О равномерной приближаемости решениями эллиптических уравнений порядка выше двух Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 108-118.

УДК 517.5+517.9

О РАВНОМЕРНОЙ ПРИБЛИЖАЕМОСТИ РЕШЕНИЯМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА ВЫШЕ ДВУХ

М.Я. МАЗАЛОВ

Аннотация. Рассматриваются задачи равномерного приближения на компактах в Rd, d > 2, решениями однородных эллиптических уравнений порядка п > 2 с постоянными коэффициентами. Строится пример, показывающий, что для компактов с непустой внутренностью критерии равномерной приближаемости, аналогичные критерию А. Г. Витушкина, известному для аналитических функций в C, в общем случае не имеют места. Напротив, в случае нигде не плотных компактов ситуация такая же, как для аналитических и гармонических функций, включая неустойчивость соответствующих емкостей.

Ключевые слова: эллиптические уравнения, емкости, неустойчивость емкостей, равномерное приближение, схема Витушкина.

1. Введение

Пусть L(x) — однородный эллиптический многочлен с комплексными коэффициентами (где х = (xi,x2,..., Xd) Е Rd, d ^ 2, L(x) = 0 ^ х = 0), L = L(V) — соответствующий дифференциальный оператор; далее рассматриваются только такие операторы L. Обозначим через п порядок оператора L; напомним [1, теорема 7.1.20], что L имеет фундаментальное решение вида

Е(х) = Ео(х) — Е\(х) log |ж|, (1.1)

где Е0 — вещественно аналитическая функция в Rd \ {0}, однородная степени п — d, Ei — однородный многочлен степени п — d (если п < d, то Ei = 0). Пусть X С Rd — компакт, X0 — множество всех внутренних точек X,

h(X, L) = С(X) П {Lf = 0 в Х°},

Н(X,L) — замыкание в С(X) множества функций

{f Ix ■ Lf = 0 в некоторой окрестности X}

(окрестность зависит от функции f).

Так как L — эллиптический оператор, то Н(X, L) С h(X, L). Критерии равенства классов Н(X,L) = h(X,L) были получены в случае аналитических функций (d =2, L — оператор Коши-Римана) А. Г. Витушкиным [2], а в случае гармонических функций (d > 2, L — оператор Лапласа) — независимо Дж. Дени [3] и М. В. Келдышем [4]. Имеет место следующее утверждение (мы несколько упрощаем формулировки):

Н(X, L) = h(X, L) ^ CapL(B \ Х°) ^ ACapL(kB \ X), (1.2)

M.YA. MAZALOV, ON UNIFORM APPROXIMABILITY BY SOLUTIONS OF ELLIPTIC EQUATIONS OF ORDER HIGHER THAN TWO.

© МАЗАЛОВ М.Я. 2012.

Работа выполнена при поддержке грантом РФФИ 12-01-00434 и грантом НШ-3476.2010.1 программы поддержки ведущих научных школ. Поступила 1 октября 2011 г.

где под Сар^(-) понимается, соответственно, аналитическая или гармоническая емкость, В — произвольный открытый шар (круг при d = 2), А > 0 и к ^ 1 — фиксированные постоянные.

При изучении устранимых особенностей непрерывных решений уравнения Lf = 0 Р. Харви и Дж. Полкинг ввели [5] емкости, естественно обобщающие аналитическую и гармоническую емкости. В настоящей работе ограничимся случаем n < d. Следуя [5, определение 1.1], емкостью ограниченного множества U назовем

sup(K^|1>| : |Ы|ьте ^ 1,9 е С(Rd), lim д(х) = 0, Spt(L^) С U} (1.3)

а

и будем обозначать Сарь(^) (здесь и далее || ■ ||ьто = || ■ ||ьто(К'1))- В формуле (1.3) в угловых скобках записано действие распределения с компактным носителем на бесконечно гладкую функцию, Яр1(-) — замыкание носителя распределения. Именно,

<^|1> = (-1)п/д(х)Ьф)атх, (1.4)

где <р — произвольная функция из С^°(К<г), такая, что <р(х) = 1 в некоторой окрестности Яр^Ьд), интегрирование проводится по мере Лебега в К'. Функцию д € С (К'), такую, что Яр^Ьд) С и и д(х) = 0, будем называть допустимой для и.

Так как емкость Сар^(-) характеризует "массивность" множества неустранимых особенностей непрерывных решений уравнения Ь/ = 0 [5, теорема 1.4], неравенство в правой части (1.2) имеет следующий естественный смысл: дополнение к компакту локально "не менее массивно чем его граница.

В настоящей работе установлено следующее.

