О представлении решения задачи Неймана в области с пиком гармоническим потенциалом простого слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ НЕЙМАНА В ОБЛАСТИ С ПИКОМ

ГАРМОНИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ ПРОСТОГО СЛОЯ*

В.Г.Мазья1, С. В. Поборчий2

1. Department of Mathematical Sciences University of Liverpool, UK,

Professor, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Введение. Нахождение решения задачи Неймана

Дм = 0 в du/dv|r = ф±, Г =

для ограниченной области Q+ или ее дополнения Q- = Rn \ Q+ в виде гармонического потенциала простого слоя u = Vg приводит к граничному интегральному уравнению второго рода для отыскания плотности g. Граничные уравнения теории потенциала изучались в многочисленных работах при разных предположениях относительно гладкости поверхности Г — общей границы областей П+, Q- (см. обзор [1], работу [2] и приведенные в них ссылки). Если поверхность Г достаточно гладкая, то при исследовании граничных уравнений применима теория Фредгольма. В случае когда Г имеет особенности, фредгольмовость граничных интегральных операторов, вообще говоря, нарушается. Тем не менее, в случае липшицевой поверхности Г было показано [3-5], что решение внешней задачи Неймана представимо в виде м- = Vg-, где g- £ —2 (Г) при любых ф- £ —2(Г), а при условии ф+ ± 1 в —2(Г) решение внутренней задачи Неймана записывается в виде м+ = Vg+ + const для некоторой функции g+ £ —2(Г).

Разрешимость граничных интегральных уравнений теории потенциала на плоском контуре с точкой возврата изучалась в работах [7-9].

В предшествующей работе [10] авторы впервые рассмотрели интегральное уравнение Vg = f для многомерной поверхности Г с изолированным пиком. Выяснилось, что гармонический потенциал простого слоя V : —2 (Г) ^ Tr (Г), действующий в пространство Tr (Г) следов на Г функций с конечным интегралом Дирихле на Rn единственным образом продолжается до изоморфизма между пространством Tr (Г)*, сопряженным к Tr (Г), и самим пространством Tr (Г).

В настоящей работе мы исследуем разрешимость граничных интегральных уравнений задачи Неймана (внешней или внутренней) для уравнения Лапласа в области с пиком. Мы показываем, в частности, что решение внешней задачи Неймана для области Q- с вершиной внутреннего пика можно представить как Vg-, где g- £ Tr (Г)* определяется единственным образом для всех ф- £ Tr^)*. Если Q+ —область с внутренним пиком и ф+ £ Tr^)*, ф+ ± 1, то решение внутренней задачи Неймана имеет вид м+ = Vg+ при некотором g+ £ Tr (Г)*, определяемом однозначно с точностью до слагаемого const • go, go = V-1(1). Эти результаты неверны для области с внешним пиком.

‘Исследования первого автора частично поддержаны грантом UK EPSRC №EP/F005563/1.

© В. Г. Мазья, С. В. Поборчий, 2009

Начнем с описания поверхности Г, с которой дальше будем иметь дело. Рассмотрим ограниченную односвязную область П С И”, п > 2, граница которой содержит начало координат, а точка {О} имеет такую окрестность, которая пересекается с П или с И” \ П по множеству

{ж = (ж', X”) € И” : X” € (0, 1), ж'/у>(ж”) € ш}, (1)

где ^ — непрерывная возрастающая функция на промежутке [0,1] такая, что ^(0) = 0, а ш —ограниченная область в И”-1. В целях простоты изложения мы не будем стремиться к максимальной общности и предположим, что дш € С2, <р € С2(0,1] П С 1[0,1]. Кроме того, у>'(0) =0 и дП \ {О} € С2. Если множество (1) лежит в П, то будем говорить, что П имеет внешний пик и О — его вершина. Если множество (1) лежит в И” \ Й, то по определению точка О есть вершина внутреннего пика для области П.

