Метод декомпозиции области для задачи Синьорини в смешанной гибридной формулировке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 148, кн. 3 Физико-математические пауки 2006

УДК 519.6

МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ ДЛЯ ЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ В СМЕШАННОЙ ГИБРИДНОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ

М.А. Игнатьева, А.В. Лапин, Н.В. Лапин

Аннотация

Конструируется смешанная гибридная схема метода конечных элементов для задачи Снпьорнпи па основе декомпозиции области с пепалегающими подобластями. Используются несогласованные по подобластям сетки. Для решения построенного сеточного вариационного неравенства исследуются методы верхней релаксации и расщепления.

Введение

Метод декомпозиции области с неналегающими подобластями широко используется при решении краевых задач в областях сложной геометрии, а также при построении параллельных алгоритмов. Ои в большей степени изучен для линейных краевых задач и активно развивается для нелинейных уравнений. В ряде работ метод декомпозиции области исследован для задач со свободными границами (см., например. [1 4]). Современное состояние дел в этой области отражено во многих работах (см., например, труды недавно прошедших конференций [5. 6]).

Смешанные и смешанные гибридные формулировки краевых задач с дифференциальными операторами второго порядка позволяют применять методы конечных элементов с одновременной аппроксимацией искомой функции и ее градиента. Теория смешанных и гибридных методов конечных элементов достаточно полно развита для линейных уравнений (см. монографии [7. 8] и библиографии в них), некоторые результаты по сходимости и точности таких конечных элементов получены для нелинейных эллиптических уравнений (см., например, [9 15]). В работах [16 18] исследована сходимость смешанного метода конечных элементов для контактных задач вариационных неравенств с ограничениями на границе области. Смешанные гибридные схемы конечных элементов первого порядка для вариационных неравенств с ограничениями на искомое решение построены в [19, 20], в этих работах также сконструированы эффективные итерационные методы их решения.

Совместное применение метода декомпозиции области и смешанных гибридных схем конечных элементов позволяет строить сеточные схемы высокой точности для определения как самого решения, так и его градиента, за счет применения мелких сеток в подобластях малой гладкости решения (в частности, содержащих свободную границу).

В данной статье построена смешанная гибридная схема метода конечных элементов для задачи Синьорини на основе декомпозиции области с неналегающнмн подобластями. Триангуляция подобластей в общем случае предполагается несогласованной. Условия непрерывности приближенного решения на границах подобластей сформулированы в слабой форме и сняты с помощью множителей Лагранжа. В результате аппроксимации получена сеточная задача с седловым оператором.

Поело так называемой процедуры конденсации задача преобразована к сеточному вариационному неравенству с симметричной и положительно определенной матрицей. Для решения этого неравенства использованы итерационные методы верхней релаксации и расщепления.

1. Постановка задачи. Смешанная гибридная формулировка

Пусть О С М", п ^ 2, - область с кусочно-гладкой границей дО, состоящей из неперекрывающихся частей Гд, Г^ и Гс, при этом шев Гд > 0. Пусть далее

V = {и £ Нх(О) : и(х) = 0 п. вс. на Гд} - подпространство гильбертова про-

странства Н 1(О), оснащенное скалярным произведением (и, V) = J У и ■ Уvdx, и

п

К = {и £ V : и(х) ^ 0 п. вс. на Гс} — его выпуклое замкнутое подмножество. Рассмотрим задачу Синьорини:

найти функцию и £ К такую, что

J УиУ(ц — и) dx /(я — и) dx Уц £ К, (1)

пп

где / £ £2(0). Известно [21], что задача (1) имеет единственное решение и £ К. Далее будем предполагать, что решение обладает дополнительной гладкостью: и £ Н3/2(0). Это обеспечивает существование нормальной производной из пространства Ь2 от функции и на любой гладкой кривой из замыкания области О (в частности, на границе).

Введем новую переменную V = У и, тогда пара (V, и) удовлетворяет следующим соотношениям, которые понимаются в смысле «почти всюду»:

(1Ь- V = —/

(2)

где п - единичный вектор внешней нормали к границе области дО.

Перейдем к построению смешанной гибридной формулировки задачи (2) на основе декомпозиции области. Предположим, что область О разбита па две непере-секающиеся подобласти 01 и П2 с общей границей Г, и пусть для определенности Гс С дП2.

