Применение метода декомпозиции области и несогласованных сеток при решении некоторых вариационных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 157, кн. 2 Физико-математические науки

2015

УДК 519.6

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ И НЕСОГЛАСОВАННЫХ СЕТОК ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ВАРИАЦИОННЫХ

НЕРАВЕНСТВ

М.А. Игнатьева, А.В. Лапин

Аннотация

Для одного класса вариационных неравенств с ограничениями на решение, для которых a priori известна подобласть, содержащая свободную границу, построены конечноразностные аппроксимации и итерационные методы их решения. При аппроксимации использован метод декомпозиции области и различные сетки в подобластях. Для сеточных задач исследованы итерационные методы расщепления и Удзавы. Проведено численное сравнение их эффективности.

Ключевые слова: вариационные неравенства, конечно-разностная аппроксимация, декомпозиция области, несогласованные сетки, итерационные методы.

Введение

Задачи со свободными границами возникают при моделировании задач нелинейной фильтрации жидкости с предельным градиентом, в задаче Стефана, упругопластических и контактных задачах механики и др. [1, 2]. Как правило, в окрестности свободных границ градиенты (потоки) искомых решений характеризуются разрывами первого рода. Наличие таких особенностей создает трудности численного моделирования, при том что определение свободной границы и решения задачи в ее окрестности является наиболее важной проблемой моделирования соответствующих процессов.

Наиболее распространенными методами численного решения задач математической физики являются сеточные методы, к которым относятся разнообразные варианты метода конечных элементов [3], методы конечных разностей и конечных объемов [4]. Для точного определения свободных границ требуется построение аппроксимаций высокой точности, что в большинстве сеточных методов равносильно использованию мелких сеток. Однако использование мелкой сетки во всей расчетной области, особенно при решении физически трехмерных задач, приводит к дискретной задаче чрезвычайно высокой алгебраической размерности и, как следствие, к большому времени вычислений. Одним из известных способов сокращения вычислительных ресурсов при сохранении точности решения является использование неравномерных сеток, сгущающихся вблизи свободной границы. Естественно, что для использования этого подхода требуется информация о ее локализации. При решении нестационарных задач сеточными методами с дискретизацией по времени такую информацию на расчетном временном слое получают по результатам расчетов на предыдущем слое. Если решается стационарная задача, то априорную информацию об особенностях решения, включая примерное местоположение свободной границы, в ряде случаев можно получить на основе анализа входных данных задачи. Другой, более общий, но и более трудоемкий вариант получения

68

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ...

69

предварительной информации о решении - это использование блока апостериорной оценки в предварительных расчетах и последующая адаптация сетки.

Построение разномасштабных сеток в области, разделенной на подобласти, может быть произведено двумя способами. Это может быть либо «непрерывное» сгущение сетки в выбранной подобласти, согласованное с сеткой в оставшейся части области, либо использование произвольных сеток в различных подобластях, не совпадающих на общих границах подобластей. Первый способ можно использовать при решении задачи методом конечных элементов с треугольными (симплициаль-ными) элементами, диаметры которых могут непрерывно и монотонно меняться как функция расстояния от общей границы подобластей. Второй способ более универсален, в частности, он позволяет аппроксимировать задачи в подобластях разными сеточным методами. Вопросы построения таких аппроксимаций, исследование их точности для линейных краевых задач, итерационные методы решения хорошо изучены [5-7].

В настоящей работе решена задача минимизации функционала, содержащего квадратичное слагаемое и выпуклую, недифференцируемую часть. В зависимости от выбора этой недифференцируемой части мы получаем математические модели различных процессов со свободными границами. Входные данные задачи таковы, что нам a priori известна подобласть, содержащая свободную границу. Задача аппроксимирована конечно-разностной схемой. Сетка в подобласти со свободной границей выбрана в несколько раз мельче, чем в остальной области. На границе, разделяющей подобласти, сетки не совпадают, а условие сопряжения решений из подобластей обеспечивается с помощью введения множителей Лагранжа. Основным результатом работы является сравнительный численный анализ итерационных методов решения построенной дискретной модели. В качестве таких итерационных методов рассмотрены методы расщепления и Удзавы. Отметим, что различные варианты метода расщепления для подобной сеточной задачи исследованы в работе [8]. Предложенные в настоящей статье итерационные методы могут быть использованы и для решения других сеточных задач, построенных любым из перечисленных выше сеточных методов. Это обусловлено тем, что сходимость и эффективность итерационных методов определяются лишь свойствами матриц и операторов дискретной задачи, которые могут быть подобными для различных дифференциальных задач и различных аппроксимаций.