1. Показано, что при d > 2 и п < d для каждого соответствующего Ь неравенство в правой части (1.2) является необходимым для равенства Н(X, Ь) = К(Х, Ь) (см. следствие 1 леммы 4), но не достаточным (см. пример 1 в §4).

Заметим, что в случае приближения в пространствах Липшица нецелого порядка и ВМО (именно, когда используемая емкость, в отличие от (1.3), соизмерима с соответствующим обхватом по Хаусдорфу) подобные примеры построены в [6, §4]; конструкция примера 1 настоящей работы существенно проще, чем в [6].

Для равномерных приближений необходимо отметить особую роль размерности d = 2: в [7, теорема 1] доказано, что при d = 2 в случае локальной ограниченности Е из (1.1) равенство Н(X, Ь) = К(Х, Ь) имеет место для любых компакта X и оператора Ь; вместе с тем, при d > 2 для любого рассматриваемого оператора Ь (в том числе, и с локально ограниченным фундаментальным решением) существует компакт X, такой, что Н(X, Ь) = К(Х, Ь) (например, [8, теорема 8.2]).

2. При X0 = 0 (и соответственно, Н(Х,Ь) = С(X)) ситуация существенно проще, чем в общем случае: имеет место не только (1.2), но и неустойчивость емкости Сар^(-), аналогичная неустойчиости аналитической и гармонической емкостей (см. теорему 1 из [2, гл. 6, §2], теорему В из [9] и теорему В из [10]). Именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть X0 = 0.

(1) Если выполнено равенство С(X) = Н(X, Ь), то для любого открытого шара В(х, г) (с центром х радиуса г) имеет место оценка

Сарь(Б(х, г) \ X) ^ Ага-п, (1.5)

где А = А(Ь) > 0.

(2) Пусть для почти всех х € X (по лебеговой мере пространства К') выполнена оценка

Сарь(В(х,г) \ X) . .

Ишвир—; \—- > 0, (1.6)

г—О Т

тогда С(X) = Н(X,L).

Утверждение (1) теоремы 1 следует из определения емкости (см. следствие 2 леммы 4). Доказательство утверждения (2) состоит из двух частей.

1. Доказательство (1.5)^ С(X) = Н(X, L) проводится с помощью усовершенствованной схемы А.Г. Витушкина [2] разделения особенностей и приближения функции по частям и вытекает из лемм 5 и 8.

2. В доказательстве (1.6)^(1.5) (см. лемму 9) используются аргументы, аналогичные примененным в работах [2] А.Г. Витушкина, [9] А.А. Гончара и [10] Ю.А. Лысенко и Б.М. Писаревского.

Вопрос о (естественном) критерии равенства Н(X, L) = h(X, L) в случае d > 2, п > 2 и компактов X с непустой внутренностью остается открытым. Напомним, что Н.Н. Тархановым в [11] был доказан аналог теоремы А.Г. Витушкина для решений эллиптических систем. В частном случае равномерных приближений результат формулируется в терминах емкости, соответствующей (1.3), и нескольких емкостей, обобщающих (1.3), которые для классов аналитических и гармонических функций оказываются "избыточными". В связи с этим заметим, что, применяя теорему 2 из [7], можно в условии 3) леммы 3.8 из [11] (о приближении функции по частям) заменить |х|га на |х|га-1 и тем самым для всех операторов L уменьшить количество используемых емкостей.

2. Подготовительные результаты.

Будем использовать элементарные свойства емкостей Сар^(-), вытекающие из (1.3).

(1) Сарь(и) ^ Сарь(и') при и С и'.

(2) Сарь(В(а, г)) = Ага-п, где А = А(Ь) > 0.

(Напомним, что п — порядок оператора Ь, й — размерность пространства). Будем считать, что каждая функция из Ъ(Х, Ь) продолжена с X на все пространство К как непрерывная и финитная (это может быть сделано, например, по теореме Х. Уитни [12, гл. 6, п. 2.2]).

Зафиксируем фундаментальное решение Е из (1.1). Пусть функция £ непрерывна в К, БрЬ(Ьf) компактен и !(%) = 0. Тогда (например, [7, лемма 1.3]) имеет место

представление

/ = Е * (Ь/), (2.1)

понимаемое в обобщенном смысле.

Пусть } — конечное семейство неотрицательных функций р^ Е С£°(К), таких, что (ж) = 1 в некоторой окрестности Spt(Ьf). Будем называть {(•} разбиением единицы на 8рЬ(Ь/). Функция / представляется в виде суммы локализаций:

f = £ f3, где f3 = Е * (p3Lf), (2.2)

з

а соответствующий оператор У^:

У^ = Е * (рЬФ), (2.3)

где р Е С(К), Ф Е (С^(К^))', называется оператором локализации. Далее а = (а\, а2,..., а^) — мультииндекс,

Л 0N

м = Y,ak, да =

k=i дх\1дха22 ...дха/

а! = ai!^!...ad!, ха = х\гха22 ...ха/.