тк

Пусть О к = и к = 1, 2,- разбиение О к на шк конечных элеме нтов е] -

г=1

подобластей простой геометрнн (треугольников нлн четырехугольников). Совокупность {ек} обозначим через Т^к. Триангуляции Т^к предполагаем регулярными [22] и такими, что части границы Гд, Г^, Гс и Г состоят из целого числа сторон элементов е].

Общую сторону элементов е] и е], г = ^ лежащую в Ок, обозначим через Г\3, г,з = 1,... , шк. Также через Г^ будем обозначать стороны конечных элементов е], лежащие на границе дОк. В частности, пусть 1к С {г = 1,...,шк,

] = шк + 1,..., шк + вк} — подмножество индексов, для которых не пусты пересечения Г^ границ элеме нтов де] с Г^ и Гс и Г. Кроме того, предположим для простоты, что если сторона Гг/ элемента е^ С О1 прннадлежпт Г, то ее составляют точно I сторон Г21’*1,..., Г21’*1 конечных элементов из О2.

Определим вектор-функции = (ч*)> и* = (и1,---,и>кк), гДе , и* - сужения V и и на е* • Через п* обозначим единичный вектор внешней нормали к границе конечного элемента е* • В силу (2) функции и ик удовлетворяют следующей системе соотношений:

— Vuk = 0, сііу + /к = 0 на ек, к = 1, 2, (3)

ик— ик = 0, ук • пк— ук • пк = 0 на Гк с ^ к = 1,2 (4)

игк = 0 на Г* С Гд, • пгк = 0 на Г*/ С Г^, к =1,2, (5)

• п2 > 0, и2 > 0, (ч2 • п*2)иг2 = 0 на ^ С Гс, (6)

и* — и2 =0, ^ • п* — • п2 = 0 на е* П е2 С Г. (7)

Перейдем к выводу слабой постановки задачи. Прежде всего, заменим поточечные соотношения (3) (7) эквивалентными интегральными соотношениями.

Обозначим через А/ общее значение следов функций ик, ик на Г/ С Пк при

і, і = 1,..., тк и, соответственно, значения ик на Г/ С Г и Г^ и Гс для (і, і) Є Ік .

Умножая первое уравнение (3) для к = 1, 2 та гладкую пробную функцию , после интегрирования по частям получим

J Ук • w к йж + J игк(1 іу wk йж — J ик (wк • п* ) йГ = J чк • шк йж+

ек ек дек ек

*Шу шк^ у Ак7 (шк • пк) йГ + ^ У а7 «• пкк) йГ = °.

ек 7>к Г« 7<к г-

Здесь п/ - единичный вектор нормали к общей границе Г/ двух соседних элементов е* и е*, направленный со стороны элемента с меньшим номером в сторону элемента с большим номером или, соответственно, единичный вектор внешней нормали к границе элемента е*, если Г/ является частью границы дПк. Тем самым, і < і для любого вектора п* .

Таким образом, первым поточечным уравнениям в (3) равносильны следующие:

и

У ч •+ У и*Ду шк- X) У Ак (шк • пк) йГ+

І>к гї3 г к

+ ^ У АЙ (< • пкк) ЙГ = 0 на ек С П*. (8)

'к + J ик

°к ек

гк

Аналогично, вторым уравнениям в (3) эквивалентны уравнения

У (^у V] + /) як dx = 0 Уцк на е] С О ]. (9)

4

Условия равенства потоков на границах конечных элементов внутри подобластей и равенство потоков нулю на границах элементов из Г^ принимают вид

/(—^ ■ пй + vk ■ пй )Мк dГ = 0 на Гк? С О ], (Ю)

гк

— У (Ч ■ п] dГ = 0 V] на Г] С Г№. (11)

гк3

Гс

ацнонным неравенствам

Л^ > 0 : [ ^2 ■ п^ )(м/ — А23’) dГ > 0 У^' ^ 0 на Г^' С Гс. (12)

Г

у Л!’7<^Г = ^ J Л^1 У^> на Г1 = иГ2а’1а С Г,

г1 я=1г2а,‘а

I

У■ п‘1)<рйГ = у (^* ■ п‘1)<рйГ У^> на Г? = иГ2^ С Г. (13)