1. Постановка задачи и ее аппроксимация

Пусть Q = (0,1) х (0,1). Будем рассматривать следующую задачу: найти

и е И1(П),

J(и) = min J(п),

J (п) = 2 f 1Уп\2 dx

П

J fn dx + ф(п), n

(1)

где f е ^(П), а ф : Hq(H) ^ R - выпуклая, собственная и полунепрерывная снизу функция. Задача (1) имеет единственное решение (см., например, [1, 9, 10]).

В дальнейшем считаем, что Q представлена в виде объединения ^i и 0.2 = = (xi,xi) х (0,1) с фиксированными 0 < x\ < х2 < 1 и границы S = {xi = x\ и xi = x2, 0 < x2 < 1}, разделяющей эти подобласти. Пусть Vi = {и е Нi(ni) : и = = 0 на d^i р| д П}, i = 1, 2 .В качестве примеров задачи (1) будем рассматривать два варианта, определяемые функцией ф:

1) ф(и) = / \u(x)\dx;

П2

70

М.А. ИГНАТЬЕВА, А.В. ЛАПИН

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

Рис. 1. Расчетная сетка

2) ф(и) = {0, если u Е K;+^, если u Е K} - индикаторная функция выпуклого и замкнутого множества K = {и Е H0(Q) : u(x) ф 0 в П2}.

Для обеих задачах свободная граница лежит в подобласти Q2 •

Пусть M = {(ui,u2) Е Vi х V2 : ui(x) = U2(x) на S}. Заменим (1) эквивалентной задачей

I (ui,u2)= min I (т,т), (ni ,П2)ЕМ

I (ni,%) = Х! (2/ !Vni\2 dx - J fni dxj + ф(п2) -

i=i \ О- 0-7

(2)

Задачи (1) и (2) эквивалентны в том смысле, что сужения на Qi решения u задачи (1) совпадают с компонентами ui решения задачи (2).

Построим конечно-разностную аппроксимацию задачи (2) на сетке, равномерной в каждой из подобластей. Будем считать для простоты, что f (x) - непрерывная в Q функция.

Пусть в Qi построена квадратная сетка wi с шагом hi, а в 0.2 - квадратная сетка W2 с шагом h2 = hi/m, где m > 0 - фиксированное целое число (см. рис. 1). Обозначим через wi множества внутренних узлов сеток wi, через dwi - множества граничных узлов, состоящие из d^wi = {x Е dwi : x Е дП} и si = {x Е dwi :

x Е S}. Будем обозначать через V^i, i = 1, 2, пространства сеточных функций, определенных на wi и равных нулю на dowi, а через Whi - пространства их следов на S, иными словами, пространства сеточных функций, определенных на si.

Для функции yi Е Vhi определим конечно-разностные производные diyi(x) = = h:fi(y(xi + hi,x2)-y(xi,x2)) и diyi(x) = h-i(y(xi,x2)-y(xi - hi,x2)), аппроксимирующие частные производные по xi. Таким же образом определим разностные производные д2yi(x) и d2yi(x) по x2. Обозначим через V^yi = (дiyi,d2yi) сеточный градиент, через yi = didiyi + d2d2yi сеточный оператор Лапласа.

Аналогично определим разностные производные, сеточный градиент Vhy2 и сеточный оператор Лапласа Д^, на сетке с шагом h-2 для функции y2 Е Vh2. Пусть ni - единичный вектор нормали к S, внешний для Qi, тогда дп.yi = h-i(y(x) — — y(x — ni hi)) - аппроксимация нормальной производной в точках si.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ...

71

Пусть w+ = {x G wi : (xi — h\,X2) G wi и (xi,X2 — hi) G wi}, то есть в точках

сеточного множества w+ можно определить сеточный градиент V hyi для функций из Vhi • Аналогично, w+ С W2 - множество, где определен сеточный градиент V hУ2 для функций из Vh2 •

Поставим в соответствие функциям из Vih векторы их узловых параметров, сохранив за ними прежние обозначения. Именно, если yi G Vih, то соответствующий вектор узловых параметров yi G RNi, где Ni равно числу точек множества wi U si. Сеточной функции X(x) G Wh2 поставим в соответствие вектор A G RN , N\ равно числу точек S2. Пусть, наконец, для z G Whi сеточная функция Pz определена в точках S2 с помощью линейной интерполяции по значениям z(x) в точках более грубой сетки s i •