Всюду под кубами будем понимать замкнутые кубы с ребрами, параллельными осям координат. Для куба Ц = Я(а, в) с центром а € К' и ребром ^ через ХЯ обозначим куб с тем же центром и ребром Аз. Двоичными кубами будем называть кубы вида

Я = д™1-^ = [т12-к, (тг + 1)2-*] х ■ ■ ■ х [тл2-к, (та + 1)2-к], (2.4)

где к, тг, т2,..., та € Ъ.

Рассматривая покрытия компактов конечными семействами двоичных кубов, всегда будем считать, что кубы раздельные (не имеют общих внутренних точек).

Далее положительные постоянные, которые могут зависеть только от Ь (в частности, от п или й), будем обозначать через А, , Аг, .... Значения каждой из этих постоянных в разных соотношениях могут быть различными. Будем использовать разбиения единицы Р. Харви и Дж. Полкинга (см. [13, лемма 3.1], [7, лемма 1.1]).

Лемма 1. Пусть {Qj} — конечное семейство раздельных двоичных кубов. Тогда существует {<£j} — разбиение единицы , такое, что

(1) Яр^- С (3/2)Qj;

(2) ||дa^j ||ьте ^ As(Qj)-1 "I при М ^ п.

В дальнейшем рассматриваем локализации (2.3) только относительно функций ¡р, удовлетворяющих условиям леммы 1. Следующая лемма доказывается стандартно (например, [7, лемма 1.2], [14, лемма 14.10]).

Лемма 2. Пусть f € к(Х,Ь), ш;(з) — модуль непрерывности f в К', Q = Я(а,в) — куб (не обязательно двоичный), функция р € С^К) удовлетворяет условиям (1)-(2) леммы 1 относительно куба Я, V,из (2.3). Тогда:

(1) V,! € С (К') и Ишх^со У,! (х) = 0;

(2) Яр^ОД/)) С (Яр^П вр^/);

(3) ||^/||ьте ^ Аи;(з).

При этом всюду вне куба А^ функция У,/ разлагается в ряд Лорана, сходящийся в С~ (например, [7, §1] [14, §7, п. 2°], [15, с. 163]):

V,f = ^ садаЕ(х — а), (2.5)

| «I >о

где

с« = са(У,!,о) = <<р(у)Ь/(у)1(у — а)"> (2.6)

— лорановские коэффициенты. В частности,

о, (V,/ ) = |1>. (2.7)

Оценки лорановских коэффициентов локализаций вытекают из леммы 2 и (1.3)-(1.4). Так как функция У,/ является допустимой для (3/2)^ \ Xв силу определения емкости (1.3) имеем:

|с0(V,/)| ^ Аш;(з)Сарь((3/2)Я \ Х°). (2.8)

Для оценки лорановских коэффициентов са, |а| > 0, рассуждаем так же, как в доказательстве леммы 3.3 из [16]: ясно, что при достаточно малом Аг = Аг(п) > 0 для функции ф(у) = Аг(2з)-^"^(у — а)"р(у) выполнено условие (2) леммы 1; применив лемму 2 к локализации Уф/ и учитывая, что

Со (Уф /) = <фЬ/11> = = Л(25)- 1 « lШLf (у)Ку — а)"> = Л(25)- 1 « 1 а!(—1)- 1 « 1 са(У^,а),

получим:

Л

МВДа)| ^ -2и;(з)(2зрСарь((3/2)Я \ ). (2.9)

С учетом неравенств

|даЕ(х)| ^

(например, [14, §7, лемма 7.3]), из (2.9) стандартным суммированием геометрической прогрессии получается, что вне достаточно большого куба A4Q выполнена оценка

IV f( М <А ( )CapL((??/2)Q \X°) (210) Кf(х)| ^ Auf (s)-|х _ fl|d-ra-. (2.10)

Замечание 2.1. Используя дополнительное разбиение единицы на (?/2)Q, нетрудно показать (см., например, [17, лемма 1.5]), что оценка (2.10) имеет место для любого Л > 0 всюду вне куба (3/2 + Л)Q с (увеличенной) постоянной A = А(Л). Аналогично, пусть В = В(а, г) — шар, Spt<£ С В и ||^ г— |а| при |а| ^ п, Vvf — локализация. Тогда при Л > 1 всюду вне шара ЛВ выполнена оценка

IV./(х)| < А(Л(г^В^Г. (2.11)

В силу леммы 2, равенства Сарь(В(а, г)) = A(L)rd—n и монотонности емкости получим следующее утверждение, являющееся несложным следствием (2.9).

