Дискретные гельдеровы оценки для одной разновидности параметрикса. Ii Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 9. № 2 (2017). С. 63-93.

УДК 517.518.1

ДИСКРЕТНЫЕ ГЕЛЬДЕРОВЫ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОДНОЙ РАЗНОВИДНОСТИ ПАРАМЕТРИКСА. II

Аннотация. В предыдущей статье этой серии мы ввели некоторый иараметрикс и отвечающий ему потенциал. Параметрикс соответствует равномерно эллиптическому дифференциальному оператору второго порядка, имеющему локально непрерывные по Гёльдеру коэффициенты в полупространстве. Здесь мы показываем, что потенциал является приближенным левым обратным оператором к дифференциальному оператору по модулю взятых по гиперплоскости интегралов, с погрешностью, оцениваемой в локальных гёльдеровых нормах. В качестве следствия мы приближенно вычисляем потенциал, плотность и дифференциальный оператор которого возникают из распрямления специальной липшицевой области. Это следствие предназначено к будущему выводу приближенных формул для гармонических функций.

Ключевые слова: кубическая дискретизация, липшицева область, локальные гёль-деровы нормы, параметрикс, потенциал, распрямление.

Mathematics Subject Classification: 35А17

Пусть Лд — множество всех равномерно эллиптических дифференциальных операторов второго порядка в верхнем полупространстве (п ^ 2), имеющих постоянную эллиптичности А ^ 1 и локально ^-гельдеровы коэффициенты, 0 < ^ < 1. В работе [1] предложен ^-параметрикс Е(А; х, у) (сокращенно: параметрикс) оператора А Е Лд, а для соответствующего потенциала

установлены оценки локальных гельдеровых норм ||DaФf ||/ (|а| ^ 2) и ||Д/1|/ через такие же нормы ||/1|где $ м Я/ = / — АФ^ — оператор невязки.

Параметрикс Е(А; х, у) и потенциал Ф/ введены с целью изучения одной специальной гармонической функции. Пусть П — надграфнк липшицевой функции ш : М"-1 м К. Из леммы 3.7 в [2] и свойств преобразования Кельвина следует существование и единственность с точностью до положительного множителя функции и со следующими свойствами:

Функция и с точностью до эквивалентности определяет поведение произвольных положительных гармонических функций, непрерывным образом принимающих нулевые значения на части границы липшицевой области. В самом деле, любые две такие функции, грубо говоря, сравнимы между собой по граничному принципу Гарнака, Для примера см. теорему 5.1 в [3].

Наметим план изучения функции и. Обозначив

А.И. ПАРФЕНОВ

1. Введение

U Е С~(П) П С(П), AU = 0и U> 0 в области П, U= 0.

U =iU о g)ip

A.I. Parfenov, Dicrete Holder estimates for a certain kind of parametrix. II. © Парфёнов А.И. 2017. Поступила 15 марта 2016 г.

для подходящих распрямляющего диффеоморфизма д : ^ Пи срезающей функции <р Е С™ , го уравнения Лапласа Аи = 0 получаем дифференциальное уравнение

Аи = ЬОпи + Ь'

для некоторых оператора А Е Л^ и фупкций Ь,Ь' Е СЗдесь А и Ь зависят от П и д, но не от ^ и Если функция ш финитна, а ее постоянная Липшица достаточно мала, то можно придать смысл ряду Неймана

я = £ пк

к=0

Граничное условие и|ж„ = 0 и ограниченность носителя функции и являются предпосылками справедливости интегрального представления

и = ФР, Я = дАи = (^(уЬ + Ь'), V = Впи = ВпФР.

Для функции х-1 (ж) = х-1 и числа ь0 запишем

V = х-1ФР[ПпФь — х-1Фь + 1}

Б(х) = Иш < 1п г--I Iх — У1 п , х Е П,

+ РпФр_щЬ — Хп 1Фр-у0ь + {РпФь — Хп 1Ф ь }{уо — Хга 1Ф^}.

©1 ©2 ©3

Оказывается, что в & хпОп(8 о д) где

Г(п/2)

/у€Кп\П: 1Х-у1<г

а ошибка аппроксимации квадратична по аппрокеимационным числам Ь/, выражающим степень локальной близости поверхности дП к гиперплоскости, Можно взять ь0 так, что слагаемое в1 оценивается квадратично, а выражения в2 и вз — линейно по Ь/, откуда ^^ & Оп(8од) с квадратичной ошибкой, Обобщив рассуждения и определение функции Б на случай не обязательно финитной функции ш с любой постоянной Липшица, с помощью поворотов системы координат получим приближенную формулу

" ^ " " " (!)

интегрирование которой доставляет экспоненциальную асимптотическую формулу (ЭАФ)

и & иоея.

Об известных ЭАФ для конформных отображений, ЭАФ для решений эллиптических систем и асимптотике положительных гармонических функций см, работы [4] [8].

Настоящая статья посвящена реализации части намеченного плана, а именно обоснованию для формулы в & хпРп(Б о д) оценки погрешности, квадратичной по аппрокеимационным числам функции ш. Статья состоит из введения и еще двух параграфов,

В § 2 приближенно найден потенциал Фа/- Основные обозначения даны в п. 2,1 и п. 2,2, В п. 2,3 дискретные гельдеровы оценки из [1] функций ИаФ/ и Я/ дополнены оценкой агрегата РпФ / — х~ 1Ф/, которая точнее оценок функций Ф/ и РпФ / по отдельности, В п. 2,4 производные ИаФа/ и агрегат РпФа/ — х~ 1Фа/ найдены с погрешностями, мажорируемыми через локальные гельдеровы полунормы коэффициентов оператора А и нормы || Д2/1|

В § 3 паре (ш,9), где в ^ |М|ыР, сопоставлен стандартный набор

({'1К },™,Ш,д, 0, <В,А,\,Ь),

относящийся к распрямлению области П, после чего формула в ~ хпОп(8 о д) и ее аналог для производных Ф^ установлены редукцией к п. 2,4, Заметим, что формула для производных Ф^ может оказаться полезной при выводе аналога формулы (1) для производных и.

Соглашения. Буква с (с возможным индексом) обозначает различные положительные постоянные и всегда снабжается в скобках всеми числовыми параметрами, от которых эти постоянные зависят. Для Ь > 0 и куба или шара X С К с центром Сх и произвольной длиной ребра или радиусом положим

IX = |сх + ^ — сх): С Е X}.

Если £ Е К, то = шахг и (если £ не мультииндекс) |£|2 = ^Для мульти-ипдексов а Е М через записываются частные производные вещественной функции /, при этом Dif = /и / = /, где {е} — канонический базис в К. Для

полунормы р и числа q Е N0 пусть

/ ) = шах р(Ба/).

Например, | = шах^^ |Dif | = IV/вде Vf — градиент функции /.Через X и Х° обозначаем замыкание и внутренность множества X С К,

2. Приближенные вычисления с потенциалом ФAf

2.1. Базовые сведения о двоичном семействе. Для целого п ^ 2 введем двоичное семейство V в Мп-1:

V = U ък

'к, kez

"Ск = {! ■ I = [0, 2к)п-1 + 2ка для некоторого a G Zn-1J. Для множеств Д С М"-1 с ограниченным непустым объединением положим

[Ii,I2]= sup \f - ц\

C,vehui2

Обозначим lj = [1,0] при I G 'D (длина ребра). Для a, ft G R пусть

Гы® = Iflj[I, J]-a-i3, I, J GV.

Следующее утверждение суть [9, теорема 2(a)], В нем, как и всюду далее, суммирование по умолчанию выполняется по множеству V.

Лемма 1. Если а > 0 и ft > п — 1, то

£ rff ^ c(n, a, ft), I GV. j

Для I,J G ©скажем, ч то I © J, если h = /j и IП J = 0. Через {IJ, J1} обозначим пару кубов {H1, H2} С © с наименьшим возможным значением величины lHl = 1н2 и свойством

I С Н1 © #2 D J.

Кубы I и J можно соединить цепочкой

IJ = {н GV ■ I С Н С /J или J С Н С J1}.

Зафиксируем ^ Е (0,1^, Для функции / на множестве X С К'1, состоящем более чем из одной точки, положим

U |см(х) = sup

I/(х) - f (у)\

I I и

х,уеХ: х=у р — Уу

7(х) - /(у)\

Lip

sup

:, уех: х=у F — Уу

Обозначим

ЕП = {х = (х',хп) Е Rn: хп > 0},

1+ ги

/ы = I х [//, 2//], I ЕЪ}

с1^ = (с1,311 /22) для центра с1 куба I.

Пусть С = С]Ос(К+), т.е. С состоит го таких вещественных функций /па что и 1с м (10) < ^ Для любо го I еТ>. Положим

и II = т 1с,а 0),

и ||/ = т и-« 0) + и 11.

Очевидна оценка

ИI/ ^ п1/р/||Ь-(Ю), / Е С 1(/и). (2)

2.2. Приведем основные обозначения, связанные с ^-параметриксом Е(А; х, у) произвольного оператора А Е А^.

Пусть — символ Кронекера, Г(-) — гамма-функция Эйлера, а А — множество всех дифференциальных операторов

А = ^ aijDv

(3)

i, 3 = 1

с постоянными коэффициентами а^ = ац Е R. Для А ^ 1 положим

!п

А ЕА: Е Rn) A-1|C|2 ^ £ а^О ^ ХК|2

i, 3 = 1

}

Обозначим через z i единственный угол куба I Е V, обладающий свойством Zi/(2lr) Е Zn-1. Пусть

Iх = {С Е 31: 1С - ЫU ^ 3h/2} (^ I С 21 С Iх С 31), Iы = Iх х [3///4, 3h] (^ Iи С I

Запись Аи означает множество всех операторов (3) с вещественными коэффициентами ai j = aji, Е С. Далее ai j всегда по умолчанию означает коэффициенты оператора А Е А или А Е Аи. Если А Е Аи, то

lAh = Iи max 1а^1сM(jm),

,

A[x]=Yl ai3(x)Di3,

xn > 0,

, =1

Af\х = A[x]f\х, f Е C2(R+)

Положим AUU = {А Е Аи: A[x] Е A\ для всex ж}.

