О непрерывности оператора граничного следа w 1(ω) → Lq (∂ω)для области с внешним пиком Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 3

С. В. Поборчий

О НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРА ГРАНИЧНОГО СЛЕДА %Х(П) ^ Ьд(дП) ДЛЯ ОБЛАСТИ С ВНЕШНИМ ПИКОМ

Хорошо известно, что функции из пространства Соболева в области с компактным замыканием и гладкой границей имеют следы на границе, принадлежащие классу Соболева—Слободецкого с так называемыми «дробыми» производными. В частности, упомянутые следы суммируемы на границе. Более того, согласно теореме Соболева [1, §8], [2, 1.4.5], для граничного следа верна оценка

{1дп (Ьх)1/4 ^ С + №и\\рЬр{п)), (1)

где П — область в И" с границей дП класса С0'1, и — произвольная функция, для которой правая часть в (1) конечна (Уи означает градиент функции и), р € [1, те), ¿вх — элемент площади поверхности дП, ц = (п — 1)р/(п — р) при р < п, ц € [1, те) при р = п, ц = те при р > п и с — положительная постоянная, не зависящая от и.

Ситуация меняется, когда область имеет особенности на границе. Например, если

П = {х € И" : 0 <хп < 1, х\ +-----+ х"-1 < х"х}, А> 1,

то функция П э х ^ и(х) = х-1 Х(" 2) принадлежит вместе со своим градиентом пространству Ьр(П) при 1 < р < (1+А(п —1))/(2 + \(п — 2)), но ее след и\до, несуммируем на дП.

В общем случае критерий справедливости неравенства (1), где ц > р, ¿в — (п — 1)-мерная мера Хаусдорфа и и — произвольная функция класса C(П) П СТО(П), формулируется в терминах р-проводимости [2, 4.11.4].

Цель настоящей работы — дать явные необходимые и достаточные условия непрерывности оператора граничного следа

%Х(П) Э и » и\дп € Ьч(дП) (2)

для области с внешним пиком. Здесь и далее (П) означает пространство Соболева, состоящее из функций, характеризующихся конечностью нормы

\\иЫ&) = (\иГЬр(п) + \\Уи\\1р{п)у/Р .

Опишем класс областей с внешним пиком. Пусть П — ограниченная область в И" (п > 2) с границей дП. Предположим, что О € дП, а поверхность дП \ {О} может быть локально представлена графиком липшицевой функции в некоторой декартовой системе координат. В точке О расположим начало декартовых координат х = (у,г), у € И"-1, г € И1. Пусть ^ — возрастающая функция из С0,1([0,1]) такая, что у>(0) = 0, <£>'(£) ^ 0 при Ь ^ +0, и пусть ш —ограниченная область в И"-1 класса С0,1.

© С. В. Поборчий, 2005

Определение. Точка О называется вершиной пика, направленного во внешность П, если существует окрестность и этой точки, для которой

и П П = {(у, г): г е (0,1), у/ф) е и].

(3)

Пусть Бе = {х е И" : \х\ < е] и П С И" —область с внешним пиком. Тогда при всех достаточно малых е верна оценка

1М1ь,(эп\ве) < сЕ\\и\\Ш1{п) с соболевским показателем д. Поэтому неравенства (1) и

\\и\ь,(я) < с\\и\кр1(п), (4)

5 = {х = (у, г) : г е (0,1), у/ф) е ди], (5)

при некотором д > 1 и всех и е ЭДр-(П) справедливы или нет одновременно. Таким образом, для выясения непрерывности оператора сужения (2) достаточно рассмотреть область П специального вида, определяемую правой частью равенства (3). При этом оценку (4) достаточно проверить для функций и с носителем в малой окрестности вершины пика. Далее, если не оговорено противное, под П будем подразумевать область, определяемую правой частью (3).

Нам понадобятся следующие известные весовые неравенства Харди на интервалах числовой оси (см. [2, § 1.3]).

Лемма 1. Пусть 1 < д < р <ж и —ж < а < Ь < ж. Неравенство

^ т(х) ! /(г)сИ X < С \У(х)^(х)\РX

1/р

(6)

верно с константой С, не .зависящей от функции /, тогда и только тогда, когда

Б

V

ч-1-

сх

\у(х)

Ыу)\дСу |

су

Ш\р

— \

р—я

/

<,

(7)

где 1/р + 1/р' = 1. Если С —точная константа в (6), то

д1/ч ((р — д)/(р — 1))(д-1)/д Б < С < р'(ч-1)/ч д1/* б

Б = С при д =1 < р <ж.

