Однозначная Разрешимость интегрального уравнения для гармонического потенциала простого слоя на границе области с пиком Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ С ПИКОМ*

В.Г.Мазья1, С. В. Поборчий2

1. Linkoping University (Sweden),

д-р физ.-мат. наук, профессор, vlmaz@mail.lin.se

2. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, Sergei.Poborchi@paloma.spbu.ru

Отыскание решения задачи Дирихле

Дм = 0 в 0, м|г = f, Г = д0

для области 0 С Rn в виде потенциала простого слоя и = Уд приводит к граничному интегральному уравнению для нахождения плотности д в виде Уд = f. Разрешимость граничных интегральных уравнений теории потенциала исследовалась в многочисленных работах при различных предположениях относительно гладкости Г (см. обзор [1], недавнюю работу [2] и имеющуюся там литературу).

Оператор У есть псевдодифференциальный оператор, главная часть символа которого совпадает с главной частью символа оператора (—8)-1/2, где S — оператор Бель-трами на Г. Принимая во внимание этот факт, можно показать, что для достаточно гладкой поверхности Г оператор У-1 отображает (Г) на W2S-1(r) при любом веще-

ственном s.

Если Г £ C0,1, то уравнение Уд = f однозначно разрешимо в классе W2 1/2 (Г) при

1/2

всех f £ W2 (Г) [2]. Разрешимость интегральных уравнений теории потенциала на

плоском контуре с точкой возврата изучалась в работах [3-5].

Настоящей работой мы начинаем исследование граничных интегральных уравнений теории потенциала для многомерной области с изолированным пиком. Мы покажем, что если Г — граница упомянутой области, то потенциал простого слоя С(Г) Э д ^ Уд £ Тг(Г), действующий в пространство Тг(Г) следов на Г функций с конечным интегралом Дирихле на Rn, может быть единственным образом расширен до изоморфизма между пространством, сопряженным к Тг(Г) и самим пространством Тг(Г). Используя явное описание пространства Тг(Г) [6, 7, гл. 7], можно привести необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости уравнения Уд = f в терминах функции, описывающей заострение пика.

Дадим точное определение поверхности Г, с которой далее будем иметь дело. Рассмотрим ограниченную односвязную область 0 С Rn, n > 2, граница которой содержит начало координат, 30 \ {O} £ С0,1, а точка {O} имеет такую окрестность, которая пересекается с 0 или с Rn \ 0 по множеству

{x = (xX, xn) £ Rn : xn £ (0,1), x//^(i„) £ w},

‘Исследования второго автора частично поддержаны РФФИ (грант №08-01-00676-a).

© В. Г. Мазья, С. В. Поборчий, 2009

где f — возрастающая функция класса С0,1 ([0,1]) такая, что f(0) = limt^o ^/(t) = 0, а w — ограниченная область в Rn-1 с границей класса С0,1. Положим Г = д0.

Далее Br (x) означает открытый шар в Rn радиуса r с центром в x, Br = Br(0). Если G — область в Rn, то C0’°(G) есть множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в G.

Обозначим через L2(Rn) замыкание множества C0’°(Rn) относительно нормы II Vu||L2(Rn), где Vu означает градиент функции и.

Лемма 1. При n > 2 пространство L2(Rn) состоит из функций и £ Lq(Rn), q = 2n/(n — 2), для которых Vu £ L2(Rn). Оно гильбертово со скалярным произведением

L2(Rn) Э и, v ^ VuVvdx.

JRn

Доказательство. Пусть W21 q(Rn) — банахово пространство функций в Rn с конечной нормой u ^ ||u|Lq(Rn) + II Vu|L2(Rn). В силу неравенства Соболева [8]

IMUq(R») < const |Vv|L2(Rn), v £ C0TO(Rn),

последовательность элементов C0’°(Rn), фундаментальная в L2(Rn), фундаментальна и в Lq(Rn). Отсюда и из неравенства Соболева следует, что пространство L2(Rn) непрерывно вложено в W21q(Rn). Обратное вложение вытекает из того факта, что C0’°(Rn) плотно в W21 q (Rn). Установим последнее.