Для I Е V и к Е М0 через I(к) обозначим единственный куб из V со свойствами I С I(к) и 11(к) = 2к //, Легко построить такие функции : м [0,1] класс а что ф0 = 0 и, при к ^ 1,

= 1 на множестве рк = 31(к-1) х (0, 3//(к-1)],

вирр Рк С Рк = (5/(к-1))° х (0, 411(к-1)), ^^к I < с(а)1^, а Е N. Положим также 0— = р0 = Р0 = ^ и

0к = 31(к) х (0, 2^(fc)], к ^ 0.

Очевидно, что

0 к-1 С Рк С Рк С 0к. Легко проверить существование С^-функций фК: м [0,1] со свойствами

3

вирр гфк С - К х

3 / 5 / ' 41к, ^ 1к

К Е V,

$>к(х) = 1, Хп > 0,

к

1БафкI < с(а)Г-а\ « Е N. Для А Е ил>1 х = 0 обозначим

ёе^ = ёе^а^),

Еа(Х)

яа(х) = ^ь

1,3 = 1

/^Ьт1п ®а(х),

} Г(п/2) ( Ч ^ о

I (2-п)2тг«/2^аеЕ1 ча (х), п ^ 3.

п = 2,

Для х,у Е х = у, пусть

= а-1

п пп

+ + ' ' ' + 0"пп£п} ,

—А А

У = У — Уп ,

п А

у А = У — 2упеп, С А(х, у) = Еа(х — у) — Еа(х — уА).

Для А Е А1^ и х,у Е х = у, положим

Е(А; х,у) = ^ аА[с%] (х, у)фк {г(х, у)).

к

где

г (х,у) = х + к1х — у1еп, 1

к

3^4п + 9' У = (У\ —Уп).

В [1] параметрикс Е(А; х, у) был введен с постоянной к0 = 3^1+15 вместо к. 2.3. Выпишем потенциал Ф/ и дискретные гельдеровы оценки для него.

(4а) (4Ъ)

(4с)

(5)

(6)

(7а) (7Ь)

(7с)

Теорема 1. Пусть X ^ 10 < ^ < 1 и А Е А1^. Тогда для любой функции f Е УЬ(0), где

УЪ(0) = { I ЕС: (31 ЕЪ) £ Г^1з Щ ||з < = [ f ЕС :(У1 ЕЪ) £ Г^1з и ||з <

^ _ О и ||з < ^

з

абсолютно сходится и дважды, непрерывно дифференцируем по х интеграл,

Ф/(х)= Е(А; х,у)!(у) (1у,

•}уп>0

причем БаФ/ Е С (\а1 ^ 2) и дм любого I Е V

1-ЧФ/1|/ + ЦОФ/1|/ ^ с(п,Х,^) £Г^1зи||7, (8)

з

1^1ЦОпФ/ — х-1Ф/ Ц/ + ЦБ2Ф/1|/ ^ с(п,Х,р) £ Г^Ц/Из, (9)

7

АФ/1|/ ^ с(п,ХФ) £ Г^И/||з шп\1 + |А|/, £ 1А1Н\ з { Н: /СНСI•7 )

(10)

Замечание. Здесь х-1 — это функция х ^ х,Г11.

Доказательство. Все утверждения теоремы, кроме оценки для нормы ЦРпФ/ — х-1Ф/11, проверены в [1, теорема 5] для параметрикса Е(А; х,у), заданного с помощью постоянной Ко вместо к. Ввиду свойства к ^ Ко рассуждения переносятся па наш параметрикс с минимальными изменениями. Поэтому осталось проверить неравенство

1^1ЦопФ/ — х-1 Ф/1|/ ^ С(п,х,^)£гI0Jra+1)и/Цз. (П)

з

Для функции (р1 из (4) в силу (2), (4Ь) и (4с) имеем

||^1 Цз + ||1 — <М-з ^ 2 + 2п1зЦОр1Иь-(30) ^ С1(п), ЦЫ ||з + ||(1 — Ы/||з ^ С1И! Из, 3 ЕЪ, так что <р1/ Е УЬ(0) и (1 — Е УЬ(0), Аналогично,

||х-%1/И/ ^ Их-1И/ИФ^1/И/ ^ С2(п)1-1ИФ1/ИI.

Если И^1/Из = 0, то З13 П П = 0 ввиду (4Ь) и (6), откуда З13 С П1 и

1-1Г{1}п)1з = //-1гI0Jíl+1)[/, 3] ^ /-1 Г^п+1)[1(1), 3] ^ 4Г/°/1+1). (12)

На основании (8) заключаем

/-1 ЦППФ^1/ — х-%1/И/ ^ /-1 ИРпФ^1/И/ + С2/-2ИФ^1/И/

^ сз^х,^-1 £г^1зИЫИз

^ г/з

з

Г(0,га+1) |

з

Допустим, что для функций

СК (х,у) = Са[с| ](х,у)Фк ^ (х,у)), (К(х, у) = РХпСК(Х, у) — х-\к(Х, у)

при любых х Е I0 и у Е ,10 \ р1 (7 ЕТ1) установлены неравенства

| (к(х,у)| ^ с(п,Х)11Г^-п, (13)

| ЩСк(х,у)| ^ с(а,Х)111-НМ ^ 1. (14)

Тогда ввиду (4а), (7а) и включения (1 — <р1)/ Е УЬ(0) законно от формулы

Ф(1-Ы/(х) = (к (х,у)] (1 — <р1(У))1(У) (1у

¿Уп>0 \ к )

перейти к формуле с абсолютно сходящимся рядом

Вх(БпФ{1-^ — х-1Ф(1-^1) ¡)(х) = БХСк (Х,У)(1 — <Р1 (У))1(У) ¿У,

з,к 0

откуда в сочетании с (2), (7а) и свойством /30 Ц| ¿у ^ 1Г}Ц||7 имеем

1^1\\ОпФ{1-,1){ — х-1Ф(1-,1)/Ь ^ с(п,Х) £||^.

3

С учетом результата предыдущего абзаца получаем (11).

Проверим (13) и (14), Для х,у Е х = у, оценка [1, (23)] имеет вид

| (х,у)\ ^ с(а,Х)уп1х — у11-п-1Х, (а, В) Е N х Ах. (15)

Пусть х Е 10 и у Е 30 \ р1 (3 ЕТ1). Тогда

[1,3] ^ 4 | (х',тхп) — у\ при 0 <т ^ 1, (16)

что легко выводится из неравенства | (х',тхп) — у| > Отсюда

| °А{с%](х,У) | ^

Г1 д

I К (х',ТХп),у)йт

^ с(п,Х)111з[1,3]-

что влечет (13), Пусть а Е {0,е1,..., еп-1}. По формуле Тейлора

г 1

I т2еп(к((х 0

1

IX/-* „Л _ „ I _ глх+2еп

(к (х,у) = Хп тБ2" Ск ((х' ,тхп),у)йт, (17а)

0

(х,у) = хп\ (к((х',тхп),у) йт, (17Ь)

30

0ХпСк(Х,У) = [ {т02е" + хпт203е"}(к((х',тхп),у) ¿т, (17с)

где производные И3 берутся по первому векторному аргументу, В силу (15), (16), (7а), (7с) и формулы Лейбница при х = (х', тхп) имеем

| Б3СА[сВ](х,у)| ^ с(р,\)1з[1, 3]1-п-Щ, №I < 3, (Ш)

| О3фк(г(х,у)) | ^ с(Р)1х — уГ\3\ ^ с(^)[1,3]-\, (17е)

| Б§ (к (х,у) | ^ с(Р,\)1з [1,3]1-п-(Ш)

Поэтому

| Ш*к (х, У) | ^ С4(а)\)111з [1,.!]-п-1-\х| ^ с,1)-Н 1з [1,3]-п-1, (17ё)

| 0ХпСк(х, У) | ^ С5(п, \){1з[I, 3]-п-1 + Ь 1з[I, 3]-п-2} < 2с5Ь[I, 3]-п-1, (17Ь)

что суть (14), Это значит, что неравенство (11) и теорема 1 доказаны, □ 2.4. Вычисление Фа/- Доказательство следующей леммы тривиально.

Лемма 2. Если й Е N / Е С(Ш') и вир^еШг | {(£) 11£ |' < ж, то предел

Иш ! f (0 %

либо существует для всех у Е Ш', либо для всех у Е Ш' не существует. В первом случае его значение не зависит от выбора, у.

Скажем, что Б21 Е УЬ(0), если / Е СЮС(Ш+) и

^г/0"-^ЦБ2/Из < ж для некоторого I еТ>. з

Пусть Р™ — пространство всех полиномов в Шга степени те выше первой, Через (х, у) обозначаем скалярное произведение ХгУг в Шга,

Лемма 3. Пусть Д2/ Е УЬ(0). Тогда

Ж/(•,$ ^ 0 в Ь1ос(Шп-1) при г | 0, (18)

в ¿^(Ш"-1) существует предел f (•, 0+). (19)

Если f (х) = ^(х) при болъших 1x1 для некоторого многочлена, 7 Е то для любых оператора, А Е илм А\ и точек х Е Ш+ и у Е Ш"-1 имеем,

/(х) — ! са(х,у)а/(у) ¿у

¿Уп>0

= х» Иш ! Я7'\х — & 0))№, 0+) % + (ЧъеА)хп. (20)

Замечание. Мы без педантизма пишем /(•, Ь) вместо /((•,£)}. Первый из интегралов в (20) существует по теореме 1, поскольку са(х,у) = Е(А; х,у).