Лемма 2. Пусть 1 < р < д < ж и —ж < а < Ь < ж. Неравенство (6) верно с константой С, не .зависящей от функции /, тогда и только тогда, когда

/г- Г \1/ч ( СЬ

I/ Их)\9Сх1 / \у(х)\-Р Сх

1/р'

Б = вир ( I \->л(х)\дСх

а<г<Ь

< ж,

(8)

р—я

Ь

X

Р

и

1/р + 1/р' = 1. Если С — точная константа в (6), то

В < С < (ц/(ц - 1))1/р'ц1'«В и С = В в случае р =1 или ц = те.

Сформулируем необходимое и достаточное условие непрерывности оператора (2) при ц < р.

Теорема 1. Пусть 1 < ц < р. Непрерывность оператора (2) для области с вершиной внешнего пика на границе равносильна условию

ч-1'

О = / Iи

<И

, n "-1

<рЩ р-1

йг

ср(г) р-1

— < те.

(9)

Доказательство. Пусть оператор (2) непрерывен, т.е. для всех и € (П) верна

оценка (4), где поверхность $ определена в (5). Проверим условие (9). Для / € Ьр,гое(0, 1) определим функцию

{х = (у, г) : 2 € (0, 1), у/^(г) € Э х ^ и(х) = /(Ь)&.

(10)

Тогда и(х) = 0 при 2 = 1 и |Уи(х)| = \/(г)|. Подставляя функцию и в (4), получим

1/«

У У / №

ф)п-2йг I <

< с

1

V \ р

п1

У I / (*< ф)п-1йг\ + с П \/(г)\р ф)п-1йг\ . (11)

Используя неравенство

/ (т

Р Г1

<) X

и меняя порядок интегрирования в первом слагаемом в правой части (11), убедимся, что первое слагаемое мажорируется вторым. Таким образом, приходим к оценке

{1о1 11 /(т ^(г)П-2<^ < с Ц1 \/(г)\рф)п-1<1г^ '

с константой, не зависящей от /. Неравенство (9) вытекает из леммы 1.

Пусть теперь (9) имеет место. Проверим оценку (4). Достаточно считать, что и(у, г) = 0 в окрестности 2 = 1. Обозначим через и(г) среднее значение функции и(-, г) на сечении П гиперплоскостью г =шпз1;. Покажем, что функция (0,1) Э г ^ и(г) абсолютно непрерывна и оценим ее производную. Имеем

и(г)

1

р(г)п-1\и\

- ! и{у,х)ау = щ ! и{Ч?{х)У,х)ёУ,

р—я

1

1

X

1

1

1

р

1

где \и\ =ше8п-1(и). Отметим, что функция и х (0,1) Э (У, г) ^ у(У,г) = и(р(г)У, г) принадлежит классу Wp)(и х (е, 1)) при любом е е (0,1). Следовательно, функция у(У, ■) абсолютно непрерывна при п.в. У е и. Отсюда для любой функции ц е Сд°(0,1) получаем

[ и{г)г1\г)<1г = -±- [ ¿У ( р-(¥,г)ф)сЬ.

■к \и\.)и .к дг

Таким образом, функция и абсолютно непрерывна на интервале (0,1) и при п.в. г е

(0, 1) п 1

й'{г)=я I г}+£

Кроме того,

[ \и'(г)\Рф)п-1 Сг < ■1 о

1 „1 р

СУ

1ФГЧ

О п-1 „

г 1=1 у

< С [ Сг [ \Уи(у,г)\РСу = сЦ^иЦ^. (12)

Л 0 Л

Отметим еще, что

JS J0

Так как и(г) = 0 вблизи г = 1, то по лемме 1 имеем

\и(г)\*Сах < с(и) I \и(г)\*ф)п-2Сг. (13)

0

I \й(г)\<с{р,Ч)ВЕ^ \й'(г)\Рф)"-^^", (14)

где величина Б определена в (9). Из (12) - (14) вытекает оценка

|4Свх^ / < с |Уи|ьр(,), (15)

где Свх —элемент площади поверхности 5 и с — константа, не зависящая от и. Обратимся к оценке величины Ци — и\\^я^). Так как д < р,

\\и — и\\Ья^) < с\\и — и\\Ьр^). (16)

В свою очередь,

\\и — и\\Ьр^) < с |У Сг ! \и(у,г) — и(г)\РСБг (у) I , (17)

\0 Sz )

где 5Х = {^(г)у : у е ди] — сечение поверхности 5 гиперплоскостью г =ооп81. Применим в области ^(г)и = {^(г)у : у е и] при фиксированном г известную оценку для граничного следа функции т е (ф(г)и):

ф)! \т(у)\РС5г(у) < с У \т(у)\РСу + сф)Р | \У ут(у)\Р¿у.