Через (■, ■)i, || ■ ||i обозначим евклидово скалярное произведение и норму в RNi , через {■, ■) - евклидово скалярное произведение в RS2. Определим матрицы Ai G RNiXNi , FT G RNiXN и векторы fi G RNi следующими равенствами:

(Aiyi,zi)i = h2 ^2 diyi(x)dizi(x) + d2yi(x)d2Zi(x) Vyi(x), zi(x) G VM,

+ i

(fi,zi)i = h2 ^2 f (x)zi(x) + h2/2^2 f (x)zi(x) Vzi(x) G Vhi,

xEi^i xEsi

(zi,FiA)i = {FTzi,A) = h^2 Pzi(x)A(x) Vzi(x) G Vhi, V A G Wh2,

XES2

(z2,F2A)2 = {FTz2,A) = h^2 z2(x)A(x) Vz2(x) G Vh2, VA G Wh2.

XES2

Матрица F2 соответствует оператору продолжения нулем сеточной функции A(x) с s2 на w2 , а матрица F1 - оператору продолжения сеточной функции

г —1

P*A(x) = то ^A(x) + Xj (A(x — jh) + A(x + jh)) (1 — j/m) j ,

определенной на si, нулем на wi.

В случае, когда в исходной задаче ф(и)

|u(x)| dx, соответствующую функ-

^2

цию в сеточной задаче определим равенством

ФуУ2) = h2 YI ly2(x)l + h\/2^Z y2(x)|-

ХЁШ2 x£S2

Во втором варианте аппроксимируем множество K множеством Kh = {y : y(x) ф 0 при x G W2} и сохраним обозначение ф для его индикаторной функции. Множество M аппроксимируем множеством сеточных функций {(yi,y2) G Vih х V2h : Pyi(x) = y2(x), x G S2}. В терминах векторов это множество имеет вид

Mh = {(yi,y2) G RNl х G RN2 : FT yi = FT y2}.

Теперь можно определить конечно-разностную аппроксимацию задачи (2):

найти пару (yi,y2) G Mh, доставляющую минимум функции h(yi,y2) =^2 ^2 (AiУi, yi)i — (fi,yi)^j + Ф(У2)-

(3)

72

М.А. ИГНАТЬЕВА, А.В. ЛАПИН

Задача (3) имеет единственное решение, так как это задача минимизации строго выпуклой, коэрцитивной и непрерывной функции на выпуклом замкнутом множестве Mh.

Построим функцию Лагранжа для задачи (3):

L{yi,V2, А) = ^2 i^2(Aiyi’y^i - (fi>yi)i^ + Ф(У2) + (yi,FiA)i - {V2,F2X)2- (4)

Седловая точка (yi,y2, А) G Vhi х Vh2 х Wh2 функции Лагранжа (4) существует и единственна. Она является решением следующей седловой задачи с ограничениями

Aiyi + Fi А = fi,

A2y2 + дф(у2) - F2A э f2,

, FiTyi - F2У2 = 0.

(5)

Явный вид системы уравнений и включений, которым удовлетворяют сеточные функции (yi,y2,A) после масштабирования будет следующим:

-Ahyi = fi при x G wi, yi =0 при x G do^i,

~Tdniyi - 15252yi = --1 P*A +1 fi при x G si, hi 2 hi 2

-Ahy2 + дф(У2) э f2 при x G W2, У2 =0 при x G 80^2,

дП2У2 - 18282У2 + 1 дф(у2) э A + 1 f2 при x G S2, h2 2 2 h2 2

Pyi - У2 =0 при x G S2.

(6)

(7)

(8)

2. Итерационные методы

Для решения системы (5) применим два итерационных метода: метод расщепления (обобщенный метод Дугласа-Рэкфорда) [11-13] и обобщенный метод Удзавы [9], [13-16]. В дальнейшем мы будем использовать известные результаты, приведенные ниже.

Теорема 1 [15]. Пусть выполнены условия

• матрицаА G Rmxm положительно определена,

• матрицаВ G Rlxm имеет полный ранг/rankB = l ф т, (9)

• ф : Rm ^ R - выпуклая собственная и полунепрерывная снизу функция,

• {y G Rm : By = 0}П int dom ф = Ф. Тогда задача

(А ВТ\ (у'

\В 0 U,

имеет непустое множество решений значно.

+

X

(10)

Т) э f

(11)

{(y, А)}, причем определяется одно-

Теорема 2 [14]. Пусть выполнены условия (9), (10). Если (Ay, у) Ф (D-iBy, By) Vy G Rm

(12)

2

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ...