Доказательство. Из условия D2f Е УЬ(0) элементарно следует, что

/ жга|Д2/(ж)| йх < ж

,/Зх(0,1)

для любого компакта 2 С Ш"-1, Пр и 0 <Ь < 1 имеем

t||Df(^Щ ^ гЦр/(•, 1)|Ь1(3) + г |д2/(Ж)| ¿х

</ Зх(4,1)

^ 1)||ь1(п) + Хп^2/^ <1х + хп^¡(х^ ¿X,

(") ЗВх(Ь^) ./Нх(^М)

что при £ ^ 0 доказывает (18), При 0 < ¿1 < ¿2 < 1 выполнено

||/(•М) — / (^Щщ-) ^ I l (х) №

(") Jзх(tl,t2)

< Ь^п/(•, 1) ||Ь1(„) + I Хп | Бпп/(ж) | ¿X + ¿2 / | Рпп! (ж) | йх.

Предыдущая выкладка и критерий сходимости Коши дают (19),

Докажем, что если носитель вирр f ограничен в условиях формулы (20), то

кX) — [ са(х,у)а/(у) ¿у = ®-П/2(х — (Ь 0))f(Z, 0+) %. (21)

>0 Кп/ЧаеЬА ]к»-1

Ввиду [1, (19)] и формулы /Мп ЕА(у — г)А<р(у) йу = р(г), р Е С0°(Кга), имеем

Яа(х — у) — Яа(х — Уа) = — 4ХпУп = <^А(у — х) — <^А(у — хА), (22)

Яа(Х — Уа) = Яа(У — Ха), (23)

Сл (х, у) = СА(у ,х), (24)

[ СА(х, у)А^р(у) ¿у = [ СА(у,х)А(р(у) ¿у = ф), р еС^(Щ).

3уп>0 3уп>0

Если функция f сосредоточена около точки ж, то по регуляризации

1(х) — I СА(х, у) А/(у)йу = 0.

Значит, при проверке (21) можно предположить, что / = 0 вблизи точки ж. В этом случае, рассматривая интегралы по множеству {у: уп > ¿} и используя соотношения (15) | х=0, (18), (19) и ограниченность вирр/, получаем

— GA(x, у)А/(у)йу=^2 аИ DуiGA(x, у)Ву.¡(у)йу

3уп>0 1,3=1 ^уп>0

п „

= X] ЩЧ ^уг ^ А у) !(у)} <1у

г,3=1 ¿уп>° п „

= — X о* ОшСА(х, (£, 0))/(£, 0+)^.

г=1 ^К"-1

С учетом (22) выводим

ПугСА(х, (£, 0)) =СаЯ~ап/2(х — у)Вуг {дА(Х — у) — ЯА(х — уА)}

=( ,0)

— 0)). С=

Отсюда следует (21), т.е. формула (20) с 7 = 0,

При 7 = 0 применим формулу (21) к функции / — 7. Ввиду равенства

7(х) —7(ха ) = (V7 ,хпеА) формула (20) будет доказана, если установить соотношение

7(3*) = Хп-^П2^ Иш ! Я~А/2 {х — ((,, 0))7(£, 0) (25)

Раскладывая 7^, 0) по степеням перемеиной г] = (хА)', видим, что требуется проверить равенства

Шп Г — (г, =0, > = .

Первое равенство получается подстановкой в (21) функции $ = <р(-/г), вде <р Е C°0(R"') <р = 1 около начала координат, с переходом к пределу при г м ж при учете неравенства

| СА(х, у)| ^ с(п,Х)хп\х — у11-п,

которое следует из (15) и (24), Второе равенство следует из соотношений

Я а (хп еА — ('П, 0)) =} ('П, 0) — хпеАА) = Я а {хпеА + ('П, 0)) и леммы 2, Тем самым (25), (20) и лемма 3 доказаны, □

Следующий результат позволяет приближенно найти производные ИаФ а/ потенциала Ф А /и аг регат ВпФА / — х-1ФА /.

Теорема 2. Пусть X > 1,0 <^< 1 А Е Д2/ Е УЬ(0), I ЕV и

в = £ г/зп)1з ( £ |Л|н ) Тз < ж^

з \нe]_7u_) )

где

Т— = {Н ЕЪ: I С Н С 1з & 121 н > }, — = {Н ЕЪ: 7 С Н С ^},

Тз = цв2! Из + [1,3]-1 £ 1н Р7 Ин.

Тогда А/ Е УЬ(0), так что абсолютно сходится интеграл,

Фа/(х)= Е(А; x,y)Af (у) dy, х е R+. Jyn>0

Для, к е N0 и функций {pk} из (4) обозначим,

c — ГИ

c k — c j( к),

Ак — A[ck ], lk(ж) — f (ck) + (Vf (ck),x - Ck), fk — <fkf + (1 - <Pk)lk, f(k) — fk+г - fk.

Тогда, D2fk е VL(0), npи x е IB существуют пределы,

Fk(X) — Ит / Q7k/2{x - (Z, 0))Ы£, 0+) dt,

^/ydetAk ^W|f-ckl<r k функции Fk принадлежа am С 2'ß(Iи), ряд

<x

р—e Fk

k=0

абсолютно сходится в С2'ß(Iи), числовой ряд

<х

7' — E(V(^k+i - lk),eAk) k=0

абсолютно сходится и выполнены неравенства

l^1\\nf\\I + \\DUfИ/ ^ c(n,X,ß)0, (26а)

l-1\\D,nnf - x-% \\7 + \\D2nf \\7 ^ c(n, X,ß)B*, (26b)

где

Я/ = ФА/ — У, У = ! — 70 — ХаЯ — 7'ха,

в* = X ( X №) Т-з.

3 \Н ¿Ли-! )

Замечание. Пределы ¡(^к)(-, 0+) понимаются в смысле (19), Из неравенства

в* ^ в/17

в*

Доказательство. Очевидно, что А/ Е С. Для люб ого 3 Е'О

1Ы — а^(с0)\\3 = ||(Из —Щ,(С0^^^ + агз\с^(з0) ^ с(п)\А\з, (27)

\\АI||з ^ \\А1 — А[С0]/\\з + \\А[С§]/\\з ^ с(п)\А\зЦБ2/||з + с(п, \)\\02./||з.

Ввиду условий И2}' Е УЬ(0) и в < ж получаем включение А/ Е УЬ(0) и тем самым абсолютную сходимость интеграла Ф^ f (х) по теореме 1,

Пусть к ^ 0 и С 0к (см. (5)), Рассматривая многочлены Тейлора функции f относительно точек, по которым касаются между собой кубы из множества {Н0: Н Е 1(к).1}, ввиду неравенств

з0) ^ ||7||Ь~(3(Н0)) ^ c(n)||7||L^(нB), 7 Е , и формулы Тейлора получаем оценки

У — 7кЬ-^) ^ с(п) X 1Н||D2f ||L^(Н0),

н е 1(к)з

И/ — 7к)\ЬМ(з0) ^ с(п) X 1 нНО2!Иь-(н0).

н е Ж

С учетом соотношений (2), \И27к\ = 0 и (1(к"))-1 = 1(к заключаем

7к||з ^ с(п) X & НО2!Ин

Н I н е 1(к).з

\\D(f -lu)||з ^ с(п) X 1нIlD2f IIн,

н е Т^З

Iн ^ I/(k) & [I,J] < [I(k),J] < 21 j(fc),

tä IIf-lk ||з + Ijd)\\D(f-Ъ)\\з ^ c(n)[I,J]~1 X 1н №2Дн. (28)

н е 1(к)з

Оценим \\D2( f — HD2 f(k) ||з- Запишем

f — fk = (i— щ)(f — ik), f(k) = fk+1 — fk = {f — fk} — {f — fk+l}.

Если J0 с Qk \ Qk-d т0 1з ^ h(k) и

№J = {1з} U U. Отсюда по (2), (4с), (28) и формуле

Лейбница

l2(k)\\D2(1 — Pk)\\з + h(k)\\D(1 — Pk)\\з + Ii — <Pk 11з < c(n), \| D2(f — fk)\\ , ^ С1('п)Тз.

В силу (4а), (4Ь) и (6)

f — ¡к = 0 на множестве П к-1,

И /к I = 0 на множес тве Ш+ \ П °к,

|Д2/(£)| = 0 на множестве Ш+ \ П°к+1

Следовательно,

0,

\Р2(1 — ¡и)|| з ^ С1Тз,

30 С П к-1, 30 С П * \ ПI _ 1,

И И о2кк) И И з ^

И И Б2/И И з ^ Тз, зв С Ш+ \ п° , (С1 + 1)Тз, Зв С Пк+1 \ ПI_ 1

0.

Ввиду [9, (25е)] имеем [1з, 3] ^ 3[1, 3], откуда для любых Е Ш

г

(а,/3)

з

^ шах{ 1, Эа+/3}Г^)Г^, Н Е ТЗ.

Пусть а Е Ш, /3 > п — 1 и Н Е Тз и Т^. Тогда

[Н, 3] ^ [1з, 3/] ^ 21/з < 24к-11н при Н Е Тз, [Н, 3] = 1н пр и Н Е

г

н з

^ с(п,а)Гнз,13\ о,1 = шах{а, 1}.

В силу (31) и леммы 1 для любого Н е'Р получаем

Отсюда

£ <

з: не!-и-)

^Г?зп)1з [1,3]-1 £ 1н И И Б2! И И н ^ 1н И И О

с(п,а,/3Гн^ ^ с(п,а,/3)Г

н .

н }и-з

|н ^ ¿^ 1нИ н

н г з

з: н ейи-}

(0,га+1)

^ с(п) £ Г^1н И И Б2,

н,

н

в :=^гЪп)1зТз ^ с(п)^гЪп) 1з И И В2! И И з < ж. з з

Ввиду (29) заключаем, что Д2(/ — /к),И2/к,Б2/(к) Е УЬ(0), Далее считаем, что х Е 10, В силу (30)

| | А/(к) И И з ^ с(п,\)(1А1з + 1) 11 11 з, | | Ак /(к) И И з ^ с(п,Х) И И б2^ 11 з,

^ГЧ И И А/(к) И И з + ИАк¡(к) Ь С2(п,Х)^Г^п]1з(1А1з + 1)Тз з з

^ с2{в + в} < ж.

(29)

(30)

(31)

(32)

2

Значит, А/(ь) Е УЬ(0) и Ак/( к) Е УЬ(0), так что определены потенциалы

Фк(х)= Е(А; х,у)А!(к)(у) с1у,

¿уп>0

Ф'к(х)= ! Е(А; х,у)Ак/( к)(у) йу, Ф'1 (х)= ОАк (х,у)Ак /(к)(у) ¿у.