1

г

Теперь для слабой постановки задачи введем соответствующие пространства и множества. Прежде всего, определим гильбертовы пространства функций, заданных на некоторой подобласти ш облает и О:

Н(&у, ш) = {V £ £2(ш)2 : Шу V £ £2(ш)}, |М|Н = У (|V|2 + |Ш\^|2) dx,

ш) = ^ £ Н(^у ш) : v ■ п|Эш £ £2(дш)}, |М|^ = |М|Н + У ^ ■ п)2 dГ•

Пусть далее

т,к т,к

V] = П^у,е]), и] = Д Ь2(е* ) и Л] = Ц),

г=1 г=1 г<

Л] = {Л] £ Л] : ^ = 0 на Т'1^ П Гд}.

Определим выпуклые замкнутые множества К^ и Кл равенствами

К^ = {(Л1, Л2) £ Л1 х Л2 : Л2 > 0 на Г? С Гс},

гг

У^ £ £2 (Г1) для всех Г1 С Г |.

Пусть билинейные формы ,//к, У&к, % и линейные формы заданы равенствами

'тк !* 'тк !*

■Л/] (V], Wk) = ^2 / vк ■ dx, ^](и], Wk) = ^ / и]Шу wк dx,

г=1 “ г=1 “

ек ек

"<-к "<-к р р % (лй, ^) = ^2 ^2 / Л5 (™55 - <) • п5 йГ - X / Л5 • п5 ) ^

*=1 ?'=*+1г^з (*,?)е1к гч

г к г к

тк /*

^(9 5) = ^2 I ^& ЙХ'

*=1 ;

ек

Билинейные формы с$]. будем также представлять в расщепленном виде, выделяя Г

(Л 5, W5) = 5^,п(Л5, W5 ) + 5^,г(Л5, W 5), тк /*

^,Г(Лй, w 5) = - XI ]С У Л? (^ ^ П? ) ЙГ'

*=1гк сг]

Используя введенные обозначения и суммируя соотношения (8) (13) по всем соответствующим конечным элементам е] и/или их сторонам Г, получим следующую слабую постановку задачи:

требуется найти (м1,м2) € Ц х (у1? у2) € У2 х У2, (Л^Л^ € Кл, удовле-

творяющие соотношениям

^#1(У1, Wl)

Л^2 (^2, W2)

^(ЯЬ Vl)

^(?2, V2) ^1,п(м, Vl) ^2,п(М2 - Л2, V2)

+^1(«1, W1) +^(«2, W2)

1 (Л1, Wl) +5^2, W2)

= 0,

= 0,

= -^1Ы;

= -^2(®), (14)

= 0,

< 0,

= 0.

^1,г(МЪ Vl) + ^2,г(^2, V2) для любых (91,92) € Ц х ии (wl, W2) € У1 х У2, (мъМ2) € Кл.

Теорема 1. Задачи (1) и (14) эквивалентны в следующем смысле: если « € К П Н3/2 (О) - решение (1), то ^^«^Л^, ^2,«2,Л2) является решением (14), где «5 = «|„* - сужение и мо е^, V* = Уи] п. те. на е^, м Л*? = «5

к

п. вс. мо Г? ;

обратно, если ^^и^Л^, (v2, и2, Л2) - решение задачи (14), то функция и = = ,и2,...,ит2), «5 = и|ек является решением задачи (1), V];. = Уи

п. вс. на е], и Л? = и п. те. на Г*?.

Доказательство. Первая часть утверждения теоремы следует из построения задачи (14). Докажем обратное утверждение.

Зафиксируем произвольный элемент е*, здесь мы опускаем индекс к, подразумевая под е* любой из элементов е]. Выбирая в первом (пли во втором, в зависимости от подобласти) уравнении (14) wг € (^(е*))”, где ^(е*) - пространство бесконечно дифференцируемых финитных в области е* функций, получим

V* • wг йж + «МЬ* wг йж = 0.

