Интегральные неравенства в анизотропных пространствах Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель июнь, 2002, Том 4, Выпуск 2

УДК 517.5

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА

М. С. Алборова

Получены функционально-геометрические условия на область, обеспечивающие справедливость некоторых интегральных неравенств и теорем вложения для анизотропных функциональных пространств.

Пусть Ж" — евклидово пространство точек X = (х\, ..., Хп), I = ..., 1П) — мультииндекс,

и > о.

Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований Ж"

щ(х) = (геж+),

п

где = ~ ^ I"' и гладкую //¿-однородную метрику, определяемую вектором " г=1 г

ГеРТ, г:Жп\{0}^Ж+, г(Щ(х)) =гг(х), же Ж",

непрерывную на Ж" .

Шаром с центром в точке X радиуса р называется множество

Вр{х) = {у еГ : г(х, у) < р}.

Пусть О С Ж" — открытое подмножество, р 1. Будем говорить, что функция / €Е ¿р(О) принадлежит классу ¿^(0), если она имеет обобщенные производные

\а : 1\ = 1.

Здесь Daf = дх<Х1 ^ дхсп, « = (а1,---,«п) и \а : 1\ = + ... + Для таких функций

определим полунорму:

У\\ьТ(п) = И 1|ла/11м«>-

\а:1\ = 1

о -

Пространством ¿'(О) назовем замыкание в норме

\а:1 =1

множества Со°(0) — бесконечно дифференцируемых функций с носителями в О.

© 2002 Алборова М. С.

Введем пространство

Ы|<1

VI = П ЬЦП)

снабженное нормой

11/11 \(Г X И^/Иы")'

Введенные выше простраства изучались в работах Водопьянова С.К. [1—5]. Пусть е €Е К" — замкнутое множество. Емкостью множества е назовем величину

Сар (е,ЬГР(П)) = {|Н1°Г(П) : 11 е Шг(е'П)} '

где Ш(е, О) = {и €Е Со°(0) : и = 1 в окрестности е} (см. [6]).

Пусть е — компактное подмножество шара Вр. Будем говорить, что е — (р, I* )-несущественное подмножество В р, если

Сар (е, Ьр(Вр)) ^ 'урп~р1*,

П р1*, Р > 1 или п > I*, р = 1, где 'у — достаточно малая константа, зависящая только от п,

р, I.

Совокупность всех (р, I* ^несущественных подмножеств шара Вр обозначим через М{Вр). А

через йвр — среднее значение функции и на шаре Вр, т. е. йвр = [^п(-Вр)]-1 / и<1х.

Вв

Введем еще полунорму

\ии,вр= Е Р1Чт-ЧоЫ\ьр(вр),

где

Теорема 1. Пусть е — замкнутое подмножество шара Вр. Для всех функций и 6 С°°(ВР) таких, что dist (эирри, е) > 0 верно неравенство

1Ык9(вр) < с (1)

где

(\ 1\ -А 1 _

к=1---

\Р 1 / ¿=1 п

При к = 1 (1 ^ р = д < оо), константа С допускает оценку

пр / ° Г \

с~р ^ р"~С1Сар (е, Ь1Р(ВР)) . (2)

Доказательство теоремы основывается на следующих результатах.

Предложение 1. Существует оператор продолжения А : Ь%(ВР) -)• та-

кой, что

(1) Аю = V на Вр;

(2) если с^ (Биррад, е) > 0, е компакт в Вр, то с^ (яирр (Ау), е) > О;

(3) ||Г>*(Лг;)||Мв2р) ^ с\\Вки\\Ьр{Вр), где \к : 1\ ^ 1, 1 ^ р ^ ос. < Доказательство следует из результатов работ [7-11] >

Лемма 1. Пусть е — компакт в В\. Существует такая постоянная с > 1, что с-1 Сар (е, Ц(В2)) ^ т£{||1 - иЩ^Вг) : и е С^(Вг),

dist (эирри, е) > 0} ^ с Сар (е, Ь1Р(В2)) . (3)

< Пусть V = А{1 —и). Обозначим через г/ функцию из Со°(В2), равную единице в окрестности шара В\. Тогда

Сар (е,В2)<с ^ \Оа(г1у)\рёх = с / ^

в2

\а:1\ = 1

В2

\а:1\ = 1

¡3=о

йх (4)

(так как г] €Е Со°(В2), то эта функция вместе со своими производными ограничена)

Ес'

/3=0

< с т£ < II1 — и

: и е С^°(В 1), dist (эирри, е) > 0

(5)

и левая часть (3) доказана. Докажем правую часть оценки (3). Пусть и; 6 Ш(е, В2). Тогда

"" "" (6)

го

УЦВг)

< с £ < с £ \\Ва'ш\\Ьр{в2).

|а:2| = 1

Минимизируя последнюю норму на множестве ШТ(е, В2) получим

го

1у/(В2) <сСаР

Минимизируя левую часть, заканчиваем доказательство. > Теперь докажем теорему 1.

< Достаточно доказать теорему при р = 1. А затем воспользоваться -Неоднородным преобразованием. Пусть N = \\и\\ьр (В1). Так как dist (яирр и, е) > 0, то по лемме 1

Сар(е,4№)) ^Ф-ЛГ1«!!* = сН-р\и\1,^В1 + С\\1 ^ М^иЩ

.(ВО'

т. е.

