Интегральные уравнения в задачах расчета кручения стержней Текст научной статьи по специальности «Математика»

Получены первые интегралы уравнений краевой задачи, установлено условие, при выполнении которого уравнения краевой задачи существенно упрощаются.

КИКЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. II // Космические исследования. 2003. Т. 41, № 1. С. 92 - 107

УДК 539.3

К. Г. Бахтин, В. Н. Михайлов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ РАСЧЁТА КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ

Рассмотрим упругий призматический стержень, составленный из различных материалов. Пусть постоянное по длине многосвязное поперечное сечение стержня £) образуется из областей 01,02,. .,Ом, соответствующих материалам с различными модулями сдвига С1,С2,...,СЛ1. Обозначим через £>() область, внешнюю к О; через Г0 - внешнюю границу области О; через Гд, к =1,2,...,/ - границы внутренних полостей и через - линии раздела между подобластями О,- и Поместим начало декартовой системы координат (х,у,г) в некоторой произвольной точке торцевого сечения стержня, направив ось г параллельно образующей боковой поверхности стержня. Известно [1], ч то задача расчёта кручения стержней сводится к решению уравнений Пуассона для функций напряжения и¡{х, у) в каждой подобласти Д-

Ч2и1{х,у)=-20„й-1&...,М ■ (1)

На границах между областями О, и О^ должны выполняться условия сопряжения

С, °пч дпу

где--производная по внешней к подобласти £>, нормали. На внешней

длу

границе Г0 и на границах полостей Г4, к = 1,2,...,/ функция напряжений и(х,у) должна удовлетворять граничному условию первого рода

и(х, у)=ск, {х, у)еГк,к = ОД,...,/. (3)

Постоянные ск не известны (с0 можно положить равной нулю) и находятся из условий

г- С; ОП

где О — площадь полости, ограниченной контуром ГА и индекс / принимает значения номеров подобластей Д, которые пересекает контур Г*.

Задача (1) -(3) при известных значениях постоянных ск,к =1,2,...,/ совпадает с задачей расчёта температурных полей с постоянным тепловыделением и заданной температурой на границах области, которая сведена к граничному интегральному уравнению и решается численно для любых областей [2]. Этот способ может быть применён и для задачи кручения. Вопрос об определении неизвестных постоянных ск может быть решён с помощью суперпозиции решений [3].

Недостаток такого подхода заключается в том, что на границах

между подобластями с различными материалами будут найдены значения функции напряжения, в то время как для вычисления касательных напряжений, что и является целью расчёта кручения стержней, необходимо знать первые производные функции и(х,у). Покажем, что можно получить интегральные уравнения, исключающие этот недостаток.

Пусть (*(), Уо) - фиксированная точка, тогда для функции £/,(х0, у0) имеет место представление [2]

Р, (*о. У о (*о • У о У= ^ (*о . Уо К- (-«о ,Уо)+ \

I,

-иА

удпч дпч)

-I

'Мв-иг,»'

дпу дпу }

ейг, 1=1,2,...,М ,

(5)

где I, - фаница подобласти й,; /^-(л:0,>'0) = л, если (х0,у0)е£^ Р1 (х0,) = 0, если точка (х0, у0) лежит вне области О, , и Р, (х0, >>0) = 2л,

если (х0,у0)еО1-; 5 = 1п^-,г = у/(х-х0)2 +(у-у0)2 ; Щ(х,у) - частное решение уравнения (1).

Граница Li состоит из участков Ь^, ] е М1, где Л/(- - множество номеров подобластей £)., фаничащих с Л,. Учитывая это, запишем равенства (5) в следующем виде:

ГдУ/1 .„ 35 4

31у, дп,

8-С/,

38 ЗП:,

ек-

ч /

~ I I

^-5 — А, / = 1,2,..., М .

дпц дпу)

Просуммируем теперь эти соотношения по I от 1 до М :

148

и м м

/=1 <=1

¡=1 ¡еМ, ^

-и,-*

кдпч дпа;

м

(

Эб

дпч!