Выбрав ш® = (ад®, 0), будем иметь

„• дад

г’\ги\ с1х + I м<® ——— йх = 0 V ги\ £ г3{е1

дж®

ег ег

Последнее равенство есть определение того, что V® является обобщенной производной функции м® по ж®. По определению пространства Н^у,е®) функция V® принадлежит Ь2(ег^. Аналогично устанавливается, что дм®/дж2 = «2 € Ь2(ег). Следовательно, V® = Ум® п. вс. на е® и м® € Н®(е®).

Полагая теперь = 0, ] = г, и учитывая равенство V® = Ум®, получим

/ Ум® • ш® йж + м®Шу ш® йж—

_ ^ / А®^' ("® • п®^') + X / А3® ("® • п^'®) йГ = 0.

3>® Гз Сде^ 3<® Гз Сде*

После применения формулы Остроградского Гаусса к первому интегралу это равенство примет вид

[ м®(ш® • п®) йГ = ^ [ А®3(ш® • п®3) йГ — ^ [ Л3'®(ш® • п3®) йГ

Эе^ 3>® Гз 3<® Гз

для всех ш® € ^^у, е®). В силу определения пространства ^(ё1у, е®) имеем, что пространство Ь2(де®) исчерпывается функциями ш® • п®, где ш® € Ж(diу, е®). Поэтому из последнего соотношения получим А®3 = м® п. вс. на Г®3 С О® и ^2 и Ги иГN и Гс • В частности, в силу произвольности выбранного элемента е®, это влечет равенство м® = м3 п. вс. на Г®3 = е® П е3. Из полученного равенства следует также м = 0 п. вс. на Г д и, используя принадлежность А множеству Ка , получим м ^ 0 п. вс. на Гс.

Рассуждая подобным предыдущему случаю образом, на стороне Г®/ элемента е®1 С О®, принадлежащей Г и состоящей из I границ Г1’*1 ,•••,Г1’*1, получим, с одной стороны,

[ м®®("® • п®®) йГ = / А®®3 (ш® • п®®) йГ,

а с другой,

I м2" ("? • п?’^ ) йГ= I А2^ ("2 • п?’^ ) ^ в ^ — Д

где п®® = — п2°’4а в точках Г®3 П Г2а’*а. Суммируя эти равенства, учитывая, что А € Ка , и выбирая "2 = ш®, будем иметь

I

[ м®("® • п®®) йГ = V / м2а ("®® • п®®) ^г.

Г

Выбирая теперь (ш® • п®) € ^(Г2° ), получим м ® = м2 п. вс. на Г2а’*а для любого

Г2°’4а С Г, так что м ® = м2 п. вс. на Г.

г о .г

ГЗ

Воспользуемся теперь следующим известным утверждением (см., например. [8]): функция и - 0 ^ М принадлежит пространству Н^0) тогда и только тогда. когда

о) и|е £ Н 1(е) для всех е £ 7^;

б) на каждой общей границе Г®5' = е® П е^ , е®, е^- £ 7^, совпадают следы функций и|е^ и и|е3- •

Таким образом, из проведенных исследований следует, что функция и с и| =

= и® принадлежит Н 1(0).

Далее, из пятого (шестого) соотношения в (14) имеем

откуда выводим справедливость граничного условия ди/дп = 0 п. вс. на Г«. Из предпоследнего соотношения в (14) также следует

Возьмем теперь пробную функцию ц £ К, где К - множество ограничений в задаче (1), и пусть ц®, = цЦ . Подставим в третье и четвертое уравнения (14) У и® = V®, и, используя в качестве пробной функции ((ц — и)®,..., (ц — и)^), получим в каждой из подобластей 0к :

Применим к интегралу в левой части формулу интегрирования по частям, воспользовавшись (15) н последним равенством в (14) и просуммировав соотношения по подобластям, придем к равенству

/

(-Vі • п®' + V' • п®' ^Г = 0 V' Є 1,2 (Г®' ), если Г®' С ^ (15)

и

/

Vі • п®' (^ - А®')ЙГ < 0 на Г®' С Гс V' Є Ь2(Г®') : ^ > 0.