73

с некоторым £ > 0 и с симметричной и положительно определенной матрицей D, то итерационный метод

Ayk+1 + дф(ук+1) э -BTXk + f,

- D(Xk+1 - Xk) - Byk+1 =0, t > 0

T

сходится для любого начального приближения X0 : (yk ,Xk) k —> oo.

(13)

(y*,X*) £ X при

Теорема 3 [13, теорема 4.10]. Пусть матрица A положительно полуопре-делена: (Az,z) ф 0 для всех z, P - максимально монотонный оператор и включение

Az + P(z) э 0 (14)

имеет решение. Тогда итерации обобщенного метода Дугласа-Рэкфорда

zk+1/2 _ zk

d-------------+ Azk + P(zk+1/2) э 0,

T

zk+1 __ zk+1/2

D-------------+ A(zk+1 - zk) = 0.

(15)

с симметричным и положительно определенным предобусловливателем D сходятся при любом итерационном параметре t > 0 к некоторому решению (14).

Метод Удзавы для задачи (5)

Введем векторы y = (y1 ,y2)T, f = f f2)T, и пусть

A=ft A,)• B=-FT^ »w=(дФU).

Тогда задача (5) может быть записана в виде (11).

Все условия (9), (10) для нее выполнены. Действительно, матрица A = = diag(A1,A2) положительно определена в силу положительной определенности сеточных операторов Лапласа в задачах (6), (7). Ранг матрицы B равен рангу матрицы F2: rank B = card S2, так что B имеет полный столбцовый ранг. Наконец, нулевой вектор принадлежит множеству {y £ Rm : By = 0} р| int dom ф. Таким образом, в силу теоремы 1 задача (5) имеет решение с единственными компонентами

(y1,y2) .

Далее используем следующее неравенство (сеточный аналог вложения пространства Vi(Qi) в L2(S)):

hi ^2 y2i(x) ^ c0hi J2 (dryi(x))2 + (д2yi(x))2 (16)

x£si хЕш + i

с постоянной co, не зависящей от шагов сетки. Из определения матриц следует, что

(Ay,y) = ^ (h2 ^ (O^x))2 + (д2yi(x))2

i=1 \ хЕш+i

\\By\\2 = (FT y1,FT y1) + (FT y2,FT rn).

74

М.А. ИГНАТЬЕВА, А.В. ЛАПИН

В силу неравенства (16) справедлива оценка

KF2TV2,X)\ < (h2 ^ yl(x)) (н2 ^ a2(x)1 <

\ XES2 / \ XES2 /

< (coh2 ^ (д 1У2(х))2 + (52У2(х))А ^ A2(x^ VA е Wh2.

V х£ш+2 / \ XES2 /

Из этой оценки получаем неравенство \{F2 y2,A)\ ^ н2/2 (со(А2У2,У2 )2)i/2 {A,A)1/2, откуда

(F2y2,F^У2) < Н2С0(А2У2, У 2) 2-Аналогично можно доказать неравенство

{F\ yi,Flyi) < Hici(Aiyi,yi)i

с постоянной, не зависящей от шагов сетки. Таким образом,

(Ay,y) > H-1 mini —, —1 \\By\\2. (17)

c0 ci

Выберем в качестве D в методе (13) для решения задачи (5) матрицу D = H2E, где E - единичная S2 х S2 матрица. Неравенство (12), являющееся достаточным условием сходимости итерационного метода (13), приобретает вид

(Ay,y) > (1+^ \\By\\2.

В силу (17) это условие выполнено, если т < то, где то = To(co,ci) - постоянная, не зависящая от шагов сетки.

Алгоритм реализации метода Удзавы.

Задается начальное приближение A0 . Для известного An сначала находим векторы yi и y2 , решая системы уравнений

Aiyn+i = fi - FiAn, (18)

А2УП+ + d^(yrn+i) э f2 + FTAn, (19)

или, в терминах сеточных функций, решая системы (6) и (7). Отметим, что задачи для yn+i и y2n+i независимы. Решение (19) с симметричной и положительно определенной матрицей A2 и диагональным оператором д'ф эффективно осуществляется методом верхней релаксации [13].

На втором шаге метода Удзавы определяется вектор An+i по явным формулам

An+i = An - TE2i(Fi(yn+i) - F2 (yn+i)),

An+i(x) = An(x) - т(Pyi(x) - y2(x)) x е s2.