Пусть u £ W21 q(Rn ) и пусть n £ C0f(B2), n|Bi = 1, 0 < n < 1. Положим nfc(x) = n(x/k), k =1, 2,..., и проверим, что u аппроксимируется функциями u^ = n&u. В самом деле,

llu — ufc||b,(Rn) < |u|Lq(Rn\Bfc) ^ 0.

Далее

||V(ufc — u)|L2(Rn) < |(1 — nfc)Vu|L2(Rn) + const lllxl 1u|L2(B2k\Bk). (1)

Так как nfc |вк = 1, первое слагаемое в правой части (1) стремится к нулю. В силу неравенства Харди функция x ^ |x|-1u(x) принадлежит L2(Rn), и последнее слагаемое в (1) также стремится к нулю. Остается аппроксимировать функции u^ средними функциями, которые лежат в Gg°(R"), поскольку suppwfc С i>2fc- Таким образом, мы получаем L2(Rn ) = W2, q (Rn ) с эквивалентностью норм. Доказательство леммы закончено.

Введем пространство Тг(Г) следов u|r функций u £ L2(Rn) с нормой |f 11Tr(г) = inf{|Vu|L2(Rn) : u £ L1(Rn),u|r = f } .

Сопряженное к Тг(Г) пространство обозначим через Тг(Г)*.

Пусть H(Г) — пространство функций из L2 ,;oc(Rn) с градиентом из L2(Rn), гармонических в каждой из областей 0 и Rn \ 0. Так как функции из H(Г) имеют порядок убывания O(|x|2-n) при |x| ^ то, верно H(Г) С Lq(Rn), q = 2n/(n — 2), и, следовательно, H(Г) является подпространством L^(Rn).

Н(Г) э и ^ Ти = и|г е Тг(Г)

(2)

есть изометрический изоморфизм между пространствами Н (Г) и ТУ (Г).

Доказательство. Если Ти = /, то функция и решает как внутреннюю, так и внешнюю задачи Дирихле для уравнения Лапласа с граничным условием и|г = /. Существование и единственность такой функции для всех / е Тг(Г) хорошо известны [9, §12], так что отображение (2) взаимно однозначно и сюръективно. Равенство

II/||тг(г) = II^и||£2(яп) следует из того, что минимум интеграла Дирихле на множестве функций, имеющих одинаковый след на границе области, достигается на функции, гармонической вне Г.

Изучим свойства некоторых интегралов типа потенциала.

Лемма 3. При А е (0,1] интеграл

поэтому достаточно доказать лемму в предположении, что х е Г — точка, близкая к вершине пика. Положим х = (у>(.г)у, г), £ = (у>(С)п, С), г, £ е (0, 1), у, п е дш. Пусть еще

! |£ - х|1-”+ЛЙГ(£)

ограничен равномерно относительно х е И”. Доказательство. Если х' е Г — такая точка, что

|х' — х| = шш {|£ — х| : £ е Г},

то

|х' — £| < |х' — х| + |х — £| < 2 |х — £|, £ е Г,

ограничен равномерно относительно х. Имеем

С

1

< С^(г)Л /

1

^Л+1-” < с,

где С — положительная константа, не зависящая от х. Далее, полагая 7 = дш, заметим, что

Так как

|х — £| = (|С — г|2 + Иг)у — <Ж)п|2)1/2 > С(|С — г| + ^(г)|у — (3)

и <Ж) <

Г*'« [ йгчттт-н^-

Л-^(0) Л (|С — г| + ^(г)|у — п|)п 1 Л

Поменяем порядок интегрирования и в интеграле по переменной £ сделаем замену £ — г = £у>(.г). В результате получим

^2(х) < С^(г)Л^ ^7(П) + |У — П|)1+Л-”^- (4)

Еще одна замена 4 = |у — п|® приводит правую часть (4) к виду

С^(г)

Л , й7(п) [1/1у-П| ^

/7 |У — П|”-2-Л ./-1/|у-п| (1 + |5|)”-1-Л ' Таким образом, если п =3 или А = 1, то

^2(х) < с [

|у — п|”-2-Л У-то (1 + И)”-1-Л У7 |у — п|”-2-Л ’

Поскольку 7 — поверхность класса С0>1, последний интеграл ограничен равномерно относительно у е 7, и, значит, величина ^(х) ограничена равномерно относительно х.