Положим Г = дП. При всех х € Г \ {О} существует нормаль к Г в точке х. Единичный вектор такой нормали, направленный во внешность П, обозначается через ^(х). Далее, П+ = П, П- = И” \ Й. Символ Вг(х) означает открытый шар в И” радиуса г с центром в ж, Вг = Вг(0). Пусть О — область в И”. Тогда Сд°(С) есть множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в О, а Н(О) —пространство гармонических в О функций с конечным интегралом Дирихле, снабженное, вообще говоря, полунормой ||V(•)^^2(с), где Ум означает градиент функции и. Далее, ¿2(О) —пространство функций из ¿2,гос(О) с градиентом из ¿2(О).

Для ж, у € И” через Е(ж, у) обозначим фундаментальное решение уравнения Пуассона:

Е(х,у) = ((2 - п)|5”-1||х - у|”-2)-1,

где |£”-1| —площадь единичной сферы в И”.

Для поверхности Г определим потенциал простого слоя с плотностью д:

(^)(х)= е(у)Е(х,у)^Г(у), ж € И”. (2)

Пусть Н(Г) — пространство определенных в И” функций с конечным интегралом Дирихле, гармонических в каждой из областей П+, П-. В Н(Г) введем норму ||У(-)||£2(яп). Тогда [10] V : ¿2(Г) ^ Н(Г) —линейный непрерывный оператор.

Из сформулированных выше на поверхность Г условий вытекает, что при ж € Г\{О} для некоторого шара Вц (ж) и всех £, п € В^(х) П Г верна оценка

д£(£,п)

< с(ж, Г)|£ - п1

2”

д^

Отсюда следует, что при д € ЬТО(Г) и ж € Г\{О} имеет определенное значение интеграл

д(у)д(х) ( дЕ(х,£)

= / е(£)^Р^Г(£), (3)

Jг д^ж

называемый прямым значением нормальной производной потенциала простого слоя. Стандартные рассуждения показывают, что при тех же д функция д(у)д/дь' непрерывна в Г \ {О}.

Пусть функция м задана в И” \ Г и ж € Г \ {О}. Значения м±(х) определяются как односторонние пределы (если они существуют):

м±(ж) = Иш м(ж + ¿^(х)).

Для Q £ С(Г) имеют место формулы

9{Vg)± . . dVq g(x)

aT(l)= a7(l)T 2 ’ xGr\{o} (4)

(см., например, [6], гл. 14, §7 для x £ Г в случае гладкой поверхности Г). В нашем случае формулы (4) выводятся повторением этих рассуждений. Учитывая непрерывность прямого значения (3), приходим к заключению, что в случае q £ С(Г) предельные значения d(VQ)±/dv непрерывны на Г \ {O}.

Чтобы сформулировать задачу Неймана, введем пространства следов функций с конечным интегралом Дирихле в П+ или П-. Определим пространство ¿2(П-) как замыкание относительно нормы ||V(-)||L2(fi-) множества функций из СТО(П-)П¿2(П-), имеющих ограниченный носитель в П-. В пространстве следов Тг-(Г) = {и|г : и £ ¿2(П-)} введем норму

II/Нтг-(Г) = inf{HVul|L2(fi-) : u £ L2(n-). и|г = /}-

Для внутренней области П+ введем пространство следов Тг+(Г) = {u|r : и £ Ь^П^)}, снабженное полунормой

II/ 11тг+(г) = inf{|Vu|L2(n+) : и £ ¿2(П+),и|г = /}.

Заметим, что ||/||тг+(г) = 0 равносильно / = const. Пусть еще Тг(Г) = Тг+(Г) ПТг-(Г) и положим

1/2

|/||тг(Г) = (|/|1тг+(Г) + |/Нтг--(Г)) •

Лемма 1. (i) Отображение H(П±) Э и ^ и|г = / £ Тг±(Г) является изометрическим изоморфизмом. То же верно для отображения H(Г) Э и ^ и|г = / £ TV (Г).

(ii) Множество сужений на Г функций из C0’o(Rn \ {O}) плотно в Тг(Г).

(iii) Если область П+ имеет внешний пик, то Тг(Г) = Тг-(Г) с эквивалентностью норм.