Лемма 3. Имеют место оценки

f Mi А

A

IС*(Vvf, a)I ^ —uf (s)(2s)d—n+lal. (2.12)

Пусть m E Z+, m ^ п + 1; если ca(Vv f, a) = 0 при |a| < m, то

/ „d—n+m \

Ш(х)1 ^ M(s) minl^1, |х _ ald—n+m) . (2.13)

То, что оценка С&рь(В \ X°) ^ ACapL(кВ \ X) необходима для равенства h( X, L) = Н( X, L), вытекает из следующего утверждения.

Лемма 4. Пусть f E Н(X,L). Тогда для любой локализации V^f, удовлетворяющей условиям леммы 2, имеет место оценка

ыVvf )| ^ Auf (s)CapL((?/2)Q \X). (2.14)

Доказательство. Пусть f E Н(X,L). Тогда для любого e > 0 существует функция F E С(Rd), такая, что в некоторой окрестности X выполнены условия LF = 0 и | f(х) _ F(х)| < е ^ Uf (s) (продолжив разность f _ F по теореме Уитни [12, гл. 6, п. 2.2], будем считать, что это неравенство выполняется всюду в Rd).

В силу (1.4), (2.7), |f(х) _ F(х)| < е и произвольности е для доказательства (2.14) достаточно установить, что

Ы VvF)| ^ Auf (s)CapL((?/2)Q \X).

Но последнее неравенство следует из определения емкости. Действительно, оценив с помощью леммы 2 локализации V^f = Е * (ipL f) и Vv(j _ F) = Е * (<pL(f _ F)), получим, что \\VtpF ||lto ^ Auf (s), причем VvF является допустимой для (3/2)Q \ X. Лемма доказана.

Рассмотрим два следствия леммы 4.

Следствие 1. Пусть имеет место равенство Н(X,L) = h(X,L). Тогда для произвольного куба Q выполнена оценка CapL(Q \ X°) ^ AC&pL((?j/2)Q \ X), равносильная правой части (1.2).

Доказательство. Очевидно, можем считать, что CapL(Q\X°) > 0. В силу определения емкости существует функция д, допустимая для Q \ X0 (и следовательно, по условию, д E Н(X,L)), такая, что ЦдЦ^ ^ 2 и (Lg|1) = CapL(Q \ X°). В силу (2.1) и леммы 1

имеет место равенство д = Vvg, где р удовлетворяет условиям (1)-(2) леммы 1, и р = 1 в некоторой окрестности Q. Так как (ЬдЦ = Со(Vvg) = Cap L(Q \ X°), осталось применить (2.14). Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть X° = 0, и выполнено равенство С(X) = Н(X,L). Тогда для произвольного куба Q выполнена оценка CapL(Q \ X) ^ Aisd-n, равносильная (1.5).

Доказательство вытекает из следствия 1 и равенства CapL(Q) = A2sd-n.

Теперь рассмотрим вопрос о необходимой точности приближения локализаций. Имеет место следующее утверждение (см. [7, теорема 2]).

Лемма 5. Пусть для любого двоичного куба Q = Q(a, s) и соответствующей локализации Vpf, удовлетворяющей условиям леммы 2, существует функция Fq, такая,что:

(1) Spt(L^) С (10Q \ X);

(2) выполнена оценка

nd

Ш(х) - Fq(x)| ^ Auf (S) min j^—^р) . (2.15)

s

Ix — a|

Тогда f G H(X, L)

В силу (2.13) для выполнения оценки (2.15) у лорановских разложений функций V^f и Fq должны совпадать все коэффициенты при |a| ^ п — 1. Заметим, что копирование рассуждений леммы 1 из [2, гл. 2, §4] потребовало бы выполнения более жесткого условия — замены в (2.15) степени d на d +1.

3. Доказательство теоремы 1

Напомним, что утверждение (1) теоремы 1 установлено в силу следствия 2 леммы 4. Докажем следующее утверждение.

Лемма 6. Пусть для компакта X с Х° = 0 выполнена оценка (1.5). Тогда имеет, место равенство С(X) = Н(X,L).

Доказательство. Покажем, что в случае выполнения (1.5) можно не только получить оценку (2.15), откуда следует лемма 6, но также получить оценку (3.2) с любым наперед заданным т Е N. Следующее утверждение элементарно.