3уп>0

Ввиду (8), (9), (29) и (30) ряды

те те те

Ф = £ Фк, Ф' = £ Ф'к, Ф'' = £ Ф'1

к=0 к=0 к=0

абсолютно сходятся в С2,^(10), а потенциал Фа(/-/к) стремится в С2,^(10) к нулю при к ^ ж. Учитывая соотношение f0 = 70 Е Р^, на 10 получаем

-1 -1

+ £ Ф = ФА(/-/,) + £ Ф = Ф. к=0 \ к=0 /

Ф А/ = Ф А(/-/,) + ¿^фк к=0

По лемме 3 пределы Як (х) существуют и

¡(к) — Ф'1 = хпЯк + (У(7*+1 — ъ ),еА )хп. В частности, Як Е С2,^(10). По формуле Тейлора

| V(7fc+l — 1к) | ^ с^к) {|| D2f И И т + И И Д2/ | |/(к+1)},

те

^(ъ+1 — 1к ),еАк) | < с(п,Х) £ Г^1з И И Д2/ 11 з < ж,

к=0 з

то есть ряд 7' абсолютно сходится. Абсолютная сходимость ряда Я вытекает из соотношения ¡(к) |/0 = 0 (к > 1) и абсолютной сходимости рядов Ф'' и 7', На кубе 10 выполнены тождества

те

* = /—70 — уч/ю — ф: } = f—70 — /(0) + ф'' = Ф'',

к=0

Ц. = Ф- ф:

Нам осталось проверить неравенства (26), Если С П к+1 \П°к_ 1; где к > 0, то 1з = I(к) или 1з = I(к+1\ так что ск Е (1з)0, Аналогично (27) имеем

(ск)|з ^ с(п) Ин,

не{/] }и-з

Ц(А — Ак)/{к)Ц ^ с(п) I £ 1А1н I | | | | з.

\не{/^ }и-з /

С учетом (30) и теоремы 1 получаем

I-1 И И Фк — Ф'к И ИI + || ДФ* — Ф'к ^ с(п,х,^)вк, 1^1ЦОп(Фк — Ф'к) — х-1 (Фк — Ф'к)|1 + Ц02(Фк — Ф'к)|1 ^ с(п,Х,ц)в*к,

где

= £ гй*»г, I £ \А\н I ъ

J: JBCQk+1\Q°k_! \нefjuli

вк = £ Г^ I £ \А\н ) Тз.

з: з0С0к+1\01-1 \неТзи-з )

Ф Ф'

1-1ЦФ — Ф'|7 + \\В(Ф — Ф')\\7 ^ с(п,\,/1)в, (33а)

1^1\\Оп(Ф — Ф') — х-1(Ф — Ф')\7 + \\02(Ф — Ф')\7 ^ с(п, \ф)в*. (ЗЗЬ)

Положим

%к = {К Е'Р: ск Е (Iдля некоторого ] Е М0, к — 1og2(6/к) < j ^ к}. Для любых ( к, К) Е М0 х V покажем, что

если фк^(х, у))Ак/(к)(у) = 0 для некоторого у Е К+, то К Е %к. (34)

Пусть верна посылка в (34), Тогда у Е 0к+1 \ 0к-1 по (30), откуда

\х — у\ > хп ^ //, к = 0,

\х — у\^ шах{\х' — у'\^, уп} > I!(к-1), к = 0, \х — у\2 ^ (п — 1)\х' — у'Ц + (хп + Уп)2

^ 16(п — 1) 121(к) + (21! + 41!(к) )2 < К-2121(к), 11 < 11 + '2Ь(к) < г(х, у)п = Хп + к\х — у\ < 211 + 12(к) ^ 312(к). Поэтому найдется ] такое, что 0 ^ ] ^ к и

^(х, у) Е х (1/С0, 31 ^) П впррфк. Имеем 11Т(к) < Z(х, у)п < 31та), так что к — \og2(6/к) < ]. В силу (7а)

т п -к = 0 & - ^ ^ ^ 2.

2 ^ 2 I к

Легко убедиться, что это дает включение с К G (IМы доказали (34), Из соотношений (7Ь), (30) и (34) следует, что

ф'к(х) — ф (х) = Y о ] У) — GAk (х, У))фк (Z (х, у))Ак f(k)(y)dy. (35)

кeuk Qk+i\Qk-i

Если Jи С Qfc+1 \ Q°k_1; то IJ = /(fc) или IJ = I(k+1\ откуда

I С IU) С I(k) С IJ & lT0) > ^h(k) ^ hj & IU) G fj

6 12

для любого индекса j из определения множества 'Нк. Поэтому

max max Iа,ц(сК) — aij(ck)| ^ c(n) У^ \А\н, JB С Qfc+1 \ Q°k_ 1, (36a)

г, j=1,nK^Hk

н eiJ

\\Akf(k)\\j ^ c(n,X)Tj, (36b)

дискретные гельдеровы оценки.

77

где второе неравенство тривиально следует из (30), Из (35) и (36) несложной модификацией построений работы [1] выводятся оценки

г-1 11 Ф'к — Ф'1 И ИI + Щф'к — Ф1)1 ^ с(п, х,^)вк, Ц02(Ф'к — Ф£)||, ^ с(п,А,М)в*к.

(37а) (37Ь)

(В [1, п, 2,1] записана оценка производных функции Грина (см, (15)), которая в [1, п, 2,2] применена к оцениванию норм | | ВаФ| | где функция Ф аналогична потенциалу Ф/. Параллельно в [1, п, 2,1] получена оценка производных разности СВ1 — Св2-, примененная в [1, п, 2,2] для оценивания нормы | | f — АФ | | / невязки f — АФ. Эти две линии рассуждений легко скомбинировать, получив неравенства (37),) В силу (12) и (37а)

1-1Цвп(Ф,0 — Ф0) — х-1(Ф0 — Ф0')||, ^ с(п,Х,^)в

0

Поэтому если установить неравенство

1^1ЦВп(Ф'к — Ф'1) — х-\Ф'к — Ф'1 )|1 ^ с(п, Х)в*к (к > 1),

(38)

то из сходимости рядов Ф' и Ф'' в С2^(I0) и соотношений = Ф — Ф'' (на 10) и (33) получим требуемые оценки (26),

Пусть к > 1, З0 С П к+1 \ П°кх = (х',тхп) для 0 < т ^ 1, у Е З0 \ ^ и К Е Чк. В силу [1, (23')], (16) и (36а) имеем

В?(СА{ф,у) — 0Ак(х,у)) ^ с(Р,Х)уп1х — уГ^1 £ Ин

^ с(Р,Х)1з[1,3]

1-п-\

н е^з

Е 1А1н,

н ей

^ 3,

что можно рассматривать как аналог неравенства (17< I). Для функций

$к(х,у) = {рА[<п](х,у) — САк(х,у))фк {г(х,у)), (x, У) = Пхп$к(Х, у) — х-15к(Х, у)

имитация выкладок (17) доставляет оценки

| В?6к(х,у) | ^ с(Р,Х)1з[1,3]

ОахЬК (х,у) | ^ с^^^Нз а,^-1^ 1А1н, а Е^еи...^^ }

1-П-\

Е 1А1н,

н е!-

н е^з

| Охп5*к(х,у)| ^ с(п,Х)1з[1,3]-п-1 £ Ин.

н ей

Ввиду (4а), (35), (39) и включения Ак¡(к) Е УЬ(0) справедлива формула

(39)

(40)

(41)

В«(Вп(Ф'к — Ф1) — х-1 (Ф'к — Ф" ))(Х)

Е

з,К: з0сПк+1\Пк_1 и КеНк

<з 0\Р1

ВХ;8*К(х,у)Ак/(к)(у) Зу, М ^ 1,

где ряд абсолютно сходится. Отсюда с учетом (2), (36Ь), (40) и (41) получаем оценку (38),

□

3. Стандартный набор и вычисления с потенциалом Фь

3.1. Стандартный набор и потенциал Ф Сопоставим липшицевой функции ш : К"-1 м К ее надграфик П и аппроксимационные числа Ьг.

П = {х = (х', хп) Е К1: хп > ш(х')},

1/2

X ^ — 7^)

Iа +1 | шт^ \ш — 7\2^ | , I ЕV.

Введем ряд вспомогательных понятий, предназначенных для изучения гармонических П

Теорема 3. Для, К Е V пусть 7к Е Р™-1 — многочлен со свойством

/ \ш — 7к= шт I \ш — 7\2^.

3к 1еР\-1 ] к

Для разбиения единицы {фк} из (7) положим

т(х) = (х)7к (х'), х Е К

п

к

Тогда функция ш принадлежит Слипшицева и

, 0+) = ш(0, ^Е Жп-1. (42)

Возьм,ем, постоянную в ^ ЦшЦ^р- Тогда для любого I еТ>

VI\ < с(п)в, (43)

ЬТ ^ с(п)в, (44)

т < С(а) 111-1х1 Ъ:, а Е {0, еь..., еп-1}, (45)

ЦБ^Ц^т ^ с(а) 1)-И в, а = 0. (46)

Существует такое Ш = с(п, в), что для отображения х' : х м х'

Цш — 71Ц (51) < Ш1:/3, 1ЕЪ} (47)

— 71 о х ^ Шь/3, I ЕV, (48)

отображение д : К+ м К1 вида, д(х) = {х', дп(%)) с функцией

дп = ш + Шхп

является, диффеоморфизмом К+ на, П, а обратный диффеоморфизм 0 = д 1 представим формулой

5(У) = (У', &(У))

с липшицевой функцией в Е Сте(П), удовлетворяющей неравенствам

\\(Вхв) о д\\^ с(а, 9)1 ^Ьт, И > 1, (49)

\\(Охв) о д\\ь^) ^ с(а, в)1 ]-\х\, а = 0. (50)

Оператор

А = X ^А» + (д)°гп + (д)От^ +

принадлежит АД для некоторого Х(п, в) ^ 1 и любого 0 < ^ < 1. Выполнены неравенства \A\i ^ с(п, 9)bi, (51)

п

\\L\h ^ с(п,в)1-1Ъ! для L = -(AG) о g = - G) о д. (52)

г=1

Назовем {{ук},^,Ш,д, 0,&, А, Х,Ь^ стандартным набором пары (и, в).

