Конечно-элементная модель взаимодействия ножа с пластичным грунтом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.132.3

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОЖА С ПЛАСТИЧНЫМ ГРУНТОМ

М.К. Сукач, д.т.н., профессор, С.А. Никитенок, аспирант,

КНУСА, г. Киев

Аннотация. На основе моментной схемы конечных элементов разработана программа и поставлен численный эксперимент по определению величины и формы пластической деформации грунта перед лобовой гранью ножа. Получены зависимости сопротивления грунта единичному режущему элементу и селективному рабочему органу, позволяющие минимизировать нагрузки землеройных машин на пластичных грунтах.

Ключевые слова: землеройные машины, единичный режущий элемент, селективный рабочий орган, пластическая деформация грунта, минимизирование нагрузки, конечно-элементная модель.

Введение

Моделируя процесс селективной выемки конкреций из донных осадков, установлено, что пластическая зона перед режущим элементом имеет по глубине резания постоянный размер, не меняющийся во времени. Это позволило рассмотреть плоскую квазистатическую расчетную схему на-гружения грунта режущим элементом. Такая расчетная схема является одной из традиционных для метода конечных элементов (МКЭ), развиваемого в частности в КНУСА.

Цель и постановка задачи

Целью данной работы является обоснование возможности решения поставленной задачи численным методом при разработке глубоководных грунтов.

Как известно, сущность МКЭ заключается в моделировании среды соединенными между собой конечными элементами с последующим представлением ее напряженного состояния через соотношения, найденные для отдельных элементов [1]. Установление необходимых соотношений производят с использованием вариационных принципов деформируемых систем (при помощи энергетических методов). Например, модифицированный метод Ритца использует представление энергии деформации в виде полиномиального разложения, а полиномиальные коэффициенты - через моменты деформации. Такой вариант МКЭ называют моментной схемой конечного элемента [2].

В соответствии с указанной схемой в КНУСА разработана программа, предназначенная для решения смешанной задачи упругости и пластичности грунтов. В ней использован шагово-итерационный алгоритм последовательных на-гружений, особенностью реализации которого является коррекция тензора напряжений на приращениях деформаций, вызванных очередным шагом по нагрузке [3]. Такой подход позволяет своевременно перейти к использованию специального тензора констант жесткости грунта, моделирующего упругопластическое поведение.

В программе использован критерий пластичности Мизеса-Шлейхера-Боткина [4], частным случаем которого является критерий Мизеса. Поскольку критерии Мизеса и Треска различаются между собой лишь в пределах погрешности метода определения их констант, то для слабых грунтов они неразличимы. Глубоководный грунт моделируется упругопластической средой, поэтому при переходе к критерию Мизеса приращения напряжений в шагово-итерационном алгоритме вычисляют по формуле

1сту = Ещ(еи ■.

где Iст , Iе - дифференциалы напряжений и деформаций; ЕуН - специальный тензор констант

О

жегшего ЁуИ = Е + '¿и ; Е - тензор упругих констант; О - сдвиговый модуль упругости; С - сцепление; , - компоненты девиатора

напряжений.

Модель грунта перед лобовой гранью ножа в конечно-элементной постановке имеет вид, показанный на рис. 1. Массив грунта разбит на конеч-

ные элементы прямоугольной формы. Границы области, примыкающие к массиву, моделируются заделкой (СБ, ЕЕ), оси симметрии - узловыми связями (ВС), граница прорези - свободной поверхностью (ЕА). Нож считается жестким, его перемещения на поверхности (перемещения узлов сетки конечных элементов) равны между собой.

Щ

ттптгггггтп/ттт

тгтт,

1

---

Е

|

Рис. 1. Конечно-элементная модель: а - для единичного режущего элемента; б - для селективного рабочего органа

При рассмотрении единичного ножа, действующего на грунтовый массив, граница области ЕБ параллельна прорези и моделируется заделкой. В этом случае в конечно-элементной модели остается одна ось симметрии - ось симметрии режущего элемента ВС. В селективном рабочем органе каждый единичный нож находится между двумя соседними. Влияние каждого ножа на любой из соседних симметрично, то есть в каждой паре ножей левый действует на правый таким же образом, как правый нож на левый. Тогда присутствие соседнего ножа отражается в конечно-элементной модели тем, что граница ЕБ делит расстояние между ножами пополам и является второй осью симметрии.

