во всей области, что позволяет не модифицировать соответствующую функцию Лагранжа. Доказана сходимость методов и получены оценки их скорости сходимости в случае регуляризоваиной целевой функции. Приведены результаты численных экспериментов.
1. Постановка и аппроксимация задачи оптимального управления
Пусть i С М2 - ограниченная область с кусочно-гладкой границей Oil, V =
= #o(i) _ пространство Соболева со скалярным произведением (y, z) = J Vy •
n
Vzdx и нормой ||y|| = (y, y)1/2. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуас-
,, y £ V :/ Vy •Vzdx = /(f + u)zdx Vz £ V, (1)
nn
где f £ L2(i) - фиксированная функцияи u £ L2(i) - функция управления. Задача (1) однозначно разрешима при любой правой части f + и £ L2(i) и справедливо неравенство устойчивости
||y||v < k||f + и\\Ь2(n), k = const. (2)
Зададим множества ограничений
Uad = {и £ L2(i) : |u(x)| < Ud Ух £ i}, Yad = {y £ V : y(x) > 0 Vx £ i},
Ud = const > 0, и целевой функционал
J(y, ы) = ^ J (у - yd)2 dx + ^ J и2 (¿ж, /’ = const > 0,
nn
yd £ ¿2(i) _ заданная функция. В дальнейшем считаем, что множество
K = {(y, u) : y £ Yad, U £ Uad и выполнен о (1)}
не пусто. В случае, когда f (x) - непрерывная в i функция, для этого достаточно выполнения неравенства Ud > max |f (x) |, так как найдется функция u £ Uad такая,
хЕП
что f (x) + u(x) > 0 для вс ex x £ i, откуда следует неотрицательное! ь решения y уравнения (1).
Лемма 1. Задача оптимального управления
найти min J(y,u) (3)
(y,u)EK
имеет единственное решение.
Доказательство. Множества Uad и Yad выпуклы и замкнуты, при этом Uad ограничено. Отсюда, а также из линейности уравнения состояния (1) и неравенства устойчивости (2) следует выпуклость, замкнутость и ограниченность множества K. Функционал J — непрерывный и строго выпуклый в V х L2(i). Из приведенных свойств К и J следует существование единственного решения задачи (3). □
Построим конечно-элементную аппроксимацию задачи (3), считая Q многоугольной областью. Пусть = (J е конформная триангуляция Q, Т/, семейство треугольных конечных элементов e с максимальным по всему семейству дна-метром h. Пусть далее Vh С V - пространство непрерывных и кусочно-линейных функций, обращающихся в нуль на границе. Будем считать для простоты, что
ФУНКЦИИ /, U И I/d НОПрОрЫВНЫ В , И обозначим Через Д , Uh и уа h их V/, -
иитериолянты. Для аппроксимации интегралов от непрерывных функций используем квадратурные формулы
д{х) dx « Se(g) = ^ д(ха), ха вершины е, Sn{g) = ^ Se(g).
e a=1 eeTh
Теперь мы можем определить аппроксимации уравнения состояния, множеств ограничений н целевой функции:
yh G Vh : SQ(Vyh • Vzh) = Sn((/h + Uh) Zh) Vzh G Vh, (4)
Uad = iuh G Vh : К (ж) I < Vx G 0}, Yaftd = {yft G Vh : yh{x) > 0 для x G 0},
Jh{Vh,uh) = - Sn((yh - ydh)2) + ^ Sq(iiI).
В результате получим конечномерную задачу оптимального управления
найти min Jh(yh,Uh),
(yh,«h)eKh (5)
Kh = {(yh,uh) : yh G Yahd, uh G Uahd, выполнено уравнение (4)}.
Далее предполагаем, что множество Kh не пусто, более того, пусть
3uh G intU^, 3yh G intYahd : выполнено уравнение (4). (6)
Иными словами, пусть
3uh : |uh(x)| < ud Vx такой, что решение (4) yh(x) > 0. (7)
Это справедливо, например, если триангуляция Th удовлетворяет условию «острого угла» (углы треугольников не превосходят п/2) и ud > max |/(x)|. При сфор-
yh
жительпо при положительной правой части, а условие па ud и / обеспечивает существование uh G U^ такого, что (/h + uh)(x) > 0 для всех x G О.