(1.4.

г/л -

(6)

В этом выражении суммирование по внутренним границам между подобластями 01 и Р] производится дважды - по и . Объединим эти интегралы, при этом условимся оставлять в (6) контуры, для которых /</, т.е. второй индекс меньше первого. Подмножество номеров ) > О множества М¡, удовлетворяющих этому требованию, обозначим через Л/, . Заме-

тим ещё, что на выполняется равенство -

дпу

СП:

-. С учётом этого и

условий (2), (3) соотношение (6) преобразуем к виду

мм м

1=1 ¡=1 '=и,0

I ЛХ т / Ч т

¿=1 ,ьМ] 1,„

1=1 Г,дпЮ

м

I ¿=1 £

-I Е (с,-с,.)/

'=1 —и;

Здесь К = IV, И' = + /)■

О, бп,у 2

Если точка (х0,у0) - внутренняя точка подобласти I),, то

Л1 -V/

X 3 (*о> Уо ХЛ (*о >Уо)=2пик (хо >Уо\И Р1 (*о. Уо (-«о. У о) = > Уо) ■•

/=1 ¡=1

В соотношение (7) входят интегралы только по внешним и внутренним границам области й . Возьмём в (7) точку (х0,.у0) на границе области, тогда (7) будет являться граничным интегральным уравнением относительно функции У(х,у), способ численного решения которого подробно изложен в [2]. Зная функцию V, можно найти касательное напряжение на внешних и внутренних границах области. Для нахождения напряжений во внутренних точках необходимо продифференцировать выражение (7) по *о и У о' что не вызывает принципиальных трудностей.

Для жёсткости С при кручении составного стержня имеет место формула

м м , .

С = 2Ци(х,у)сМу = \\fdxdy + £ X &-С,) ¡V/¿з +

О '=1 О, ¿ = 1 /еМ,' I.,,

у8пи дпа;

С/5-

дпц бп,

к ч

11.у.

(7)

+ XG, ¡Vfds + Xci jJLAi <=1 ¿,0 ¿=1 Г; a

где / = и интеграл по области Di от f(x) может быть сведён к интегралу по Гранине D, согласно [4|. Таким образом, жёсткость зависит только от функции на внешних и внутренних границах области D .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Арутюнян U.X., Абрамян БЛ. Кручение упруг их тел. М.: Физматгиз, 1963.

2. Федик И.И., Колесов B.C., Михайлов ВН. Температурные поля и термонапря-жения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 19X5.

3. Вабищеаич П.If. Задачи упругого кручения цилиндрических стержней // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, № 1. С. 63 — 72.

4. Михайлов B.II. Автоматизация вычисления интегралов но плоским областям на ЭВМ // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. Вып. 9. С. 109 - 112.

УДК 551.5: 633.11

А. Л. Брежнев, И. А. Чернов

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЯТНА ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПО СКЛОНУ С ФИЛЬТРАЦИЕЙ В ПОЧВУ

Предложена математическая модель, описывающая движение жидкой массы по наклонной поверхности с учётом фильтрации её в почву, что представляет интерес при расчёте экологического риска в аварийных ситуациях.

1. Пусть на горизонтальной плоскости при 1=0 налит слой жидкости высотой 0. С течением времени за счёт фильтрации толщина слоя //(/) начнет убывать. Рассмотрим сначала пропитку водонасыщенного грунта. Предположим, что вытеснение полное и поршневое, вязкости вытесняющей и вытесняемой жидкостей одинаковы. Если вести отсчёт ог гидростатического распределения, то задача формулируется следующим образом:

р(г, 0 = р0 + ¿1п(1 + ург) + и(г, 0,

ди_ д2и

д1=Кд2г'

«(*,()) = 0, и(со,/) = 0, и(0,() = уН(/), //(0) = С? ■

Здесь Р - коэффициент объёмной упругости жидкости, у =р§ - удельный вес жидкости, к - коэффициент пьезопроводности.