Лемма 7. Пусть Q = [0,1}d. Тогда для любого мультииндекса а, |a| ^ 0, существует, функция

Fa = £ А,Е(х — а3), (3.1)

где сумма конечна, число индексов j не превосходит А(а), а, Е Q, |Aj| ^ А(а), min,,.,' |а, — aj'| > А1(а) > 0, и имеет место асимптотика

Fa (х) = даЕ (х) + оЦх^-1"1).

Для доказательства леммы 7 достаточно заметить, что функции Fa получаются из стандартных формул численного дифференцирования и нетрудно строятся по индукции: если вектор а направлен по оси Хк, то

В

Fa(x — a) — Fa(x) = Ы — (даЕ (х)) + o(|dn-d-H-1).

ОХк

Следствие леммы 7. Пусть Q = Q(a,s) — куб, т Е Z+, и при |а| ^ т заданы произвольные числа Ъа Е C, |Ьа| ^ sd-n+\a\. Тогда существует функция Fm, такая, что:

(1) Fm = XjЕ(х — а,), где а, Е Q, |Aj| ^ A(m)sd-n, число индексов j не превосходит А(т), minj,j' |aj — aj'| > A1(m)s, где А1(т) > 0;

(2) при |а| ^ т выполнены равенства ca(Fm,a) = ba.

(Следствие очевидно: для Q = [0, V\d функция Fm — подходящая линейная комбинация функций Fa из леммы 7, причем ее коэффициенты находятся из системы линейных уравнений с треугольной матрицей; общий случай получается изменением масштаба).

Вернемся к доказательству леммы 6. Несколько модифицируем функции Fa из (3.1) в предположении (1.5).

Пусть для фиксированного с > 0 и некоторого множества К равномерно по всем х Е Q иг ^ 1 имеем CapL(B(x, г) ПК) ^ crd-n. Для г Е (0,1\ в сумме из правой части (3.1) заменим каждую функцию Е(х — aj) на rn-dgj, где ||gj||Lto ^ 2с-1, Spt(Lgj) С (B(aj, г) П К), gj(х) = 0 и со(gj) = rd-n. В силу (2.12) имеем (неза-

висимо от К) |ca(rn-dgj,aj)| ^ Ac-1r|а| при |a| ^ 0, причем co(rn-dgj) = со(Е(x — aj)) = 1.

Отсюда и из (2.6) следует, что для любого т Е Z+ и всех [, |[1 ^ т, выполнена оценка |ер(Е(х — aj), 0) — ер(rn-dgj, 0)| ^ A(m,L)г. Следовательно, для любых t > 0 и т Е Z+ существует Го = Го(е,m,L), такое, что для всех г ^ Го выполнено неравенство

^ |ср( Fa, 0) — ср( Fa, 0)| < е,

где через Fa обозначена сумма, полученная из (3.1) при замене Е(х — aj) на rn-dgj.

Так же, как и в следствии леммы 7, в силу (2.12) существует функция Fm — подходящая линейная комбинация функций Fa, такая, что имеет место следующее утверждение (матрица системы линейных уравнений, из которой находятся коэффициенты, соответствующие Fa, при малых г/s близка к треугольной).

Лемма 8. Пусть Q = Q(a, s) — куб, f Е h(X,L), Vvf — локализация из леммы 2. Пусть существует с> 0, такое, что для всех г ^ s/10 их Е Q', где Q' — куб, Q' С 10Q, s(Q') ^ (1/10)s, выполнено неравенство Cap L(B(х, г) \X) ^ crd-n. Тогда для любого т ^ 0 существует функция Fm, такая, что Spt(LFm) С (10Q \X), и имеет место оценка

/ „ d-n+m \

V f (х) — Рт(х) | ^ A(c,m)uf (s)min^1, ^ _ ^-n+m) . (3.2)

В силу лемм 5 и 8 лемма 6 доказана.

Для завершения доказательства теоремы 1 осталось доказать следующее утверждение о неустойчивости емкости.

Лемма 9. Пусть X — компакт с X0 = 0. Если для почти всех х Е X выполнена оценка (1.6), то для любого шара В(х, г) с центром х Е Rd выполнена оценка (1.5).

Доказательство. Лемма 9 вытекает из следующих трех лемм.

Лемма 10. Пусть К — подмножество шара В = В (a, г), a0 Е В, причем для некоторого с > 0 и любого шара B(a0, сё ^ 2г выполнена оценка CapL(B (ao, i) ПК) ^ cSd. Пусть g Е С(Rd) — функция, такая, что Spt(Lg) С К, ||д||ьто ^ 1 и д(х) = 0.

