Модель резания пластичного водонасыщенного грунта ножом землеройной машины Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 624.132.3

МОДЕЛЬ РЕЗАНИЯ ПЛАСТИЧНОГО ВОДОНАСЫЩЕННОГО ГРУНТА НОЖОМ ЗЕМЛЕРОЙНОЙ МАШИНЫ

М.К. Сукач, профессор, д.т.н., В.И. Магнушевский, инженер,

КНУСА, г. Киев

Аннотация. Решена плоская задача взаимодействия ножа землеройной машины с пластичным водонасыщенным грунтом. Установлены размер пластической зоны перед ножом и условия перехода процесса резания грунта в его раздвигание без отделения стружки.

Ключевые слова: землеройная машина, нож, резание, водонасыщенный грунт.

Введение

Математическая модель

Особенности работы землеройной машины на подводных грунтах обусловили необходимость анализа и формализации реологической модели среды. Будем исходить из общепринятой гипотезы о том, что существует некоторое предельное состояние грунта, превышение которого вызывает его пластическое течение [1].

Процессы дилатансионного упрочнения в водо-насыщенных грунтах связаны с вытеснением по-ровой воды и определяются фильтрационными свойствами. Поровая вода из-за большой активной суммарной поверхности минеральных частиц находится в химически связанном состоянии, что затрудняет ее отток. В насыщенном жидкостью пористом теле избыточное поровое давление при быстром нагружении нейтрализует эффективные напряжения. Если же приложенная к грунту нагрузка воспринимается поровой несжимаемой жидкостью, то деформация и связанное с ней упрочнение отсутствуют, то есть угол внутреннего трения при быстром нагружении должен быть равен нулю.

Цель и постановка задачи

Цель данной работы заключается в установлении закономерностей взаимодействия ножа землеройной машины с пластичным водонасыщенным грунтом.

Предварительные эксперименты, проведенные на сдвиговом приборе [2], подтвердили, что при скорости деформатора V > 0,025 мм/с (реальная величина скорости ножа превышает это значение на 2 - 3 порядка) угол внутреннего трения глинистых водонасыщенных грунтов р = 0 .

При движении плоского ножа перед его лобовой гранью формируется пластическая зона 1, зарождающаяся на острие и развивающаяся по ходу движения к поверхности грунта (рис. 1). В верхней части ножа находится зона 2, сохраняющая целостность структурных связей. По мере движения ножа размер пластической зоны увеличивается, а размер твердой зоны уменьшается до тех пор, пока не достигнет критических размеров и не произойдет отделение пласта грунта от массива в виде стружки. Примем допущение о том, что граница между этими зонами параллельна траектории резания, и решим плоскую задачу для напряженного состояния грунта.

На горизонтальной границе между зонами 1 и 2 реализуется критическое состояние грунтовой среды, определяемое в соответствии с критерием Треска величиной сцепления

V = с, % = ■

(1)

Допустим, что отделение слоя грунта произойдет при достижении одним из главных напряжений предельного напряжения на растяжение, которое в данном случае равно 2С. В компонентах тензора напряжений условие отделения стружки представляется уравнением

2ст! = 4С = стх +ст у +

+ 4<, . (2)

Напряженное состояние ненарушенного грунта в зоне 2 можно установить путем решения бигар-монического уравнения для функции р (х, у).

Чтобы найти предельный размер зоны 1, определяющий координаты точки В, рассмотрим попе-

б

а

Рис. 1. Напряженное состояние грунта перед лобовой гранью ножа: а - в вертикальном сечении, б - в горизонтальном сечении

речное (горизонтальное) сечение грунта перед лобовой гранью ножа. Воспользуемся результатами анализа квазилинейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами [3], ограничиваясь рассмотрением двумерного случая (с двумя независимыми переменными)

д 2и

д 2и

а—- + 2Ь-

дх дхдг

,д2и ( ди ди'. „ + Л—-+Ф| х,г,и, —,— | = 0, (3) да I дх дг.

где а, Ь, Л - коэффициенты, не зависящие от координат; и (х, г) - искомое решение.

Используя метод характеристик, можно записать систему линейных дифференциальных уравнений

^ (х,ЛдА = 0; ^ + (х,= 0,

дх и 'да дх п ' да

(4)

. Ь ± VЬ2 - ас где А12 =-; д, п - характеристики ис-

а

ходного уравнения (3).

Проведем анализ квазилинейного дифференциального уравнения для пластической зоны 1. Напряженное состояние должно удовлетворять условиям равновесия

и уравнению критического состояния Треска, которое в компонентах тензора напряжений имеет вид

стх -а,

+ т2 =С2

-стг =г^С2-1

Продифференцируем первое уравнение системы (5) по г, а второе уравнение - по х, затем вычтем из первого второе

д2 Т х^ + д2 К -СТх ) д2 Тхг = д2 Тхг +

дх2

дхдг

+ 2

д 2^С

2 -Т2

дхдг

дг2

дг2

■ = 0.

