Теорема о плотности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июнь-сентябрь, 2001, Том 3, Выпуск 3

УДК 517.5

ТЕОРЕМА О ПЛОТНОСТИ

М. С. Алборова

Сформулирована и доказана теорема о плотности пространства бесконечно дифференцируемых функций в анизотропных пространствах Соболева при некоторых условиях наложенных на область.

В настоящей работе изучается вопрос о плотности пространства бесконечно дифференцируемых функций в анизотропных пространствах Соболева. Мы будем рассматривать пространства Ьр(О) характеризующиеся конечностью нормы:

здесь П — открытое множество и II?."'. 1 ^ р ^ оо, а = (о |....о„) ж I =

(7Ь ..., 1П) — мультииндексы, |а : 1\:= ^ Н-Ь £>а/ = 9х^Гдхап •

В изотропном случае различные аспекты задачи о плотности пространства бесконечно дифференцируемых непрерывных функций в пространствах Соболева хорошо изучены в работах многих авторов, см., например, С. Л. Соболев [1], В. Г. Мазья [2], Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес [3], Дж. Полкин [4], Л. Хед-берг [5].

В анизотропном случае вопрос о плотности изучался для областей, удовлетворяющих условию рога и для близкого класса областей в работах О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [6], С. В. Успенского, Г. В. Демиденко, В. Г. Перепелкина [7], П. И. Лизоркина, В. И. Буренкова, С. К. Водопьянова и др.

Пусть II?.'1 — евклидово пространство точек х = (.г |...г„). I =

(¿1,..., 1П) — мультииндекс, > 0.

Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований Кп

1. Предварительные сведения

Ні(х) = (і1 ж„) (і Є К+)

(1)

© 2001 Алборова М. С.

1 1 1 тт

где -Ь = - > • , . и гладкую Н¿-однородную метрику, определяемую вектором

I ТЪ б J- и

1б№* по формуле

1 21*

Р{?,У) = \xi - Vi\21^

(2)

непрерывную на Rn.

Шаром с центром в точке х радиуса г называется, как обычно, множество

Вг,(х) = {у ЕШп : р(х, у) < г}.

Пусть Q С 1" — открытое подмножество, р ^ 1. Будем говорить, что функция / G Lp(il) принадлежит классу Ll (Q), если функция имеет обобщенные производные Daf Е Lp(fi), |а : l\ = 1. Здесь Daf = ,

а = (о |.... ап) и \а : l\ = + Для таких функций определим полу-

норму

ll/IU'<«>= Е WD“fKm- (3)

\а:1\ = 1

о

Пространством Llp(il) назовем замыкание в норме (3) множества Cq°(Q) бесконечно дифференцируемых функций с носителем в П.

Пусть К — подмножество Rn. Обозначим множество функций из Llp (Rn) имеющих компактные носители в К через (Ь1р)к-

Пусть е С 1" — замкнутое множество. Емкостью множества е назовем величину:

о

cap (е, L*) = ini{\\U\\pTl : U Е 91(e)},

Р

где m{e) = {U Е Cq° : U = 1 в окрестности е} (см. [8]).

Введем еще полунорму:

0<\ß:l\^l

где ß = (/?!,...,/?„) Е Nn.

Приведем следующие необходимые нам в дальнейшем результаты.

Теорема [9]. Пусть е — замкнутое подмножество шара Вг. Для всех функций U Е С°°(ВГ) таких, что dist(supp?7, е) > 0 верно неравенство

Шыв,.) « С\и\?,1-,вг■

где 1 ^ р ^ о ^ оо, к = ( ' — ' ) '>"'•1, ^ 1. при к = 1, 1 ^ р = q < оо.

Р Q — li

Константа С допускает оценку

С^р ^ г~~ч , cap (е, Ь1р(В2г))-

Следствие 1. Существует постоянная М такая, что

|^/(у)ГФ ^ МврГ(1-|/3:г|) ^ I |£>а/(у)|рф (4)

р(х,у)^£ \аЛ^1р(х,у)^2е

для всех х Е Шп, е > 0 и для всех / е Ь1р (Кп), которые обращаются в ноль на открытом подмножестве Ве(х).

Лемма 1. Пусть К С 1п — компакт. Существует функция <р£(х) такая, что <р£(х) = 1 для любого х Е К, <р£(х) = 0 вне е-окрестности К и для любого мультииндекса а = (о |.... ап) Е Мп имеет место оценка

^>е(Ж)ККа-^г'а:г1. (5)

< Зафиксируем функцию (р Е С*о°(Кп), отличную от нуля в шаре р(х) < 1 и тождественно равную нулю вне этого шара. Пусть 0(.г) = ^!у(р(х — //). где и — пробегает все точки с целочисленными координатами в II?.'1. Очевидно О(х) > 0. Положим г}и{х) = ’£щЦгу~- Имеем г}и{х) Е С°°(ШП), г}и{х) = 0 при

р(х — Ь>) ^ 1 И ДЛЯ всех X Е Шп верно Т1и{х) = 1. Пусть теперь к = где с — постоянная из неравенства треугольника для выбранного /»-расстояния. Рассмотрим систему функций Г)и {11^-1 (х)). Пусть {и} — все векторы, для которых носитель функции ^{Н^-1 (ж)) пересекает множество К. Положим

¥е{х) = ^77„(ЯЛ-1(ж)).