а

б

Исходя из представлений о взаимодействии грунта с жесткими инденторами [5], в дальнейшем считаем, что предельная нагрузка на грунт достигается в момент стабилизации силы сопротивления. Для нахождения этого момента использовали поэтапное дробление приращений вдоль линии АВ. На первом этапе перемещения увеличивали с

шагом Аи1 = 10-3 мм, в каждом из которых (п -1) находили напряженно-деформированное состояние грунта и нагрузку на нож. Вначале грунт оставался в упругом состоянии, нагрузка на нож монотонно возрастала. В определенный момент п итерационная процедура программы не сходилась, что свидетельствовало о начале развития в конечно-элементной модели пластической зоны, постепенно занимающей основную часть исследуемой области. Далее перемещения наращивали с шагом АП2 = 10-4 мм. При перемещениях т второго этапа в грунте возникала пластическая зона, развитие которой сопровождалось некоторым увеличением сопротивления ножу. Затем форма и размеры пластической зоны стабилизировались, а нагрузка на нож практически не возрастала. Общее приращение на шагах итерации

и = Аи1 (п-1) + АС/2 т.

Остановка программы происходит при условии непревышения 5 % величины приращения нагрузки на каждом последующем шаге итерации

Руд (и)-Руд (и+1) Руд (и )

< 0,05,

где Руд (и) - нагрузка на нож при перемещении

и.

Предельная нагрузка определяется как среднее

Рд = 1 [ Рд (и)+руд (и+1)] •

В результате анализа реологической модели донного грунта, расчетной схемы и требований метода конечных элементов построена математическая модель взаимодействия режущего элемента со средой. Адекватность ее натуре обоснована соответствием зависимостей коррекции тензора упругих констант в шагово-итерационном алгоритме реологической модели грунта и соответствием расчетной схемы конечно-элементной модели.

Взаимодействие с грунтом единичного режущего элемента

функциями. Анализ напряженного состояния грунта перед лобовой гранью единичного ножа выполняли, варьируя два параметра на трех уровнях с постоянным шагом: сцепление С =1,0; 2,0; 3,0 кПа и ширину ножа Ь = 10; 15; 20 мм. Прочность грунта изменяли путем введения в программу соответствующих значений сцепления, а ширину режущего элемента - путем добавления либо исключения вертикальных рядов конечных элементов со стороны границы ВС (см. рис.1, а) с изменением глобальной нумерации узлов конечных элементов и нумерации по фрагментам.

Напряженное состояние грунта в узлах конечных элементов (на границе АВ) определяли при каждом перемещении и, а восстановление упругого равновесия модели выполняли шагово-итерационным алгоритмом. Затем определяли напряженное состояние и вычисляли значения интенсивности девиатора напряжений т во всех точках массива. В соответствии с критерием пластичности Мизеса грунт переходит в пластичное состояние при достижении интенсивностью де-виатора т значения сцепления С. Тогда пластической зоной перед лобовой гранью ножа можно считать область, во всех точках которой т = С или т/С = 1.

В ходе численного эксперимента установлено, что по мере приращения перемещений и, моделирующих внедрение ножа в грунт, пластическая область развивается следующим образом. На первых шагах нагружения (АЦ = 1-10-3 мм) грунт остается в упругом состоянии (т/С < 1). Затем у бокового ребра лобовой грани ножа возникает небольшая пластическая зона (рис. 2). При последующих шагах нагружения (Аи2 = 1-10-4 мм) пластическая зона увеличивается и, начиная с некоторого значения и, стабилизируется. На 5...7 шагах приращения перемещений ножа форма и размеры пластической зоны практически не изменяются (рис. 3).

Для определения нагрузки на режущий элемент выводили муары напряжений стх, направленных

нормально к лобовой грани ножа. Из рис. 4 следует, что концентрация напряжений приходится на боковые ребра режущего элемента. В этом случае удельная нагрузка на режущий элемент может быть определена как среднее арифметическое нормальных напряжений, действующих на грань АВ инструмента,

1 1В

р. = п Тст.