Снова учитывая равенство Уи® = V®, получим

(16)

2 ті -

= -ЕХ / (^® - ик)

к =1 і=1 "і єі

Второй интеграл равен нулю в силу равенства д = 0 на Гд и доказанного условия и = 0 на Гд, третий интеграл равен нулю в силу доказанного условия ди/дп = 0, четвертый интеград в силу (16) неотрицателен (в качестве ^ в (16) можно взять след д на Гс, т. к. Н1/2(Гс) С Ь2(Гс)), следовательно,

2 {, 2

2 р 2 р -ЕЕ/ ^ - ик )^ик Йх < - X X / /* (д* - и* ) Йх Уд € К : д® = дЦ .

*=1 *=1 к=1 *=1 ^

еь е!

Итак, если (и, V, А) - решение задачи (14), то и € К и удовлетворяет вариационному неравенству

J УиУ(д - и) Йх /(д - и) Йх Уд € К. п п

Это есть формулировка задачи Синьорини (1). □

Из доказанной теоремы следует, в частности, что в предположении дополнительной гладкости решения задачи Синьорини (1) задача (14) имеет решение, единственное в силу единственности решения (1). Далее будем строить аппроксимацию (14) и итерационный метод ее решения.

2. Аппроксимация по методу конечных элементов, алгебраическая форма записи сеточной схемы

Пусть У®,^ - конечномерное подпространство пространства ^(&у, е*), состоящее из таких вектор-функций V® , что V® • п®? является константой на каждой из границ Г*?. Например, в случае прямоугольных конечных элементов У*^ = {V = = (^1,^2) € Р1,о х Род}, где Р;,ш ^ пространство полиномов, имеющих степень I по Х1 и степень т по ж 2, то есть каждая го компонент вектора V линейна по

ШЬ

одному из направлений: «1 = а1 + 61ж1, «2 = а2 + 62ж2 . Определим У = П У*л _

*=1

конечномерное подпространство пространства У к .

Через обозначим подпространство Ц® , состоящее ИЗ ПОСТОЯННЫХ на элемен-

ту

тах е* функций, и положим = П Цл. = {и = (и1,..., ишь) : и® € Ро па е*}.

®=1

Наконец, пусть Л * ^ - подпространство прост рапства Л * функций с постоянными компонентами, то есть Л * ^ = {А®? € Ро на Г®? },

Л * Л = {А й* € Л й* : А? = 0 на Г®? С Гд}.

Определим выпуклые замкнутые подмножества:

= {(А1Ь, а2ь) € Л°ь х Л:к : а2ь ^ 0 на Г27' С Гс},

I I

Кль = {(Аш А2ь) € Ка\л : АЦ = £ а®?А&‘* на Г? = У Г?’4* С Г},

в=1 в=1

где а£* = У ЙГ ^ У ЙГ^ . Отметим, что множество Кл^, аппроксимирующее

Г 2 Г 1

Кл, получили, выбрав в определении Кл пробную функцию ^ € Ро на Г*/ С Г.

Конечномерная аппроксимация задачи (14) состоит в нахождении функций («іь,м2ь) Є х (уіь, v2h) Є Уіь х У2ь, (Аіь,А2ь) Є Кль, удовлетворяю-

щих следующим соотношениям:

•^і^іь, Ші) .^2^2Ь, Ш2) ^і(?Ь Vlh) ^2(?2, V2h) ^і,п(мі, Vlh) ^2,п(М2 - А2Ь, V2h)

і(міЬ, Ші) 2(«2Ь,

+ ^і(Аіь, Ші) + ^2(А2Ь, Ш2)

^і,г(МЬ Vlh) + ^2,г(М2, V2h)

= 0,

= 0,

= ^і(?і),

= -^2(92), (17)

= 0,

< 0,

=0

для всех (9і, 92) Є Ціь х , (ші, Ш2) Є Уіь х У2ь, (мі, М2) Є Кль-

Перейдем к построению алгебраической формы записи сеточной схемы (17). Размерность ^пространства У^ь равна числу сторон элемента в*, поэтому

тк

размерность Укь равна ^ п®. Размерность икь равна Жик = шк, а раз-

І= і

мерность Л®ь обозначим через Жлк, ще Жлк есть общее число границ Г®7.

Пусть «к - узловые параметры вектор-функции vkh, ассоциировалиые с Г®7 ,

і\ - узловые параметры функции мкь, ассоциированные с в®,,

А!7

узловые па-

раметры А*^, ассоциированные с Г?, ] > г. Будем обозначать через V* € .

