Двухвесовые оценки для сублинейных операторов, ассоциированных с дифференциальным оператором Лапласа-Бесселя Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА, МАТЕМАТИКА

УДК 517.44

ДВУХВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СУБЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ ЛАПЛАСА-БЕССЕЛЯ

С.К. Абдуллаев, А.А. Акперов, M.K. Керимов

В работе в терминах интегральных характеристик типа О и Ор локально интегрируемых в р -ой степени

функций устанавливаются некоторые оценки для интегральных операторов типа свертки, ассоциированных с дифференциальным оператором Лапласа-Бесселя, в частности, для сингулярных интегральных операторов, потенциалов Рисса и Бесселя, когда оператор обобщенного сдвига берется по произвольному набору переменных. На базе этих оценок строится двухвесовая Ьр -оценка для рассматриваемых операторов.

Ключевые слова: обобщенный сдвиг, сублинейный оператор, максимальная функция, потенциал Рисса, весовая функция

1. Введение

Пусть Яп -эвклидово пространство размерности п (п > 1), к, т -натуральные числа

Вт+к, к = {х = (х1> -> Хт , Хт+1,-", Хт+к ) • Хт+1 > 0, Хт+2 > 0> -> Хт+г > 0},

р р ( т+к

Ги (х)= Су | ...{ и I Х'" ^ (хт+1, Sm+l )(Хт+1,...,(хт+ к , *т+к )^т+ к Х П ^ ^ ^ Яг ^г

0 0 I г = т+1

-оператор обобщенного сдвига (ООС), порожденный дифференциальным оператором Лапласа-Бесселя ([1]):

m "З2 m+к

i=1 О Xj i=m+1

д Vi д . + _J--

д X X д X

где x = (x', xm+1,..., Xm+k ), ' = (s\Sm+1,•••, Sm+k ' G Rm , V m+1 > 0, ,V m+k > 0> CV -постоянная

такая, что Г'1 = 1, V = (vm+1,...,Vm+k ), И = П m+1 + ••• + V m+k , (X , Si )ai = V Xj ~ 2XS, + ■

и+k

\d x,

i = 1,2,...m

Пусть 1 < р < ¥, ( т (х)=П ( т (х), (т (х)=

г=1 I х]' йх{, ' = т +1,...,т + к,

и со(), ^ > 0 , измеримая почти всюду положительная функция. Положим

Lp\ (wLpv ( R+++k,k)

)<

def

u - изм. u

: LPn (w M =

J |u (x)| P dm (x)

< +¥

, Lp,v (0 - Lp,V .

Пусть 1 < p < q < ¥ . Через Kv (p, q) обозначим семейство интегральных операторов типа свертки

A: u ® Au ° (Au) (x) = J K(s)Г u (x )dm (s)

(1)

где К(^) < ск^\ +k+П а) ,s Ф 0, а = (m + k + П|)---I , ограниченно действующих из L в

Ч p q 0

Lqv . В случае, когда p = Ц операторы A е K(p, p) могут быть и сингулярными, тогда интеграл (1) понимается в смысле главного значения.

Классы Кп (p, ц ) в случае обычного сдвига впервые введены в [2].

Весовые оценки для операторов типа свертки порожденных обобщенным сдвигом, ассоциированным с дифференциальным оператором Лапласа-Бесселя, впервые рассмотрены в работе [3]в случае к = 1.

В работе [4], [5] установлены двухвесовые оценки для операторов классов Кп (p, ц). 2. Основные результаты

Пусть 1 < p < Ц < ¥ . По определению сублинейный оператор А принадлежит классу К (p, Ц), если А : Lpv ® Lqv ограничен и для любой функции и е (я++кк) с компактным

носителем при x £ sup p u

|Au(x)< c J sb Ts|u (x) dm(s),

где ¡3 = -(m + k + \v| - a).

(Unf)(x,t)= an J t(t2 + |y|2) 2

Рассмотрим Bm+k - интеграл Пуассона

m + k + 1+|n

y ) 2 f(y)dm(y), (Unf)(x) = sup(Unf)(x,t),

def

t > 0

Вт+к - максимальную функцию

Мв/(х )= sup В (0, е ) I;1 | Ту\/(х )|(т (у ), В(0, е)={у е Я+т+к ;|у| < е },

в (0,е)

\Е\п =| (т (у), Е с я„

e > 0

> +

Lm + k, k

P

V Rm+k,k

R

m+k,k

R

m+k ,k

Bm+k V - дробную максимальную функцию

a

Mlklv f (x)= sup IB(0,£)

m + k + И

£ > 0 B

J Ty\f (x)| dm (y),

B (0,£ )

m+k V - потенциал Рисса

^k И f (X )= J T

I a -(m + k )- И

<y\x\—^f (y) dm (y).