дх2

(6)

Полученное уравнение описывает состояние грунта в напряжениях и согласуется с известной теорией упругости и пластичности [4].

Раскроем производную от радикала

д

дхдг

= -2

д2 т

Л/С2 -Тг

дстх дт —- + —— = 0;

дх дг

дт дст

+ —^ = 0

дх дг

(5)

С2

дт „ дт х

2 \3 дх дг

Рис. 2. Предельное напряженное состояние по диаграмме Мора

\ %1 5Г/Ч А

уу Л

\ АД '6, tni*

хГл

Л» 2

Рис. 3. Направление действия максимальных касательных напряжений относительно выбранной системы координат

и подставим полученное выражение в уравнение (6)

дх2

- —2

д2 тх

д2 тх

C2

т2 dxdz dz

xz

дт „ дт „ _ о

3 дх cZ

(7)

Для данного случая запишем

дг ^ „ I , 2_ - С082у-1 ^ дх 81п2у

Таким образом, касательные к характеристическим линиям уравнения (7) являются линиями действия максимальных касательных напряжений. Иными словами, характеристические линии являются линиями скольжения.

Из рис. 2 следует:

■ _ tg2< . Выразим

величину 2ф через угол наклона площадок, на которые действуют максимальные касательные напряжения, к оси ОХ (рис. 3)

Перейдем к новой системе координат, совпадающей в каждой точке с линиями скольжения, по формулам разворота системы координат

X _ х cos y + z sin у; Y _-х sin y + z cos у .

2Ф_2У—-2; tg I 2y—"221 _ —ctg2y .

Коэффициенты в уравнении (4) принимают значения: а = 1; Ь = ^2ф; d = 1.

В соответствии с преобразованием канонического вида уравнений математической физики с двумя переменными

(х, г) = + ^22у +1 .

Так как выражение под радикалом всегда положительно, уравнение (7), описывающее напряженное состояние грунта, относится к гиперболическому типу, что означает для него справедливость леммы [5]: функция ю(х, г) = А - характеристика исходного уравнения, если она является

интегралом уравнения д~ = ^12 (х, г).

Продифференцируем первое уравнение по у: —х sin y + z cos _0 и решим систему уравнений, состоящую из исходного уравнения и производной,

х = X С0Б у, г = X б1п у, — = tgу .

х

Получаем дифференциальное уравнение для ли-

дг г

ний скольжения — = —, которое является урав-

дх х

нением с разделяющимися переменными. Его решением будет

1п г = 1п х + Сг = С "х .

Следовательно, линиями скольжения является семейство прямых и ортонормальных к ним концентрических окружностей с центром в начале координат

z2 + х2 _ X2 _ r .

т

дг

xz

Для определения напряженного состояния в пластической области перейдем к полярной системе координат, совпадающей с линиями скольжения (см. рис. 1, б). На линиях скольжения действует максимальное касательное напряжение, равное сцеплению

V = -С

(8)

при этом компоненты девиатора напряжений равны нулю

& = - = 0.

(9)

Запишем уравнения равновесия (5) в полярной системе координат

дстг) 1 дт,

ег , стг -сте

дг г де

= 0;

дтег +1 + 2 = 0

дг г де г

(10)

и представим нормальные напряжения в виде

стг - ст + 5г, сте = ст + 5е.

где ст - компонента шарового тензора.

Из системы (10) с учетом равенств (8) и (9) следует

1дСТ-_ 2С

г де = г '

Интеграл этого дифференциального уравнения для граничных условий при е - 0

ст-с (2е-п)-2 Руд .

Рассматривая равновесие треугольника ОАВ, получим

Р . 25-ад25

Р™ - 2 СI п--

уд 1 1 - 00825

С уменьшением угла резания 5 давление на ноже возрастает и при 5 - тс/4 достигает максимального значения

Руд - С (п + 2)- 5,14 С . Из треугольника ОАВ следует

Я - ь/^2. (11)

Таким образом, установлено, что продольный размер пластической зоны зависит от ширины ножа и остается постоянным по глубине резания. К аналогичным результатам можно прийти, исходя из построений В.В. Соколовского [6], в соответствии с которыми линии скольжения представляют собой семейства прямых, исходящих из одной точки, и окружностей - с центром в этой же точке. Рассматривая равновесие на границе пластической и упругой зон, им получена величина максимального продольного размера пластической зоны, совпадающая со значением формулы (11).

Процесс стружкообразования, согласно принятым допущениям, происходит путем отрыва упругой зоны в верхней части прорези (см. рис.1, а). Напряженное состояние грунта в упругой зоне можно представить в виде двойного степенного ряда [7]

ст х

- К - Р ) [0,2 - 2,4 (у/Ис) + 6 (у/кс )2 -

- 4(у/кс )3 -3(х/Ие )2 + 6 (у/^3 )] +

+ТгФ[2(х/Ис)-6(ху/^с2)] ;

ст у - - Р + (Стф - Ре) [ 2 (у/И )3 - 3 (у/кс )2 т ху - (Стф- Р0 ) [(ху/к2 )-(ху 7 Ис3 )]-

.[2(у/кс)-3(у/И2)] ,

-тг

(12)

где Р0 - пригрузка от призмы волочения; кс - высота упругой зоны грунта.