Доказательство. Очевидно, что т Е Элементарно проверяется (достаточно рас-

смотреть одномерные двоичные интервалы), что

3

если (I х)° П - К = 0 и lK е [li/2,1/, 2lj}, то К С 51.

Отсюда аналогично [10, п. 2.7] выводятся свойства (42)-(46) и оценка

- ll\\l~ (5/) ^ С1(п,в)1];, I EV.

Липшицевость w следует го неравенств (46) с \а\ = 1.

В силу (7а) и (7Ь) функция w совпадает с многочленом о x' в некоторой окрестности точки (cj, 11lj/8) е I®. По (45), формуле Тейлора, выпуклости параллелепипеда I® и (44) получаем

\\w — 'ji о x'\LTO(7H) ^ c(n)libi, (53)

\\w - о x'\LTO(jH) ^ C2(n, d)li.

Непосредственно из (46) имеем \Dnw\L^(R^) ^ с3(п,в). Положим

W (п,в) = 3тах[с1,с2,сз}.

Неравенства (47) и (48) тривиальны. Требуемые свойства отображений g и 0, включая оценки (49) и (50) на G, выводятся с учетом теоремы 2.5 из [10].

Постоянная билипшицевоети отображения g меньше некоторого числа с(п, в) ввиду (46) и (50). Отсюда для некоторого Х(п,в) ^ 1 легко вывести условие равномерной эллиптичности А[х] е Да, см. [9, с. 100]. Поэтому А е ДД. В силу неравенств (46), (49) и (50) имеем

\\Daij\\ l^(^) + \\L||l^(i^) + h\\DL\\l^(i^) ^ c(n,9)l-1bI.

Отсюда (51) и (52) получаются по аналогу оценки (2) для множества I®. □

Замечание. Оператор А и функция L таковы, что для любой гармонической в области Q функции U выполняется уравнение A(U о g) = LDn(U о д).

Ограничимся в остальной части параграфа функциями ш е LIP.

Определение 1. Множество LIP состоит из липшицевых функций

Rn-1 ^ R,

каждая из которых совпадает на дополнении некоторого компакта с .многочленом из РП-1.

Изучим, что теорема 2 дает применительно к потенциалу Ф aw-

Лемма 4. Пусть ш G LIP u I G V. Тогда

®1 ■= £ rff bj < ж,

в2 := £ Г?зП)Ьз < ж, з

в2 := £ г^ъз < ж. з

Для постоянной в ^ ЦшЦи^ пусть {{_7к},т,Ш,д, 0,&,А,\,Ь) пары (ш, в). При к ^ 0 обозначим

7к = 71 (к), П, к = Б17к, ..., тп-1,к = Бп-17к. Тогда выполнены неравенства

п+1

||ш — 7к+А 12(51 (к)) + ||ш — 7к ^12(51 (к)) < с(п) 1 /2) Ькк) ,

1А(к) \\7к+1 — 7к\\ (51(к)) + |V(7lk+l — 7к)| ^ с(п)Ькк).

стандартный набор

(54)

(55)

Для, любого ^ G (0,1) и функции f = w верны все предпосылки теоремы 2, а, в обозна-

чениях этой теоремы имеют место соотношения,

0 ^ с(п, 9)02, 0* ^ с(п, 9)1 -10**,

п— 1

А-k — ^^ — — } +

i=1

1к (x) — ik (x'),

Fk (x) — WГ(п/2) lim

1 + En=1 Ts,k

W2

Dn

n/2

(x,ik(x) + Wxn) -(i,ik(0)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

где

ш(к) = шк+1 — шк, шк = 'к ш + (1 — <Рк У/к,

'А (0 = 'к (£, о+).

Замечание. Предел ''к (£) существует ввиду неравенства (4с),

Доказательство. Ввиду (44) имеем bj ^ с1(п, в). Определение множества LIP и определение чисел bj показывают, что

п + 1 п+1 _п + 1

' 2 ^ 1Л1 2 ; 2

bj ^ Ci(u)l- 2 ^ С2(ш, h)lj2 l-

откуда с учетом леммы 1

bj ^ min <j ci,C2lj2 I- 2 \ ^ c{+1ci+111/21-1/2,

n+1 n + 1 2 1 2

n 1 _

01 ^ c?+1C2n+1J2 Г

(1/2,n-1/2) j

< ж.

Соотношения в2 < ж и в* < ж вытекают го неравенств Ьз ^ ^ и в1 < ж.

Оценки (54) и (55) выводятся из вложений 1(к С 1(к+^ С 51(к и простых свойств многочленов аналогично [10, п, 2,7],

n

Условия Л ^ 1 и А Е А1^ теоремы 2 следуют из теоремы 3, По (2) и (45)

з ^ С2(п) ^ 1 Ъз, £ з\\02ыЬ ^ С2в1 < го,

так что В2/ш Е УЬ(0), Из (51), (61) и неравенства Коши

Т] ^ с411 Ьз + С2[1 ,,7]-1 £ Ън ^ 2С21 з1 £ Ън,

не{17 }и/Т не!нинТ

кн<гП и-Т В силу (32)

£ |Л|я | Тз ^ с(п, в)1 -1 | £ Ън ) ^ с3(п, в)1 -3/2 ^ / #4.

Е гЙп)/з/ -3/2 ^ с,(п)г^1 н1/2

з: не!-и-!

£ ГГ1)/-3/2 ^ с^Г^2. з: не^иТз

Следовательно,

в ^ ^Е I Е Г0 аI-3/2 ) IИХ ^ сзс4в2, н Чз: н е^иТ

в* ^ ^Е I Е Г^+1)1 -3/2 ) / н/2^н ^ С3С5/-1в

н Чз: неÍJи^J

-1о * 2.

Мы получили оценки (56) и (57), откуда в < го. Поэтому для функцин / = 'ш выполнены все условия теоремы 2.

В силу (7а) функция IV(х) совпадает с гу'к(ж') в «полуокрестности» точки ск, а функция

&(у) — с функцией у" ^(у) в «полуокрестности» точки д(ск). Это дает (58) и (59). Докажем равенство (60). Из (58) легко проверяется, что

¿еЬ Ак = Ж-2.

Откажемся от индекса к в обозначении чисел Тг,к и коэффициентов оператора Ак. Вводя сокращение тп = Ш, можем записать (58) в виде

т- т- 1 + У"п т2

с с 3 г ^ Г Г '5=1 5

Яу = Оу — Огп — — 0]п щ + ОгпО^п ^ .

Числа

Ь^у у 6 1п & уп + ^^

2

удовлетворяют равенствам

^ ^ 0ijbjq ^ ^ Оij(8jq 8jn8qn + TjTq) 0iq 0in$qn + ^ ^^ 0ijTj ) Tq

i + YT,=i r2

j=i

Tq l~i i / ^

0iq 0in$qn + &in&qn

w 4Sw

-Ii- -5- - — + 5■ 1 + ^S=1 Ts ^ 5 = ö- -ö^-I uin uin ^Y n ^Y2 I ^n iQ m wr'

= ^ — W XT? + (—W+s*

1 + YL! Ts

w2

n 2

s=1 1 s \ _ Uin n

i

n

w

n

\ Л 7 _ Г _ Г Jj^ , "in _

/ y 0ij°jg = °ig — °i'nw + W Tq = °ig.

=l

Значит, (bij) = (оi:?-) \ Вводя еще сокращение (;n = 0 для £ Е Rn 1 имеем

qa^x — , 0)) = £ hj(Xi — &)(Ху — ^)

i, 3 = 1

n— 1 n

= ^(х- — ii? + Y1 nri (xi— &)(xi— ^)

=1

, =1

= IX — tf + (lk (X) — lk (0 + TnXn — TnQ

2

(x, lk (X ) + wxn) — (z, lk (0)

что ввиду (42) и (59) дает (60), Лемма 4 доказана,

В условиях леммы 4 обозначим

Но = {x е1 х R: Xn > l0(X) + 2Wh/3}, Hk = I х R при к ^ 1.

Положим ? = Cj(к), Очевидно, что для х Е Hk существует предел

F(k)(x) = Иш / ^(k)(0 X — {с, lk(0) —ndC

Имеем g(I0) с Hk (ввиду (48)) и {x',lk(X) + WxnJ Е Hk дая x E I0, см, (60), Лемма 5. В условиях леммы, 4 для, (x, £) Е Hk х Rn—1 положим

Г = 2? — £,

1

Mk(x,О = 1 |W(k)(0 X — lk(0) + *)

x

—n Л

(r, lk а *)) }.

Тогда F(k) Е C^(Hk) и для любого а Е Nn

[ ^ | D^Mk(x, ^ ^ с(а, в)bj(к),

D"Mk (x, Od е

D»F Х) = Т(п/2) D F(k)(XX) =

□

(62)

(63)

(64а) (64b)

2

п-1

(65)

Доказательство. Обозначим

X = (?,7к (?)), 2= |х - XI + \у— £\.

Пусть Тк(£) — выпуклая оболочка множества {7к(£), ш(£), шк+1 С К, Докажем, что

если (х, С) Е Нк х Кп-1 и Ь ЕТк(£), причем £ Е 3/(к-1) для к ^ 1,

то | х — (£, Ь) | ^ с(п, 9)2 ^ с(п, 9)11 ( к). = ( )

( = 01 -/к + № + Мк+ъ

поскольку шк+1 = + (1 — ^/к+1)тк+1- Обозначим

г = (^ ((х' ^,

я = 1х — г I + 1х' — £\.

Из неравенств 9 ^ \\ш\\цР и (43) следует, что \\С\\ыР ^ с(п)9, поэтому треугольник с вершинами х, г и (£, Ь) = (^, С,(С)) показывает, что

х

— (е,г)| ^ С1(п,в){\х — г| + |г — (£,¿)|} ^ С1Я.