Имеют место соотношения

Uv f, MJ с Z (p, p ) (p > 1),

MB

f, Iam+k,f G Zv (p, q), 1 < p < q <¥, a = (m + k + VI)

r - - -1

p q 0

В дальнейшем с -постоянная, точное значение, которой нам безразлично, аг = 0 если г е {1,...,т}, аг = Уг если г е {т +1,...,т + к}, Ь = |п| - а .

Основные результаты нашей работы сформулированы в следующих трех теоремах. Теорема 1 . Пусть 1 < р < q <¥, г е{1,...,т + к}, А е Кп(р,. Если

а) ( и ( - положительные монотонно возрастающие функции, удовлетворяющие условию

c = sup

t > 0

x p' «1 (x)

q > q r,

x

x p «(x)

x x

< + ¥ .

(2)

либо

б) « и «1 - монотонно убывающие функции, удовлетворяющие условию

Г r a +1 q ^ q Г

sup

t >0

J «1 (x )x

dx T

i +Л-

J «(x )xp

dl x

< ¥ .

(3)

тогда для функции и е Ьрп ( (О(|хг| ), К++к к ) существует Аи(х) для почти всех х е В++к к и имеет место неравенство

^ r

J |(^u)(x)« (x;| ))d m (x) < c J |u (x)« (x;| )pd m (x)

R

k ,k

q

где постоянная c не зависит от u .

Обозначим через wvp , совокупность пар (w, w1) положительных функций, удовлетворяющих условиям (2) и (3).

Теорема 2. Пусть 1 < p < q <да, i e{1,...,m + k}, A e Kv (p, q) и w(t) , w1 (t) -

положительные монотонные функции на (0, да) . Если (w, W1 ^)ewVpqi , то для функции

u e Lp v ( w(| x\), Rm+k k ) существует A u (x) для почти всех x e R++k k и имеет место неравенство (4).

Теорема 3 (основная). Пусть A e Kv (p, q) 1 < p < q < ¥ , w(t) и w1 (t) - положительные функции на (0, да). Если

1) w , w1 удовлетворяют условию

sup w1 (t)< c inf w(t), t > 0; (5)

t<t<8t t<t<8i

2) (w, w1) e wVp,q,i, то для функции u e Lpv ( w (| x\ ), Rm+k k ) существует A u (x) для почти всех x e R++k k и имеет место неравенство (4).

2. Доказательство теорем 1-3.

Обозначим через Ap v (x,) (a* v (x,)), i = 1, m + k -совокупность измеримых функций,

„ " „2V m+1 ,.2v m+k

суммируемых в p -ой степени с весом xm+1 ...xm+k на множестве

{x e Rm+k,k :| ^ x }({x e R++k,k :| xJ < x}) при любом x >

Для каждого ' = 1,2,...,т + к разобьем Ят+к к на прямую сумму пространств Ят+к—1 г и

Я1, г, где

Я |(_¥, + ¥), г е{1,2,...,т}; 1,г |(0, + ¥), г е{т +1,...,т + к},

а Ят+к_1,г ортогональное дополнение Я1 г в Я++к^ к . Точки пространств Ят+к-1, г и Я1 г обозначим, соответственно, через уг и у г , так что у =Т , у{ ^ . При этом будем

пользоваться также обозначениями и (у!,..., ут+к ) = и , у{ | .

Всюду в дальнейшем СЕ ) -характеристическая функция множества Е с (— да, + да). Положим

их,г (у) = Х[0,х] (1 у! ) и(у)|' и*,г М = Х[х,¥] (1 У.-| ) и(у)I'

u

г»

J ul.{у,.y(jdm{y,0)

m+k-1,

u*,i (y, ) =

J u*,p[у, . у, jd m [yt j

m+k-1,

( ;)() f ux,'• (у)d m (у) т * ( г w ) r (u,x)(x)= J -TJ, 1 b/u'x)(x) = J [

: Rm+k,k 4

u*,,( y)dm( y)

m+k, k

л л

x- yi

+ xJ + x

r+ iix -у,\ + у, +

Rm+k k Ц 1 У U У 1 I

x Г

где х е Вт+к,к, X > 0-

Лемма 1. Пусть

1 < р < q <¥, ( р'> т + к -1, р'= р/(р -1), г е{1,..., т + к}. Тогда для любой функции и е Арп (xi) справедлива оценка,

(6)

1 + at

IP.t (u,x ): Lq,v fc+Jlk cf^ J u;., (у, )d m (у, ), x

> 0,

К; :i у i<;}

постоянная c не зависит от u .