(iv) Если область П+ имеет внутренний пик, то верно соотношение эквивалентности

||/||т>(г) ~ ||/||тг+(г) + ||/||Ь2(Г). (5)

Доказательство. (i) Рассмотрим для определенности область П-. Пусть и £ H(П-). Покажем, что и £ ¿2(П-). Введем срезку n £ Cd^^), n|в1 =1 и положим щ(x) = n(x/k) при k = 1, 2,... Для достаточно больших k имеем

1М^и - и)|Ь2(^-) ^ ck 1||u||L2(B2k\Bk) + ||Vu||L2(B2k\Bk )•

Последнее слагаемое стремится к нулю, так как Vu £ ¿2(П-), а предыдущее слагаемое стремится к нулю ввиду неравенства Харди

НМ 1^||ь2(я,1\Вл) ^ сС Br.

Тем самым H(П-) С ¿^П-).

Пусть / £ Тг-(Г). Как известно ([13], § 12), задача Дирихле

Ди = 0 в П-, и|г = /

имеет единственное решение м в классе Н(П ), и, кроме того,

НУм11ь2(п-) = II/Нтг-(г).

Итак, отображение Н(П-) Э м ^ м|г € Тг-(Г) взаимно-однозначно, сюръективно и сохраняет норму. Утверждение (1) для области П- доказано. Для области П+ рассуждения аналогичны.

Пусть / € Тг(Г). В силу вышесказанного существуют однозначно определяемые функции м± € Н(П±) такие, что м± |г = /. Определим м в И”\Г равенствами м|^+ = м+, м|п- = м-. Тогда м € Н(Г), причем соответствие Тг(Г) Э / ^ м € Н(Г) взаимнооднозначно, сюръективно, а также ||/||тг(г) = II УмН^я^).

(11) Достаточно показать, что любую функцию из Н(Г) можно аппроксимировать элементами С^(И” \{О}) в норме ||У(-)||£2(яп). С помощью срезок , введенных в начале доказательства, и последующего усреднения аппроксимируем функцию из Н(Г) элементами С^(И”). Пусть м € С^(И”), а € СТО(И”), а|В1 = 0, а(х) = 1 при |х| > 2. Положим а^(ж) = а(кх), к = 1, 2,... Тогда сходимость У(а&м) ^ Ум в ¿2(И”) обосновывается с помощью неравенства Харди || |х|-1м|^2(ап) < с || УмН^я^).

(ш) Требуется показать, что для всех / € Тг-(Г) верна оценка

||/||тг+(г) < с ||/||тг-(г) . (6)

Пусть м € Н(П-), м|г = /. Зафиксируем такой шар В = Вд, что П+ С В. Существует [14] линейный непрерывный оператор продолжения Е : ^^(П- П В) ^ ^^(В). Положим V = м + Е(м — м), где м — среднее значение м на П- П В. Ясно, что V € ^21(П+), "у|г = / и верна оценка

Ну^1ь2(^+) <с 11Ум|ь2(п-).

Отсюда следует (6).

(гу) Пусть / € Тг(Г), м € Н (Г), м|г = / .В силу неравенства Соболева [12]

11м|ь,(яп) < с 11^7мУ^2(яп), Я = 2п/(п - 2), и неравенства ||м|^2(п+) < с ||м|^,(п+) имеем оценку

Нм11ж1(п+) < с НУм11ь2(яп).

Применяя известную оценку для следа функции в области с внутренним пиком [11, 7.3]

У/||ь2(Г) < с lluIIW21(fi+),

получаем

У/||ь2(Г) + У/||тг+(Г) < с У/||тг(Г). (7)

Проверим обратное неравенство. Пусть / € Тг+(Г), м+ € Н(П+), м+|г = /. Область П+ удовлетворяет условию конуса, и по теореме об эквивалентных нормировках имеем

11м+11ж1(п+) ~ ИУм+|ь2(п+ ) +у/ 11ь2(г) = у/ 11тг+(г) + у/||ь2(г).

