Аппроксимация в l_p решениями квазиэллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь март, 2003, Том 5, Выпуск 1

УДК 517.5

АППРОКСИМАЦИЯ В Lp РЕШЕНИЯМИ КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

'р

М. С. А л борова

Изучается ¿р-аппроксимационная проблема для квазиэллиптического оператора. Найдены функционально-геометрические характеристики множества К, обеспечивающие плотность пространства г}(К) в г]р(К) относительно Ьр-нормы.

Пусть _Р(ж,£)) = ^ аа{х)Оа дифференциальный оператор в частных произ-

водных, определенный на открытом подмножестве ft С Ж". Если со С ft открыто, мы обозначаем через г}{ш) пространство распределений и, определенных и удовлетворяющих однородному уравнению Р(х, D)u = 0 в ш. Если F — относительно замкнутое подмножество ft, мы обозначаем через i){F) множество всех распределений и, определенных и удовлетворяющих уравнению Р(х, D)u = 0 в некоторой окрестности F.

о о

Для 1 ^ р < оо, r]p(F) = LP(F) П Tj(F), найдется множество функций и £ Lp(F), которые удовлетворяют уравнению Р(х, D)u = 0 во внутренности F. Если К С ft — компакт, то очевидно г/ (К) С rf{K). Задача состоит в определении функционально-геометрических характеристик компакта К, обеспечивающих плотность пространства г/(К) в rf{K) относительно LP(K) нормы.

Классическими результатами в этом направлении являются работы Мергеляна [1] и Витушкина. Витушкин охарактеризовал те компактные множества, для которых голоморфное приближение возможно, пользуясь идеей емкости, соответствующей оператору Коши — Римана. Для оператора Лапласса проблема равномерного приближения была изучена Келдышем [2], Хедбергом [3], Полкингом [4] и др. Эти результаты установлены в терминах емкости Ньютона. Для основных операторов проблема равномерного приближения была изучена Браудером [5].

Пусть Ж" — евклидово пространство точек х = {х\,..., xn), al = (li,...,ln) Gif — мультииндекс. Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований Ж"

\а :!1 = 1

Ht(x) = (t>iXl,...,t^xn) (te ж+),

п.

ii

где р- = ^ Т" и глаДкУю -Неоднородную метрику, непрерывную на Ж" и определяемую вектором I Е М" по формуле

1

© 2003 Алборова М. С.

Шаром с центром в точке х радиуса г называется, как обычно, множество

Вг(х) := {у Е Ж" : р(х,у) < г).

Пусть Q С 1п — открытое подмножество, р ^ 1. Будем говорить, что функция / Е Lp((i) принадлежит классу Llp(Q), если функция имеет обобщенные производные

Daf Е Lp( Q), \a :T| = 1. Здесь l)'\f = ,'■ а = (ü|... ., an) и \a :T| = ^ H-----h

j3-. Для таких функций определим полунорму

11/114(1»= £ И^Лксп)- (2)

|а :1| = 1

о г.

Пространством Lp(ft) назовем замыкание в норме (2) множества Co°(ft) бесконечно дифференцируемых функций с носителем в Q.

Пусть К — подмножество Ж". Обозначим множество функций из Lp (Жп), имеющих компактные носители в К через (Ь1р)к-

Мы будем полагать, что Р{х, D) имеет бирегулярное фундаментальное решение Е(х, у) на Q, т. е. удовлетворяет уравнениям

Р(х, D)E{x, у) = 6У, *Р(у, D)E(x, у) = Sx (3)

и

Е(х,у) G Lioc(fi х fi).

Пусть

А'1 (К) = {/ G Lp(K) : (f,u) = 0 для всех и Е Т](К)}.

Для доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая лемма:

Лемма 1. Предположим, что 1 < р < -х и К С il — компакт. Тоща отображение

*P(x,D) : (4)к^АЦК)

является взаимнооднозначным.

<1 Если v Е (L1)k и u Е г]{К), то (и,*Р(х, D)v) = (P(x,D)u,v) = 0. Тем самым tP{x,/D)v Е Aq(K). Так как P{x,D) имеет бирегулярное фундаментальное решение, то гР{х, D) является взаимнооднозначным на £'(Q). Далее покажем, что *P(x,D) отображает (Lp) к на Aq(K).

Предполагаем, что / Е Aq(K) и пусть f(y) = f E(x,y)f(x) dx. Тогда согласно (3) tP(x,D)f = / и Р(х,у)Е(х,у) = 0 если х фу, так что, если у (¡L К, то Е(х,у) Е г]{К) как функция от х. Более того, supp/ С К. Стандартные теоремы регулярности теперь показывают, что / Е Llq и, следовательно, / Е (Ь1р)к■ t>

Теорема 1. Предположим P(x,D) —квазиэллиптический дифференциальный оператор порядка I с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенными в Ü, имеющий фундаментальное решение. Тогда, если К С ft — компакт и 1 < р < оо, то следующие утверждения эквивалентны:

1-12

М. С. Алборова

(i) rj (К) плотно в rf(K);

(ii) Cq°(K) плотное (Llp)к;

(iii) Со°(Шп\К) плотно в (Ь~1)Лп\к;

(iv) (и, /) = 0 для всех и Е (L~%n\K н f £ (Llq)K.

