О разрешимости задачи Неймана в плоской области с пиком Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

В. Г. Мазья, С. В. Поборчий

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 2

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ С ПИКОМ

Светлой памяти С. Г. Михлина посвящается

Введение. В области П С И” с вершиной внешнего или внутреннего пика на границе рассмотрим задачу Неймана для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка. При некоторых условиях изучение ее разрешимости сводится к описанию пространства ТШр(П)*, р € (1, те), сопряженного к ТШр)(П) —пространству граничных следов функций из соболевского класса Шр)(П). Пространство ТШ2;(П)* при п > 2 охарактеризовано в работе [1]. В настоящей работе мы продолжаем исследования в том же направлении. Здесь дается явное описание пространства ТШр-(П)*, р € (1, те), для плоской области с вершиной пика на границе.

Работа состоит из четырех разделов. Первый фактически является развернутым введением. Здесь формулируется задача Неймана и выясняется связь ее разрешимости с задачей характеризации упомянутого сопряженного пространства. В разделе 2 описан класс рассматриваемых областей и доказаны используемые далее вспомогательные утверждения. В разделе 3 доказана теорема 1, где дана характеристика пространства ТШр(П)* для плоской области с внешним пиком в терминах пространств Шр,1/р для липшицевых кривых и рассмотрены приложения теоремы 1 к задаче Неймана. Раздел 4 посвящен плоской области с внутренним пиком. В этом разделе сформулирована теорема 2, описывающая пространство ТШ^(И)* для плоской области с внутренним пиком. Теоремы 1 и 2 являются основными результатами работы.

1. Предварительные сведения

Пусть П — область в И2 и р € (1, те). Через (П) обозначим пространство функций

на П, характеризующихся конечностью нормы

Пусть еще ТШр(П) —пространство следов м|эп функций из Шр(П), снабженное нормой

В случае области с «достаточно хорошей» границей пространство ТШ^(П) допускает явное описание. Так, согласно теореме Гальярдо [2], для плоских областей класса С0,1 (т. е. для областей с компактным замыканием, граница которых локально является графиком липшицевой функции) пространство ТШ^(П) совпадает с пространством

1М1т№р(п) — М{1М1 '■ и|ап — V}.

© В.Г.Мазья, С.В.Поборчий, 2008

где

(\ 1/p

//'-«)-., (1)

SxS '

|S| —длина S, а dsQ, dsM — элементы длины на S.

В общем случае в качестве TWp (П) можно принять фактор-пространство Wp (П)/Т^р (П), где TWp (П) означает замыкание в норме (П) множества Од°(П) гладких в П финитных функций.

Предположим, что П имеет компактную границу, почти везде на дП относительно длины существует нормаль к дП, и обозначим через v = v(x), x £ дП, единичный вектор внешней нормали. Рассмотрим задачу Неймана1:

-div (|Vu|p-2Vu) + a|u|p-2u = 0 в П, (2)

I v«r2^ =/, (3)

dv dn

где p £ (1, те), a £ ЬТО(П), a(x) > const > 0 почти всюду в П, а f — однородный аддитивный функционал на множестве V = Wp-(П) П ЬЖ(П) П СТО(П), равный нулю на функциях из С^(П).

Решением задачи (2), (3) назовем функцию u £ Wp(^, которая при всех v £ V удовлетворяет тождеству

L(u, v) = (f,v), (4)

где (•, v) —значение функционала на элементе v,

L(u, v) = f (|Vu|p-2Vu • Vv + a|u|p-2uv) dx.

Jn

Так как при фиксированном u £ Wp(^ отображение Wp^) Э v ^ L(u,v) есть непрерывный линейный функционал, а множество V плотно в Wp^) [4, 3.1.2], то для разрешимости задачи (2), (3) необходимо, чтобы функционал в правой части (3) продолжался (единственным образом) до функционала из Wp^)*, который обращается в нуль на функциях из 1Ур1(П). Согласно следующей лемме этот функционал принадлежит пространству TWp(П)*, сопряженному к TWp(П).

Лемма 1. Пусть X —банахово пространство и Xo — его подпространство. Обозначим через X фактор-пространство Х/Хо с нормой

l|x|| = inf{||y|| : y £ x}.

(i) Если f £ X*, т. е. f —непрерывный линейный функционал в X, и f |x0 = 0, то функционал X Э x ^ f(x) = f (x) принадлежит пространству (X)* и ||f | = ||f ||.

(ii) Если f £ (X)*, то функционал X Э x ^ f (x) = f (x) принадлежит X* и f |x0 = 0.

Доказательство этого утверждения легко следует из определения фактор-пространства.

1Мы рассматриваем модельную задачу (2), (3) для простоты изложения. На самом деле сказанное ниже справедливо и для эллиптических уравнений более общего вида [3].

