Расчет температурных полей в составных телах вращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ

УДК 518:517.944

Н. Ю. Агафонова

РАСЧЁТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В СОСТАВНЫХ ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим в цилиндрической системе координат х, Я, ср тело вращения Q, состоящее из М подобластей, которые образуются вращением

м

вокруг оси х плоской области £> = и £>,. Пусть границу Г области В

¿=1

N

можно разбить на гладкие участки ¿] таким образом, что Г= .

¿=1

Воспользуемся Р-формой задания областей [1]. Введем параметр а, такой, что с!1 <а < с1м на участке Ц, 0 < г < N -1. В этом случае граница Г области О однозначно отобразится на отрезок [а?0,(¡¡^] числовой оси а. При этом х = х,(а), Я = Я, (а); < а < </|+1, г = О, N -1. Пусть каждая из подобластей тела характеризуется своим постоянным коэффициентом теплопроводности . Стационарное температурное поле в каждой из подобластей описывается уравнением Лапласа, которое в цилиндрической системе координат имеет вид

д2^ \_сЩ д^Т, 1 д2Т( Эх2 + Я дЯ+ дЯ2 + Я2 дя2

Д7} =—Г +--'- + —Т + -Т—f = 0' i = \M. (1)

' -„2 р дп д„2 Г>2 Дп2 4 '

Будем полагать, что на внешних границах тела задано одно из условий I, II или III рода, которые в обобщенном виде можно записать так:

шМК ~ + «ММ = /М, ф). (2)

дпю

Здесь a(x,R),f(x,R,(p) - известные функции, со(х,Я) - известная кусочно-постоянная функция, определяющая тип граничных условий. Если со = 0 и а = 1, то имеем граничные условия I рода; если со = 1 и а = 0, то имеем граничные условия II рода; и при со = 1 и а > 0 имеем граничные условия III рода. Функции со и а не зависят от переменной ср.

На внутренних границах между подобластями тела заданы условия идеального теплового контакта

дТ дТ,

дпу дпу

Решим поставленную таким образом задачу теплопроводности. Представим искомую функцию рядом Фурье

00

T(x,R,q>) = JJj; {x,R)coskq> + Tt (*,Ä)sinfap, (4)

к=0

где коэффициенты T£(x,R) и T£(x,R) - неизвестные функции указанных аргументов. Функция f(x,R, ф) представляется аналогичным рядом с коэффициентами f£ (x,R),f£ (x,R) соответственно.

В работе [2] было доказано, что с использованием условий идеального теплового контакта решение уравнения (1) может быть представлено в виде интегрального уравнения, которое с использованием представления функций рядами Фурье для поставленной задачи преобразуется к виду

м <*ы,

1=0 do м

= Y^iPi (°0 )Мо0) -1 )fck (<*о) + (5)

¡=1 än

+ J(o>At +(1-С0>,^)1/с,(а)/г(а)х(аУа,

do

где (x0,^0,z0) - точка на границе области, Л.к ~ известные функ-

ции, получающиеся с использованием разложения (4), аФ4= -Х,-^-, ес-

дпю

ли со = 0; Фк = Т£, если со = 1. Для функций Т[ имеем аналогичное уравнение.

Уравнения (5) решаются численно путем сведения интегральных уравнений к СЛАУ. Для этого на каждом из участков искомая функция представляется интерполяционным многочленом Лагранжа с тремя равноотстоящими узлами. В результате решения этой системы получаются значения искомой функции в узловых точках. Решение в других точках может быть получено путем интерполяции.

В качестве примера приведём решение краевой задачи (1) - (3) в области (см. рисунок), границы которой состоят из отрезков прямых и дуг. На участках Ц,Ь6 поставлены условия II рода, на L2,L5 - III рода, L$,L5 -I рода.

Краевое условие (2) определялось функцией /(х,Д,ф) = 100 + 10(ф-я)2.

Количество членов ряда (4) определялось из условия шах Тк <8,8 = Ю-3. Результаты расчетов Г(а,ср) представлены в таблице.

Температура на участке £

Точки разбиения ф = 0 Ф = я/4 ф = 71/2

184,2541 159,2003 128,3908

184,0471 159,3812 128,6763

184,2074 160,183 129,6435

184,9413 161,801 131,4645

186,6429 164,5401 134,3919

189,9596 168,8682 138,7773

195,8631 175,4501 145,062

205,709 185,1309 153,7141

ст9 218,6123 196,5503 163,249

Таким образом, описанный метод позволяет определить тепловое поле в составном теле вращения. При этом необходимо решить несколько параллельных плоских задач, а затем по (4) получить решение в трёхмерной области. Выбирая шаг по ср, можно полностью определить тепловое поле на поверхности тела и внутри него.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федик И. И., Колесов В. С., Михайлов В. Н. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985.

2. Агафонова Н. Ю., Михайлов В. Н. Интегральные представления решения уравнения Лапласа в составных трехмерных областях // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 7 - 9.