и* € и А* € М^АЬ векторы узловых параметров для vkh, и*^ и А*^, к = 1, 2.

соответственно.

Пусть

К1 = {А = (А1, А2) € М^А1 х М^А2 : А? ^ 0 для индексов, соответствующих

узловым параметрам, ассоциированным с Г? С Гс},

К = {а = (Аі,А2) є:

: Аі = £^=і а? А? '** на Г? = ^=і Для

индексов, соответствующих узловым параметрам, ассоциированным с Г®7 С Г}.

Обозначим через С; = д/К;, I = 1, 2, субдифференциал индикаторной функции множества К;. Поскольку П К2 = 0, то оператор С = д/К1Пк2 = С1 + С2.

Далее, пусть матрицы М*, В*, С* определяются равенствами

(М*:«,'ш)=^#"^ь), (В^д, V) = (д*^, vfch), (С*V, ^) = ^(^ь, Vfch)

€ У*;Л,? Уд*;Л. € УМ*^ € Л*^7 к =1, 2

где (•, •) означает скалярное произведение в пространстве векторов соответствующей размерности. Аналогично определим векторы /*:

(/*, д) = ^(д*л) Уд*л € Л^.

Введем следующие обозначения:

А

/М1 ВТ 0 0 СТ 0

Ві 0 0 0 0 0

0 0 М2 ВТ 0 С2Т

0 0 В2 0 0 0

Сі 0 0 0 0 0

0 0 С2 0 0 0

(«і Мі «2 М2; Т, в = (0 -

Ао СТ С 0

Л1

Л 2

Задача (17) может быть записана следующим образом:

I А0г + А =

+ С (А) э 0.

Исключая и*, у*, к = 1, 2, получим так называемую конденсированную систему

5А + С(А) э д, (18)

где

5 = (о £)• 9 = (92

5* = с м—1сТ - С м—1вТ № м—1вТ )-1Вй м—1сТ:

= -сМ-іВ Т(ВМ- 1В Т)- / к =1, 2.

Полученная задача представляет собой включение с симметричной положительно определенной матрицей £ [23] и максимально монотонным оператором С = д/КіПк2- Это включение равносильно задаче на минимум квадратичного функционала

|(5'А, А) - А)

на выпуклом замкнутом множестве Кі П К и имеет единственное решение.

3. Итерационные методы решения сеточной схемы

3.1. Метод верхней релаксации. Как уже отмечалось выше, задача (18) равносильна задаче минимизации квадратичного функционала на выпуклом замкнутом множестве. В [24] для решения таких задач доказана сходимость метода верхней релаксации

- Ьз^ \к+1 + схк+1 Э - 1^5 + и3^ хк + д,

где 5 = — Ь,5 — - расщепление матрицы 5 па диагональную, строго нижнюю

и строго верхнюю треугольные матрицы, а € (0, 2) - параметр релаксации.

Матрица 5 может быть получена в явном виде при помощи процедуры поэлементной сборки. Это разреженная матрица ленточной структуры. Например, в случае прямоугольной области и равномерной прямоугольной сетки при лексикографической нумерации узлов 5 является девятидиагональной матрицей, причем в каждой строке этой матрицы присутствует не более семи элементов.

а

как показывают вычислительные эксперименты, достаточно близким к оптимальному является параметр, выбранный как при решении системы линейных алгебраических уравнений с матрицей 5. В частности, выбор а достаточно близким

2

а=1

3.2. Метод расщепления. Для решения задачи (18) можно также использовать метод расщепления, который в общем случае записывается как

Б-1В(АП+1 — А”) + 5А” + С(В(А”+1 — А”) + А”) э д, п = 0,1,2,.... (19)

где В, Б - симметричные и положительно определенные матрицы.

Рассмотрим вариант метода с

B = E + DS, D = diag(Tb ... ,ri,r2,... ,Т2),

'---V---' '---V--'

Nai Na2

E

f D-1(A”+1/2 - A”) + SA” + CA”+1/2 э g,

< (20) [ (E + DS)(A”+1 - A”) = A”+1/2 - A”

BD

форда для вариационных неравенств с различными итерационными параметрами по подобластям.