Покажем теперь, что если ^ € ^^(П)* (и необязательно Кег ^ Э С^(П)), то существует единственная функция и € ^^(П), удовлетворяющая равенству

Ь(и, у) = (^, у) (5)

при всех у € ^^(П). Вычисляя вариацию функционала

^(П) э у ^ О(у) = / (|Уу|р + а|у|р)йж — р(^, у), (6)

Jn

убеждаемся, что тождество (5) равносильно задаче минимизации функционала (6) на ^^(П). Рассмотрим минимизирующую последовательность {уд} для О (у). Так как функционал ^^(П) э у ^ (-Р, у) непрерывен, для некоторых констант 01,02 > 0 имеем

°(у) > °1 ||у||^1(п) — 02

а поскольку р > 1, то О(у) ^ +^, если ||у|^1(о) ^ ^. Отсюда следует, что минимизирующая последовательность ограничена, и, значит, существует ее подпоследова-

тельность (которую мы снова обозначим {уд}), слабо сходящаяся в ^^(П). Пусть и — ее предел. Проверим, что

G(u) = min{G(v) : v G W^fi)}. (7)

Введем в W^fi) норму

[v]=( j (|Vv|p + a|v |p)dxyP , (8)

эквивалентную У • ||wi(fi) • Для произвольного e > 0 существует функционал fо G Wp1(Q)*, норма которого относительно нормы (8) равна 1 и

[u]p — e< |(fo,u}|p = lim |(fo,vk}|p• k—

Таким образом, [vk]p > [u]p — e при всех достаточно больших k. При тех же к имеем

G(vk) > [u]p — e — p{F,vk},

а так как (F, vk} ^ (F, u},

inf {G(v) : v G Wp-(n)} > [u]p — e — p(F, u}.

В силу произвольности e отсюда следует (7).

Итак, если функционал в правой части (5) непрерывен в Wp^fi) (в частности,

F G (TWp-(fi))*), то задача (2), (3) разрешима. Заметим еще, что единственность реше-

ния вытекает из строгой выпуклости функционала (6). В самом деле, если предположить, что существуют две различные функции ui, u2 G Wp-(Q), доставляющие минимум функционалу (6), то, полагая u = (ui + u2)/2, получаем противоречивое неравенство

G(u) < (G(ui) + G(u2))/2 = min{G(v) : v G W^fi)}.

Таким образом, исследование разрешимости задачи (2), (3) (или, что то же, задачи (4) с функционалом f, ядро которого содержит C^(fi)) сводится к описанию пространства TWp1(fi)*.

Далее для липшицевой кривой S вместо (Wp 1/p(S))* мы будем писать Wp,1/p (S), где p' = p/(p — 1), и положим

lfllW-i/p'(S) = sup{|(f,v}| : v G Wp1-1/p(S), IMI = 1}.

Ниже мы характеризуем пространство TWp-(fi)* для плоской области с пиком в

терминах пространств Wp,1/p на липшицевых кривых, а также в терминах некоторых пространств функций на интервале (0,1) числовой оси.

2. Класс областей и вспомогательные утверждения

Дадим описание плоской области с вершиной пика на границе. Пусть fi — область в R2 с компактной границей. Предположим, что O G dfi, а кривая dfi \ {O} локально представима в виде графика липшицевой функции. В точке O расположим начало декартовых координат (x, y). Пусть функции у>_, принадлежат C0[0,1]) и удовлетворяют условиям у>±(0) = 0, y>±(t) ^ 0 при t ^ +0, а функция ^ — <^_ возрастает

на промежутке [0,1].

Определение. Точка O называется вершиной пика, направленного во внешность fi, если существует окрестность U этой точки, такая, что

U П fi = {(x, y) : x G (0, 1), <£>_ (x) < y < y>+(x)}.

Точка O называется вершиной пика, направленного внутрь fi, если для некоторой окрестности U точки O имеем

и\П = {(ж, у) : ж G (0,1), <р-(х) < у < ср+(х)}.

Для простоты изложения будем далее считать, что dfi П U = {O} U Г_ U Г+, где Г± = {(x, y±(x)) : x G (0,1)}.

Введем некоторые обозначения. Пусть Г = Г_ U Г+. Для функции v, определенной на Г, положим

v_(x) = v(x, <£>_(x)), v+ (x) = v(x, (x)), x G (0, 1).

Будем также писать v = (v_, v+). Через v обозначим заданную на Г функцию, для которой

(v)_ = (v)+ = (v+ + v_)/2.

Если f G TWp(fi)* и Л — функция, удовлетворяющая условию Липшица на dfi, то мы полагаем

^f,v} = (f,Лy}, v G TWp1(fi).

Будем говорить, что носитель функционала f G TWp(fi)* лежит в кривой y С dfi (и писать supp f С 7), если из того, что v|Y = 0 следует (f, v} = 0.

Положительные величины a, b назовем эквивалентными (обозначение а ~ 6), если С1 < a/b < С2 для положительных констант c1, С2, не зависящих от a, 6. Через с обозначаем положительные постоянные, которые не зависят от стоящих за ними множителей и могут принимать различные значения в одной и той же цепочке неравенств.