Отрыв упругой зоны в виде элемента стружки наступает, когда напряжения в точке В удовлетворяют условию

ст,

+ стВ +^(стВ-стВ)2 + 4(т%)2 - 4С . (13)

Подставляя в систему (12) значения компонентов напряжений из равенства (1), найдем напряжения, действующие в точке В (здесь координаты хВ - Я - й/л/2 ; у% - кс)

ст% -(С-Р0)[-0,2 + 3(Я/кс)2]-4С(Я/кс)-

- С[-0,2 - 4(Я/кс) + 3 (Я/кс )2 ]-

- Рп [-0,2 + 3 (Я/кс )2

ст%--С ;

тВ - С .

ху

г

Подставим полученные выражения для компонент тензора напряжений в точке В в формулу (13), определяющую условие отделения стружки грунта от массива

4 = -0,2 - 4 (Rh,) + 3 (Rh, )2 --(PJ C )[-0,2 + 3 (Rh, )2 ] +

Г

1

-0,2 - 4 (Rh,) + 3 (Rh, )-|

-(Po/ C )[-0,2 + 3 (Rhc )2 ]

- 4

4,8 + 4 (Rh,)-3 (Rh,) + + (0/ C )[-0,2 + 3 (Rh, )2 ]

-0,2 - 4 (Rh,) + 3 (Rh, )2 --(0/ C )[-0,2 + 3 (Rh,)

- 4

или

(14)

Для упрощения записи введем обозначения

а = -0,2 - 3 (Я/кс )2;

Ь = -0,2-4(Я/кс) + 3(Д.)2;

а = 4,8 + 4 ^¡Нс)-3 (Я )2 и их перепишем с учетом равенства (14)

[а + (0/С)а]2 = [Ь-(„/с)а]2 -4

ь - а 4

Решая это уравнение относительно P0/C , получим в окончательном виде

PJC -27(МR)2 + 36,8(hJR) + 27,6 . (15) 0 -0,92 (hj R )2 +13,8 '

Уравнение (15) определяет зависимость высоты упругой неразрушенной зоны от соотношения пригрузки и сцепления. В начальный момент процесса резания, когда пригрузка P0 отсутствует (рис. 4, а), высоту ненарушенной зоны находят из уравнения

-27 (hj R )2 + 36,8 (hj R ) + 27,6 = 0,

единственный действительный корень которого, имеющий физический смысл, hc /R = 1,897 .

Сопротивление перемещению стружки вдоль лобовой грани ножа и ее вес образуют пригрузку. Предел уравнения (15) при hc ^ 0

lim (P0/ C ) = 27,6/13,8 = 2.

hc ^0

Следовательно, при величине пригрузки P0 = 2C отделение стружки прекращается, и процесс резания переходит в стабильный процесс раздвигания грунта (рис. 4, в).

Выводы

Процесс резания донного водонасыщенного грунта является стационарным, характер которого обусловлен величиной пригрузки на грунт призмы волочения.

P>/ C =-

i(b + d) '

а б в

Рис. 4. Форма пластической зоны грунта перед лобовой гранью ножа: а - начало процесса резания (без пригрузки); б - образование частичной пригрузки; в - пластическое раздвигание

Для узких ножей продольный размер пластической зоны перед лобовой гранью остается постоянным по глубине резания, что позволяет перейти к решению плоской задачи в горизонтальном сечении прорези.

Наличие пригрузки на поверхности грунта обуславливает переходный режим, реализуемый в предельном состоянии как раздвигание, не сопровождающееся отделением стружки.

Таким образом, прогнозирование сопротивления резанию сводится к решению плоской квазистатической задачи определения предельной нагрузки в зависимости от параметров ножа (глубины реза, ширины инструмента) и физико-механических свойств грунта.

Литература

1. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбу-

нов А.Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред.- М.: Недра, 1970.- 340 с.

2. Сукач М.К. Реологические модели подводного

грунта // Будiвельне виробництво: М1жшд.

наук.-техн. зб.- К.: НД1БВ, 2001.- Вип. 41.-С. 5-10.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической

физики.- М.: Наука, 1981.- 521 с.

4. Гастев В.А. Курс теории упругости и основ

теории пластичности.- Л.: Изд. ЛГУ, 1973.181 с.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы тео-

рии функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.- 542 с.

6. Соколовский В.В. Теория пластичности.- М.:

Высшая школа, 1969.- 608 с.

7. Крупко В.А. Напряженное состояние грунта

перед лобовой гранью ножа // Горн., строит., дор. и мелиорат. машины: Респ. межвед. на-уч.-техн. сб.- К.: Техника, 1984.- Вып. 37.-С. 76-84.

Рецензент: В.В. Ничке, профессор, д.т.н., ХНАДУ. Статья поступила в редакцию 10 декабря 2004 г.