В [4] обоснована сходимость (20) при любых положительных итерационных па-T1 T2

итерациониых параметров этого метода, которые выражаются через собственные S1 S2

Более того, из [23] следует, что матрица Sk, к =1, 2, спектрально эквивалентна (с постоянными, не зависящими от шага сетки) дополнению Шура матрицы жесткости некоторой классической схемы метода линейных конечных элементов для оператора Лапласа. Это позволяет получить оценки для минимального и максимального собственных чисел Sk. В частности, пусть триангуляции областей Й1 и ^2 квазиравномерные, то есть для всех конечных элементов ek

diam e1 х h1? diam e2 x h2.

S

M(Sk ) X 2 :

поэтому норма оператора итерационного шага при оптимальных итерационных параметрах оценивается величиной

р =1 — ch2, c = const (h1 > h2).

Перейдем к обсуждению численной реализации итерационного метода (20). Будем далее использовать следующие обозначения для подмножеств индексов векторов A k, k = 1, 2, соответствующих узловым параметрам, ассоциированным с различными Г j:

^соответствует rj С Ok, YkN соответствует rj С rN П 7с соответствует Г^ С Гс, Yk соответствует r^j С Г.

В этих обозначениях решение первого включения в (20) для компонент векторов A”+1/2 , к = 1, 2, с индексами i G wkUYkNUyc осуществляется по явным формулам, а именно:

A”+1/2 = A” + T1(g1 - S1 A”)i, i G W1 U Y1N,

< A”j+1/2 = A” + T2 (g2 - S2A”)i, i G ^2 U Y2N,

,A"+1/2 = max{0; A” + T2(g2 - S2A”);}, i G yc.

”+1/2

Пусть теперь ^k _ усеченный ВвКТОр, составленный ИЗ компонент Ak с индексами i G Yk > fk _ усеченный таким же образом вектор gk - SkA” + A”/Tk. Будем

использовать далее одни и те же обозначения (•, •), | • | для евклидовых скалярных произведений и норм этих векторов (вне зависимости от их размерности). Тогда для (^1,^2) включение в (20) эквивалентно задаче минимизации функции

Ф(Мь М2) = _ (/ь Mi) _ (Л> М2)

.. i ..

на подпространстве, определенном ограничениями A. = £ a.A^s’ s па Г. =

S= 1

I

= U Г2а’ s• Эти ограничения запишем в виде ^1 = Р^2. Таким образом, для

S= 1

вектора ^2 получим систему уравнений

(~ррт + -E)m = PTfi + h.

T1 T2

Матрица этой системы блочио-диагональная с квадратными блоками размера

I х I. При реализации итерационного процесса достаточно обратить ее один раз и использовать обратную матрицу при вычислении очередного итерационного при-A

Второе уравнение системы (20) представляет собой две не связанные между собой системы линейных алгебраических уравнений с симметричными и положительно определенными матрицами Ek + Tk Sk (Ek — единичная матрица соответствующего размера). Для решения этих систем необходимо использовать внутренний итерационный процесс, например метод последовательной верхней релаксации.

Числа обусловленности матриц Ek + Tk Sk относительно невелики. В частности, в случае квазиравномерной триангуляции областей Qk числа обусловленности Ek + Tk Sk есть величины по рядка h-1. Это позволяет при решении данных систем уравнений эффективно использовать также, например, метод сопряженных градиентов без предобусловливания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект X- 04-01-00484).

Summary

М.A. Ignatieva, A.V. Lapin, N.V. Lapin. Domain decomposition method for Signorini problem in mixed hybrid formulation.

A mixed hybrid finite element method in combination with non-overlapping domain decomposition and 11011-matching grids are used for Signorini problem. For solving the constructed finite element problem SOR- and splitting iterative methods are analyzed.

Литература

1. Dustal Z., Friedlander A., Gomes F.A.M., Santos S.A. Preconditioning by projectors in the solution of contact problems: A parallel implementation // A1111. Oper. Res. m. 2002. V. 117. P. 117 129.

2. Dostal Z., Horak D. Scalability and FETI based algorithm for large discretized variational inequalities // Math. Comput. Simul. 2003. V. 61. P. 347 357.