Sz

Положим в этой оценке w(y) = u(y, z) — u(z) и используем неравенство Пуанкаре

/ \w(y)\pdy < еф)Р \Vyw(y)\pdy.

Тогда получим

/ \u(y, z) - u(z)\pdSz(y) < сф)р-Ч \Vyu(y, z)\pdy.

J Sz J ip(z)u>

Интегрируя это неравенство по z G (0,1) и принимая во внимание (16), (17), придем к оценке

(/ \u(x) - u(z)\«ds^ < с yVuyLp(n) (18)

с константой, не зависящей от u. Из последнего неравенства и (15) следует (4). Доказательство теоремы закончено.

Пример 1. Рассмотрим степенной пик

= {(y, z) G R" : z G (0, 1), \y\ <czx], A> 1. (19)

Тогда оператор сужения на границу (2) непрерывен при 1 < q < p в следующих случаях:

1) Р > 1 +A(n - 1) и q G [1,p);

2) p< 1 + A(n - 1) и 1 < q<p min{1, (1 + A(n - 2))/(1 + A(n - 1) - p)}.

Перейдем к случаю q > p. Здесь верно такое утверждение.

Теорема 2. Пусть Q С R" — область с вершиной внешнего пика на границе. Для того, чтобы оператор (2) был непрерывен при p < q < ж, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(Г 9 \VV f1 1-»

D= sup / ip{z)n-2dz\ / V{z)~dz\ < oo. (20)

re(0,\) \Jo

Доказательство. Необходимость неравенства (20) устанавливается так же, как и в теореме 1 с помощью подстановки пробной функции (10) в неравенство (4) и последующей ссылки на лемму 2.

Достаточность. Пусть условие (20) выполнено и пусть u G Wp)(Q), u(y, z) = 0 вблизи z =1. Рассуждая так же, как и в теореме 1, придем к оценке (15) (разница только в том, что неравенство (14) получается ссылкой на лемму 2; соответственно константа D в (14) определяется формулой (20)). Остается проверить оценку (18).

Убедимся, что показатель q в (20) не превосходит предельного показателя в теореме Соболева. В самом деле, из (20) выводим при всех достаточно малых z > 0 неравенство

fr 9 \1/q f fz+ip{z) - \{P~1)/P

ij <f(t)n-2dt\ ij <f(t) — dt\ <D.

Так как y(z + O(p(z))) = y>(z) + o(p(z)) при z ^ +0, то из предыдущего неравенства следует, что при малых z > 0

V>(z)(n-1)/q+1-n/p < const. Отсюда 1 — n/p + (n — 1)/q > 0.

Для доказательства оценки (18) положим

гв = 1, ¿к+1 + фк+1) = гк, к = 0,1,... Последовательность {гк]к=в убывает, гк ^ 0, а кроме того,

¿к+1 г-1 ^ 1, фк+1 )фк)-1 ^ 1. Разобьем область П и поверхность Б на «ячейки»:

Пк = {х = (у, г) : г € (гк, гк-1), у/ф(г) € ш], к = 1, 2,..., Бк = {х = (у, г) : г € (гк,г—), у/ф(г) € дш], к = 1, 2,...

Ясно, что

\и(х) — и(г)\4 ¿вх

1/ч

/ж

1/ч

\и(х) — и(г)\4 ¿в3

(21)

Для оценки общего члена последней суммы сделаем замену переменной

х = (у,г) ^ X = (в,г) : в = у/<р(г), г = (г — гк)/фк),

переводящую область Пк в цилиндр О = ш х (0,1), а поверхность Бк в боковую поверхность Г = дш х (0,1) цилиндра О. Положим у(з,1) = и(у, г) и обозначим через среднее значение функции ш э в ^ у(в,£). Тогда = и(гк + у(гк)£) = и(г). Так как д не больше предельного показателя в теореме Соболева, то верна оценка

Их) — ь(г)\1 а.Гх

1/4

< — v\

(22)

где аГх —элемент площади поверхности Г, а константа с не зависит от v. По теореме об эквивалентных нормировках в пространстве Wp)(G) [1, §9], [2, 1.1.15] имеем

V — v\\w}ЛG) < С \^(х) —

1/р

Кроме того,

поэтому

а также

1 а с 1 fдv

< Л I

\ш\J и

дv ,

¿в,

^'(г)\рах < \Vv(х)\рах.