Если Е : ^21(П+) ^ ^21(И”) —линейный непрерывный оператор продолжения [14], то функция м- = Ем+|^- принадлежит ¿2(П-), удовлетворяет условию м-|г = /, и выполняется неравенство

ИУм-|Ь2(п-) < с llu+Уw2l(n+),

откуда

c II/ІІТг-(Г) < II/ІІТг+(Г) + II/Уі2(Г)-

Неравенство, обратное к (7), а с ним и соотношение (5) установлены. Доказательство леммы закончено.

Далее Тг±(Г)*, Тг(Г)* означают сопряженные пространства к соответствующим пространствам следов. Нам понадобится следующий результат (см. [10]).

Теорема 1. Пусть Со (Г) —множество непрерывных на Г функций, равных нулю в окрестности точки O. Отображение

где V — потенциал простого слоя (2), может быть единственным образом продолжено до изометрического изоморфизма между пространствами Тг(Г)* и Тг(Г), если отождествить элемент д € Со (Г) с функционалом1

Из этой теоремы непосредственно вытекает такое утверждение.

Следствие 1. Пусть функция м принадлежит одному из пространств Н(П-) или Н(П+). Тогда м = Vg при некотором д € Тг(Г)* в том и только в том случае, если

Хорошо известно, что задача (8) имеет единственное решение при всех ф € Тг-(Г)*, причем решение принадлежит Н(П-) и справедлива оценка

Теорема 2. Если П+ — область с внешним пиком (а П- —с внутренним пиком), то решение задачи Неймана (8) представляется потенциалом простого слоя и = Уд с плотностью д, удовлетворяющей однозначно разрешимому уравнению

где A : Tr (Г)* ^ Tr (Г)* является расширением по непрерывности оператора

Со (Г) Э g ^ Vg Є Тг(Г),

g Є Тг(Г).

м|г Є Тг(Г).

Рассмотрим задачу Неймана для области Q-:

Дм = 0 в Q , du/dv|r = ф .

(8)

Здесь ф € Тг (Г)*. Ее решением назовем такую функцию м € ¿г(П ), которая удовлетворяет равенству

I|Vm||L2(q-) < ||ф ||тг-(г)*.

Ag = ф ,

(10)

С0(Г) Э g^Ag = dVg/dis + g/2eTr-(T)*.

(11)

1Угловыми скобками обозначается результат действия функционала на элемент.

Доказательство. Пусть и — решение задачи (8). Так как u G H(О-), граничный след f = и|г принадлежит пространству Тг-(Г). В силу леммы 1 (iii) f G Тг(Г). Применяя теорему 1, найдем, что существует единственный элемент g G Тг(Г)*, удовлетворяющий уравнению Vg = f. Таким образом, функции и и Vg решают одну и ту же задачу Дирихле об отыскании гармонической в П- функции, равной f на Г, и, следовательно, совпадают.

Обратимся к граничному интегральному уравнению (10). Предположим сначала, что g G Co (Г) и g является следом на Г функции класса C“(R”\{O}). Пусть G G H (Г), G|r = g. По формуле Грина имеем

/ V(Vg)VGdx = - [ Щ^—gdF.

JQ- Jr

Отсюда и из (4) получаем

i V(Vg)VGdx = -(Ag,g), (12)

JQ-

где A — оператор, определенный в (11). По лемме 1 (ii) g пробегает множество, плотное в Тг(Г), поэтому G пробегает множество, плотное в H(Г). При фиксированом g функционал в левой части (12) непрерывен в H(Г), поэтому функционал справа в (12) непрерывен в Тг(Г). Из (12) следует, что

|(Ag,g)| < llV(Vg)l|L2(Q-^MlTrCr^

откуда вытекает оценка

НАд||тг(Г)* < |V(Vg)|L2(Q-}-По теореме 1 ||V(Vg)||L2(Rn) = ||д|тг(г)*, и, значит,

11АдУтг(г)* < ЦдУтг(г)*,

где g G Co (Г). Поскольку множество Co (Г) плотно в Тг(Г)* (см. [10]), А единственным образом продолжается до непрерывного оператора Тг(Г)* ^ Тг(Г)*. Отсюда, в частности, получаем, что (12) верно для всех g G Тг(Г)* и G G H(Г). Подставляя в (12) G = Vg, g = Vg|r, находим что

f |V(Vg)|2dx = |(Ag,g)|.