Доказательство. Применяя теорему Фубини и затем неравенство Минковского, с учетом

оценки

r

f |r Л Л

RJ || J |{ R{ x- y,

Rm+k-1, i {^ m+k-1,i

\-b

+ 1 xl + ; I ux,i [ yt.yt Idm|y

q

dm | x

<

<( xi +1)

m+ k-1+bj

J |u;,i ^г.y ^ dm {yt |

получим

def

К =

b, i

(u,X ): Lq,V (Rm+k,k I

1

У

b

г

R

\q Л

J d m (x,) J d m

R1i Rm+k-1,i

J d m (y) J

R1, i Rm+k-1

х,г I yt,y Idm I y

л л

xi- y,

+ 1 xj + X

<

< c

(1+a ^1 f d m (x)

Ус

J (W + f)

?1,i

1 + at

x p J ui,i(yt)dm(y ).

J ul,t (у, )dm (y,)

<

1 1 1 1 т + к — 1 + Ь / ч

Здесь учтено, что г > 1, — =--1—,-- — р = — (1 + аг I

г p' Ц г

Аналогично доказывается

С 1 1Л

— + —

У q )

<0.

Лемма 2. Пусть выполняются условия (6). Тогда для любой функции и е ApV {хi)

справедлива оценка

a +1

q

(' \ll ~- / , m+k-1+bi 3 o

Rm+k,k) <cX q J (|y|+xY^-nuXi(у,)dm(у,), X>0,

постоянная с не зависит от и .

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим случай а). Пусть и е Lpv (с, Д++к к ) •

Зафиксируем X > 0 и представим функцию и (у) в виде суммы и = и1 + и2 , где и1 (у) = С[0,х/2](|Уг|)и(у) , и2 (у) = и(у) — и1 (у) ( ^ и2 (х) = С[|/2,¥)(|х^ )и(х) )- Тогда

и2 е LpV (К+к,к

е Lpv (д++к к ) и А и2 (х) существует почти для всех х е Я++к к . Теперь докажем, что А и1 (х)

сходится абсолютно для всех х е {д

m+k,k : xi \ >

X} .

у А ,_р\ , , р

Отметим, что если Р > 0 , то Т 1х )< с\х — у , и, кроме того, если е {К+к,к : |хг | > Х } и <х /2 , то |х] — > |х] |— |> с (|х | +1), и потому

лл

x- y

i i .Л i i с + xJ + X I < x - y < С1

лл

x- y

+ к|+X

Учитывая это и самосопряженность оператора Тs, получим

Au1 (x)|< J |T1x| "¡1 Iu1 (y )dm(y) < c || u : Lp v (w(|y|)), R

m+k,k

R

1,i

x

b

c

+

x

d m| у,

ЛЛ

x- Уг

+ 1 xJ + ;

bp

J «(| y\)- p d m (y,)

t p

{ R1,i

<+¥ .

Оценим Аи • Ь п (((|хг| )), К++к к . Пусть ( -произвольная непрерывная возрастающая функция на (0, + ¥) , такая, что ( (()< (1 ((), ( (0)< ( (0 + 0) и 3^ (т) •

«q (()=|J yq (t)dt| + «q (0), t e(0, ¥).

Прежде всего отметим, что из (2) вытекает справедливость следующих двух соотношений:

1) «1 (()< c « 1 , t > 0,

2) sup

t>0

ai +1 p

x p y1 (x)

q Tq r t

dx

- ai +1

l ^ «(x)

-p' T dl

x

= c < +¥ .

Учитывая последние соотношения, имеем

Au: Lq.v ; Rm+k,k )l<

J |Au|q J y1 (t)dtdm(x)

+

«1 (0)

J \Au\q dm(x)

= l + /2-

Далее учитывая равенство

J yq (t)d t = J С[0,|x^ ](t)yq (t)d t :

получим

/1 =

J y1q (t) J j A u (x) jq d m (x)dt

xi at

< /1 (1)+/1 (2),

где

p

J

X

X

R

m+k-1. i

p

¥

0

0

0

J Yq (t) J lAix[,/2,.](«))(x)|'dm (x)

: xt>t j

J y' (t) J IA ([0,t/2 ](u))(x) Iqdm(x)

В силу A e Kv (p, q) и 1)

имеем

A (1)< ca

" f2|X^ q I "

J J y1 (t)d t I u (x)|p d m (x)

Rm+k,k v 0 0

<

< c„

л-p f

J |u (x)p w1 ((x,|)dm (x) < ca J |u (x)p wp (x,|)dm (x)

у V Rm+k, k

Оценим /1(2). °чевидно, что A (^[0, N ](u))(x) < cIp,, Vu, 2j(x) при x e{Rm+k,k :Ы >t }.

Положим

At,, ()= ГЛ, (-1)+ul ((), Yi =

[1, если i e{1,2,...,m}, [0, если i e {m +1,...,m + k}.

Тогда

J ul(y,)dm(y,)=J At,,(t)ta,dt.