Тогда выполнена оценка (a0)| ^ Acrn.

Доказательство леммы 10. В силу (2.1) имеем g = Е * (Lg). Пусть B0 = B(a0, 2r), а для т Е N положим Bm = B(a0, 2r/2m); ясно, что кольца Dm = (3/2)Bm \ (1/4)Bm покрывают B0. Разложив пространство Rd на двоичные кубы, длины сторон которых "примерно равны" расстояниям до a0, и применив лемму 1, для произвольного т0 Е N представим в виде суммы локализаций:

mo

д=^Е * (pmLg) + Е * (ipLg),

m=0

где рт = Е/=1 причем Sptpm,j С Ит, рт^ удовлетворяют условиям леммы 1 для соответствующих кубов, содержащихся в Ит, рт ^ А(д), Яр1ф С (3/2)Вт0, и ф удовлетворяет условиям леммы 1 для куба, соизмеримого с Вт0. Применив лемму 2 и (2.11), получим:

I ( м < а( CapL((3/2)Bm ПК) + . \

^(«с)1 ^ A 12^-(r(B ))d-n-(г(Вто)) I

\т=0 ^ ^ т'' /

По условию воспользовавшись оценкой CapL((3/2)Bm П К) ^ Aic(r(Bm))d и устремив т0 к бесконечности, получим оценку 1д(а0) | ^ Acrn. Лемма 10 доказана.

Лемма 11. Пусть ti > 0, t2 ^ ti} К0 = K0(ti, t2) — множество точек х, таких,

Cap L(B(х, г) П К0) . d

что Iimsup--- ^ ^ и CapL(B(х, г) П К0) ^ t2rd для всех г, г ^ г0. тогда

г^о rd

теs(K0) = 0, где теs(-) — мера Лебега в Rd.

Доказательство леммы 11. Лемма 11 доказывается аналогично лемме 1.7 из [10]. Рассуждая от противного, предположим, что теs(K0) > 0; пусть х0 — точка плотности К0, тогда существует ri < г0, такое, что при всех г ^ ri выполнено неравенство теs(B(х0, г) П К0) > (1/2)теs(B(х0, г)). Докажем, что это влечет

liminf Capl(B0' Г) ПК0) > 0, (3.3)

r^0 yd-n ' • '

следовательно, в силу определения К0 имеем х0 Е К0, и полученное противоречие доказывает лемму.

Докажем оценку (3.3). Зафиксируем шар B = B^0, г), г ^ ri. В силу леммы Витали о покрытии [9, §3], [12, гл. 1, §1.6] существует конечное семейство шаров Bj = B(aj, 8j), содержащихся в B, с aj Е К0, таких, что выполнены следующие условия (1)-(3):

(1) Cap l(B(aj, Sj) П К0) ^ (1/2)ii(Sj)d;

(2) Ej (Sj)d > Ard;

(3) шары 2 Bj попарно не пересекаются.

В силу условия (1) возьмем для каждого шара Bj функцию j, допустимую для B(aj, ^) П такУю, что ||9j||ьте ^ 1 и C0(9j) = (1/4)ti(Sj)d. Пусть g = Y,j9j; ясно, что Spt(Lg) С (B(х0, г) П К0), причем в силу условия (2) имеем c0(g) ^ Atird.

Нетрудно заметить, что из оценки Cap L(B(х, г) П К0) ^ t2rd для х Е К0, следует, что CapL(B(х,г/2) П К0) ^ t2rd для х Е Rd. В силу леммы 10, условия (3) для {Bj} и (2.11) получим для х Е Rd:

дту

(rn + f dmy \

V J в Ix -yld-nJ

Ig (x)| ^At 2 rn + t_ " ^Alt2r

в Ix - yId-n

Из определения емкости получили, что Cap L(B(xC, г) П Кс) ^ A(i\/t2)rd-n, и следовательно, получили (3.3). Лемма 11 доказана.

Следующее утверждение очевидно.

Следствие леммы 11. Пусть для почти всех x Е X выполнена оценка (1.6). Тогда для почти всех x Е X:

Cap l(b (x, г) \X) Iimsup-d-= (3.4)

Для завершения доказательства леммы 9 и теоремы 1 осталось установить следующее утверждение.

Лемма 12. Пусть для почти всех x Е X выполнена оценка (3.4), тогда для любого шара B(x, г) с центром x Е Rd выполнена оценка (1.5).