Далее в настоящем разделе П означает плоскую область с внешним пиком. Введем некоторое специальное разбиение единицы на дП \ {О}, которое играет в последующем важную роль. Построим последовательность {ж^} по правилу

Ясно, что {ж^} убывает, а кроме того,

жй ^ 0, ж-411жй ^ 1, ^(жй+1)-1^(жй) ^ 1.

Рассмотрим гладкое разбиение единицы {мй}а;>1 на промежутке (0, Ж1], подчиненное покрытию интервалами = (жй+^жд— ), т. е. набор функций Мй € С“(Дд), удовлетворяющих требованиям

где константы зависят только от у>, а равенство У~]Й>1 Мй(ж) = 1 верно при ж € (0, 6] для некоторого 6 > Ж1.

Положим м о (ж) = 0 при ж < Ж1 и м о (ж) = 1 — М1(ж) при ж > Ж1. При этом очевидно ^2к>0 Мй(ж) = 1 для всех ж € (0,1]. Построенное разбиение единицы зависит только от ж о и функции у>. Далее мы считаем его фиксированным. Положим еще

Отметим, что указанное разбиение единицы на (0,1] индуцирует разбиение единицы на дП \ {О}, если определить мо = 1 на Г о \ Г, Мй(ж,у) = Мй(ж) при (ж, у) € Г, ж € Дй, к > 0, а при к > 1 положить Мй =0 на дП \ Г.

Пространство Т^р1(П) для плоской области с внешним пиком допускает явное описание [5], [6, 6.4]: оно состоит из функций класса Ьр ;ос(дП \ {О}), имеющих конечную норму

{*,т Є(0,1)}

М(і, т) = шах{^(і),^(т)}, а х — характеристическая функция промежутка (0,1). При этом норма (10) эквивалентна норме ІМІт^1^).

Нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 2. Всякая функция V Є Т^р1(П) представляется суммой трех слагаемых

x a Є (0, І), xfc+l + ^(xfc+l)= xfc, k = 0, І,...

0 < Mfc < І, ^fc(x) = І, x Є (0, xi].

k>1

Указанное разбиение можно построить с выполнением условия

dist(supp, R1 \ Ak) > const • ^(xk), |^4| < const • ^(xk)_1, (9)

Го = дО, \ {(ж, у) Є Г : ж < жі}.

+ |v+(x) — v-(x)|p^(x)1 p dx , (10)

где

(ІІ)

v = ло v + (І — Ma )v + (І — Ma )(v — v),

каждое из которых является непрерывным линейным отображением аргумента V в пространстве Т^р1(П).

Доказательство. Для первого слагаемого проверим оценку

и липшицевости функции мо на дП (напомним, что [•]р,г0 —это полунорма (1)). Установим (14) для функции V-. Из определения (11) получаем

Первое слагаемое справа не больше с |^||^ (г пг0), т.к. Мо | (о,ж!) = 0. Во втором слагаемом интегрирование фактически производится по множеству £ > т > ж1, поэтому оно не превосходит с ^]р г пг0, где [•]р,г_пг0 означает полунорму (1). Аналогично проверяется оценка (14) и для функции ^. Итак, (12) имеет место.

Покажем теперь, что

Поскольку носитель функции 1 — М0 удален на положительное расстояние от Г0 \ Г,

Нмо^|тжр1(п) < с 1М1^р1_1/р(Г0).

(12)

Достаточно убедиться, что

(13)

и

(14)

Заметим, что (13) является следствием неравенства

|(1 - Мо^Нт^кп) < с Ц^т^кп).

(15)

(16)

Для функции т = (1 — Мо^ имеем также

откуда с учетом (16) получаем

Далее,

Мр.гопг < сИр,г0пг + с II |г>(М)|ргіадгіаМ-

{М.ЦєГоПГ}

Отсюда и из (17) выводим

с МР,г0 < [V- + «+]р, (хі, 1) + ^ |«+ + V- |р^>(ж)йж^ .

Заметим, что (16) и (18), в частности, дают

К1 — Мо^Ср1_1/Р(Г0) < с НVI^1_1/Р(Г0). (19)

Для окончания проверки оценки (15) достаточно убедиться, что

|(1 — МоИ < с/ Иж)|рйж + с |й|Р, (20)

■)о

где -у(ж) = v-(ж) + ^(ж). В самом деле, из определения (11) следует, что левая часть (20) не больше суммы

14 14

с / тг« / м;!::°(т)|^+с/* /

о 4-^(4) о 4-^(4)

причем первое слагаемое не превосходит первого члена в правой части (20), а второе слагаемое — второго члена.

Для завершения доказательства леммы остается заметить, что оценка

Н(1 — — г’)Нтжр1(п) < с 1М1т^1(п)

вытекает из (12), (15).

В следующей лемме утверждается, что каждый функционал / € Т^р1(П)* порождает семейство функционалов из Wp,1/р (Дд) при к = 1, 2,...