Функциональные зависимости сил сопротивления от параметров ножа и грунта установлены в численном эксперименте, результаты которого аппроксимировали типовыми или специальными

где стх - напряжения, вычисленные в /-ом узле границы АВ; /А, /В - номера узлов в точках А и В; п - количество узлов на линии АВ.

Рис. 2. Начальная форма пластической зоны перед лобовой гранью режущего элемента: и = 2,9-10"3 мм; Ь = 20 мм; С = 2,0 кПа

Рис. 4. Муар нормальных напряжений, действующих перед лобовой гранью режущего элемента: Ь = 20 мм; С = 4,0 кПа

Рис. 3. Стабилизировавшаяся форма пластической зоны перед лобовой гранью режущего элемента: и = 3,6-10-3 мм; Ь = 20 мм; С = 2,0 кПа

Рис. 5. Зависимость удельного сопротивления от перемещения ножа и: 1 - граница стабилизации пластической зоны; 2 - граница сходимости задачи

Наибольший интерес представляет установленный эффект стабилизации нагрузки (рис. 5). По мере перемещения режущего элемента в грунте, в котором еще не развилась пластическая зона, удельное сопротивление, измеренное на линии АВ, возрастает пропорционально перемещению ножа и. С момента появления пластической зоны (см. рис. 2) нагрузка возрастает замедленно. При стабилизации формы пластической зоны (см. рис. 3) удельное сопротивление становится неизменным.

Искомая функциональная зависимость получена путем аппроксимации полученных девяти значений удельной силы формулой регрессии. Зависимость удельной силы сопротивления грунта единичному ножу от его ширины и сцепления грунта имеет вид

Руд = 15,2 - 2,28Ь + 24,2С + 4,12ЬС + +0,016Ь2 + 21,8С2 -252ЬС2 - (1)

-0,044Ь2С + 0,044Ь2С2.

Эффект стабилизации формы пластической зоны и нагрузки свидетельствует о том, что установившаяся форма пластической зоны достаточна для пластического деформирования (течения) грунта в боковые стенки прорези без образования стружки. В этом случае удельная нагрузка на режущий элемент землеройной машины соответствует удельному сопротивлению пластическому раздвиганию грунта. Графики зависимостей (1) показаны на рис. 6. Для исследуемых значений сцепления грунта они могут быть представлены также в виде

Руд = 138,4 + 586/Ь для С = 3,0 кПа; Руд = 110,4 +148/Ь для С = 2,0 кПа; Руд = 54,62 + 71/ Ь для С = 1,0 кПа . (2)

-1—-I_.

0 10 15 20 Ь, мм

Рис. 6. Зависимость удельного сопротивления от ширины режущего элемента при сцеплении грунта С: 1 - 3,0 кПа; 2 - 2,0 кПа; 3 - 1,0 кПа

Взаимодействие с грунтом селективного рабочего органа

Рис. 7. Форма пластической зоны перед селективным рабочим органом: Ь = 20 мм; = 15 мм

При бесконечном удалении соседнего ножа (5 ^ ж ) удельная сила сопротивления стремится к значению удельной силы, действующей на единичный нож. Поэтому зависимость Руд = / (5)

следует аппроксимировать асимптотическим разложением, например, рядом Лорана [6]

Для перехода от элементарного единичного режущего элемента к селективному рабочему органу проведены дополнительные исследования по определению взаимовлияния соседних режущих элементов друг на друга. Расстояние между режущими элементами варьировали путем добавления (исключения) вертикальных рядов конечных элементов со стороны границы ЕБ (см. рис. 1, б) с изменением глобальной нумерации узлов конечных элементов и нумерации по фрагментам. Как и в предыдущем случае, пошагово задавали перемещение узлов на границе АВ, что моделировало перемещение режущего элемента в грунте.