<1 Предположим, что U и V — подпространства Банахова пространства В и U С V. Непосредственным следствием теоремы Хана — Банаха является то, что U плотно в V, все линейные функционалы на В, которые уничтожают U, также уничтожают V. Этот факт будет использован в каждой части доказательства.

0

(i) =>• (ii): В силу леммы 1 достаточно показать, что Р(х, D)Cq°(F) плотно в tP(x,D)(Llq)K = Aq(K). Предположим, что / G LP(K) удовлетворяет (/, *Р(х, В)ф) =

о о

О для всех ф Е Cq°(F)- Тогда P(x,D)f = 0 в F и, следовательно, / G г]р(К). По предположению существует последовательность С rj(K), которая сходится к / в L„(K). Следовательно, если и Е Aq(K), то (/,«) = lim (fv,u) = 0.

v^-oo

(ii) =>• (i): Пусть / G Lp(K) и (/,и) = 0 для всех и G rj(K). Тогда / G Aq(K)

о

согласно (ii) и лемме 1 существует последовательность {0"} С Cq°(K) такая, что tP(x,D)<f>v сходится к / в Lq(K). Следовательно, если и G rjp(K), мы имеем

(/,«) = lim (*Р(®, £>)<£„,«) = lim (ф1,,Р(х, D)u) = 0,

f—оо f—оо

так как

Фи е СЦ°(К) и P{x,D)u = 0 в К. (ii) (iii): Так как {Llq)K = {и Е Llq : (и,ф) = 0 для всех ф Е Со°(Шп\К)}, то

очевидно, что Co°(Rn\K) плотно в (Llq)j^± = {/ G L~l : (f,u) = 0 для всех и Е (Ь1д)к}-Более того,

(L?)K± С = {./' С Ь~Г: и,ф) = 0 для всех ф Е С^°\(К)] .

Следовательно, Со°(Жп\11Г) плотно в ° > если и только если (Llq)j^± =

Г 0 т

(L~ ) о. Обратное верно, если и только если Cq°(K) плотно в (Lа)к-Rn \ К

(ii) ==?■ (iv): Очевидно.

(iv) (ii): Предположим, что (ii) не верно. Тогда существуют и Е L~l и / G

Г 0

(Lq)x такие, что (u,f) ф 0, но (иф) = 0 для всех ф Е Cq°(K)- Следовательно, и Е

о 5 что противоречит (iv).

о

Если К нигде не плотно, то Cq°(K) = {0} и г]р(К) = LP(K). Отсюда, по теореме 1 rj(K) плотно в Lp(K), если и только если (Ь1д)к = {0}. t> Рассмотрим область К удовлетворяющую условию (А):

(А) Существуют т > 0, 5 > 0 такие, что для любых х,у Е КП\К, удовлетворяющих неравенству р(х,у) < 5 найдется спрямляемая дуга 7 С ЖП\К длиной 1(7), соединяющая х ту, причем ¿(7) ^ Ср(х, у) и для любого z Е 7 имеют место неравенства

p(z,dK) > тр(х,дК), p(z,dK) < тр(у,дК), здесь постоянная С не зависит от ж и у, а метрика р берется вида (1).

Теорема о плотности. Пусть К С Ж" — компакт, удовлетворяющий условию (А). Тогда С^(К) плотно (Lp)x-

Теорема 2. Пусть Р(х, D) — квазиэллиптический оператор с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенными в (1, и предположим, что Р(х, D) имеет бирегулярное фундаментальное решение в il. Пусть К С il компакт, удовлетворяющий условию (А), тогда г](К) плотно в rjp(K).

<1 Теорема 2 является очевидным следствием теоремы 1 и теоремы о плотности из [6]. [>

Литература

1. Mergelyan S. N. On the completeness of systems of anlytic functions // Amer. Math. Soc. Trans.— 1962,—V. 19, № 2,—P. 109-166.

2. Keldysh M. V. On the solubility and the stability of Dirichlet's problem // Amer. Math. Sos. Trans.—1966.—V. 51(2).

3. Hedberg L. I. Approximation the mean by the analytic functions // Trans. Amer. Math. Soc.— 1972,—V. 163.—P. 157-171.

4. Polking J. C. Approximation in Lp by solutions of elliptic partal differential equations // Amer. J. Math.—1972.—V. 94, № 4,—P. 1231-1244.

5. Browder F. E. Approximation by solutions of partial differential equations // Amer. J. of Math.— 1962.—V. 84,—P. 134-160.

6. Алборова M. С. Теорема о плотности // Владикавк. мат. журн.—2001.—Т. 3, вып. 3, С. 3-7.

г. Владикавказ

Статья поступила 20 января 2003 г.