Лемма 3. Отображение Wг,1 1/р(Дд) Э и ^ (—Мкм,Мйм) € Т^р(П) непрерывно при к = 1, 2, . . .

Доказательство. Пусть Пк = {(ж, у) € П : ж € Дк}. Определим на дПк функцию

V: v(ж, у) = 0 при ж = жд±1, v(ж, ^-(ж)) = —Мд(ж)и(ж), v(ж, <^>+(ж)) = Мд(ж)и(ж), Так как Мк € С^(Дк) и € Со’1([0, 1]), имеем V € Wг,1 1/р(дПк), причем

1М1№'р1_1/р(дПк) < Ск11и11^_1/г>(Дк)

с константой, не зависящей от м. По теореме Гальярдо [2] существует непрерывный оператор продолжения Wp 1/р(дП^) Э V ^ V Є ^^(Пд;). Полагая V|п\пк = 0, получаем непрерывный оператор продолжения Шр 1/р(дПд) Э V ^ V Є ^р(П) и, значит,

1^||^р1(П) < ЫМ^1-1^(Дк).

Остается заметить, что V- = —^дм, Ъ + и.

Лемма 4. Если V € Ьр,;ос(дП \ {О}) и «(ж, у) = 0 вне множества {(ж, у) € Г : х < хо}, то норма ||«||т^(п) эквивалентна норме (10), в которой опущен первый член.

Доказательство. Достаточно проверить оценку

В последнем интеграле |Q — M| > const > 0, поэтому он не больше c ||v||L (гоПг) и, значит, не превосходит правой части (22). Остается мажорировать величины [v]p гоПг± • Ясно, что

Представим последний интеграл в виде суммы двух интегралов: один по множеству |t — т| < max{^(t),^(r)}, а другой по дополнительному множеству. Первый интеграл не больше |v_|p, а во втором имеем |t — т| > const > 0, поэтому

Аналогично выводится оценка, которая получается, если в последней заменить v_ на v+. Оценка (21) установлена.

В доказательстве основного результата понадобится еще одна лемма.

Лемма 5. Пусть u £ Lp,;oc(0,1) и u(x) = 0 при x > xo. Тогда при достаточно малом xo полунорма (11) заменяется на эквивалентную, если множитель x(|t — т|/M(t, т)) в подынтегральной функции заменить на x(|t — т|/(2 M(t, т))).

Это утверждение известно при p = 2 (см. лемма 8.3/2 [6]). Доказательство при p = 2 отличается несущественными деталями, и мы его опустим.

IMI

p

Wp1-1/p (Го)

< c |v-|P + |v+|P + c

/ (|v_ |p + |v+|p)^(x)dx

(21)

JO

Так как носитель v удален на положительное расстояние от Го \ Г,

p

Lp(Го)

(22)

а также

I |v(Q)|PdsQ

---------- <

Го\Г IQ - ЩР

J ГоПГ

Кроме того,

ГоПГ- ГоПГ +

{t,T e(xi,1)|

3. Пространство Т^р^П)* для плоской области с внешним пиком

Обозначим через ^р(0,1) пространство функций из Ьр,;ое(0,1), имеющих конечную норму

1М1жр(0,1) =^ |и(х)|МхМх^ + Мр,

где | • |р — полунорма (11).

Пространство Т^р(П)* Для плоской области с внешним пиком описывается следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть П С И2 —область с внешним пиком и {^д} —построенное

выше разбиение единицы для дП \ {О}.

(1) Пусть / € Т^(П)*. Тогда / = /(1) + /(2) + /(3), где

Т^(П) Э V ^(/(1),«) = (/,Мо«),

^(П) Э V ^ (/(2), V) = (/, (1 - Мо)«),

Т^(П) Э V ^ (/(3), V) = (/, (1 - Мо)(« - V)).

Функционалы /(^) имеют следующие свойства: /(^) € ТШр1(П)* при ^ = 1, 2, 3. Кроме того, /(1) € 1/р'(Го), яирр/(1) С Го. Функционалы /(2),/(3) имеют носители в

множестве {(ж, у) € иП дП : х < жо}. Функционал /(2) принадлежит классу (0,1)*

в том смысле, что верна оценка

|(/< с 1^- + (о,1) (23)

с константой, не зависящей от V. Для /(3) верно представление

(/(3),Ч) = ^й>1(/*- ^Ь (24)

где функционалы / действуют по формуле

^,1-1/р(Дй) Э и ^ (Л, и) = (/, (-^и,^и))

и принадлежат классу 1/р (Дд). При этом справедлива оценка

(ЕЙ>1 НЛН^/р'(до) < с И/(3)^т^1(«)* (25)

с константой, зависящей только от р, П.