м

Очевидно, (р£(х) Е С°°(ШП), <р£(х) = 1 ДЛЯ X Е К, (р£(х) = 0 для всех X, лежащих вне е-окрестности К и

К

\°а1Ре(х)\ ^ >

Отметим, что доказательство леммы основано на схеме, предложенной в изотропном случае Ю. Г. Решетняком [10] и распространенной на анизотропный случай С. К. Водопьяновым [8].

Мы будем рассматривать области К, удовлетворяющие условию (А):

(А) Существуют г > 0, 6 > 0 такие, что для любых х, у Е Кп \ К, удовлетворяющих неравенству р(х, у) < 6 найдется спрямляемая дуга 7 С Кп \ К длиной /(7), соединяющая х и у, причем /(7) ^ ср(х,у) и для любого г £ 7 имеют место неравенства

р(г, дК) > тр(х, дК), р(г, дК) < тр(у, дК),

здесь постоянная с не зависит от ж и у. Метрика р берется вида, (2).

2. Теорема о плотности

Теорема. Пусть К С II?"' — компакт, удовлетворяющий условию (А). Тогда С^3 (К) плотно (Ь1р)к.

< Используя следствие 1, мы видим, что существует постоянная М такая,

ЧТО

J \0^/(у)\рйу «С МеР1^1-^ а1{у)\Р(1у (6)

р(х,у)^е \а:1\ = 1р(х,у)^2е

для всех / е (Ь1р)к, х е дК и достаточно малом е.

Рассмотрим функцию <р£(х) из леммы 1. Используя классический метод, достаточно доказать, что О'{К) П Ь1р(Шп) плотно в (Ьр)к■ Пусть / е (Ьр)к и пусть /е = (р£ ■ /. Покажем, что ограниченное множество в Ьр для

О <С \а : 1\ ^ 1 и что {/е} сходится к / в Ьр. Тогда существует подпоследовательность {/е,-} слабо сходящаяся в Ь1р к функции /. По теореме Банаха — Сакса слабо сходящаяся последовательность {}• содержит подпоследовательность, свертки которой сильно сходятся к / в Ь1р.

Так как /)''/, = Е • !) ']'. то достаточно показать, что { !Ру.: ■

I) !/ }• ограничена в Ьр, (7 + (3\ = |а|, |а : 1\ = 1. При 7 = 0, утверждение очевидно. Положим 7 ф 0. Пусть г) (.г) — расстояние от точки х до К, д(.г) = т{{р(х, у) у е К}, функции £>7<^е имеют носители в множестве Ь£ = {х : 8(х) ^ е}. Следовательно,

^(ре(х^/(х)\р(Ь «С Че1'\г-1\ [ \DPf\Pdx. (7)

Покроем Кп шарами Ве(х). В силу условия (А) существует постоянная N такая, что каждое .г (г II?."' принадлежит не более чем N шарам. Пусть {}• — нумерация центров шаров, которые пересекают 1,€. Тогда для каждого /.: расстояние от гь до дК не больше чем 2те, таким образом найдется точка ./> е дК такая, что р(хк,гк) ^ 2те и 1?2е(^) С В^тсе{хк)- И, следовательно, шары {ВзтсФк)} покрывают Ье. Используя (6) имеем

1) \г 1‘,1,г ^ л/ /* |£^/(ж)|р(£с

1/е ^ р{х,хи)^тСе

<: мерГ(1-т)^2 XI / |£>аДж)Г(Ь ^

п \0-А^р^х^Хк^ЗСте

<С МврГ(1_|/3:г|)Ц/Ц^.

Неравенства (7) и (8) показывают, что ||/е||р,/ ^ МЦ/Цр^ для всех достаточно малых в. Окончательно отметим, что / —/е имеет носитель в Ье и ||/ —/е||р,/ < Мвг||/||Р1|, таким образом /е ч / в >

Литература

1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.—225 с.

2. Мазья В. Г. Пространства Соболева.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.—416 с.

3. Лионе Ж.-Л., Мадженес 9. Неоднородные граничные задачи и их приложения.—М.: Мир, 1971.—371 с.

4. Polking J. С. Approximation in L'p by solution of eliptic partial differential equations //Amer. J. Math.—1972.—V. 94,—P. 1231-1244.

5. Hedherg L. I. Approximation in the mean by solution of eliptic equations // Duke Math.— 1973.—V. 40, No. 1.—P. 9-16.

6. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. —М.: Наука.—1975.—408 с.

7. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Переиелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям.— Новосибирск: Наука 1978.

8. Алборова М. С., Водопьянов С. К. Устранимые особенности для ограниченных решений квазиэллиптических уравнений // Деп. в ВИНИТИ.—1987, В87-804.

9. Алборова М. С. Некоторые интегральные неравенства и теоремы вложения для анизотропных функциональных пространств // Деп. в ВИНИТИ, 2000, 3258-В-00.

10. Решетняк Ю. Г. О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными // Сиб. мат. журн,—1969.—Т. 10, № 5.—С. 1109-1139.

г. Владикавказ

Статья поступила 20 сентября 2001