В случае п = 3, А = 1 имеем

^2(х) < с^(гМ log(1 + |у — п| 1)^7(п)

■'■у

и выражение в правой части снова мажорируется константой, не зависящей от х.

Обращаясь к оценке ^(х), заметим, что г > £ — у>(С) при £ е Гз(х), поэтому ^(г) > ^(С)(1 — °(1)), где о(1) —положительная бесконечно малая при £ ^ 0. Таким образом, существует константа со > 1, зависящая только от функции у>, для которой у>(С) < с0^(г) при £ е Г3(х). Отсюда

Гз(х) С {£ = С) : 1 < ^(г)-1(С — г) < c0, П е 7}-

Принимая еще во внимание неравенство (3), получим

Мх) < С [ ср(Пп-2(1С [ —---------------------------гг--г^Г <

К>- .1 ; .1 (С - г + Ф)\у - Г]\)п-^ -

{1<(С-2)/^(^)<со} 7

(•со

Л

< сср(г)х Ф'Ы , . 1 ч '

~ ^ ; Л Л (^ + |у — ?у|)" -

< [ й7(»7) р/|у-ч!

|у — п|”-2-^ 1/|у-п| (1 + 5)”-1-Л'

■/7 |У — П| ^ 1/|у-п

Рассуждая как и выше при оценке ^(х), убедимся, что правая часть последнего неравенства мажорируется константой, не зависящей от х. Наконец,

Мх) < С [ < с [ (С-г)х < сопв^

•/С-Ф(С)>;г 'Л — 2)

”- 2

^С-^(С)>г

чем и заканчивается доказательство леммы. Лемма 4. Операторы

|х — у|”-1-Л

/Я" \х ~ у\г'

непрерывны.

Доказательство. Первое утверждение является следствием леммы 3 и известной леммы Шура (см., например [10], стр. 107, лемма 2).

Для проверки второго утверждения положим при х е Г \{0} и у е И”

Г = |х — у |, и1(х) = / Ку)|г1-” Йу, и2(х) = |«(у)|г1-”^у.

Jr<1 Jr>1

По неравенству Коши—Буняковского имеем

и1(х)2 < с I «(у)2г-”+3/2^у, и2(х)2 < с I «(у)2^у, (5)

./Г<1 ./г>1

где с — положительная постоянная, не зависящая от х, V. Интегрируя неравенства (5) и используя лемму 3, получаем

1Ы|ь2(Г) < С 1 2.

Лемма доказана.

Следствие 1. Для и е ^(И”) и при почти всех х е Г верно интегральное представление

и(х) = [ Уи(у)(УжЕ)(х, у)йу, (6)

■/Я"

где Е(х, у) = ((2 — п)|£”-1||х — у|”-2)-1 — фундаментальное решение уравнения Пуассона.

Это утверждение вытекает из леммы 4 и хорошо известной формулы (6) для и е С0°(И”) и х е И”.

Лемма 5. Для V е ^(Г) положим

<ад<*> =I^

Тогда 51 : ^(Г) ^ Ь2(И”) и $2 : ^(Г) ^ Ь21;оС(И”) —непрерывные линейные операторы.

Доказательство. Зафиксируем такое Д > 0, что Г С Вд. При х Є Вд применим неравенство Коши—Буняковского

(5і«)(х)2 < I «(у)2г-и+1/2йГ(у) I г-п+3/2йГ(у), г = |х - у|.

Последний интеграл равномерно ограничен по лемме 3, поэтому

У"(^1«)(х)2йх < с^(у)2йГ(у^ У г-п+1/2йх < с |М||2(Г), (7)

Вя Г г<2Д

где с = с(п, Г, Д) > 0.

В случае |х| > Д имеем

($Н(х)2 < У «(у)2йГ(у) У г2(1-п)йГ(у).