Разберем случаи £ е 3 I и £ Е 31. Если £ е 3 I, то к = 0 и шк+1(£) = ш(£) ввиду (4а), так что 33 = 0 без умаления общности. В силу х Е Н° и (47) имеем

хп — У°(х') ^ 2ШЬ/3, хп — ш(х') ^ хп — 7°(х') — /3 ^ I/3, я > \х — г\ = 331 [хп — 7°(х')] + 02 [хп — ш(х')] ^ Шь/3. Если же £ Е 31, то \х' — £| ^ // при к = 0 и \х' — £| ^ Ц(к-1) при к ^ 1, откуда

Я ^ тт^/3,1/2} /^к) для любого £. На основании (43), (44), (47) и (55) заключаем

| ш(х') — тк(х')| ^ — II(к)\\ь^(1 (к)) ^ №11(к)/3, | 7к+1(х') —1к(х')| ^ с^^ Ь(к), \Х — г\ ^ |(у, -к(у)) — (х', -к(х1 ))| + |тк(х') — С(х')| ^ с(п, 9) 1Пк), 2 ^ Я + \Х —г \ + \у — х' \ ^ Я + с(п, 9) Ц (к) ^ с2(п, 9)Я,

|х — , $| > С1С-12.

Если £ Е 31, то к = 0 и 7°(у) Е Т°(у), откуда

2 ^ \х — Х\ ^ с1Як_ ^ с1 тт{\¥/3,1}11.

Если же £ Е 31, то \у — £\ ^ 311 /2 при к = 0, \у — ^ 11(к-1) при к ^ 1 и тем самым 2 ^ 11(к)/2 для любого к. Поэтому 2 ^ с(п, 9)Ц(к) для любого и импликация (65) доказана. Если Ш(к)(0 = 0, то £ Е 31(к-1) при к ^ 1 ввиду (4а), так что по (65)

если (х, £) Е Нк х Кп-1 и либо Ш(к)(£) = 0, либо £ Е 51(к),

х — (£, *)|-п ^ с(а, 9)2-п-1а1 ^ с(а, 0)/-(п-|а^ри I Е Тк (О-

то

Отсюда с учетом (54) и неравенства Гельдера получаем

ш(к) = (Хк+1 — 1)(ш — 7к+1) + (1 — <Рк)(ш — 7к),

||ш( к)^Ь1(51 (к)) ^ с(п) 11(к) Ь^ к),

ЩМк (

Х, -)\ь1(5/(к)) ^ c(a, ||ш(к) ¡£1(5/(к)) 1-(к) ^ C(a, о)1 - Цьк к).

(68)

Пусть £ Е Кга"1 \ 51(к) (^ Е Кга"1 \ 51(к)). Тогда ш(к)(0 = 7'к+ЛО — 7к(О Ш(к)(С*) = 7к+1(С*) — 7к а*) ВВИДУ (4Ь), В силу (55) и (66) получаем

ш(к)(0 +ш(к) *)

= 17'к+1(х) — 7к (Х) | < с(п)Ь(к) Ь1 (к),

ш(к)(0 + ш(к)( С*)

Бс

* — {ик (О)

^ с(а, 9)11( к)Ьпк)Е-п-\а\,

где

Ус

Ва

X

X — 7к(0)

- Ва

X

х — (е *,7к & *))

Мажорируя каждое слагаемое по (66), имеем

\Уа\ ^ с(а, в)~-п-\а\, ОСМк (х, ^ Сз(а, в)(11(к) +Е) ~-пАС

^ ъ3( *)^ 73ь!(к)\х — е\1-га-н.

5

5

Соотношения х' € 1С 1(к), X' = х Е 1(к) и£Е 51(к) показывают, что

| , | 4

|тх' + (1 — т)х — £|те ^ 5\х — С\с

| тх + (1 — т)х — (С, г)| ^ Отсюда, из равенства

4

\х — дЛЯ любых т Е [0,1] и Ь Е К.

5^п—1

X — (£, 7к(0) = X — (С, 7к(£*)) и из (71) выводим

\У0\ ^ с(п)\х — Х\\х — С\

—п— 1

\У0\ ^ шт{с(п)\х — Х\\х — 0-п-1, с(п, в)Б-п} ^ с(п, в)\х — Х\1 | Мк (х, С) | < с(п, в)(11(к) + \х — Х\)Ь1(к) Е-п,

(\ж — Х\ + \х — с(п) {I!( к) + \х — Х\)

^—п— 1

1

'\Т-а\>511(к) /2

| Мк (Х, •)\Ь1(Кп-1\5/(кУ) < С^ д) ЬТ (к).

(69)

| ш(к)(01 < с(п)(1кк) + \х — ГО V) ^ с(п)\х — 0Ь1(к) ^ с(п)БЬ1(к), (70)

| ВСМк(х, ^ с(а, в) 1цк)ЪТ(к)Б-п-\а\ +с(п)ЕЪцк) \Уа\,

(71)

(72)

(73)

(74)

Оценка (64а) при а = 0 следует го (68) и (74), а при а = 0 — из (68) и (72), Равенство (64Ь) при а = 0 вытекает го (63) и замены переменной £ м а при а = 0 (вместе с утверждением Я(к) Е Сгх(Нк)) — из дифференцирования формулы (64Ь) под знаком интеграла, которое законно ввиду (72), □

3.2. Функция Б и потенциал Ф^. Дадим «качественный» аналог леммы 5 для функций, определяемых объемными интегралами.

и

2

—п

2

— а

— а

Лемма 6. Пусть ш+,ш_ Е LIP, П± = {iG Rn: хп > ш±(х' )} их = х+ — х_ х± ~ характеристические функции множеств Q+ и П_. Положим

Г = 2? —

, , Г х(€,¿)|х — (С,t)\_n + х(£*,i)|x — (С*,t)\_n

jr 2

для (?,х, £) Е Rn-1 х (Rn \ suppx) х Rn-1. Тогда, справедливы, следующие утверждения, (г) Функция Nx,(х, •) принадлежит L1(Rn_1), существует предел

s(x)=Hm Х(У)\х — У\~п

и выполнено равенство в(х) = fRn- 1 Nx (х, £)

(И) Для, любых (?,х,а) Е Rn_1 х (Rn \ suppx) х Nn имеем, включение

Б^Щх, •) Е L1(Rn_1), (75а)

функция s бесконечно дифференцируема, в Rn \ supp х и

Das(х)= i ОахЩ(х, £)%. (75b)

jr,"-1

Доказательство, (i) Для ш Е LIP через х[ш] обозначим характеристическую функцию надграфика функции ш, а через 7[ш] — полином из Pnс которым ш совпадает в окрестности бесконечности. При х Е supp х положим

7± = 7[ш±] & 7 ± = 7± — 7±(х') + хп. Функции х+ и х_ совпадают около х, поэтому найдутся такие ш± Е LIP, что

х+ = х[ш+] = х[ш_] = х_ около х & 7± = 7[ш±].

Из представления х = {х+ — х[ш+]} + {х[ш+] — х[ш_]} + {х[ш_] — х_} видим, что для проверки утверждения (i) достаточно проверить (i) для пар (ш+,ш+^ (ш+,ш_) и (ш_,ш_) вместо (ш+,ш_), Следовательно, достаточно проверить (i) в частных случаях

(a) 7+ — 7_ = const;

(b) 7+ (х') =хп = 7_(х')■

В случае (а) функция у м- х(у)\х — У\_п принадлежит L1(Rn), что дает (i) по теореме Фубини и замене переменных £ ^ = 2х' — В случае (Ь) замена переменных У = (С, t) ^ 2х — у и теорема Фубини показывают, что

Nx' (х, О = 0 для больших значений \х' — £\,

(Зга > 0)(Уг > Г0) f х(у)\х — y\_ndy =i Nx'(х, О <%.

J\x_y\<r jr"-1

Тем самым утверждение (i) полностью доказано, (ii) Для £ Е Rn_1 положим

f х(С*,Ф — (Zt)\_n — х(С*,Ф — (С*,t)\_n

пО = -!-!-^-!-— dt.

R2

В силу равенства — £* = 2х' — 2? нетрудно получить, что sup^ | и(^) |\£\n < го, v Е L1(Rn_1) и fRn-1 ^(0 d£ = 0. Поэтому свойства (75) с а = 0 следуют из утверждения (i). Случай а = 0 разбирается по образцу леммы 5, через проверку аналога оценки (72) для функции

N?(х, О- ' □

ш G LIP

Г(п/2) Г

S(х) := Sq(x) := lim < lnr —

im < l

-^ix I

жn/2

1уекп\П: lx-yl<r

\x — y\ndy > , х G Q.

}

Предел здесь существует потому, что площадь единичной сферы §га 1 С Кга равна Щ/2)-Функция Б инвариантна относительно сдвигов и вращений области П в очевидном смысле.

Лемма 7. В условиях леммы, 4 пусть Пк = {ж Е К1: хп > шк(ж')} и Бк = Бпк. Тогда, справедливы, неравенства

\\DXS — DaSo\\L~{9{IB)) ^ c(a, bi k), a G N,

к=0

i

\\DX( S og —So о g)l ^ c(a, в) k, \a\ ^ 1,

к=0

1i

\DX(S од —So о g)l ^ c(a, в) £ )3 bi £ I%1)И - bj k), \a\ ^ 2.

(76)

(77)

(78)

Если £ = 0 при \а\ ^ ^ 0 <е ^ 2 щи \а\ = 2, то для, суммы Я ряда '^2Ск=0 Як

те

\\Оа(Я + ШБ од — Ш80 о д)^ ^ с(а, в, е)1 - £ , Н ^ 2.

к=0

( 0 ) С Нк

ЦО*^^^)) ^ с(а, 9)1 Ь1(к), а Е М. Установим второе базовое неравенство

ЦВаР{к) + Ва8к+1 — Ва8к||ь~(я(/0)) ^ с(а, в)1$Ь%), а Е М.