+ Ш - и I

(7)

V

V

V

2

Р

УЦВг)

V

Без ограничения общности можно предположить, что йв1 ^ 0. Тогда

N\ьр(в1) ~ I\ивг ЦьрСво

^ — ив1 11^(5!)-

-йВ1\ =

Следовательно,

11-^ — и\\ьр(Вг) ^ Ц-^ — йВг 11^(50 + 11« ~ йВ\ 11^(50 ^ 2||и — йВ1 ||ЬР(В1)- (8) В силу (7), (8) и неравенства Пуанкаре для анизотропных пространств

Ци ив1 \\ьр(В1) ^ с ^ \\В<хи\\ьр(в1), Ы| = 1

справедлива оценка

Сар (е,Ь1р(В2)) Ы\1р{В1) < \и\р,1*,В! ■

Из теорем вложения для анизотропных пространств (см. [13]) и последнего неравенства получаем

О 7* 1

Н^Нмво < с (К,1*,В1 + М1р{В1)) < {! + [Сар (е, ьЦв,))}-1}^^.

Утверждение теоремы 1 доказано. >

Отметим, что в изотропном случае теорема 1 доказана в работе Мазьи [12] и при помощи другого метода при р > 1 Хедбергом [13].

Теорема 2. Пусть е — замкнутое подмножество Вр н 6 — число из интервала (0,1). Тогда для всех функций из множества

е С°°(ВР) : иВр ^ 0, и{х) 8р~р \\и\\Ьр(Вр) при всех х е е| справедливо неравенство:

1Ык9(вр) < С \и\рГ,вр, где С~р ^ С1(1 - 5)~^Сар (е, Ь1р{В2р)^ .

< Повторяя доказательство леммы 1, получаем

с_1Сар (е, Ь1(В2)) < т£<| ||1 - и||*г,п , : и е ^{В^.и < 0 на е

< сСар (е,1{,(В2))

Далее из неравенства 1 — 5 на е вытекает оценка

(1 - 5)рСар (е, 1£(В2)) < с||1 - ЛГ и остается повторить доказательство теоремы 1. >

Теорема 3. Пусть п = Гр, р > 1. Вр — шар, для которого

Сар (ВР\С1, £р(0)) > 0. Тогда для всех функций и €Е 1)(0)

|а:2| = 1

где

С < сёпр/я

Сар (ВР\П,Ь'Р(В2Р))

< Согласно теореме 1 имеем

I ьр(вр)

Поскольку при

и\\1р{Вр) < ^ПР/Ч [Сар • \ии,Вр. (10)

м Я13= РП

п-р1*(1 - \(3 : 11)

справедливы неравенства

IIII М/,-,;.) < с/^-^Ц^ии^п < с/1-1-^ ■ £

|а:«| = 1

ТО

\\и\\р,1* ,В2р < с \\Оаи\\Ьр(П). (11)

|а:«| = 1

Неравенства (10) и (11) дают оценку (9). >

Литература

1. Водопьянов С. К. Геометрические свойства областей, удовлетворяющих условию продолжения для пространств дифференцируемых функций // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики (Тр. семинара С. Л. Соболева).—Новосибирск.—1984, № 2,—С. 65-95.

2. Водопьянов С. К. О принципе максимума в теории потенциала // Тезисы докл. XI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Ч. 1—Челябинск, 1986.—С. 29.

3. Водопьянов С. К. Анизотропные пространства дифференцируемых функций и квазиконформные отображения // Тезисы докл. XI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Ч 2.—Челябинск, 1986.—С. 23.

4. Водопьянов С. К. Геометрические свойства отображений и областей. Оценка снизу нормы оператора продолжения // Исследования по геометрии и математическому анализу.—Новосибирск: Наука, 1987.—С. 70-101.

5. Водопьянов С. К. Сравнение метрических и емкостных характеристик в теории потенциала // Школа по комплексному анализу и математической физике. Дивногорск, июнь 1987: Тез. докладов.—Красноярск, 1987.—С. 21.

6. Алборова M. С., Водопьянов С. К. Устранимые особенности для решения квазилинейных квазиэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн.—1992.—Т. 34, № 4, С. 3-14.

7. Весов О. В. Продолжение функций из Llp и W^ // Тр. МИАН СССР.—1967.—Т. 89.—С. 5-17.

8. Бесов О. В., Ильин В. П. Естественное расширение класса областей в теоремах вложения // Мат. сборник,—1968.—Т. 75 (117), вып. 4,—С. 483-495.

9. Ильин В. П. Интегральные представления дифференцируемых функций и их применения в вопросах продолжения функций классов Wp(g) // Сиб. мат. журн.—1967.—№ 7.—С. 573-583.

10. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перенелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям.—Новосибирск: Наука, 1984.—С. 224.

11. Весов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.—М.: Наука, 1975.

12. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.—416 с.

13. Hedberg L. Two appoximation problems in function spaces // Ark. Mat.—1978.—V. 16, No. 1.— P. 51-81.

Владикавказ

Статья поступила 15 апреля 2002 г.