Распространение пятна загрязнения по склону с фильтрацией в почву Текст научной статьи по специальности «Физика»

+ XG, JV/ds + Ic,. <=i ¿,o ¿=1 г,- ч

где / = и интеграл по области от /(jc) может быть сведён к интегралу по границе D, согласно [4|. Таким образом, жёсткость зависит только от функции на внешних и внутренних границах области D .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Арутюнян U.X., Абрамян БЛ. Кручение упруг их тел. М.: Физматгиз, 1963.

2. Федик И.И., Колесов B.C., Михайлов ВН. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985.

3. Вабищепич П.If. Задачи упругого кручения цилиндрических стержней // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, № 1. С. 63 —72.

4. Михайлов B.II. Автоматизация вычисления интегралов по плоским областям на ЭВМ // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. Вып. 9. С. 109 - 112.

УДК 551.5: 633.11

А. Л. Брежнев, И. А. Чернов

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЯТНА ЗАГРЯЗНЕНИЯ ПО СКЛОНУ С ФИЛЬТРАЦИЕЙ В ПОЧВУ

Предложена математическая модель, описывающая движение жидкой массы по наклонной поверхности с учётом фильтрации её в почву, что представляет интерес при расчёте экологического риска в аварийных ситуациях.

1. Пусть на горизонтальной плоскости при 1=0 налит слой жидкости высотой 0. С течением времени за счёт фильтрации толщина слоя //(/) начнет убывать. Рассмотрим сначала пропитку водонасыщенного грунта. Предположим, что вытеснение полное и поршневое, вязкости вытесняющей и вытесняемой жидкостей одинаковы. Если вести отсчёт ог гидростатического распределения, то задача формулируется следующим образом:

I) = р0 + ^ 1п(1 + ург) + и (г, /),

ди_ д2и д1=Кд2г'

«(*,()) = 0, и(со,/) = 0, и(0,() = уН(/), //(0) = С? ■

Здесь Р - коэффициент объёмной упругости жидкости, у =р§ - удельный вес жидкости, к - коэффициент пьезопроводности.

Решение записывается в виде теплового потенциала двойного слоя

I

u(z,t) = yQerfc(z /(2л/к?)) + у J// (z)erfc(z/(2^K(t-i))dx.

о

Для нахождения закона падения уровня используем уравнение

clH _ к Эн(0,р dt ря dz

где к - коэффициент фильтрации.

Используя преобразование Лапласа, найдём

Я (0 = (3 cxp(Jt2i / K)crfc(k4thi).

Предположим, что грунт сухой. Обозначим - высоту капиллярного поднятия, т - порозность грунта. Считая движение одномерным, обозначим H(t) - высоту слоя жидкости над поверхностью грунта, yo(t) - глубину зоны промачивания.

Связь между этими величинами даётся формулой H(t) + my0(t)=Q.

Используя это соотношение и закон Дарси, можно вывести дифференциальное уравнение, описывающее уменьшение высоты слоя жидкости H{t) с течением времени [1],

dH к{\ -m)H-hmk-Q dt Q-H

Уравнение (1) имеет точное решение 1

/c(l-m)

Дифференциальное уравнение (1) и его решение (2) имеют особенность в начальный момент времени при t=О, когда Q=H. Из формулы (2) можно найти разложение высоты H{t) при малых значениях времени t

II =Q + A*/i + 0(t). (3)

Тогда, дифференцируя (3), найдём скорость опускания слоя жидкости при малых I

<4>

2. Пусть произошёл внезапный налив массы М жидкости на поверхность грунта. Сначала произойдёт растекание жидкости и образуется пятно, которое будем считать цилиндром высотой Н и площадью S.