Из (22) и последних оценок выводим неравенство

1/4

У их) — v(t)\4с]Гх^ 4 < С \Vv(х)\рах)

1/р

(23)

б'

г

р

G

G

с константой, не зависящей от v. Заметим, что

\Vxv(X)| - фн)\Vxu(x)\, dx ~ <f(zk)ndX, dsx ~ фк)п-^Гх,

где символ a — b означает, что существуют такие положительные постоянные ci,c2, зависящие только от функции р и области ш, для которых cía < b < 02a. В силу указанных соотношений эквивалентности неравенство (23) в переменных x = (y, z) приобретает вид

fs К*) - u(z)\4s^j q < сф^-тЛ^-1|Vu\\LpiQk), (24)

где к = 1, 2,..., а константа c не зависит от u и к. Правая часть в (24) имеет, очевидно, мажоранту bk = c ||Vu||¿p(Qfc). Пусть ak —левая часть в (24). Заметим, что если

0 < ak < bk, к = 1, 2,...,

то при q > p > 1 верно неравенство

( то \ 1/q ( то \ 1/р fe *) < fe Ч) .

Таким образом, правая часть в (21) мажорируется величиной c ||Vu|¿p(Q). Оценка (18) а с ней и теорема доказаны.

Замечание 1. Теорема 2 верна и при q = ж. В этом случае условие (20) равносильно неравенству

г 1

/ 1 — п

/ ip(t) — dt< 00, (25)

, ч )р-

J о

необходимость которого устанавливается так же, как и в теореме 2. С другой стороны, известно [2, 5.1.2], [3, 8.2.2], что это неравенство необходимо и достаточно для непрерывности оператора вложения (П) — С(П). В частности, при условии (25) непрерывен оператор сужения на границу Шр(П) — С(дП).

Пример 2. Рассмотрим область П, определенную в (19). Тогда оператор сужения на границу (2) непрерывен при q > р в следующих случаях:

1) р > 1 + Л(п — 1) и р < q <ж;

2) р = 1 + Х(п — 1) и р < q < ж;

3) 1 < р< 1 + Л(п — 1) и р < q < (Х(п — 2) + 1)р/(1 + Л(п — 1) — р).

В качестве приложения полученных результатов опишем некоторый класс эквивалентных норм в пространстве граничных следов функций из (П), а также приведем условие разрешимости задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в области с внешним пиком.

Пусть П —область общего вида с вершиной внешнего пика на границе. Обозначим через ТШр1(П) пространство следов п\до, функций и € (П) с нормой

\\!\\т^(п) = Ы{|Мкр1(п) : и € Wp(П), и\зп = I}■

Пространство ТШр1(П) при п =2 и р € (1, ж) описано в работе [4], а при п > 2 и р € (1, ж) —в работе [5]. Сформулируем результат из [5].

Пространство ТШ^(П) при п > 2 и р € (1, те) состоит из функций I € Ьр^ОС(дП \ {О]), для которых конечна норма

\\1 \\ьр (а) + [¡]р,. + I р (26)

где а — связное открытое подмножество дП, содержащее дПП и и находящееся на положительном расстоянии от вершины О, и — окрестность из определения вершины внешнего пика,

, 1/р

\аха

(

1/р

\х — £\"+р-2

\{х,£еБ:\г-С\<Ы (г,С)} Б — поверхность, определенная в (5), х = (у, г), £ = (ц, £) и

М (гХ)=твх{ф),ч>(С)].

При этом норма (26) эквивалентна норме \\I\\тw1(п).

Используя теоремы 1, 2, можно дополнить это описание пространства ТШ^(П) следующим образом.

Предложение 1. Пусть П —область в И", п> 2, с вершиной внешнего пика на границе и пусть р € (1, те). Предположим, что выполнено условие (9) при 1 < д < р или условие (20) при д > р. Тогда

\\I\\тw1>(n) ~ \\I\\ьр(а) + [1}р,а + \1 \р + \\!\\ь„(дП).