JQ-

Отсюда

llg|Tr-(r) ^ II Ag|Tr(r)* llg|Tr(r) •

Но по лемме 1 (iii) и теореме 1 имеем

1Ы1тг-(Г) ~ llglTr(r) = lV(Vg)lL2(Rn) = II g^Tr(r)*,

поэтому

IIAg^Tr(r)* > const ||g||Tr(r)*•

Итак, уравнение (10) имеет не более одного решения. Покажем, что решение существует. Поскольку функция u = Vg удовлетворяет тождеству (9) и имеет место (12),

(Ag,g) = (Ф-, g)

для всех g Є Тг(Г) = Tr (Г). Это означает, что Ag = ф как элементы пространства Тг(Г)* = Тг-(Г)*. Доказательство теоремы закончено.

Рассмотрим задачу Неймана для внутренней области:

Дм = 0 в П+, du/dv|r = ф+, (13)

где ф+ Є Тг+(Г)*. Ее решением назовем такую функцию м Є ^(П^), Для которой при всех w Є ¿2(^+) выполнено равенство

/ VuVwdx = ^+,w}. (14)

./ п+

Очевидно, что условие (ф+, 1} = 0 необходимо для разрешимости задачи (13). Обозначим через Тг+(Г)* 0 1 подпространство Тг+(Г)*, состоящее из функционалов, ортогональных 1. Известно, что при ф+ Є Тг+(Г)* 0 1 поставленная задача Неймана имеет решение, единственное с точностью до постоянного слагаемого, и это решение на самом деле принадлежит H (П+).

Теорема 3. Пусть область П+ имеет внутренний пик, ф+ Є Тг+(Г)* 0 1. Тогда

всякое решение и задачи (13) представляется потенциалом простого слоя u = Vg с

плотностью g Є ТУ(Г)*, удовлетворяющей уравнению

Ag = ф+, (15)

где A : Тг(Г)* ^ Тг+(Г)* 0 1 является расширением по непрерывности оператора

С0(Г) Э g і—> Ag = dVg/dv - д/2 Є Тг+(Г)* 0 1. (16)

Решение уравнения (15) единственно с точностью до слагаемого const • go, где go =

V-2(1).

Доказательство. Пусть и — решение задачи (13). Так как и Є H(0+), верно f = м|г Є Тг+(Г) и f Є ¿2(Г) [11, 7.3]. По лемме 1 (iv) f Є Тг(Г). В силу теоремы 1 уравнение Vg+ = f разрешимо в классе Тг(Г)*. Таким образом, в области П+ функции м и Vg+ решают одну и ту же задачу Дирихле для уравнения Лапласа, и, значит, совпадают.

Обратимся к граничному интегральному уравнению (15). Так же, как и в предыдущей теореме, предположим сначала, что g Є С0(Г) и w Є C^(R” \ {O}). Применяя формулу Грина, получаем

I 'V(Vg)'Vwdx= [ ^ ^—wdT.

Jn+ Jr dv

Отсюда и из (4) вытекает, что

I V(Vg)Vwdx = (Ag, w}, (17)

J п+

где A — оператор, определенный в (16).

Из теоремы о продолжении [14] следует, что множество, плотное в W21(R”), плотно и в ^22(П+), так что из справедливости (17) для всех g Є С0(Г), w Є C^(R” \ {O}) и

плотности множества С“(И” \ {О}) в ^21(Н”) выводим равенство (17) для тех же д и всех т € ^21(П+). В частности, для т € Н(0+) имеем

ІІАдІІТг+(Г)* < II^^^^(П+Ь

что вместе с равенством ||V(Vg)||L2(Rn) = ||д||Тг(Г)* дает

||Ад||тг + (Г)* < ІНІТг(Г)* , 9 Є С0 (г).