Рассмотрим движение этого цилиндрического пятна жидкости по наклонной пористой поверхности после внезапного налива. Будем считать, что форма пятна в плане не изменяется, и оно поступательно движется вниз по склону, при этом толщина пятна уменьшается вследствие фильтрации в грунт. Для описания этого движения воспользуемся уравнением Мещерского динамики точки переменной массы

t ■■

Q и (Q + hk)m[nQ + hkm + {m-l)H 1 -т (Q + hk)m

(2)

где М- масса слоя, v — скорость, F¡ — действующие силы. Массу слоя представим в виде

М= pSH(t),

где р - плотность, S- площадь пятна, //(/) — высота слоя. Примем во внимание силу тяжести

P = Mg = pSH(t)g и силу сопротивления движению пятна

Fc = kcpSv,

обусловленную касательными напряжениями при скольжении слоя жидкости по неподвижной поверхности, закон сопротивления считаем линейным. Тогда, подставляя в уравнение (5) выражение массы и действующих сил, получим после преобразований дифференциальное уравнение в проекции на ось х

—(Hv) = Hg sin а - kcv,

где а - угол наклона поверхности к горизонту.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение для скорости

udv и ■ / dH <** /¿ч

Н — = tfgsina-kcv - v-, где — = v. (6)

di dt dt

Законы изменения H(t) были указаны выше для водонасыщенного и сухого фунта. 11усть движение пятна происходит по сухому грунту (формула (2)).

Уравнение (6) будем интегрировать численно, для этого необходимо отступить от особой точки при t = 0. Используя разложения (3), (4), аппроксимируем уравнение (6) при малых t

„dv . А

Q- = QgSina-kcV-V^.

Общее решение данного уравнения имеет вид

V = grsina + Cexp((-*cr -Ay]t)/Q). (7)

При t = 0 считаем пятно неподвижным (v = 0), отсюда находим значение постоянной интегрирования С = 0. Тогда в начальный промежуток времени получаем выражение для скорости v и перемещения х

v = gísina, х= gr2 sin а/2, (8)

откуда видно, что движение пятна начинается под действием силы тяжести.

Для численного интегрирования системы уравнений (6), (7) выберем следующие значения параметров: коэффициент фильтрации к = 0.001 м/с, высота капиллярного поднятия hk=0, порочность т = 0.5, уклон sin a=0.1, коэффициент сопротивления Ас=0.1. Зададим высоту слоя Q^0.12 м и

Д.,,,=0.11 м. Тогда из (2) найдём, что уменьшение слоя с высоты 0.12 м до 0.11 м произойдёт за время /,мч=0.78 с при этом из (6) получим скорость уна,,=0.77 м/с и перемещение хнач=0.31 м. Используя эти данные как начальные условия, интегрируем систему (6), (7) численно до момента исчезновения слоя. Получаем, что перемещение пятна составит 32.4 м за время 71 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Палубаринова-Кочина ПЛ. Теория движения фунтовых вод. М.: Гос.изд-во тех.-теорет. лит., 1952.

УДК 533.6.011:532.529

Е. Н. Гамаюнова

УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ И ПОТОКИ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ УДАРНЫХ ВОЛН

Проблема аналитического исследования ударно-волновых структур и потоков за ни,ми при различных режимах нерегулярных и регулярных взаимодействий относительно слабых (интенсивности Р10 = {р1 - р0)/В0,

^20 = (Р2 ~ РЬ)/В0, В0 = р0Со) ударных волн (УВ) (с углом наклона а к вертикали) в газе и газожидкостной среде, характеризуемой параметром Я0(у), вызывает неизменный интерес исследователей.

Анализ общей постановки задачи взаимодействия У В [1] сводится к построению во внутренних переменных X, У (б, У) решения краевой задачи для компонент скорости |д, V системы уравнений коротких волн

2(ц-5)Ц5+Уу+Ц = 0, Цу=У6, ц-Р« «//&>, Я/с0г=1 + РюЯ0(у)5, в = Р^2Л^2(у)У, 5 = Х + ^У2, (1)

со со ио Ро

удовлетворяющей на фронтах УВ (рис. 1) 5 = 5*(У) (А^А2 - Маха, с]п =0; А1В1 - отражённого, qn — \ \ А2В2 - отражённого, = Л ) условиям

Л = ^ (2) по ко ш 20