Отсюда

J (^1«)(х)2йх < |М|І2(Г)У йГЫ ^ г2(1-п)йх < с(п,Г,Д) У«УІ2(Г). (8)

|ж|>Д Г г>^8^дВя,Г)

Из (7) и (8) следует утверждение леммы относительно $1.

Для оператора $2 достаточно при д > 0 проверить оценку

/ $2^2йх < с(д, Г, п) / «(у)2йГ(у). (9)

Jв„ -)т

'в.

Применяя неравенство Коши—Буняковского, получаем

л2 ^ [ у(у)ЧГ(у) ! 4Г{у)

(32У)(х) < , . , О I , I т

Уг Iа- — у\п Уг |х-?/|"

Последний интеграл равномерно ограничен по лемме 3, и левая часть (9) не больше

йх

г 7|х|<е |х — у|” 2’

что не превосходит правой части (9).

Последняя лемма позволяет сформулировать такое утверждение.

Следствие 2. Потенциал простого слоя

(У^)(х) = У ^(у)Е(х, у)йГ(у) (10)

является непрерывным оператором: ^2(Г) ^ Н(Г).

Доказательство. Проверим, что существует У(У^) е В2(И”) и при почти всех х е И”

^Уе)(х) = У е(у^Е(х, у)ЙГ(у). (11)

В самом деле, пусть ф Є С^И”). По лемме 5 Уд Є В2і;ос(И”), и теорема Фубини дает

І (Уф)(х)Уд(х)йх = І д(у)йГ(у) / (Уф)(х)Е(х, у)йх. (12)

„/н.п ,/г -/я™

Функция И” э х ^ Е(х,у) имеет в И” локально суммируемые производные, и последний интеграл по И” равен

Ф(х)(УжЕ)(х, у)йх. (13)

•/Я"

При у е Г интеграл от модуля подынтегральной функции в (13) ограничен. Применяя опять теорему Фубини, перепишем (12) в виде

/ ^0)(х)Уе(х)йх = — / 0(х)йх / е(у^жВ(х, у)йГ(у).

■/я" ./К" ./г

В силу произвольности функции -0 е Сд°(И”) отсюда следует, что функция Уе имеет обобщенный градиент в И”, равный правой части (11). Итак, равенство (11) установлено. Поскольку ^жВ(х, у)| < с |х — у|1-”, по лемме 5 верна оценка

|^(Уе)||ь2(Я") < С НеНыг) (14)

с константой, не зависящей от е. Заметим еще, что из включения Уе е Ь21;оС(И”) вытекает принадлежность функции Уе классу Соболева ^^(-Вд) для любого шара Вд. Следовательно, Уе е Вд(Вд), ц = 2п/(п — 2), по теореме Соболева. Кроме того, из (10) вытекает, что Уе(х) = 0(|х|2-”) при |х| ^ то и, значит, Уе е Вд(И”). Из (14) и леммы 1 теперь следует непрерывность оператора У : ^2(Г) ^ В1,(И”). Остается заметить, что при х е Г

ДУе(х) = J е(у)ДжВ(х, у)йГ(у) = 0,

поэтому Уе е Н(Г).

Замечание 1. Объединяя следствие 2 с леммой 2, получаем непрерывность оператора У : В2(Г) ^ Тг(Г).

Для доказательства основного результата работы понадобится еще одна лемма.

Лемма 6. Рассмотрим потенциал простого слоя (10) как оператор У : В2(Г) ^ Н(Г) или как оператор У : В2(Г) ^ Тг(Г). Его образ есть плотное множество как в Н(Г), так ив Тг(Г), а его ядро тривиально в обоих случаях.

Доказательство. В силу леммы 2 достаточно получить результат для пространства Н (Г). Найдем оператор У * : Н (Г) ^ В2(Г) такой, что

(Уе,и)н(г) = ^ У*и)Ь2(г) для всех е е В2(Г), и е Н(Г). В силу (11) имеем

(Уе,и)н(г) = V(Vе)Vudx = Vu(x)dx / е(у^жВ(х, у)йГ(у).