Лемма 2. Задача (5) имеет единственное решение.
Доказательство. Билинейная форма ah(yh, zh), определенная левой частью уравнения (4), равномерно по h коэрцитивна и ограничена. Поэтому уравнение (4) имеет единственное решение и справедлива оценка устойчивости
S^2(y2) < kfS'/2((/h + Uh)2) (8)
с константой kf , те завпеящей от h. Используя (8) и свойства множеств У^, U нетрудно доказать, что множество Kh — выпуклое, замкнутое и ограниченное. Ясно, что функция Jh непрерывна и строго выпукла. Отсюда следует однозначная разрешимость задачи (5). □
Пусть теперь y G RN - вектор узловых параметров функции yh G Vh (N = = dimVh), y ^ yh. Определим матрицу жесткости L G RN xN и матрицу масс M G Rn xN равенствами
(Ly, z) = Sn(Vyh •Vzh), (My, z) = S^(yhZh), (9)
где y yh G Vh, z ^ zh G Vh, а скобки (•, •) в левой части равенств означают евклидово скалярное произведение в RN. Отметим, что по построению матрицы L и M симметричны и положительно определены, при этом матрица масс M -диагональная. С использованием введенных обозначений дискретное уравнение состояния (4), множества ограничений U^, У0^ и функция цели Jh(yh,uh) могут быть записаны в терминах векторов узловых параметров сеточных функций:
Ly = M (f + u),
Uad = {u G RN : |ui| < Ud, i = 1, 2,..., N}, Yad = {y G RN : y¿ > 0 i = 1, 2,.. .,N},
J(y, u) = \(My, y) - (g, y) + ’-(Mu, u), g = Myd.
Пусть ^(u) = Iuad (u) и 0(y) = Iyad (y) - индикаторные функции множеств Ua¿ и Yad. Тогда задача оптимального управления (5) преобразуется к виду
min ÁJ(.V,U) = т;(Му,у) - (д,у) + б(у) + '-(Ми,и) + ср(и)\ . (10)
Ly=M (f+u) ^ 2 2 J
Определим функцию Лагранжа для задачи (10) равенством
С(у, и) = \(Му, у) - (#, у) + 0(у) + '-(Ми, и) + ip(u) - (Ly - M(f + и), А). (И)
Седловая точка функции Лагранжа является решением (см., например, [7]) следующей системы (условия оптимальности первого порядка)
' M 0 —L\ (y\ (d0(y) \ ( g \
0 rM MI luí + I dy>(u) I Э I 0 I . (12)
,-L M 0 ) VV \ 4 \-M//
Лемма 3. Задача (12) имеет решение (y, u, X), при этом пара (y, u) определяется однозначно и совпадает с решением задачи (10).
Доказательство. Матрица A = rMf^ положительно определена, в то
время как матрица C = (—L M) имеет полный ранг. Вместе с условием (6) это обеспечивает справедливость сформулированного результата (см., например, теорему 5.6 в [8, с. 84]). □
2. Итерационные методы решения конечномерной задачи оптимального управления
2.1. Градиентный метод отыскания вектора управления. Пусть индикаторная функция 0(y) = IYad (y) множества Yad аппроксимирована дифференцируемой функцией
0е(у) = -^(Му~,у~) с градиентом V0E(y) = -^Му~, (13)
где y- - вектор с координатами y—. Тогда можно исключить векторы y и X из
u
Peu + dy>(u) Э ML-1g,
Peu = ML-1 (M + V0e) (L-1M (u + f)) + rMu. 1 '
Применим для решения (14) одиошаговый иредобусловлеииый итерационный ме-
1 к
М------— + РЕик + дфк+1) э МЬ~1д. (15)
т
Алгоритм его реализации состоит из следующих шагов.
1. Для известного вектора управления ик найти решение уравнения состояния Ьук = М (ик + /).
2. Найти сопряженное состояние Ак: Ак = Ь-1(Мук + У0е(ук) — #).
