CC BY
29
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аккуратов Ю. Н., Михайлов В. Н. Решение нелинейных стационарных задач теплопроводности с граничными условиями I - IV рода // ЖВММФ. 1984. Т. 24, № 12. С. 1819- 1826.
2. Федик И. И., Колесов В. С., Михайлов В. Н. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985. С. 284.
3. Агафонова Н. Ю., Михайлов В. Н. Решение краевых задач I - IV рода для уравнения Пуассона в составных телах вращения // Совр. проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 168.
УДК 539.3
Н. С. Анофрикова
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРАНСЛОЯ В ОКРЕСТНОСТИ ФРОНТА ВОЛНЫ РАСШИРЕНИЯ В ВЯЗКОУПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ
Рассмотрим задачу определения погранслоя в тонкой цилиндрической оболочке при ударном продольном воздействии изгибающего типа. Допустим, что исследуемый цилиндр выполнен из вязкоупругого материала, который имеет упругую объемную деформацию, а девиатору соответствует модель вязкоупругого тела Максвелла [1].
Разрешающие уравнения для асимптотически главных компонент напряженно-деформированного состояния имеют вид [2]
д\хд\ (1-2у)*:эу1=0
ЭС2 Зт2 (1 - V) '
стп =-*--> 0)
11 2(1 + у)К2/>
Еу сН>, сь, =---
33 (1 - 2у)(1 + У)А
где у1 - перемещение вдоль образующей срединной поверхности цилиндрической оболочки, С7п,ст33 - нормальные напряжения, £ = 04 /А (а! - координата вдоль образующей срединной' поверхности оболочки, И - полутолщина оболочки), £ = а3/И (а3 - расстояние по нормали к срединной поверхности), т = с2?//г (с2 - скорость волны сдвига, I - время), К = 2(1 + у)/(3т^), т^=с,тл/Л (хк - время релаксации, Я - радиус цилиндра), к = с2 /с{ (с, - скорость волны расширения), ц = И/ Я, Е,\ - механические параметры модели.
Будем полагать, что на лицевой поверхности = ±1 уравнения (1) удовлетворяют однородным граничным условиям
а33=0. (2)
Проанализируем действие ударной нагрузки, приложенной к краю 4 = 0 и зависящей от времени как единичная функция Хевисайда. Рассмотрим случай продольного воздействия изгибающего типа, для которого мы имеем на торце Е, = 0 ненулевой изгибающий момент
аи=1кСД(т), (3)
где / - некоторая постоянная, Н(т) - единичная функция Хевисайда.
Считаем также, что уравнения (1) удовлетворяют однородным начальным условиям
9У,
V, = —1 = 0 при т = 0. Эт
Введем новую функцию
/
V, = ехр
2(1 - V) 1
Запишем уравнения (1) и граничные условия (2), (3) для функции V), пренебрегая в первом уравнении (1) членами порядка 0(г|2), в остальных уравнениях и граничных условиях - 0(г(). Получим
_2 * -2 * "\2 * 8 V, д V, 2 8 V, п
—Г + —Г~к—7 = 0>
Э£2 8£2 Эт2
(5)
СТц =
2(1+у)к2и а^' ЕУ • 8У*
умноженные на ехр г|
, аналогично (5).
33 (1-2у)(1 + У)/2 81, '
СТзз = 0 при £ = ±1, (6)
ст*, = 1НСД(х) при 4 = 0. (7)
Здесь и далее функции со звездочкой обозначают исходные функции, (1 - 2у)К л 2(1-V)
Применим к (5) - (7) интегральные преобразования Лапласа по времени и интегральные синус- и косинус-преобразования Фурье по переменной 4 ■ Для изображения решения получим следующую краевую задачу:
✓А,*«7 т
«
у;1С=0приС = ±1, (9)
где
а2 = X2 + к252, /, == Ж 2(1 + у)к ^ 1 ^ - параметр преобразования V 7с Е
Лапласа, X - параметр преобразования Фурье. Решение (8), (9) имеет вид
оф
5а2 I; 5Й(а)
уГ£С=-
-е
(10)
Свойства погранслоя, при рассматриваемом типе воздействия, будем изучать на примере изгибающего момента О,, выражающегося формулой
ЕИ
■ дv
2(1 + у)к2 д\
Переходя с помощью формулы (4) к V* из (11) с учетом (10) получим с погрешностью 0(т\) выражение для изображения С1
ПК.
п sa2
2Х
1
ал/г(а)
с/1 (а)
а /
Обратим сначала преобразование Фурье. Используя теорему выче-
тов, для С{1 имеем
п*ъ 4/Л » 1
ОТ „=\П
К5
Для обращения (12) разложим С*1 в ряд по отрицательным степеням
1 +
2 2 И Я
2 2 К 5
1/2 ^ £
(12)
л. Оригинал получим, используя формулу
т
.и/2
Ул(2л/Й(7^)>/(Т - с^Ут = -^ехр
где с^- постоянные, Jn - функции Бесселя первого рода.
Выпишем окончательное решение для изгибающего момента, оставляя в разложении только функции Бесселя нулевого порядка:
„ 4/й , =—~ехР "Л
(1 - 2у)К 2(1-У) '
00 1 и=1«
^>/10
т-к^)
Я(т-к£).(13)
В решении (13) вязкоупругий характер модели Максвелла выражает-
ся экспоненциально затухающим множителем ехр
(1 - 2у)К
-л ™—ч £
2(1-V)
рый определяет затухание решения на фронте с ростом времени.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. НовсщкийВ. Динамика сооружений. М.,1963.
, кото-
2. БажановаН. С., Коссович Л. Ю., СухоловскаяМ. С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Изв. вузов, Северо-Кавказский регион. 2000. № 1. С. 17-24.
УДК 539.3
В. Л. Березин, Ю. П. Гуляев
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ ПО СОСТАВНОМУ СТЕРЖНЮ
В отличии от работ [1, 2], посвященных задаче нахождения спектра собственных частот колебаний сосредоточенных масс, в данной статье развит метод расчета скоростей и деформаций в любой точке составного стержня на основе интерференции прямых и обратных волн.
Имеется Л'-слойный круглый стержень диаметром £>, находящийся в состоянии покоя. /-Й слой этого стержня (V = 1,2,3) выполнен из упругого материала, имеющего плотность р/ и модуль Юнга Е1, в котором возмущения распространяются со скоростью а¡= ^Е/ /р/. Толщина 1-го слоя равна И!. Эти слои могут быть выполнены из трех различных материалов: «а» - стекло , «б» - мягкий полимер, «в» - жесткий полимер. В момент времени г = 0 левый конец стержня взаимодействует с точечной массой т0, движущейся со скоростью у0 , направленной вдоль оси стержня.
Решение данной задачи можно представить как суперпозицию решения более простых задач: задачи о прохождении импульса, распространяющегося вправо через границу разрыва материальных свойств стержня, задачи о прохождении импульса, распространяющегося влево через границу разрыва материальных свойств стержня, задачи об отражении импульса, распространяющегося влево от границы контакта с точечной массой.
Для первой задачи, в которой рассматривается прохождение волной, бегущей вправо, границы разрыва материальных свойств стержня, имеем следующие соотношения для напряжения и скорости:
скорость в падающей волне, оги V - напряжение и скорость в прошедшей волне.
Для второй задачи, в которой рассматривается прохождение волной, бегущей влево, границы разрыва материальных свойств стержня, легко получить следующие соотношения для напряжения и скорости:
ах и V - напряжение и
О)