J ./Я" Jг

Я"

С помощью леммы 5 обосновывается возможность перемены порядка интегрирования в правой части, так что ее можно записать в виде

f e(y)dT(y) /" Vu(x)VKE(x,y)dx.

Jr J Rn

Ввиду следствия 1 последний интеграл по Rn есть — u(y), и мы приходим к формуле

I V(VQ)Vudx = — I gudr, (15)

J Rn Jr

справедливой для всех q £ Ь2(Г), u £ H(Г). Итак, V*u = —u|r при u £ H(Г).

Хорошо известны формулы (см., например, [11, гл. 3, §3])

Ь2(Г) = КегУ ©ImV^, Я(Г) = КегУ* ®1тУ, (16)

где символы Ker и Im означают ядро и образ оператора, а © — ортогональную сумму подпространств гильбертова пространства.

Поскольку Ker V* = 0, формулы (16) дают V(Ь2(Г)) = H(Г). Из (16) также следует, что условие KeiV = 0 равносильно условию ImV* = L2(Г), т. е. плотности множества Тг(Г) в Ь2(Г). Проверим последнее. Достаточно убедиться, что Тг(Г) содержит пространство С0,1 (Г) функций на Г, удовлетворяющих условию Липшица, и множество С0,1(Г) плотно в Ь2(Г).

Пусть f £ С0,1 (Г). Тогда для некоторого M > 0 имеем

sup{|f (x) — f (y)|/|x — y| : x, y £ Г, x = y} < M.

Функция U, определенная в Rn равенством

U(x) = sup{f (y) — M |x — y| : y £ Г},

совпадает с f на Г и удовлетворяет условию Липшица

|U(x) — U(y)| < M |x — y|, x, y £ Rn.

Пусть n £ C0f(B2), n|si = 1. Ясно, что при достаточно большом R > 0 функция Rn э x ^ n(x/R)U(x) принадлежит классу L2(Rn) и имеет на Г след f. Тем самым С0’1(Г) С Тг(Г).

При малом £ > 0 положим Ге = д(П \ Be). Чтобы установить плотность множества С0,1(Г) в Ь2(Г), достаточно аппроксимировать функцию из Ь2(Ге) липшицевыми на Ге функциями, равными нулю на дВе. Так как поверхность Ге можно покрыть конечным числом окрестностей, в каждой из которых указанная поверхность является в локальных координатах графиком липшицевой функции, требуемая аппроксимация может быть построена с помощью конечного разбиения единицы, подчиненного упомянутому покрытию, и аппроксимации функции из L2 липшицевыми функциями в локальных координатах. Доказательство леммы закончено.

Мы теперь можем установить следующий результат.

Теорема. Отображение

L2 (Г) э q ^ Vq £ Тг(Г)

может быть единственным образом продолжено до изометрического изоморфизма между пространствами Тг(Г)* и ТУ (Г), если отождествить элемент е е £2 (Г) с функционалом1

(е,д) = J ед^ д е Тг(Г). (17)

Доказательство. Требуется проверить следующие условия:

1) ||е||тг(Г)* = Ц^Цтг^ е е В2(Г);

2) У(В2(Г))= Тг(Г);

3) функционалы вида (17) образуют плотное множество в Тг(Г)*.

Утверждение 2 установлено в предыдущей лемме. Проверим равенство 1. Пусть д е Тг(Г) и и е Н(Г), и|г = д. Используя формулу (15), получаем

|(е д)|

V(У е^и^х

'К"

откуда

(18)

|(е,д)| < llУеIITr(Г)llgIITr(Г),

и значит, НеНтг(г)* < ||Уе||тг(г). Обратное неравенство следует, если подставить в (18) и = Уе. Тогда

НУеНТг(г) = 1МУе)1И2(К") = |(е,уе)| < НеНтг(г).1|Уе11тКг).

Перейдем к проверке условия 3. Пусть ^ е Тг(Г)* и Т — оператор взятия следа (2). По теореме Рисса существует такая функция / е Тг(Г), что

(^,д) = / V(T-1/)V(T-1д)^х JК"

для всех д е Тг(Г). Ввиду леммы 6 найдется последовательность ек е £2(Г), для которой

||Уе* — /Нтг(г) = 1МУек — Т-1/)Нь2(К") ^ 0.