(п) Предположим, что при к > 1 функционалы / € ^ ,1/р (Дд) имеют носители внутри Дд и конечна сумма в левой части (25). Тогда функционал Т^р(П) Э V ^ (/(3)^), действующий по формуле (24), непрерывен, имеет носитель в множестве {(х, у) € и П дП : х < хо}, и верна оценка

||/(3)||т^(п)* < с (ЕЙ>1 НЛН^/р'(д») (26)

77

с константой с = с(р, П). Пусть еще К € 1/р (Го), д € ^р(0,1)*. Положим /(1) =

МоК,

(/(2)^) = (д, (1 - мо)^- + v+)/2), V € ТИ^П). (27)

Тогда /(1), /(2) € Т^(П)*, а кроме того, /(1) € %-1/р'(Го).

Доказательство. (1) Включения /(^) € ТШ^(П)* вытекают из леммы 2. В той же

лемме установлено включение /(1) € 1/р(Го) (см. неравенство (13)). Оценка (23)

также доказана в лемме 2 (см. (16), (18), (20)).

Обратимся к (25). Из леммы 3 следует, что /д € 1/р (Дд). Положим ад =

НЛН^-1/р'(дк) и выберем такую функцию ид € 1/р(Дд), для которой

Нид||^ 1-1/р(Дк) < 1 и «д < 2 (/д> ид).

Тогда для любого натурального N имеем

Х^=1 «д < 2(/,Х!Й=1 ай-1(-Мйи^Мдид)). (28)

Очевидно, что мд = (1 - мо)мд при к > 2. Имеем также М1 = (1 - Мо)М1 на промежутке [х2, х1] и М1 = 1-Мо на промежутке [х1, хо]. Определим функцию V! € С^(Д1), положив V! = М1 на [х2,х1], Vl(x) = 1, если х € [х^хо] и х € виррМ1 и Vl =0 в окрестности хо. Тогда М1 можно представить произведением (1 - мо^ь Положим Vk = мд при к > 2. В этом случае мд = (1 - Мо^д для всех к > 1, и неравенство (28) можно переписать в виде

.--. N

ад < 2(/, (1 - моИ, (29)

Д < 2(/, (1 - М0)v где

V^N '-1

V = 2_^ Vk, Vk = (^дид ,VkUk) (30)

(напомним: запись V = (и, ад) означает, что V — функция, определенная на Г, для которой V- = и и ^ = ад). Полагая Vkид = 0 вне Дд, считаем Vk определенной на дП. Тем самым функция V в (29), (30) определена на дП, а так как V = 0, (29) дает

Ед=1 ад' < 2(/(3и. (31)

Оценим ^Нт^кп). Поскольку v(x, у>±(х)) = 0 при х > хо, и ^ = -v-, по лемме 4

1М1Т^1(П) < с Ыр + с[ Ь+(х)|Мх)1-:р^х. (32)

о

Здесь | • |р означает полунорму (11). Каждая точка х € (0,1) принадлежит не более чем двум носителям из набора ^д}^^ Поэтому

К(х)

ж—^ ' -, р ж—^N '

53д=1 ад Vk (х)ид (х) < с^ д=1 «д |ид(х)|р ХДк (x),

где хдк —характеристическая функция интервала Дд. Таким образом,

Г1 ^ ' /•

/ (х)|р^>(х)1-рйх < / |ид|р^(х)1-рЙх.

-'о д=1 ^Дк

Поскольку ||мд||,л/ 1-1/р(Л ) < 1, последний интеграл по Дд ограничен равномерно отно-'•р (Лк)

и

|«+ |р заметим, что

'Д=1

откуда следует неравенство

сительно к, и второе слагаемое в правой части (32) не больше с^ад . Для оценки

К(і) - «+(т)|р < с^2 «к к(іН(і) - ^(тН(т)|Р

ЫР < к=1 ад К

Так как вирр^д С Дд,

с\іУкик\рр<[і'кик\ррАк+! \ик{г)ик{г)\рА!х \t-rr ('33')

Лк т/Ль

где [•]р,лк —полунорма (1). В силу (9) в последнем интеграле имеем |і — т| > с<^>(жд). Кроме того, у>(і) ~ <^>(т), если |і — т| < М(і, т). Отсюда повторный интеграл в (33) мажорируется величиной

с^(жд)1-р [ |^дмд|рйж, (34)

■>лк

которая не превосходит с ||идУ^1-1/Р(л ), что не больше с. Для первого слагаемого в правой части (33) имеем

[Vкик]ррАк<с Ц \ик{г)\р\ик{г) ~ ик(т)\р ^(М^р +

ЛьхЛь

+ с JJ К(»ГК<» -Мг)\р ^Ы^р- (35)

ЛкхЛк

Первый член справа не превосходит с [мд]^ лк < с. Для оценки второго заметим, что V| < с^(жд)-1, и значит, этот член имеет мажоранту (34). Итак, мы показали, что правая часть (32) не больше с^аД . Отсюда и из (31), (32) получаем

N г 1/р

53д=1 ар < 2|/(3)|Т^1(П)* ІМІТ^КП) < с ||/(3)|| Д=1 ар ]

что приводит к (25).