3. Найти новое приближение к вектору управления, решив включение с диагональным максимально монотонным оператором
Мик+1 + тд^(ик+1) э (1 + тг)Мик — тМАк. (16)
Теорема 1. Задача (14) имеет единственное решение. Итерационный метод (15) сходится при
2е
0 < г < ттт;----;---->
(1 + е) + Г£
где к/ - постоянная из неравенства (8). Лрк
е
Т Т° А^(1+е)+?’е скорость сходимости характеризуется неравенством
Н«*+1 _ и\\м < р\[ик - и\\м, Р = 1 - д.2^ ^
Доказательство. Положим Ре = Р1 + Р2 е, где
Р1 = МЬ-1 МЬ-1 М + гМ, Р2е = М!-1 У(9е о Ь-1М.
Тогда
(р1(и — «),и —«) = ||ь-1м (и—«)|М+г уи—«нМ > г уи—«нМ ,
(Р1(и — «), ад) < (Р1(и — «), и — -у)1/2(Р1('ш), ад)1/2 <
< (А;2 + Г)1/2 (Р1(и — «),и — «)1/2 |И|М .
Для вывода оценок для Р2 е получим одно вспомогательное неравенство. Пусть Ьу = М/ и уь € Уь, /ь € УЬ - соответствующие сеточные функции:
5Ъ(Ууь • Угь) = 5п(Л гь) Угь € Уь-
Поскольку
(МЬ-1 МЬ-1 М/,/) = (Му,у) = ^(у2), (М/,/) = ЗД2), то в силу неравенства (8) справедлива оценка
(МЬ-1 МЬ-1 М/, /) = ||ь-1м/||М < к2 у/уМ . (17)
Используя (17) и неравенства, которые следуют из определения функции 0е:
(У0е(у) — У0е(г), у — г) > 0,
{ЧвМ - ЧдЕ{г),х) < -1= {УвЕ{у) - ЧеМ, у - х)х!2\\х\\м,
л/ё
будем иметь, что
(Р2е(и) — Р2е(«),и — V) = (У0(Ь-1Ми) — У0(Ь-1М«),Ь-1М(и — «)) > 0, (Р2ЛМ) -Р2е(г’),ги) < ^=(Р2е(и) - Р2е(1’), и - г>)1/2 |Н|М,
е
Объединяя оценки для Р1 и Р2 е, получим:
(Р(и) — Р(«), и — V) > г ||и — V2
(Р(и) — Р(«), ад) < в1/2 (Р(и) — Р(«), и — «)1/2 Цад
где в = ^2 + г + /е.
Пусть теперь = ик — и. Умножим включение
(18)
-В(г*+1 - гк) + Р(ик) - Р(и) + дфМ) - д<р(и) Э 0 т
на 2т^к+1, тогда
Н^+1||! — ИЦ + Угк+1 — гк|Ц + 2т(Р(ик) — Р(и), гк+1) < 0.
В силу (18)
2т(Р(ик) — Р(и), гк+1) = 2т(Р(ик) — Р(и), гк) + 2т(Р(ик) — Р(и), (ик+1 — ик)) >
> (2т — т2в)(Р(ик) — Р(и), гк) — ||гк+1 — гк|Ц.
Подставляя эту оценку в предыдущее неравенство, будем иметь
||гк+1|Ц < (1 — тг(2 — тв))|И|,
откуда следуют все сформулированные утверждения относительно сходимости и скорости сходимости итерационного метода. □
Замечание 1. При отсутствии ограничений на состояние в задаче оптимального управления (3) (0 = 0) оптимальный итерационный параметр и множитель сокращения погрешности равны
щ
к 2 + г’ к 2 + г
уи
А
Р(А) = Ь (М + д0)-1(ЬА + 0) — М (г М + %>)-1( —МА) = М/. (19)
Применим для решения (19) итерационный метод
\к+1 _
ЬАГ1Ь----------+ Р{\к)=М/, (20)
т
являющийся предобу словленным методом У завы для отыскания седловой точки функции Лагранжа (11). При реализации этого метода выполняются следующие шаги.
1. Вычислить f = L-1Mf.