Метод расщепления для задачи (5)

Введем следующие обозначения:

А --

A BT

-B 0

P(z) = (a*'y0» - f).

то есть

z

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ...

75

Тогда задача (11) может быть записана в виде (14) с положительно полуопределенной матрицей A и максимально монотонным оператором P. Как было установлено выше, эта задача имеет решение. В силу теоремы (3) при любом D = DT > 0 и любом итерационном параметре т > 0 к нему сходится последовательность итераций метода (15).

Алгоритм реализации метода Дугласа-Рэкфорда.

Задаются начальные приближения (yi,y2,X0) .Для известных (у™ ,yn,Xn) значения (уП+1,у2П+1, X"*1) находятся в два шага:

f n+1 /2

у 1

уП + Т1 (fi - A1УП - FTXn),

у2+1/2 + Т2дф(уП+1/2) Э У2 + T2(f2 - А2УП + FTxn),

Xn+1/2

xn + T3(F1yn - F2yn),

1Е1 + A1 0 F1T

0 т- 1Е2 + A2 -FT

-F1 F2 т-1Ез,

У1

У"*1

yn+1 - У2

xn+1 - xn

(уП+1/2

(уП+1/2

(Xn+1/2

уП)

уП)

Xn)

(20)

(21)

Здесь Ti > 0 - итерационные параметры, Ei - единичные матрицы соответствующих размеров. Метод (20), (21) является частным случаем (15) с т = Т1 и предо-бусловливателем

D = diag(E1, T1 E2, - Ез).

v Т2 тз J

Как видно из (20), векторы у1+1/2 и Xn+1/2 находятся по явным формулам, а для отыскания y’n+'1/'2 требуется решить систему нелинейных уравнений. Но нелинейный оператор P является диагональным, поэтому система распадается

n+1/2

на независимые скалярные уравнения относительно координат вектора У2 .

Более того, для рассматриваемых в статье задач решения этих уравнений выписываются в явном виде. Второй шаг метода состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений относительно векторов у"*1 - уП , УП+1 - УП, Xn+1 - Xn . Матрицей этой системы является седловая матрица. Для решения систем уравнений с седловыми матрицами разработаны эффективные итерационные методы [17].

Другой вариант метода расщепления состоит из шага (20) и решения системы уравнений

/т-1 Е1 + A1 0 0

I 0 т2 Е + A2 0

\ -F1 F2 т3 1Ез

yn+l - yn уП+2 - уП

Xn+1 - Xn

т-Чу"*'12 - уП)I т2-1(у?+1/2 - УП)| . (22)

\т-1 (Xn+1/2 - Xn)J

Основным преимуществом метода (20), (22) по сравнению с методом (20), (21) является то, что система (22) расщепляется на независимые системы уравнений для векторов y"+1 и y"+1, которые могут решаться параллельно. При этом Xn+1 находится по явным формулам. 3

3. Вычислительные эксперименты

Был проведен ряд вычислительных экспериментов, в которых сеточная схема (6)-(8) решалась методом Удзавы и методом расщепления.

В качестве подобласти ^2, содержащей свободную границу, выбирался прямоугольник (0.4,0.6) х (0,1). В тестовой задаче с функцией ф(п) = / \u(x)\dx (будем

^2

76

М.А. ИГНАТЬЕВА, А.В. ЛАПИН

Табл. 1

Число итераций при m = 2

h-2 = hi/2 hi

0.05 | 0.025 | 0.0125 | 0.00625

Число итераций в задаче 1

Метод расщепления (т = 10) 80 155 324 696

Метод Удзавы (т = 1.5) 301 462 629 642

Число итераций в задаче 2

Метод расщепления (т = 10) 115 178 288 502

Метод Удзавы (т = 4.7) 91 119 132 129

Табл. 2

Число итераций при m = 4

h-2 = hi/4 hi

0.05 | 0.025 | 0.0125 | 0.00625

Число итераций в задаче 1

Метод расщепления (т = 10) 148 308 641 1217

Метод Удзавы (т = 1.5) 463 669 869 881

Число итераций в задаче 2

Метод расщепления (т = 10) 176 269 495 741

Метод Удзавы (т = 5) 122 154 175 180

15

10

5

-5

-10

0

0

11

0

Рис. 2. Слева - решение задачи 1, справа - задачи 2

далее называть ее задачей 1) правая часть выбиралась в виде

f(xi,x2) = {400, если xi < 0.57 — 0.6(x2 — 0.5)2; —450, в противном случае}.