Итак, оператор (16) единственным образом продолжается по непрерывности до оператора Тг(Г)* ^ Тг+(Г)* 0 1, а равенство (17) имеет место для всех д Є Тг(Г)* и гш Є ^21(П+). Объединяя (14) и (17), получаем

для всех т € Тг+(Г). Отсюда Ад+ = ф+ как элементы пространства Тг+(Г)* © 1. Выясним, каково ядро А. В случае Ад = 0 (17) дает

для всех w £ H(П+), откуда Vg = const в П+. Таким образом, ядро оператора A одномерно и состоит из элементов c go, c = const, go = V-1(1). Теорема доказана.

В заключение сформулируем еще одно утверждение, касающееся областей с внешними пиками.

Предложение 1. Для области П- (или П+) с внешним пиком существуют такие функционалы ф- £ Тг-(Г)* (ф+ £ Тг+(Г)* 0 1), что задача Неймана (8) (или (13)) в этой области имеет решения, которые нельзя представить гармоническим потенциалом простого слоя с плотностью из Тг(Г)*.

Доказательство. Ввиду следствия 1 достаточно проверить, что существуют решения задачи Неймана, принадлежащие пространству H(П-) (или H(П+)), которые не являются сужениями функций из H(Г). Отметим, что Тг-(Г) = Тг+(Г) (см. [11], 7.3, 7.4). Рассматривая для определенности область П+ и применяя лемму 1 (iii), убеждаемся, что множество Тг+(Г)\Тг(Г) непусто. Пусть f принадлежит этому множеству, и пусть £ H(П+) —функция, для которой u+|r = f. Тогда функционал

принадлежит пространству Тг+(Г)* 0 1, а задача (13) имеет решение + const, чей след на Г не принадлежит Тг(Г). Таким образом, это решение не представляется потенциалом (2). Для области П- рассуждения аналогичны.

Литература

1. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 27. ВИНИТИ АН СССР. М., 1988. С. 131-228.

|(Ag,w}| <||V(Vg)||L2(n+)||Vw||L2(n+),

откуда

(Ag+, w} = (ф+, w}

2. Maz’ya V. G., Shaposhnikova T. O. Higher regularity in the classical layer potential theory for Lipschitz domains // Ind. Univ. Math. J. 2005. Vol. 54, N1. P. 99-142.

3. Jerison D. S., Kenig C. E. The Neumann problem on Lipschitz domains // Bull. AMS. 4. 1981. P. 203-207.

4. Calderon A. P. Boundary value problems for the Laplace equation on Lipschitz domains // Recent Progress in Fourier Analysis, Sci. Publ. Amsterdam, 1985. P. 33-48.

5. Kenig C. E. Harmonic analysis technics for second order elliptic boundary value problems // CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 83. AMS. Providence, 1994.

6. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М., Высш. школа, 1977. 481 с.

7. Мазья В. Г., Соловьев А. А. Об интегральном уравнении задачи Дирихле в плоской области с остриями на границе // Матем. сб. 1989. Т. 180. Вып. 9. С. 1211-1233.

8. Мазья В. Г., Соловьев А. А. О граничном интегральном уравнении задачи Неймана для области с пиком // Труды ЛМО. 1990. Т. 1. С. 109-134.

9. Мазья В. Г., Соловьев А. А. Интегральные уравнения теории логарифмического потенциала на контурах с пиком в пространствах Гёльдера // Алгебра и Анализ. 1998. Т. 10. Вып. 5.

С. 85-142.

10. Мазья В. Г., Поборчий С. В. Однозначная разрешимость интегрального уравнения для гармонического потенциала простого слоя на границе области с пиком // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2009. Вып. 2. С. 62-71.

11. Мазья В. Г., Поборчий С. В. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелип-шицевых областях. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 399 с.

12. Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. 1938. Т. 4. C. 471497.

13. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., 1950. 255 с.

14. Jones P. W. Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces // Acta Math. 1981. Vol. 147. P. 71-88.

Статья поступила в редакцию 16 октября 2008 г.