Доказательство леммы 12. Лемма 12 доказывается аналогично лемме 11, а также теореме 1 из [9]. Заметим, что оценка (3.4), очевидно, выполняется для всех х е X. Зафиксируем произвольный шар В(х0, г). По лемме Витали о покрытии (см. [9, §3]) существует конечное семейство шаров В, = В(а,,8,), содержащихся в В, таких, что выполнены следующие условия (1)-(3):

(1) Сар Ь(В(а,, 5,) \Х) ^ (6,)а/гп;

(2) Е, & У > Ата;

(3) шары 2 В, попарно не пересекаются.

В силу условия (1) возьмем функции д,, допустимые для В (а,, 8,) \ X, такие, что

11»* тс^,,) \Х) * 1 и с«(®) = (1/2)№Пусть » = , тогда в

силу условия (2) имеем с0(д) ^ Ага п. В силу леммы 2, условия (3) и (2.11) получим для х е М:

1д(х)| * А + г-п [ , Лт1 *АЪ 11Л Уб |х — у1а-п

Таким образом, Со((/)/"(у'"ьто ^ А2га-п. В силу определения емкости получили, что Сар Ь(В(х0, г) \Х) ^ А2га-п. Лемма 12 доказана. Доказательство теоремы 1 завершено.

4. Построение примера 1

Пример 1. Пусть ¿> 2 и 2 < п < с1 (где с1 — размерность пространства, п — порядок оператора Ь). Тогда существуют компакт X, такой, что для любого куба Q выполнена оценка Сар \ Х°) * АCapL(2Q \ X), и функция f е Н(Х, Ь), такая, что f е Н(X, Ь).

Построение примера. Начнем со вспомогательного построения. Для N е N рассмотрим <1 — 1-мерный куб Им: Им = [0,1]а П {ха = 10-м} и множество открытых шаров В, с центрами а, е Им, причем координаты хт точек а, при т = 1,... , с1— 1 имеют вид к10-м, где к = 0,1,..., 10м, и г (В,) = 10-м (а-1)/(а-п).

Ясно, что шары 2В, попарно не пересекаются; возьмем функции д,, такие, что д, — допустимая для В,, "д,||ьто * 2 и Со(д,) = Сар^В,) = А10-м(а-1). Пусть Q = Q(a, в) — произвольный куб, такой, что а е Им и 10-м+1 * в * 1. Тогда, как нетрудно убедиться, в силу "равномерности" расположения точек а, на Им имеют место следующие свойства функций д,.

(1) При суммировании по всем индексам ] кубов В, С Q сумма с0(д,) не меньше А1 ва-1, где А1 > 0.

(2) Для произвольного х е М сумма |д,(х)| по всем индексам ], таким, что В, С Q и

1а, — х1 ^ 10-м, не превосходит А2 [ —-1-х-1 * А3зП-1.

JQnDN 1х — У1 п

Лемма 13. Пусть В — объединение шаров В,, построенных для всех Им, где N = 1, 2,...; Q0 = Q0 (а, в) — куб с центром а е И0, где О0 = [0,1}л П {ха = 0}, из * 1 (напомним, что мы рассматриваем кубы с ребрами, параллельными осям координат). Тогда имеет место оценка Сар^0 П В) ^ А8Л-п.

Доказательство. Куб Q0 пересекает все Им, начиная с некоторого Имо. Пусть дм — сумма функций д,, таких, что В, содержатся в Q0, и центры В, принадлежат Им. В силу свойств (1) и (2) функций д,, при всех достаточно больших т функция

м0+т-1

0 = т Е 9м

т

м=м0

обладает следующими двумя свойствами:

(1) Со(д) ^ А1в'-1; (2) ||д||ьто ^ А3вп-1. В силу определения емкости отсюда следует утверждение леммы. Лемма доказана.

Вернемся к построению примера 1. Возьмем X = Ц(0,10) \ В. Ясно, что внутренняя граница X совпадает с И0.

Пусть куб Ц не пересекает И0, тогда оценка Сарь(Ц \ X0) ^ АСарь(2Ц \ X) следует из возможности равномерного приближения с любой степенью точности функции к, допустимой для Ц\Х0, допустимыми функциями для 2Ц\Х (этот факт стандартен, так как Ц пересекает лишь конечное число шаров Bj: к представляется в виде суммы локализаций А. Г. Витушкина [2, гл. 2, §1] в масштабе minr(Bj), и применяются леммы 5 и 8).

Пусть Ц пересекает Д0; если Ц также пересекает границу Ц(0,10), то, очевидно, что Сар ь(2Ц \ X) ^ А1(в(д))а-п, и следовательно, Сарь(Ц \ X0) ^ АСарь(2Ц \ X).

Наконец, в случае, когда Ц пересекает И0 и содержится внутри Ц(0,10), из леммы 13 легко следует оценка Сарь(2 Ц \X) ^ А^^Ц))'-"".