В тестовой задаче о препятствии (задача 2) правая часть имела вид f (xi, x2) = {400, если xi ^ 0.4; —750, если 0.4 < xi < 0.6; 200, если xi ^ 0, 6}.

В области ^i была построена квадратная сетка с шагом hi, в области ^2 шаг сетки полагался равным h-2 = hi/m, в расчетах выбирались значения m = 2 и m = 4.

При практическом использовании рассматриваемых здесь методов критерием точности является оценка нормы невязки в сеточных уравнениях. Этот критерий особенно прост в использовании при решении дискретной задачи методом Удзавы, поскольку задачи для yi и у2 на каждой итерации решаются точно и требуется

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ...

77

контролировать лишь их разность на общей границе подобластей - в точках сетки на S .В проведенных экспериментах вычисления проводились, пока L2 -норма невязки схемы (7) не станет меньше е = 0.01. Начальное приближение уо = 0, Ао =0. В методе расщепления параметры ti и Т2 выбраны как теоретически оптимальные [13]; итерационный параметр тз подбирался численно. В методе Удзавы при расчетах использован параметр, также найденный в ходе вычислительных экспериментов. Вычисления показали, что тз и т практически не зависят от шага сетки. Результаты вычислений представлены в табл. 1, 2; полученные решения показаны на рис. 2.

На основании проведенных тестов можно утверждать, что скорость сходимости непредобусловленного метода Удзавы значительно менее чувствительна к измельчению шагов четки, чем скорость сходимости метода расщепления.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00368).

Summary

M.A. Ignatieva, A.V. Lapin. Using Domain Decomposition Method and Non-Matching Grids for Solving Some Variational Inequalities.

Finite difference approximations and iterative solution methods are constructed for a class of variational inequalities with constraints imposed on the solution and a priori known subdomain containing a free boundary. Domain decomposition method and non-matching grids are used for the approximation. Splitting and Uzawa-type iterative methods are investigated for solving the approximated problems. Numerical comparison of their efficiency is carried out.

Keywords: variational inequalities, finite difference approximation, domain decomposition, non-matching grids, iterative methods.

Литература

1. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

2. Crank J. Free and moving boundary problems. - Oxford: Calderon Press, 1987. - 436 p.

3. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. -512 с.

4. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. -345 с.

5. Агошков В. И. Методы разделения области в задачах математической физики // Вычисл. процессы и системы. - М.: Наука, 1991. - Вып. 8. - С. 4-51.

6. Le Tallec P. Domain decomposition methods in computational mechanics // Comput. Mech. Adv. - 1994. - V. 1, No 2. - P. 121-220.

7. Toselli A., Widlund O. Domain Decomposition Methods - Algorithms and Theory. -Berlin; Heidelberg: Springer, 2005. - 450 p.

8. Игнатьева М.А., Лапин А.В. Решение задачи о препятствии методом декомпозиции области // Учен.зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2005. - Т. 147, кн. 3. -С. 112-126.

9. Гловинеки Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. - M.: Мир, 1979. - 576 с.

10. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. - M.: Мир, 1979. - 399 с.

78

М.А. ИГНАТЬЕВА, А.В. ЛАПИН

11. Lions P.L., Mercier B. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators // SIAM J. Numer. Anal. - 1979. - V. 16, No 6. - P. 964-979.

12. Glowinski R., LeTallec P. Augmented Lagrangian and operator-splitting methods in nonlinear mechanics. - Philadelphia, PA: SIAM, 1989. - 302 p.

13. Лапин А.В. Итерационные методы решения сеточных вариационных неравенств. -Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2008. - 132 с.

14. Lapin A. Preconditioned Uzawa-type methods for finite-dimensional constrained saddle point problems // Lobachevskii J. Math. - 2010. - V. 31, No 4. - P. 309-322.

15. Laitinen E., Lapin A., Lapin S. Iterative solution methods for variational inequalities with nonlinear main operator and constraints to gradient of solution // Lobachevskii J. Math. - 2012. - V. 33, No 4. - P. 364-371.

16. Laitinen E., Lapin A. Iterative Solution Methods for the Large-Scale Constrained Saddle-Point Problems // Numerical Methods for Differential Equations, Optimization, and Technological Problems (Comp. Meth. Appl. Sci. V. 27). - 2013. - P. 19-39.

17. Быченков Ю., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. -М.: Бином, 2010. - 349 с.

Поступила в редакцию 11.03.15

Игнатьева Марина Александровна - кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: ettercap@mail.ru

Лапин Александр Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: avlapine@mail.ru