(79)

(80)

(81)

Для х Е д(I0) С Нк пусть у, Я(к), Мк.; X, Е и Тк имеют тот же смысл, что в лемме 5 и ее доказательстве, а функции и в построены по лемме 6 для пары функций (ш+,шА) = (шк+1,шк), Положим

и (0 = Daxx — {01 (О) —DX V(£, t) = DXX — {0шк(0) —DX

х — {0шк (0)

х — (0шк(0 + ш(к)(От

Ввиду включений 1к(0,шк(0) G Тк(0, соотношений (66) (для a + еп), (67), (54) и неравенства Гельдера

| U (О | ^ d(a, в) 11 (О — шк (0II-7H-1 при ш{к) (0 = 0,

\ш(к)и\ < С1 [\ш — 1к+1\ + \ш — 1 \]\ш — 1 \1

Щ-п-1х\-1 в R™"1

I(k)

\\ш(к)и\\L1(5I(k)) < C(a, в)l-kb2l(k).

Аналогичным образом,

| V (£, т) I ^ c(a, в) | ш[к)(0 | l-(:-lxh1 при ш{к)(0 = 0 и 0 ^т^ 1,

^ c(a, 9)1 -kX bj(k).

ш(к) V(•, r)dr o

L1(5I(k))

—n

Отсюда с учетом тождества и |Кп-1\5/(к) = 0 получаем

и{к)(о\и (о + !о 1V ^, г) ¿г} = ^тх^ - (е, ^ (о)

+ , Ш1 х - (а, *)|

ОахМк(х, 0 + (х, О = ^^ (и(0 + [\(£, т)3т}

2

Ш(к)( Г)

/о

1

2 ^^*)+ /0 V(С*, г)3т|,

ИХМк(х, •) + БХЩх, ^ с(а, в)/—(кх1 ь2К.к) + 1

1!(к) и1(к) + 2 Н^Нь1(К«-1\5/(к))

где

в(0 = "(к)(0 [ 1V(£, т)3т + ш(к)(?) [ 1V (Г, т)3т. оо

Пусть £ е Кп 1 \ 51(к). В силу (66), (69) и (70) имеем

V (£, т) Зт

с^ в) 1 Ш(к)(0 1

^ |у -£\п+\х 1+1 ^ ^ и)°1(к)

c(a, 6)1!( к)Ь2пк)

|у -£\п+\х\ +С(П)1Х Ъ1 (к)

1х -гп-н,

[V(£*, Г) -V(£, г)] йт

| 6(0 | ^ Отсюда при а = 0

1161ь1(К"-1\5/(к)) ^ C(а, в) 1-к1 Ь)(к).

Пусть а = 0, так что

V, ^ = ^(к)(От ! ВХпх - + Ш(к)(Ота)

о

V(С, т) = и{к)(С)г [1Пхпх - (ОкЮ + Нк)Юта)

о

Тогда ввиду (69), (70) и (73)

с1 а,

¿а.

| V(£, г) - V(£*, Г)| ^ ^ + с(п)1х - $Ь1 (к) 0таХ116(£, Р)|

6(С, Р) =Ох„х - (^ Шк(0 + Ш(к)(0р)

+ Ох

х - (е,шк (с *)+ш(к)(с »

Рассмотрим середину X соответствующего отрезка:

2Х = (£,Шк (0+Ш(к)(0 р) + (Г ,Шк (С)+Ш(к)(С) р).

В силу соотношений (46), у = ст(к), X = (х,1'к1к = 11(кЬ (48), шк(!^) Шка*) = 1'к(?), Шк+1(0 = 7к+1(£) Шк+1(е) = 7к+1(е*Н44) и (55) получаем

| х - д(с0(к))| ^ с(п, в)| д(х) - с°( к)| ^ с(п, в)12(к),

| д(с3(к)) - X | = | Цс0( к)) + 3 \У11{к) /2 - -¡к(у)| < 2Ш17(к),

X = X + (0, (^+1 (?) - 1'к(У))Р), 1х - XI ^ с(п, 0) (к).

(82)

1'к (О,

п

1

о

1

п

п

п

и

По аналогии с (73) имеем

Б

Хп

—п

Х —{С,Шк (0+Ш(к)(0р) +ОхпХ —{е,Шк Ю+Ш(к)(Пр)

—п

0,

| l 4

|тх + (1 — т)Х — (^, t)| ^ — \у — 0 для любых тЕ [0,1] и Ь Е К,

5у/п — 1

| в(£, р) | ^ с(П)\х — Х\\у — —2 ^ с(п, 9)1!{к) \у — с\—п—2,

| V(£, т) — V(С, т) | ^ с(п, 9)1Т(к)Ьг(,) \у — 0—п—1,

|в(01 ^ с(п, 9)1 тЪ%) \у — 0—п.

Отсюда следует (82) при а = 0, Из неравенства (82) получаем, что

\\ВСМк(х, ■) + БГЩх, ОЦ^^) ^ с(а, 9) Ь2т.

Имеем д(I0) С Н0 С П0 и д(I0) С Р|°=1 П^ (см, (4а)), так что верно условие х Е йиРРХ леммы 6, Поэтому

Бк+1 — Бк = Щ2)8 около любой точки ж Е д(10),

г^П/2

Т(п/2)

Па(Г(к) + Бк+1 — Бк)(х) = ^СМк(х, О + ЩЩ(х, 0]

из определения функции в(х) и тождеств (64Ь) и (75Ь), Это дает (81), По (44), (80) и (81) заключаем

ЦВс8к+1 — ВаБкЦь^ш*)) < с(а, 9) , а Е N.

Ряд из правых частей сходится ввиду в1 < ж, поэтому в Сд(10)) существует предел Бк — Б0), с очевидностью равный Б — Б0. Отсюда следует (76), Дифференцируя композицию и применяя (45), (46) и (76), имеем

\\Ба(Б од — Б0о д)\ь^(1в) < c(a, 111 ь1 (к), \а\ = 1

к=0

1 <х

^(Б од — 80 о д)\\ь^1В) ^ с(а, 9) £ % £ — Ът, М ^ 2.

(а

=0 к=0

С учетом (2), (44) и (76) получаем оценки (77) и (78), В силу (60) и (63) имеем

Як = ШЯ(к) о нк

0

Ьк(х) = (х',7'к(х') + Шхп), хп > 0. Из (2), (43) и леммы 5 следует оценка

Ц^^к)) о нк\\/ ^ с(а, 9)1АС Ь;(к), а Е N. (83)

Для х Е I0 в силу (53) и (55)

| д(х) — кк(х) | = |дп(х) — ккп(х) | = | -ш(х) — 7к(ж')

к

^ | т(х) — 70^ + 170(х') — 7к0*0| ^ с(п)^/ Ь(3)Ькз).

=0

Точки д(х) и кк (х) принадлежат выпуклому множеству Нк, поэтому по лемме 5 и неравенству (81)

°ар(к)\д(,х) -Е>ар(к)\Нк(х)

^ | д(х) - кк (х) |8пр |Дх+е"^(к)| к

^ с(а, 0)1- кХ1 Ьпк) £ и),

3=0 к

Тк,х\\ь™(1 И) ^ с(а, 9)1- кХ'Ъцк) и), (85)

3=0

где

}к,х = (ОХЯ(к)) о кк + (ОХ8к+1 - ОХБк) о д.

Очевидно, что на кубе /и

АДх = К^+^Рк)) О кк ] [Д^ - Ог9р] + ¡кхХ+ерОг9р] . (86)

Р=1

Отсюда с учетом (2), (46), (83) и (85) для любого а е МП заключаем

к

\\Огдр - И к\\/ ^ с(п)^2 Ъ1 а) (то аналогии с (84)), (87а)

=0

\\Ог9Р\\1 < \\Вгдр^(/И) + пЬЦДД^ /И) ^ c(п, в), (87Ь)

к

\\Иг /к,х\ь^(1и) ^ c(а, I -( к1-1 Ьк к)^2 ь1(п,

=0

к

\\ 1к,х\\1 ^ с(а, в)/;£'Ьт £ 2~кЬт, (87с)

=0

к

\\А 1к,х\\1 ^ с(а, в)/¿Х'-1 Ь!(к) £ Ъю). (87с1)

=0

Для функции ¡'к х = Dхfк,0 проверим неравенство

к

7-1Хк ... х .-/ч- ... |а|

\\Гк,х\\1 ^ с(а, 0)1-1X^)^2 2°-к)(1-'Х')Ъю, |а| ^ 2. (88)

=0

При а = 0 оно идентично (87с), а при |а| = 1 — совпадает с оценкой (87с1) для а = 0. Дифференцирование формулы (86) дает тождество

П

Щ/к,о = £{- [(ИрР(к)) О Ък]Иг3дР + ¡к,ерИг39р + (И31к,ер)Иг9Р}

р=1

+ £ [^ад о кк ] ткр - Иг9ршкя.

Р, 9=1

Применяя (83), (87) и неравенства

\\Иг;,др\\1 ^ с(п)/-1 Ь1, \\Drt\\/ ^ с(п, в),

к

£ 2-%«) ^ с(п, в),

3=0

| а| = 2

Для любого 6 е К по (88) и неравенству Коши получаем

/ 2\ 1/2

те I те / к \ \

Е \ ^хЬ ^ с2(а, в)А1/2 ( £д-'х' 2(-к)(1-'Х') Ь^ I

k=Q \ k=Q

(к \ 2 / к \ к ^ 2Ü-k)(1-H)bi(j \ ^ / ^ 2-2je+2(j-k)S | ^ 22.7в+2(.7-к)(1-|«|-,

=Q =Q =Q

где Л = Y^_=Q l—к"^b2j(k). Пусть 5 = 1 при |a| ^ 1 и # = 0 при |a| = 2, так что

j=Q

\ 1/2

_ +11 / _ _ \ E "fk Ji ^ 02^1-^Л1/2 £ 22j(e+1-|a'-)b2lU) £ 2k(-+H-2+2й)

k=0 Vi=Q k=j )

( ~ \ 1/2

^ C4(M, ^/ 2 Л1/2 £ 2J(£)&2(jJ = C4ljsЛ. (89)

Но Л < го в силу в2 < го, поэтому в C2'ß(Iи) абсолютно сходится ряд

__

Е fk,Q = Ei^(k) ° hk + ^k+1 °g - Sk ° g}. k=Q k=Q

Из такой же сходимости ряда F = _=Q WF(k) ° hk (теорема 2) и вышеупомянутого соотношения C_{g(IB))-limk^_(Sk — SQ) = S — SQ имеем равенство

_

W £ fk,Q = F + WS °g — WSq ° g.

k=Q

Оно в сочетании с (89) доказывает (79), □

Вычислим Sq, когда Q — полупространство. Введем функцию расстояния

дш (х) = mini ж — (£,ш(Ш, х Е Rn (90)

Теорема 4. Если ш Е P™-1, то

S = ln дш\q + ап, (91)

где

!п-2

ln2 + J2k212k , п четно,

п-3 (92)

о 2Ш> п нечетно.