Таким образом, в общем случае имеем Сар Ь(Ц \ X0) ^ АСарь(2Ц \ X).

дЕ

Для Е из (1.1) возьмем f = —— * Хо0, где Х(-) — характеристическая функция. Так как

ох'

п (порядок оператора V) больше двух, то f Е С (К'1); ясно, что f Е к^^).

Осталось показать, что f Е Н(X, V). Возьмем функцию < Е С^К), такую, что Яр1 << С Ц(0,5), < = 1 на Ц(0, 2) и ||<9а<||ьто ^ А при |а| ^ п. Аналогично, для каждого шара Bj возьмем функцию <j Е С^К), Spt<<j С 2Bj, < = 1 на (3/2)Bj и Цда<Ць^ ^ А(г^))-|а| при М ^ п.

Рассмотрим функцию ^ = Ь(ха<) — Е{ув^св} L(хd<j). Ясно, что

„ œ œ

/ lß(x)ldmx ^Аг + А2 ^ 10-N ^ (r(Bj))d-n ^ А1 + A3 ^ 10-N < œ.

^Q(0,5) N=1 Jj:a,eDN} N=1

В силу построения имеем равенство ^ = 0 на объединении (3/2)Bj и всюду вне Ц(0, 5). Поэтому для любой функции Е Е Н(X, V) выполнено равенство / Е(х)/1(х)йтх = 0.

Л <3(0,5)

Чтобы убедиться, что / Е Н(X, V), осталось показать, что / ¡(х)ц(х)йтх = 0.

¿<3(0,5)

Т . дЕ .

Так как г = —— * Хоо, то для всех 1 имеем: охл

/ /(х)L(хd<j (х))йтх = (—1)п(Ь/|хd<j) = 0,

¿Я(0,5)

следовательно, / ¡(х)ц(х)йтх = (— 1)п^{|х'<). Так как << = 1 на Ц(0, 2), в силу (2.5)

¿<3(0,5)

и (2.6) имеем: —( V/|х'<) = Хо0 (х)йх1... йх'-1 = 1.

ш0

Таким образом,

/ f(x)/i(x)dmx

IQ (0,5)

1. Построение примера 1 завершено.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986.

2. Витушкин А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений // УМН. 1967. Т. 22. No. 6, С. 141-199.

3. J. Deny Systèmes totaux de functions harmoniques // Ann. Inst. Fourier. 1949. V. 1, P. 103-113.

4. Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле // УМН. 1941. No. 8, С. 171-231.

5. R. Harvey, J. Polking A notion of capacity which characterizes removable singularities // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 169, P. 183-195.

6. J. Mateu, Y. Netrusov, J. Orobitg, J. Verdera BMO and Lipschitz approximation by solutions of elliptic equations // Ann. Inst. Fourier. 1996. V. 46. No. 4, P. 1057-1081.

7. Мазалов М.Я. Критерий равномерной приближаемости на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений // Матем. сборник. 2008. Т. 199. No. 1, С. 15-46.

8. P. Gauthier, N.N. Tarkhanov Degenerate cases of uniform approximation by systems with surjective symbols // Canadian Journ. Math. 1993. V. 45. No. 4., P. 740-757.

9. Гончар А.А. О равномерном приближении непрерывных функций гармоническими // Изв. АН СССР (Сер. матем.). 1963. No. 27, С. 1239-1250.

10. Лысенко Ю.А., Писаревский Б.М. Неустойчивость гармонической емкости // Матем. сборник. 1968. Т. 76 (118). No. 1, С. 52-71.

11. Тарханов Н.Н. Равномерная аппроксимация решениями эллиптических систем // Матем. сборник. 1987. Т. 133 (175). No. 3, С. 356-381.

12. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

13. R. Harvey, J. Polking Removable singularities of solutions of linear partial differential equations // Acta Math. 1970. V. 125, P. 39-56.

14. Тарханов Н.Н. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск: Наука, 1991.

15. J. Verdera Cm approximation by solutions of elliptic equations, and Calderon-Zygmund operators // Duke Math. J. 1987. V. 55, P. 157-187.

16. Парамонов П.В. О гармонических приближениях в С1-норме // Матем. сборник. 1990. Т. 181. No. 10, С. 1341-1365.

17. Мазалов М.Я. О задаче равномерного приближения гармонических функций // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23. No. 4, С. 136-178.

Максим Яковлевич Мазалов,

Национальный исследовательский университет

"Московский энергетический институт

Смоленский филиал,

Энергетический проезд, 1,

214013, г. Смоленск, Россия

E-mail: [email protected]