(И) Пусть V € Т^р-(П) и и = ^ - v-. Так как вирр /д С Дд, получаем

|(/д,и)| < |(/д, £ м*и)| < ^ , ||/дУ^-1/р'(Дк)|м*и|Жр-1/р(Дк).

|г—д|<1 |г—д|<1 Р

Применяя неравенство Гёльдера, найдем, что

/ ' \ 1/р' / \ 1/р

£|(/д,и)| < (£|1/дС-1/р'(Дк)) (^11М*иСр1-1/р(до) .

д>1 ^ д.г р / ' д.г /

Таким образом, для доказательства оценки (26) достаточно проверить, что последний сомножитель не больше с ^Нт^кп). Для этого оценим сначала общий член последней суммы по {к > 1, |г - к|< 1}. Имеем

||м*и11^р1-1/р(Дк) < с |Дд |1-р|М*иН!р(Дк) + [М*и]р,Дк,

где |Дд | - длина Дд и [•]р,Дк - полунорма (1). Отсюда

- С // К||-г|рТ)1 ^РШт+

Дк*Дк

+ с JJ ^1^ |^ \и(т)\рдЫт + с J \и(х)\рср(х)1~р(1х. (36)

Д к х Д к

Поскольку |г - к| < 1, получаем |м^| < су>(хд)-1, и предпоследнее слагаемое в правой части (36) мажорируется последним. Суммируя (36) по к, г и замечая, что Дд х Дд С {4, т € (0,1) : |£ - т| < 2 М(4, т)}, приходим к оценке

Нм^иН^р1-1/р(Дк) < сI |и(х)|р^(х)1 р + с1, (37)

в которой

|£ - т | \ йЫт

I

JJ |и(4) - и(т)|рх

ч2 М(4, т) / |£ - т|р

{г,те(о,1)|

(мы используем те же обозначения, что и в (11)). Имеем I < с 11 + с12, где 11,12 — интегралы, получающиеся, если в подынтегральной функции I множитель |и(£) -и(т)|р заменить соответственно на

|(1 - мо(4)и(4) - (1 - мо(т))и(т)|р и на |мо(4)и(4) - мо(т))и(т)|р.

По лемме 5 имеем 11 < с |(1 - мо)и|р, откуда

г ^ I \р , С С \ио(^)-ц0(т)\р М1Р и1

11<с\и\р + с уу ---- р--------|м(4)|рАсгг,

{|г-т |<М (г,т)}

и значит, 11 < с|и|р + ||иу> 1+1/рНьр(о,1). Для 12 имеем 12 < с 13 + с 14, где

1 г 1 г

/з=/|»М|»й/д =|ЛIН^|1Гчг),А

о г-2^(г) о г-2^(г)

Так как мо(4) = 0 при 4 < х1, получаем 13 < с ||и||£р(Х1,1), а 14 < с [и]р (Х1 1). Объединив

■]р,(Х1,1)-

(37) с последними неравенствами, получим

ИмН1^р1-1/р(Дк) < |и|р + /о |и|р^(х)1 р^х + НиНР

™(Дк)^' "'р^ у ^ ^"“"жр1-1/р (Х1.1)’

р 80

где и = ^ - v-. Правая часть написанного неравенства не больше константы, умноженной на норму (10) в степени р. Мы, тем самым, установили оценку (26).

В завершение доказательства теоремы отметим, что включение /(1) = моК € 1/р (Го) при условии К € Шр,1/р (Го) следует из леммы 2. Непрерывность функционала (27) вытекает из принадлежности д € Шр(0,1)* и непрерывности отображения ТШ^П) э V ^ (1 - мо)V, также установленной в лемме 2. Доказательство теоремы

р1

закончено.

Сформулируем некоторые следствия доказанной теоремы. Первое вытекает из определения решения задачи Неймана, рассмотренной в разделе 1.

Следствие 1. Если задача Неймана (2), (3) разрешима в плоской области с внешним пиком, то функционал / можно представить суммой трех слагаемых /(1), /(2), /(3)

со свойствами, описанными в утверждении (1) теоремы, а если функционал / есть сумма трех слагаемых со свойствами, описанными в в утверждении (и) теоремы, то задача Неймана (2), (3) однозначно разрешима.

Рассмотрим случай, когда / является функцией на дП, суммируемой с некоторой степенью. Пусть /(3) —функционал, построенный по / в теореме 1. Минимальный показатель суммируемости /, при котором /(3) непрерывен, характеризуется следующим образом.