К,: y, i<t 1 0

Отсюда, учитывая лемму 1, получим

/2 (2)<

J y1 (t )t

ai +1 f

v

J uli (y,) d m (y,)

V R^i+k, k :| у, |<T} _

d t

<

<

J

a, +1 .

y (t)t p' J t A,, (t)dt

q Л d t

a, +1

Положим v (t ) = Y1 (t)t p , g (t) = t pw (t). Тогда в силу 2) выполняется условие

0

0

i T q Г t -

sup| J V(t)|qdt | J g(t)| p dt

' >0 0 { 0

t >0

< +¥ .

поэтому в силу теоремы Харди [5]

J V (t )J g (t )dt

dt

q¥

<c

J| g (t) g (t )| pdt

Полагая теперь g(т) = Ат г (^), получим

/1 (2 )<-

И, наконец, имеем

t p« (()t aAt, i (t)

p T d t

/1 (2 )«

J lu (y^p«p (|xJ)dm(x)

Аналогично, с учетом условий А еКп (р, q) и (о[ (0) < (1 (0), получим

/2 < c c A

J |u (x)|p«p (x i )dm (x)

Таким образом, теорема 1 доказана в случае условия а). Случай б) рассматривается аналогично. Теорема 2 доказывается аналогично.

Доказательство теоремы 3. Пусть и е Ьрп (( (хг К++к к ). Положим

Сг.п = {вт+к,к :2п <|х.|<2п+'} п = 1,2,.... Применяя неравенство Минковского, получим

J | Au (x)« (xj)qdm(x)

<

q

p

j

<

Z J | A (u (у) c[o,r-'](|у, i)) (x)wi (|x, i ^ d m(x)

neZ C,

+

Z J | A(u (у) c[n-i,2n+2](|y, | J(x) wi (K| )\q dm(x)

neZ Ct

+

Z J | A(u (у) c[n+¥](|у,I ^(x) wi (|xiI)q dm(x)

= a1 + a2 + a3

Положим

Чп(У) = u (y) C[0,2n-1 ](|y|).

Оценим сверху а1 . Пользуясь рассуждениями, проведенными при доказательстве леммы 1, получаем

f

a1 <

f

Z J w' (Ix,| )

neZ C, n

q

X

ui, n (y) d m (y)

{yeRm

< 2n

л л

x- y, + 1 xl

d m (x)

<

Z J W t|x,|)

eZ {

neZ R, :2n < x, <2n

m+ k-1+b,

\xA r

*u *n [ yt )dm[ yt)

R-i,r\y, <2n

d mtx,)

<

< c

J (| u (x) |w(x, |)) dm (x)

Аналогичными рассуждениями доказывается, что последняя оценка имеет место

и для аз.

И наконец, оценим а2 .

Так как Ci,n с Rm+k,k: 2n-1 < ki <

2" 1 }= С,' п, то в силу А е К ^ ц) и условия (5),

имеем

а 2 <

^ f \q Л q

Z ep wi (|x I) I J | A(u(y)ccin (|y, I))(x) P dm(x)

neZ VxeC,,n 0 c'tn

<

J

J

J

J

1

J

J

< • с

X I inf wi (Ix\) I j \u(x)l"dm(x)

< cA • с

j | u (x) w () dm (x)

q

q

p

с

p

\ Rm+k,k

Теорема 3 доказана.

The double weighted estimates for the sublinear operators of the wide class including particularly, singular integral operators, Riesz and Bessel potentials, maximal functions, fractional maximal functions, Poisson integrals associated with Laplace-Bessel differential operator, are obtained.

The key words: generalized shift, sublinear operator, maximal function, Riesz potential, weight function

Список литературы:

1. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье. // Успехи матем. Наук. 6. №2 (1951). С .102-143.

2. Абдуллаев С.К. О некоторых классах интегральных операторов в пространствах суммируемых функций. ДАН СССР. 1985 Т.283. № 4. С.777-780.

3. Алиев И. А., Гаджиев А. Д. Весовые оценки сингулярных интегралов, порожденных оператором обобщенного сдвига. Математический сборник. 1992. Т.183. № 9. С.45-66.

4. Абдуллаев С.К., Карамалиев Н.Р. Весовые оценки сингулярных, слабо сингулярных интегралов, максимальных и дробных максимальных функций, ассоциированных с обобщенным сдвигом. Тезисы IV Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону. 28 мая-3 июня 2006. С.44-52.

5. Акперов А.А. Весовые оценки сингулярных и слабо сингулярных интегралов, порожденных обобщенным сдвигом. Вестник Бакинского государственного университета, серия физико-математических наук. 2008 . № 3. С.65-75.

Об авторах

С.К. Абдуллаев - проф., докт., государственный университет Баку, [email protected]

А. А. Акперов - государственный университет Баку, sadig. abdullaev@mail. ги

М.К. Керимов - государственный университет Баку, sadig. abdullaev@mail. ги