Доказательство. При проверке (91) можно считать, что Q = R++ и х = (0,хп). Введем сферические координаты

yi = р cos ф2 cos ф3 ... cos фп, У2 = р sin Ф2 cos фз . . . cos фп,

Уп-1 = р sin фп-l cos фп, Хп - Уп = Р sin фп.

Множество {у Е R: yl... уп-1(хп — уп) = 0} изображается значениями

р> 0, ф 1е (0,п/2) и (п/2,п), 0 < Ш,..., 1фп1 <п/2.

По формуле замены переменных

:= lyeRnKRn . 1х — У^ dy = Í ф COS фC°S-— dp (1ф2...d

J . . + J Р

\x-y\<r

где правый интеграл берется при ограничениях хп ^ р sin фп и р < г. Имеем

Г _3 vol §п-2 п

cosфз ... cosп фп-l dф2 ... йфп-l =---= / п_ l X ,

J(-k/2,tt/2)"-2 2 Г \~)

e(r) = voi§п-2 [ cosn-2ф dpdф.

Jp>0& -ж/2<ф<ж/2: xn <р sin^<r sin^ Р

(Случаи п = 2 и п > 2 надо разобрать отдельно,) Если г > хп, то 0(r) = vol§п-2 Г'/ cosn-2фdф Г ^

Хп J Хп р

г sin ф

2 / г

vol $п-2 I [ln— + lnsin^ cosп-2 ф dф

хп

vo^ñl hl^ + ol =п ь^

2 х п х

( ln — + ln sin ф )

хп

(хп ln Л)

хп

Г/2 (Хп Г \

+ vol Sn 2 (ln sin ф) cosn 2 фdф + 0 1 — ln — I nри r ^ <x>, Jo \ Г xnJ

поскольку f-^ cosn~2 фdф = vol Sn~1 / vol Sn~2. Это дает (91) с постоянной

2 vol S1"2 Г/2п . лл п-2 i 11

=---Г" / (lnsinф) Cos фdф.

vol 1 Jo y n v v

Легко видеть, что o2 = ln2 и a3 = 1. Из интегрирования no частям

г-ж/2 г-ж/2 г-ж/2

п (lnsinф) cosn фdф = (п — 1) (ln sin ф) cosra_2фdф — cosnфdф. Jo Jo Jo

Отсюда an+2 = an + что доказывает (92). □

Следующая теорема — главный результат статьи. 11аряду с теоремами 1, 3, 4 и леммой 7 она предназначена для вывода (1) и родственных формул.

Теорема 5. Для ш G LIP и В ^ \\ш\\ир пусть ({jk},w,W,g, 0, G,A,\,L) — стандартный набор пары (ш, в). Тогда, L G VL(0), а, потенциал,

&l(x)= E(A;x, y)L(y)dy Jyn>o

Г

u функция S = Sq для любо го I Е V удовлетворяют неравенству

Dn^L — х-1фь + 1 — XnDn(S ° g)\\T ^ с(п, в, ^fb]. (93а)

j

Функция q7i ° д положителъна на 1В (см. (90)) и выполнена оценка

Dy {Ф.L — W-1w + Xn[ln6lI °g — S ° д]} ^ ^^ £ T^bj. (93b)

1 ll j

Доказательство. Лемма 4 позволяет применить теорему 2 (к функции f = w) и лемму 7, Тем самым приобретают смысл обозначения f, О, 13, —, Т j, ck, Ak, wk, w(k), Fk, F, 7', Kw, Ф, О% О1; О2, О*, Ti,k, w(k), uk, уk, ts,_ и Sk. Включение L Е VL(0) следует из (52) и соотношения О1 < ж, Интеграл Ф. (ж) существует по теореме 1, Функция q7i ° д положительна на /и ввиду равенства ryI = 7Q и вложения д(Iи) С Н0 (см, утверждение ниже (63)),

Функция U(ж) = хп гармонична в области Q. Отсюда по замечанию к теореме 3 и неравенствам (2), (45) и (52) имеем

Aw = Ад™ = LDngn = LD,™w + WL,

\\Aw — WL\\j ^ \\Dnw\\j\\L\\j ^ с(п, 0)1 -1bj, 3 eV.

По неравенству (9) теоремы 1 получаем

\\WDnФL — Wx-^L — DnФAW + х-1 ФАи,Ь < c(n,e,ß)0*2,

\\WD^l — Di&Aw\\i ^ с(п,в,11)1-1О*2.

Вместе с тем

\ \ ипФа-ш - Х-1Фаш - ИпУ + х-1ф\\г ^ с(п, вф)©*, \\Иг^Фаш - ИгЩ\\! ^ с(п,е,/л)I-162 ввиду оценок (26Ь) и (57) теоремы 2 и леммы 4, В силу (59)

- Х-1Ф = ИпЫ - Х-1^ + Х-170 - ХпИпЯ,

И^Щ = Иг^ - И^ХЯ). По неравенству (79) леммы 7 с е = |а| - 1 е {0,1} получаем

||ХпИпЯ + ХпИп[Шв од-Шв0 о д]^ ^ с(п, в)©2, ЦИг^ХлЯ) + И^ЫШв од-Шв0 о д])Ц1 ^ с(п, в)1 -1©2. При этом S0 од = 1пд11 од + ап на /и по теореме 4, Из тождества

[шИпФь - w — - ипФаш + —) + \ипФаш - — + ХЦ

I, ХП ХП ) ^ ХП ХП )

+ ИпЫ - Х-1^ + Х-170 - {ХпИп^ + ХпИп [WS од- WSо о д]}

= W [ИпФь - Х-1 Фь + ХпИп[1п в11 од- S о д]]

и тождества

^И^Фь - иЦФаш} + {иЦФаш - ИгуЩ + Ицы

- {Иг3(ХпГ) + Иг3(Хп [W S о д - W Sо о д])} = WDij [Фь + Хп[1п въ од-^3 о д]] видно, что проверка неравенств (93) свелась к проверке оценки

\ \ и\\Т ^ С(п,6ф)©2,

где

и = Dnw - xri1w + xri+ W - WxnDn[ln q1i о g]. С учетом формулы о x' = запишем

q7i og = С[gn - n о x!] = С[w + Wxn - 70], С = С(Vц) > 0,

Dnw + W Dnw + W

WXnDn[ln q7i о g] = Wxr

w + W xn -7o 1 + WxT '

и

10 -w

+ Dnw + W -

Dnw + W _7o -w - DnwW-1

1 I WnjQ

1 + Wxn

x i i wnf0

xn 1 + Wx„

На основании (2), формулы Тейлора, (45), (48) и (44) имеем

lo -w w -^o

xn xn

^ \\w - 7o||i||xnii ^ ci(n)bi,

\\Dnw\\i ^ C2('n)bi w - 0

W xn

1

^ -, 3'

1 +

WnjQ

W x„

3 2

^ +

w - 0

W xn

С M (i И)

3 9 c-\_ bI

^ 2 + Щ- ^ С3(П,

\\u\\i ^ [Cibi][Cibi + C2bi]c3Wn1 ^ c(n, d)e*2.

Тем самым теорема 5 доказана.

□

n

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Парфёнов А.И. Дискрет,ные гёльдеровы оценки для одной разновидности параметрикса // Математ. труды. Т. 17, № 1. 2014. С. 175-201.

2. R.A. Hunt, R.L. Wheeden Positive harmonic functions on Lipschitz domains // Trans. Amer. Math. Soc. V. 147. 1970. P. 507-527.

3. D.S. Jerison, C.E. Kenig Boundary behavior of harmonic functions in non-tangentially accessible domains // Adv. Math. V. 46. 1982. P. 80-147.

4. S.E. Warschawski On conformal mapping of infinite strips // Trans. Amer. Math. Soc. V. 51. 1942. P. 280-335.

5. V. Kozlov, V. Maz'va Asymptotic formula for solutions to elliptic equations near the Lipschitz boundary // Ann. Mat. Рига Appl. (4). V. 184. 2005. P. 185-213.

6. V. Kozlov Asymptotic representation of solutions to the Dirichlet problem for elliptic system,s with discontinuous coefficients near the boundary // Electron. J. Diff. Equ. V. 2006. 2006. P. 1-46.

7. V. Kozlov Behavior of solutions to the Dirichlet problem for elliptic system,s in convex domains // Comm. Partial Diff. Equ. V. 34, N 1. 2009. P. 24-51.

8. K. Ramachandran Asymptotic behavior of positive harmonic functions in certain unbounded domains // Potential Anal. V. 41, N 2. 2014. P. 383-405.

9. Парфёнов А.И. Весовая априорная оценка, в распрямляемых областях локального типа Ляпунова-Дини // Сибирские электр. математ. известия. Т. 9. 2012. С. 65-150.

10. Парфёнов А.И. Критерии ра спрямляем ост, и липшицевой поверхности по Лизоркину-Трибелю. Ill // Математ. труды. Т. 13, № 2. 2010. С. 139-178.

Антон Игоревич Парфёнов,

Институт математики им. С,Л, Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, 630090, г, Новосибирск, Россия E-mail: parf enov@math. nsc. ru