Следствие 2. Пусть П С И2 — область с внешним пиком. Положим д = р/(2 -р) при р < 2, д € [1, те) при р = 2 и д = те при р > 2. Пусть еще д-1 + д' 1 = 1. Если / € ' (дП), то функционал

т^р1(П) э V ^ /(д)(1 - мо(д)Мд) - v(Q))dSQ (38)

непрерывен в Т^р1(П) и его норма не больше с ||/||_^ ,(дп). Кроме того, для всех V € Т^р1(П) верна оценка

1к - *1к(г) < с |М|т^(п). (39)

Доказательство. В соответствии с теоремой требуется показать, что правая часть (26) не больше с Н/Нь? '(дп). При этом функционалы /д € Шр,1/р (Дд) имеют вид

(/д, и) = /(х,^+ (х))мд (х)и(х)Йвх -/ /(х,^- (х))мд (х)и(х)Йвх.

./Г + ./Г-

С помощью неравенства Гёльдера получим

|(/д,и)| < с Н/||ь,'(Гк)|и|Ь,(Дк), (40)

где Гд = {(х, у) € Г : х € Дд}. Полагая для краткости = ^(хд), запишем соболевское вложение Шр 1/р(Дд) С (Дд) в виде

\\и\\ья(Ак) < срк+ч р (рк р' \\и\\Ьр{Ак) + , р'=р/(р- 1).

Так как величина в скобках эквивалентна ||и||„. 1-1/р(Д ), из последнего неравенства и

'•р (Дк)

из (40) следует оценка

Жр-1/р'(Дк) < с Н/НЬ5 ' (Гк ).

Применяя алгебраическое неравенство

1/в

ар > 0, Y > в > 0,

и принимая во внимание, что q' — p', получаем

Lq' (Г)-

Первое из требуемых утверждений установлено. Обратимся к оценке (39). При V € ТШр1(П) и / € ' (Г) обозначим через ^ (/) интеграл в (38). В силу вышесказанного

имеем

Отсюда следует, что норма функционала (Г) э / ^ ^г,(/) не больше с |М|т^1(п), и значит,

В заключение сформулируем еще одно утверждение о разрешимости задачи Неймана с граничным условием из > (дП).

Предложение 1. Пусть П — плоская область с внешним пиком, 1 < д < р/(2 -р)

Следующие утверждения равносильны.

(A) Задача Неймана (2), (3) разрешима для всех f G Lq /(дП).

(B) Пространство TWp1(Q) непрерывно вложено в Lq(dQ).

(C) Для всех f G Lq (дП) функционал TWp1(Q) Э v ^ fdQ fvdsx непрерывен.

(D) Отображение TWp1(H) Э v ^ V G Lq(r) непрерывно.

(E) Пространство Wp(0, 1) непрерывно вложено в Lq(0,1).

Доказательство. (A) ^ (B). Пусть V — единичный шар в Wp-(n) и V = Wp-(n) П LTO(H) П СТО(П). Так как при всех v G V П V и f G Lq/(дП) выполнено равенство (4), семейство функционалов Lq / (дП) Э f ^ (FV, f} = fdQ fvds точечно ограничено при v G V П V. Следовательно, нормы ||F,y У ограничены равномерно относительно v. Таким образом, ||v||Lq(dn) < const при v G V П V. Поскольку множество V плотно в Wp-(n), отсюда вытекает (B).

(B) ^ (C). Пусть f G Lq(дП) и v G TWp(n). Так как TWp-(n) вложено в Ьд(дП),

|Fv(f )| < с ||f |Uq '(г)IIvHtw^(п)•

Н(1 - м0)(v - 'У)|Ь,(Г) < с |^НТ№,1(П)-Для окончания доказательства оценки (39) достаточно проверить, что

Нv - 'УЦь^ГпГо) < с 1М|т№;1(П).

В самом деле, из определения v и непрерывности соболевского вложения Wp 1/р(Го) С Lq(ro) выводим

^^(ГП^) < с IM^m^) < с Nw^/p(Го) < с lv|TW^1(П)•

при p < 2, q Є [1, те) при p = 2 и 1 — q — те при p > 2. Пусть еще q 1 + q' 1 = 1.

верно

п

откуда вытекает требуемый результат.

fvdsx < lf||bq'(ап)ІМ^(дп) < сlf||bq'(дп)l«lTffi(a),

(С) ^ (А). Как показано в разделе 1, непрерывность функционала Т^р1(П) э V ^ /эп /^вж влечет разрешимость задачи Неймана.

Эквивалентность утверждений (В) и (Б) вытекает из следствия 2.

(Б) ^ (Е). Пусть и € ^р(0,1). Определим V € Т^р1(П) так, чтобы v+ = V- = (1 - ^о)и. Тогда непрерывность отображения Т^р1(П) э V ^ г> € (Г) значает, что

Замечание. Используя результаты работы [7] (см. также [6, 5.4]), можно дополнить предложение 1 следующим образом. Оказывается, любое из утверждений (А)-(Е) равносильно утверждению

(Р) При д < р выполнено условие

С2 > сі > 0. Тогда задача Неймана (2), (3) разрешима для всех / Є (дП) в следующих случаях:

1) р > 1 + Л и д є [1, р);

2) р< 1 + Л и 1 < д < р тіп{1, (1 + Л — р)-1}.

