Нелинейные температурные поля в телах вращения Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ

УДК 518:517.944

Н. Ю. Агафонова

НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ В ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ

Нелинейные задачи для стационарного уравнения теплопроводности были исследованы для неоднородных двумерных сред с переменными коэффициентами теплопроводности [1]. В настоящей статье рассматривается метод расчета стационарных тепловых полей тел вращения, состоящих из материалов, коэффициенты теплопроводности которых зависят от температуры.

Рассмотрим тело вращения <2, заданное в цилиндрической системе координат (г,ср,2) и образованное вращением некоторой плоской области £> вокруг оси 2. Обозначим поверхность тела <2 через Е, а границу области В через Г. Пусть Г можно разбить на гладкие участки 1Л,...,ЬЫ та-N

ким образом, что Г = и .

/=1

Исследование стационарной теплопроводности для такого тела с учетом зависимости коэффициентов теплопроводности от температуры

связано с нахождением в области 0 решения нелинейного уравнения

1ГЗ '«

дг дг) г Эф

Эф,

где Т = Т(г, ф,г) - искомая функция, а Х'= Х(т) - известная функция температуры, описывающая теплопроводность, д(г,(р,г) - функция тепловыделения.

Уравнение (1) должно интегрироваться при определенных граничных условиях, выражающих характер взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела.

В работе рассматриваются краевые задачи с граничными условиями двух типов, описываемых соотношениями вида

Т = ё(г, ф,г), (г,<р,г)еЕ1 (2)

ЦГ)? = Аг,<?Л (г, Ф,г) е £2, Е1+Е1=Е. дп

Возможно также, что на всей поверхности тела задано только одно из условий I или II рода.

Для решения соответствующей этим условиям краевой задачи ис-

I Т t

пользуем преобразование Кирхгофа 11 = — где X , Т - харак-

X у*

терные значения коэффициента теплопроводности и температуры.

Применение этого преобразования к уравнению и краевым условиям позволяет свести решение исходной нелинейной задачи к решению линейной относительно функции и(г,ц>,г):

д2Ц \дЦ_ \_FU_ д2Ц = д{г,<р,г) 8г2 + г дг+ г2 др2 + дг1 Я" 1 g(.r,<P,z)

1/(Г) = 4 \к(т)4т = (г,ф,2)еЯ, (3)

Х*~ = /(г,ц>,г), (г,у,г)еЕ2, Е]+Е1=Е, дп

Решение этой краевой задачи основано на представлении искомой функции и{г,<р,г) рядом Фурье:

00

и(г, ф,2)= £[/£(>,2)со5&ф + и1{г,г)&\ак^, (4)

к=о

где коэффициенты Щ(г,г) и и {{г, г) - неизвестные функции указанных аргументов. Функции /(г,ф,г), С}(г,<р,г) представляются аналогичными рядами с коэффициентами и С£(г,г),Ск(г,г) соответственно.

Воспользуемся Р-формой задания областей [2]. Введем параметр а, такой, что с11 <а < й?(+1 на участке Ц, 0 < / < N -1. В этом случае граница Г области О однозначно отобразится на отрезок [¿/0, с1ы ] числовой оси и. При этом г = т; (ст), 2 = л, (сг); < а < агг+1, / = О, Л/ — 1.

В [3] было показано, что с использованием разложений в ряд Фурье функций £/(г,ф,2),/(г,ф,2),0(г,ф,2) краевая задача (3) для тел вращения сводится к двум независимым уравнениям для коэффициентов Щ(р\Щ{р) вида

Р(°оУк(а о,) = [(со/, + (1 - +(соК,+(1- ,(5)

: дп дп

а0

где Vk (а) = 111 к ^; причем, если Vk(a) = Uk(c\ то [U ¡(o)

fk(o) = fks(a),Gk(a) = Gsk( а), если Ук(а) = (Гк(а), то

fk (а) = fk (ст), Gk (с) = Gk (ст). Здесь введены следующие обозначения:

Л,(а) = 2/5соз&р<Лр, 5 = \j -r0)2+(z- z0)2 + Ащ sin2 (ф ~Фо) , р(а0)-

величина, равная 0 для точек вне области D, 2п - для точек внутри области D и разности между левосторонней и правосторонней касательными к

кривой Г в точке (r0,z0), х(ст) = ^(/'(а))2 + (г'(с))2 , со-параметр, определяющий тип граничных условий: со = 1 на Еь со = 0 на Е2 .