2. Для известного вектора Ak найти yk и , решив включения с диагональными максимально монотонными операторами
(M + э LAk + g и (r M + %>)wfc э -MAk.
3. Вычислить pk = L-1Muk.
4. Решить уравнение
Ak+1___ Ak _
L----------= М(-ук +pk + f).
т
Для исследования сходимости метода (20) применим следующий результат, который является прямым обобщением теоремы 5.9 из [8. гл. 5].
Утверждение 1. Пусть P = CT о A о C, где матрица C G Rmx”, а оператор A : Rm ^ Rm удовлетворяет условию обратной сильной монотонности
(A(u) - A(v),u - v) > po||A(u) - A(v)||2, po > 0. (21)
Предположим, что уравнение P(A) = 0 имеет решение, которое будем искать с
помощью итерационного метода
-B(Xk+1 — Xk) + P(Xk) = 0. т
Тогда при условии
В = ВТ > —СТС (22)
2po
этот .метод сходится для любого начального приближения.
Теорема 2. Итерационный метод (20) сходится при условии
2r
°<г<ЦГг’ (231
где kf - постоянная из неравенства (8).
Доказательство. Запишем левую часть уравнения (19) в виде
P(A) = L M-1/2Ai(M-1/2(LA + g)) - r-1/2M 1/2A2(-r-1/2M 1/2A),
A1 = M1/2 о (M + dtf)-1 о M1/2, A2 = (r M)1/2 о (r M + d^)-1 о (r M)1/2. Пусть
A = (o A’), C = (-(."»íJ-’/'M)’ P = CTоAоC
Используя обозначения « = (M + d0)-1(M 1/2у*), получим
(A1(y1) - A^y), У1 - У2) = ((M + d0)-1(M 1/2y1)-
- (M + dtf)-1(M 1/2y2), M 1/2y1 - M 1/2y2) >
> (M(u1 - м2), «1 - м2) = ||A1 (У1) - A1(y2)||2- (24)
Аналогично
(¿2(Л) - ¿2/2), /1 - /2) > ||А2(/1) - А2(/2)||2. (25)
В силу (24) и (25) выполнены условия утверждения 1. а неравенство (22) сходимости итерационного метода (20) приобретает вид
ЬАГ1Ь > ^(ЬМ-1 Ь +г-1 М). (26)
Из неравенства (17) следует
(Му, у) < к2(!М-1 Ьу, у), поэтому (26) выполнено, если
что эквивалентно условию (23). □
Замечание 2. Можно доказать, что если функция в заменена на регуляризо-ванную функцию ве из (13), то метод (20) сходится при условии (23), а при
г
0 Щ + г
справедлива оценка скорости сходимости
IIЛ/с+1 — А||в < р1/‘2\\Хк — Л||в, р= 1 ^ В = ЬМ-1Ь.
(1 + е)(к2 + Г1)
В случае отсутствия ограничений на состояние (в = 0) оптимадьный параметр то и множитель р в оценке скорости сходимости равны
г Щ
0 Щ + г ’ ^ Щ + г
Как следует из теоремы 1 и замечаний 1, 2, для задач без ограничений на в = 0 в оценки скорости сходимости методов (20) и (15) одинаковы (асимптотически по параметру е в случае регуляризованной функции ве). Трудоемкость реализации одного шага для обоих методов одинакова: на каждой итерации требуется дважды обратить матрицу Ь и решить включение с диагональным оператором. При этом метод (20) можно применять при наличии ограничений на состояние, не прибегая
в т
то е
3. Результаты численных экспериментов
Будем решать следующие одномерную и двумерную задачи. Пусть функционал цели задан равенством
с О = (0,1) или О = (0,1) х (0,1) соответственно. Задача состояния и ограничения имеют вид
- у" = / + М x G (0,1), y(1) = y(0) = 0,
y(x) > 0, x G (0, 1), |u(x)| < 1, x G (0,1)
— Ду = / + u, x G О, y(x) =0, x G dO,
y(x) > 0, x G O, |u(x)| < 1, x G O.