3) р> 1 + Л и р < д < те;

4) р =1 + Л и р < д < те;

5) 1 <р< 1 + Л и р < д < р/(1 + Л — р).

4. Плоская область с внутренним пиком

В этом разделе П означает плоскую область с вершиной внутреннего пика на границе в смысле определения, данного в начале раздела 2. Для описания пространства Т^р-(П)* требуется разбиение единицы на дП \ {О}, отличное от построенного в разделе 2.

Пусть жд = 2-д-1, к = 0,1,... Положим Дд = (жд+^жд—) и рассмотрим гладкое разбиение единицы {^д}д>і на промежутке (0, жі], подчиненное покрытию интервалами Дд. Потребуем еще, чтобы выполнялось условие

І|(1 — МоНІь,(о,і) < с ІМІжр(0,і).

Тем самым пространство ^р(0,1) вложено в (0,1).

(Е) ^ (Б). Пусть V Є Т^р-(П). Тогда

ІК + НІЬ,(0,1) < с ІК + Н|жр(0,1),

откуда

1М1ь„(г) < с ІМІТ^(П).

а при д > р — условие

Пример. Рассмотрим пик П = {(ж, у) : ж Є (0,1), сі < у/жЛ < С2}, где Л > 1,

^і^ирр ^д, И.1 \ Дд) > с2 д, |^Д |< с2д к = 1, 2,...

Определим ^о(ж) = 0 при x < xi, ^о(ж) = 1 — ^i(x) при x G [xi, 1] и положим = 1 на кривой сЮ \ Г. Пусть еще

Гд = {(ж, у) G Г : ж (Е Ад}, /г > 1, Го = дП \ {(ж, у) G Г : ж < xi\.

Тогда набор функций {^дН>о индуцирует разбиение единицы на дП\{O}, подчиненное покрытию {Гд }к>о в том смысле, что = 0 на множестве дП \ Гд.

Пространство TWp1(n), p G (1, те), допускает явное описание [8], [6, 6.5]. Оно состоит из функций v G Lp(dn), имеющих конечную норму

(г1 dx \1/p

11-11^(г„) + 11-±11^(0Д)+(У0 1«+(*)-«-(х)|^] • (41)

При этом норма ||v||twi(q) эквивалентна норме (41). Отметим, что леммы 2 и 3 дословно переносятся на случай области с внутренним пиком, а лемма 4 верна для такой области с заменой нормы (10) на норму (41). Рассуждая как в теореме 1 (и даже несколько проще), можно получить следующее описание пространства TWp1(H)*.

Теорема 2. Пусть П С R2 —область с внутренним пиком и {^д} —построенное в настоящем разделе разбиение единицы на дП \ {O}.

(i) Пусть f G TWp1(n)*. Тогда f = f(1) + f(2) + f(3), где функционалы f(j) действуют по тем же формулам, что и в теореме 1. Функционал f(2) принадлежит классу Wp>1/p (0,1) в том смысле, что верна оценка

Kf (2),v)| < с ||v- + v+yWpi+i/P(о1)

с константой, не зависящей от v G TWp1(n), а f(1) и f(3) имеют свойства, указанные в утверждении (i) теоремы 1.

(ii) Пусть fk G Wp,1/p (Ад), suppfk С Ад, k > 1. Если сумма в левой части (25) конечна, то функционал f(3), действующий по формуле (24), непрерывен, имеет носитель в множестве {(x, y) G U П дП : x < жо}, и верна оценка (26). Пусть еще h G Wp,1/p (Го), g G Wp,1/p (0,1). Положим f(1) = ^h и определим функционал f(2) формулой (27). Тогда f(1), f(2) G TW^^)*, а кроме того, f(1) G Wp71/p'(Го).

Литература

1. Maz’ya V. G., Poborchi S. V. On Solvability of the Neumann problem in energy space for a domain with peak // Georgian Math. J. 2007. Vol. 14, N 3. P. 499-518.

2. Gagliardo E. Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in piu variabili // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1957. Vol. 27. P. 284-305.

3. Leray J., Lions J.-L. Quelques resultats de Visik sur les problem elliptiques non lineaires par les methodes de Minty — Browder // Bull. Soc. Math. Fr. 1965. Vol. 93. P. 97-107.

4. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Л., 1985. 415 с.

5. Яковлев Г. Н. Задача Дирихле для области с нелипшицевой границей // Диффер. уравнения. 1965. Т.1. №8. С. 1085-1098.

6. Мазья В. Г., Поворчим С. В. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелип-шицевых областях. Изд. СПбГУ, 2006. 400 с.

7. Поборчий С. В. О непрерывности оператора граничного следа: ^р(П) ^ Ьд (дП) для области с внешним пиком // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2005. Сер. 1. Вып. 3. С. 51-60.

8. Яковлев Г. Н. Граничные свойства класса в областях с угловыми точками // Докл. АН СССР. 1961. Т. 140. С. 73-76.

Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.