3. Danek J., Hlavacek I, Nedoma J. Domain decomposition for generalized unilateral semi-coercive contact problem with given friction in elasticity // Math. Comput. Simul. 2005. V. 68. P. 271 300.

4. Laitinen Е., Lapin A.V., Pieska J. Splitting iterative methods and parallel solution of variational inequalities // Lobaclievskii J. of Mathematics. 2001. V. 8. P. 167 184.

5. Herrera I., Keyes D., Widlwul O., Yates R. (Eds.) Domain Decomposition Methods in

Science and Engineering. Mexico City, Mexico: National Autonomous University of Mexico (UNAM), 2003. 466 p.

6. Kornhuber R., Hoppe R., Periaux J., Pironneau O., Widlund O.; Xu J. (Eds.) Domain

Decomposition Methods in Science and Engineering. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer. 2004. V. 40. 700 p.

7. Brezzi P., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. N. Y.: Springer Verlag, 1991.

8. Roberts J.E., Thomas J.M. Mixed and hybrid methods // Numer. Anal. 1991. V. II.

P. 523 639.

9. Farhloul M. A mixed finite element method for a nonlinear Diriclilet. problem // IMA J. of Numer. Anal. 1998. V. 18. P. 121 132.

10. Milner P.A. Mixed finite element methods for quasilinear second-order elliptic problems // Math. Comp. 1985. V. 44. P. 303 320.

11. Park E.-J. Mixed finite element methods for nonlinear second order elliptic problems // SIAM J. Numer. Anal. 1995. V 32. P. 865 885.

12. Chen Z. Expanded mixed finite element methods for linear second order elliptic problems I, II // M2 AN. - 1998. - V. 32. - No 4. - P. 479-499, P. 500-520.

13. Milner P.A., Park E.-J. A mixed finite element method for a strongly nonlinear second order elliptic problem // Math. Comp. 1995. V. 64. P. 973 988.

14. Lee М., Milner P.A. Mixed finite element methods for nonlinear elliptic problems: the p-version // Numer. Meth. for Part. Diff. Eq. - 1996. - V. 12. - P. 729-741.

15. Milner F.A., Suri M. Mixed quasilinear second-order elliptic problems: the p-version I j M2

16. Hua D., Wang L. A mixed finite element method for the contact problem in elasticity // J. Comput. Math. 2005. V. 23, No. 4. P. 441 448.

17. Куликов P.M., Плотникова С.В. Контактная задача для геометрически нелинейной оболочки типа Тимошенко // ПММ. 2003. Т. 67, Л'! 6. С. 940 953.

18. Hlavaeek I. Reliable solution of a unilateral contact problem with friction, considering uncertain input data // Applied nonlinear analysis. In honor of the 70t.li birthday of Professor Jindricli Necas. N. Y.: Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1999. P. 175 183.

19. Ignatieva M.A., Lapin A.V. Mixed hybrid finite element scheme for Stefan problem with prescribed convection // Lobaclievskii J. Math. 2003. V. 13. P. 15 24. (URL: http://ljm.ksu.ru/voll3/ila.litm)

20. Ignatieva M.A., Lapin A. V. Iterative solution of a mixed hybrid finite element scheme for the Sigiiorini problem // Comp. Meth. in Appl. Math. 2004. V. 4, No 2. P. 180 191.

21. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

22. Даутов Р.З., Карчевский М.М. Ведение в теорию метода конечных элементов.

Казань: Казан, гос. уп-т, 2004. 239 с.

23. Kuznetsov Yu.A. Spectrally equivalent preconditioners for mixed hybrid discretizations of diffusion equations on distorted meshes // J. Numer. Math. 2003. V. 11. P. 61 74.

24. Лапип А. В. Методы типа релаксации для суммы квадратичного и выпуклого функционалов // Изв. вузов. Математика. 1993. Л'! 8. С. 30 39.

Поступила в редакцию 24.08.06

Игнатьева Марина Александровна кандидат физико-математических паук, старший паучпый сотрудник НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Е-шаП: Marina.IgnatievaQksu.ru

Лапин Александр Васильевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры математической статистики Казанского государственного университета.

Е-шаП: а1арт Qksu.ru

Лапин Николай Васильевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры высшей математики Казанского государственного архитектурно-строительного у пиверситета.