Аппроксимируем краевые задачи конечно-разностными схемами иа равномерных сетках с шагом h. При аппроксимации целевых функционалов используем простейшие квадратурные формулы. В результате получим конечномерные задачи: найти минимум функции
J(y,u) = \ \\у\\12 + \ ||ы||Г2
при ограничениях
— yi-1 + 2yi — yi+l _ . _ _ _
Ji ^ 1, 2, . . . , 71, yo Уп-\-1 О,
yi > 0, i = 1, 2,. . ., n, |ui| < 1, i = 1, 2, ...,n, в одномерном случае и
^2"( Уъ—^-з У^л-^-з ^Уъз У^зЛ-1 Уц—i) /и "I- J 1, 2,..., тъ,
y0j yj0 yjn+1 yn+1j 0:
yij > ° ^ j = 1, 2, . . .,n, |uij 1 < 1, i,j = 1 2, . . .,n:
n
в двумерном случае. Выше использованы обозначения ||v||L = h v\ Для одно-
i=1
n
мерной задачи и IMIL = h2 Е vj для двумерной. Пусть e(y) и у>(м) — индикатор-
i,j=1
ные функции множеств ограничений на y и u, L — симметричная и положительно определенная матрица соответствующей системы сеточных уравнений и Е - единичная матрица. Тогда конечномерные задачи оптимального управления примут
Г т[}\ { = \ IHli> + ^ + \ IMIL + ,
Ly=f+u [ 2 2 J
и соответствующие им седловые задачи есть
/Е 0 L \ /y\ / Ö0(y) \ /0\
(l —ee —e) i“J+Mз 10) ■
Для решения этих задач будем использовать:
• Градиентный метод с заменой функции в регуляризованной функцией ве =
1 n - 2 = - ^(у,г)2 . Задача для и имеет вид
i= 1
L-1(E + Уве)(Ь-1(/ + u)) + u + %>(u) Э 0,
Табл. 1
Одномерная задача, Н = 10-3, у = 3(вш(3пж))+, Р(у, и) = 3.0083
Метод Узавы, Т= 1; А° = 0 Метод регуляризации, т = 0.002, є = 0.001, и° = 0 Метод Узавы, Т= 1; 2 А0 = — віпГта) 7Г- Метод регуляризации, т = 0.002, є = 0.001, о 2 . , , и = — вішта) 7Г-
N №т №т №т №т
1 0 1.7336 0 0.068541 101.33 10.2089 3.0303 0.13922
2 3.0237 0.025182 3.0123 0.068362 1.9612 0.40409 3.0302 0.13889
3 3.007 0.02341 3.0123 0.068188 3.0073 0.060868 3.0301 0.13857
4 3.0071 0.02326 3.0122 0.068017 3.0082 0.034343 3.03 0.13824
5 3.0071 0.023109 3.0122 0.06785 3.0088 0.026426 3.0298 0.13792
6 3.0071 0.02296 3.0122 0.067687 3.0089 0.023276 3.0297 0.13759
7 3.0071 0.022812 3.0121 0.067527 3.0089 0.021747 3.0296 0.13727
8 3.0071 0.022665 3.0121 0.067371 3.009 0.020888 3.0295 0.13695
9 3.0071 0.022518 3.0121 0.067218 3.009 0.020117 3.0294 0.13663
10 3.0071 0.022373 3.0121 0.067068 3.0089 0.019906 3.0293 0.1363
Табл. 2
Результаты численных экспериментов решения исходной задачи методом Узавы в двумерном случае при различных значениях п - количестве узлов сетки в одном направлении, у = 3вш(6пЖ1Ж2) +
п = 102, Р(у,и) = 2.7783 п = 3 • 102, Е(у,и) = 2.7935 гг = 5 • 102, Е(у,и) = 2.7965
N N1111 №т №т
1 0 1.6668 0 1.6714 0 1.6723
2 2.7828 0.0092906 2.798 0.00931 2.801 0.0093082
3 2.7782 0.0089796 2.7934 0.0089996 2.7964 0.0089978
4 2.7782 0.0089681 2.7934 0.0089881 2.7965 0.0089863
5 2.7782 0.0089566 2.7934 0.0089766 2.7965 0.0089748
6 2.7782 0.0089452 2.7934 0.0089651 2.7965 0.0089633
7 2.7782 0.0089337 2.7934 0.0089536 2.7965 0.0089518
8 2.7782 0.0089223 2.7934 0.0089421 2.7965 0.0089403
9 2.7782 0.0089109 2.7934 0.0089307 2.7965 0.0089289
10 2.7782 0.0088995 2.7934 0.0089192 2.7965 0.0089174
итерационный метод задается соотношением к+1 к
---^- + Ь-1 (Е + УвЕ) + ик)) + ик + дфк+1) э о.