Напряженное состояние грунта перед лобовой гранью режущего элемента селективного рабочего органа анализировали, варьируя расстояние между режущими элементами 5 и сцепление грунта С. В этой серии численного эксперимента ширина режущих элементов оставалась неизменной, Ь = 20 мм, а расстояние между ними составляло 5 = 15; 20; 30; 40 мм. По муарам т/С установлено, что пластическая зона с приближением соседнего режущего элемента смещается к оси симметрии, а при 5 = 15 мм (Б/Ь = 0,75) смыкается с пластической зоной соседнего режущего элемента (рис. 7). При 5 = 10 мм (Я/Ь = 0,5) итерационная процедура переставала сходиться до достижения стабилизации значений удельной силы сопротивления.

Установлено, что, начиная с некоторого значения расстояния между режущими элементами, физическая картина взаимодействия с грунтом и удельная нагрузка на каждый режущий элемент селективного рабочего органа совпадают с данными, полученными для единичного режущего элемента. Следовательно, при взаимодействии с грунтом селективного рабочего органа также возможен процесс пластического раздвигания грунта.

С другой стороны, при малых расстояниях между режущими элементами перед селективным рабочим органом образуется общая пластическая зона. В этом случае селективный рабочий орган взаимодействует с грунтом как сплошная режущая кромка. При перекрытии режущих элементов общей пластической зоной, как указывалось выше, нагрузка на режущие элементы не стабилизировалась, и поэтому значение удельного сопротивления раздвиганию не установлено. В остальных случаях зависимость удельного сопротивления от расстояния между режущими элементами имеет вид (3)

для С = 3,0 кПа:

Руд = 144 + 40/5 - 5,4 -10752 + 5,52 -Ш5/53;

для С = 2,0 кПа:

Руд = 110 +155/5 -1,3 -103/52 + 2,79-105/53; (3)

для С = 1,0 кПа:

Руд = 54 + 82/5 - 7,02 -Ю3/52 +1,47-Ш'/Б3.

Значения асимптот а0 во всех трех аппроксимирующих зависимостях (3) практически совпадают со значением удельной силы, действующей на единичный режущий элемент, см. (2). Как следует из графиков на рис. 8, построенных по уравнениям (3), начиная со значения 5 = 30 мм (Б/Ъ = 1,5), влияние соседнего ножа на удельную силу несущественно. Следовательно, ножи в селективном рабочем органе, расставленные с шагом Б = 2,5Ъ и более, взаимодействуют с грунтом независимо друг от друга.

1

ч 2

>—/ с

3 _ / .

0 10 15 20 30 мм

Рис. 8. Зависимость удельного сопротивления от расстояния между режущими элементами при сцеплении грунта С: 1 - 3,0 кПа; 2 -2,0 кПа; 3 - 1,0 кПа

Выводы

При взаимодействии узких ножей селективного рабочего органа с донными осадками возможно возникновение процесса раздвигания без отделения стружки, который обеспечивает снижение

выемки пустого грунта, не содержащего конкреции.

В режиме раздвигания грунта селективным рабочим органом расстановка ножей с шагом, превышающем 2,5 ширины единичного ножа, обеспечивает их независимую работу.

Зависимость (1) может быть рекомендована для минимизации нагрузки на рабочий орган подводной грунторазрабатывающей машины.

Литература

1. Галлагер Р. Метод конечных элементов.- М.:

Мир, 1984.- 428 с.

2. Сахаров А.С. Моментная схема конечных эле-

ментов (МСКЭ) с учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений: Респ. межвед. науч.-техн. сб.-1974.- Вып.24.- С.147 - 156.

3. Сахаров А.С., Бойко И.П., Казак А.Л. Исследо-

вание процесса упругопластического деформирования оснований методом конечных элементов // Основания и фундаменты: Респ. межвед. науч.-техн. сб. - 1984. -Вып.17. - С.73 - 77.

4. Сукач М. К. Реологические модели подводного

грунта // Строительное производство.-2001.- С. 5 - 10.

5. Бойко И.П. Теоретические основы проектиро-

вания свайных фундаментов при упругопла-стическом деформировании основания // Основания и фундаменты: Респ. межвед. на-уч.-техн. сб.- 1985.- Вып.18.- С.11 - 17.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы тео-

рии функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.- 542 с.

Рецензент: В.В. Ничке, профессор, д.т.н., ХНАДУ. Статья поступила в редакцию 10 декабря 2004 г.