В уравнениях (5) учтены граничные условия, тем самым решение краевой задачи для пространственной области сведено к решению последовательности одномерных интегральных уравнений. Эти уравнения не связаны между собой, что делает возможным их параллельное решение. На каждом гладком участке L¡ границы области функция Vk представляется интерполяционным многочленом Лагранжа через значения искомой функции в узловых точках. В результате получается СЛАУ, которая решается численно. Значения функции £/(r,cp,z), где (г,ф,z) - координаты точки на поверхности или внутри тела, определяются по формуле (4).

Вычисление температуры T(r,q>,z) связано с использованием формулы Кирхгофа, устанавливающей связь между значениями функций U и Т. В соответствии с этой формулой при заданном виде зависимости коэффициента теплопроводности от температуры каждому значению Tm = Т* + mÁT,(m = 1,М) температуры отвечает значение Um функции II. Используя соотношения, устанавливающие зависимость дискретных значений этих функций, температуру можно определить как функцию введенной формулой Кирхгофа переменной U. Точность вычислений будет достигаться уменьшением величины АТ.

В частном случае линейной зависимости Х(Т) можно не использовать интерполяцию. Пусть Х(Т) = XQ + X¡T, где , A.J - известные постоянные. Интегрируя по формуле (3) и разрешая относительно Т, получаем выражение для нахождения температуры

TQJ) = Т*+(-Х0+ tJ\20+ 2A,1A.V ]/A,i .

Таким образом, описан метод построения решений первой и второй задач теплопроводности, основанный на сведении решения краевой задачи для дифференциального уравнения к решению последовательности интегральных уравнений, который является эффективным методом исследования тепловых состояний тел вращения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аккуратов Ю. Н., Михайлов В. Н. Решение нелинейных стационарных задач теплопроводности с граничными условиями I - IV рода // ЖВММФ. 1984. Т. 24, № 12. С. 1819- 1826.

2. Федик И. И., Колесов В. С., Михайлов В. Н. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985. С. 284.

3. Агафонова Н. Ю., Михайлов В. Н. Решение краевых задач I - IV рода для уравнения Пуассона в составных телах вращения // Совр. проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 168.

УДК 539.3

Н. С. Анофрикова

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРАНСЛОЯ В ОКРЕСТНОСТИ ФРОНТА ВОЛНЫ РАСШИРЕНИЯ В ВЯЗКОУПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ

Рассмотрим задачу определения погранслоя в тонкой цилиндрической оболочке при ударном продольном воздействии изгибающего типа. Допустим, что исследуемый цилиндр выполнен из вязкоупругого материала, который имеет упругую объемную деформацию, а девиатору соответствует модель вязкоупругого тела Максвелла [1].

Разрешающие уравнения для асимптотически главных компонент напряженно-деформированного состояния имеют вид [2]

д\хд\ (1-2у)*:эу1=0

ЭС2 Зт2 (1 - V) '

стп =-*--> 0)

11 2(1 + у)К2/>

Еу сН>, сь, =---

33 (1 - 2у)(1 + У)А

где у1 - перемещение вдоль образующей срединной поверхности цилиндрической оболочки, С7п,ст33 - нормальные напряжения, £ = 04 /А (а! - координата вдоль образующей срединной' поверхности оболочки, И - полутолщина оболочки), £ = а3/И (а3 - расстояние по нормали к срединной поверхности), т = с2?//г (с2 - скорость волны сдвига, I - время), К = 2(1 + у)/(3т^), т^=с,тл/Л (хк - время релаксации, Я - радиус цилиндра), к = с2 /с{ (с, - скорость волны расширения), ц = И/ Я, Е,\ - механические параметры модели.