• Метод Узавы с предобусловливанем. Задача для А имеет вид -£(£ + д£)-1(-ЬА) + (Е + %>)-1(А) = /, итерационный метод задается соотношением
Ак+1 _ Ак
Ь2------------ЦЕ + дв)-1{-ЬХк) + {Е + д<р)~1{ Хк) = /.
Результаты численных экспериментов приведены в табл. 1. 2. где использованы следующие обозначения: N - номер итерации; F - значение функционала цели на соответствующей итерации; F(y,u) — значение функционала цели на точном решении; Nrm = (||yk - y||L2 + ||uk - м|Ц2)1/2, где y, u - компоненты точного решения седловой задачи.
Постановка сеточной задачи с заданным точным решением осуществлялась следующим образом. Пусть y - произвольный век тор из dom в, который будет точным решением сеточной задачи состояния, и Yy G дв(у) - какой-либо вектор из множества дв(у). Находим А = —L-1(y + Yy), затем векторы u и yp G dy>(u), решая включение u + d^(u) э А Наконец, полагаем f = Ly — u.
Численные эксперименты показывают эффективность метода У завы для решения сеточных аппроксимаций задач оптимального управления в правой части линейного эллиптического уравнения или в правой части граничных условий. Из приведенных выше результатов мы видим, что скорость сходимости метода не зависит количества узлов сетки.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект X- 10-01-00629).
Summary
А. V. Lapin, M.G. Khasanov. The Solution of a State Constrained Optimal Control Problem by the Right-Hand Side of an Elliptic Equation.
The article deals with grid approximation of a state and control constrained optimal control problem by a finite element or finite difference method. The control function is the right hand side of a linear elliptic equation. The convergence of the iterative solution methods for the discrete problem is investigated bot.li theoretically and numerically. The comparison of the numerical results for the different iterative methods is done.
Key words: optimal control, constrained saddle point problems, finite element method, iterative method.
Литература
1. Gill Ph., Murray W., Wright M. Practical optimization. London: Acad. Press, 1981. 401 p.
2. Bertsekas D.P. Constrained optimization and Lagrange multiplier methods. N. Y.:
Acad. Press, 1982. 395 p.
3. Biegler L.T., Ghattas O., Heinkenschloss М., van Bloemen Waanders B. (eds.) Large-scale
PDE-const.rained optimization. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. V. 30. Berlin: Springer, 2003. 349 p.
4. Bergounioux M. Augmented Lagrangian method for distributed optimal control problems with state constraints // Optimization Theory Appl. 1993. V. 78, No 3. P. 493 521.
5. Bergounioux М., Haddou V., Hintennuller М., Kunisch K. A comparison of a Moreau-Yosida-based active set strategy and interior point methods for constrained optimal control problems // SIAM J. Optim. 2000. V. 11, No 2. P. 495 521.
6. Bergounioux М., Kunisch K. Primal-dual strategy for state-constrained optimal control problems // Comput. Optim. Appl. 2002. V. 22, No 2. P. 193 224.
7. Эклаид И., Темам P. Вьшуклый апализ и вариациошшш проблемы. М: Мир, 1979. 400 с.
8. Лапип A.B. Итерационные методы решения сеточных вараицпоппых неравенств. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2008. 132 с.
Поступила в редакцию 16.06.10
Лапин Александр Васильевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры математической статистики Казанского (Приволжского) федерального университета.
E-mail: avlapine втаіі. ru
Хасанов Марат Гумярович аспирант НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского (Приволжского) федерального университета.
E-mail: maratkhasanov86вдтай.сот