II * Ук - J ||Тг(Г) — II V ^ V ук - ± ^

Полагая

(*к,д) = / V(Уеk)V(T-1д)^х, д е Тг(Г),

J К"

V(У ек)V(Т 1'

/К"

получаем

II ^ — ||тг(Г)* < ||Уек — /||тг(Г) ^ 0-

Заметим, что благодаря (15) функционал е Тг(Г)* может быть записан в виде

(^к,д) = — J екд^Г, д е Тг(Г).

Итак, функционалы вида (17) образуют плотное множество в Тг(Г)*. Доказательство теоремы закончено.

Непосредственно из теоремы вытекает такое утверждение.

1 Угловыми скобками обозначается результат действия функционала на элемент.

Следствие 3. Решение двусторонней задачи Дирихле

и Є Н(Г), и|г = /

при любом / Є Тг(Г) может быть представлено потенциалом простого слоя и = Уд, где плотность д Є Тг(Г)* определяется из уравнения Уд = / единственным образом.

Объединяя теорему с результатами работы [6] (см. также [7, гл. 7]), можно сформулировать явное условие разрешимости уравнения Уд = /.

Следствие 4. Необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости уравнения

/(х) = J д(у)£(ж,у)^Г(у), / Є Тг(Г),

в классе Тг(Г)* при п > 3 является неравенство

а при п = 3 — неравенство

■од +гг ,т_тҐЕщт+

L. /(i)2w*-)iS*-m,)))+/Ll/w -/(е)|

,2 . rr ]f(, гґґ\і2 M(zxr2dr(x)dm

2(Г) JJ ~

+ ІІ/ІГг.„ГП+ II l/W ~/(g)r . /-----, ; 2 < 00,

r( log(1 + r/M(z, £)))

{ж,£ЄГпВе:г>М (z,Z)} V V 7 V

где е > 0 достаточно мало, г = |х — £|, х = (у, г), £ = (п, С), М(г, £) = шах{<^>(,г), у>(£)}. При п = 3 требуется дополнительное ограничение на заострение пика: ^(.г) = °(^(ф-1).

Замечание 2. Описание пространства Тг(Г)* можно найти в [7, 8.3] и в [12].

Литература

1. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 27. ВИНИТИ АН СССР. М., 1988. С. 131-228.

2. Maz’ya V. G., Shaposhnikova T. O. Higher regularity in the classical layer potential theory for Lipschitz domains // Ind. Univ. Math. J. 2005. Vol. 54, N1. P. 99-142.

3. Мазья В. Г., Соловьев А. А. Об интегральном уравнении задачи Дирихле в плоской области с остриями на границе // Матем. сб. 1989. Т. 180. Вып. 9. С. 1211-1233.

4. Мазья В. Г., Соловьев А. А. О граничном интегральном уравнении задачи Неймана для области с пиком // Труды ЛМО 1990. Т. 1. С. 109-134.

5. Мазья В. Г., Соловьев А. А. Интегральные уравнения теории логарифмического потенциала на контурах с пиком в пространствах Гёльдера // Алгебра и Анализ. 1998. Т. 10. Вып. 5. С. 85-142.

6. Мазья В. Г. Функции с конечным интегралом Дирихле в области с вершиной пика на границе // Зап. научн. семин. ленингр. отд. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1983. Т. 126. С. 117-137.

7. Мазья В. Г., Поворчим С. В. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелип-шицевых областях. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. 399 с.

8. Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. Т. 4. 1938. C. 471497.

9. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950. 255 с.

10. Фаддеев Д. К., Вулих Б. З., Уральцева Н. Н. и др. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 200 с.

11. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л., 1980. 264 с.

12. Maz’ya V. G., Poborchi S. V. On Solvability of the Neumann problem in energy space for a domain with peak // Georgian Math. J. 2007. Vol. 14, N 3. P. 499-518.

Статья поступила в редакцию 14 сентября 2008 г.