Это утверждение следует из теорем 1, 2 и эквивалентности норм (26) и \\ • \\тw 1 (п). В области с внешним пиком общего вида рассмотрим задачу Неймана

—Аи + и = 0 в П, (27)

= д, (28)

ди ду

дП

где А — оператор Лапласа, V — внешняя нормаль к поверхности дП и д — функция на дП. Решением задачи (27), (28) называется такая функция и € Ш^П), для которой при всех v € (П) выполнено равенство

/ (VuVv + = д(х^(х)в,зх,

п дп

где ¿вх —элемент площади поверхности дП. Таким образом, разрешимость задачи Неймана равносильна непрерывности функционала

Ш1(П) э v ^ д(хУо(х)авх. (29)

дп

При этом решение указанной задачи единственно. 58

Лемма 3. Пусть 1 < ^ <ж и 1/q +1/^ = 1. Задача (27), (28) разрешима при всех д € Ьд/ (дП) тогда и только тогда, когда оператор сужения (2) непрерывен при р = 2.

Доказательство. Пусть оператор (2) при р = 2 непрерывен. По неравенству Голь-дера

g(x)v(x)dsx

1дП

< Ы\ь,(дп)1М1ь,(дп),

а так как последний сомножитель не больше c\\v\\w_i(n), функционал (29) непрерывен для всех g G Lq>(дП).

Пусть теперь задача Неймана разрешима для всех g G Lq>(дП). Положим

V = {v G ^1(П) П LTO(H), \v\wi(n) < 1}

и при v G V определим функционал

Lq> (дП) э g ^ Фу (g)= g(x)v(x)dsx.

■)дп

Для любого элемента g G Lq/ (дП) существует такая функция u G W^21(n), что

Фу (g) = (VuVv + uv)dx, v G V.

Jq

Поэтому для любой функции v G V имеем

\фу(g)| < \\u\wi(Q).

Таким образом, функционалы Фу(•) точечно ограничены, и, значит, их нормы ограничены в совокупности, т. е.

\М\ь„(дп) < const, v G V.

Последнее означает, что

Мья(дп) < const \\v\w21(q) (30)

для всех v из множества W21(n) П LTO(n), а поскольку последнее множество плотно в W21(n) (см., например, [2, 3.1.2]), то оценка (30) имеет место для всех v G W21(n). Доказательство леммы закончено.

Замечание 2. Лемма 3 может быть сформулирована для эллиптического уравнения второго порядка и краевого условия Неймана более общего вида.

Из теорем 1,2 и леммы 3 вытекает такое утверждение. Предложение 2. Пусть П — область в R" с вершиной внешнего пика на границе. Если q' > 2, то задача Неймана (27), (28) разрешима для всех g G Lq>(дП) тогда и только тогда, когда выполнено условие (9), где p = 2 и 1/q + 1/q' = 1. В случае 1 < q' < 2 разрешимость .задачи Неймана для всех g G Lq> (дП) равносильна выполнению условия (20) при p = 2, 1/q +1 /q' = 1.

Пример 3. Рассмотрим степенной пик П из примера 1. Тогда задача (27), (28) разрешима для всех g G Lr(дП) в следующих случаях:

1) 1 < А < 2, г > 2(А(П - 2) + 1)/(А(П - 3) + 3);

2) 2 < А < 3, n = 2, г> 2/(3 - А);

3) А > 2, n> 2, г> 2(A(n - 2) + 1)/(A(n - 3) + 3).

Отметим, что утверждение, сформулированное в п. 1 примера 3 при г < 2 и n =2, получено также в недавней работе [6].

Summary

S. V. Poborchi. On continuity of the trace operator W^ (fi) ^ Lq (dfi) for a domain with outward peak.

Explicit necessary and sufficient conditions for continuity of the trace operator: Wp(fi) ^ Lq (dfi) are given for a domain with outward peak in both cases q < p and q > p. These results are applied to describe a class of norms equivalent to the norm of a trace as an element of the factor space Wp (fi)/Wp (fi). Another application of the above results is a condition on a boundary function for the solvability of the Neumann problem for the second order elliptic equation.

Литература

1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., 1950. 255 с.

2. Мазья В. Г. Пространства С.Л.Соболева. Л., 1985. 415 с.

3. Maz'ya V. G., Poborchi S. V. Differentiable functions on bad domains. Singapore etc.: World Scientific, 1998. 504 p.

4. Яковлев Г. Н. Задача Дирихле для области с нелипшицевой границей // Диффер. Уравн. 1965. T. 1, №8. С. 1085-1098.

5. Мазья В. Г., Поворчим С. В. Следы функций из пространств Соболева на границе области с пиком // Современные проблемы геометрии и анализа. 1989. Т. 14. С. 182-208.

6. Acosta G., Armenato M. G., Duran R. G., Lombardi A. Nonhomogeneous Neumann problem for the Poisson equation in domains with an external cusp //J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 310, N2. P. 203-217.

Статья поступила в редакцию 23 декабря 2004 г.