CC BY
8О НЕПРЕРЫВНОСТИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С СИЛЬНО ВЫПУКЛЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ1
Балашов М.В. (balashov@math.mipt.ru) Московский физико-технический институт
Доказана непрерывность по Гельдеру пересечения гельдеровых многозначных отображений, одно из которых имеет сильно выпуклые значения. Рассмотрены приложения полученного результата. Библиография: 3 названия.
Пусть T - метрическое пространство (возможно, не векторное) с метрикой р, H - гильбертово пространство со скалярным произведением (a,b). Замкнутый шар из H радиуса R > 0 с центром в точке a G H будем обозначать BR(a).
Многозначным отображением F из T в H мы будем называть соответствие, ставящее каждому элементу t G T подмножество F(t) из H.
Множество A CH будем называть сильно выпуклым с радиусом R > 0, если оно пред-ставимо в виде пересечения замкнутых шаров радиуса R.
Для сильно выпуклых множеств в гильбертовом пространстве доказан следующий опорный принцип (см. [1]): пусть множество A C H сильно выпукло с радиусом R, p
— единичный вектор из H и xp G A такой элемент, что (p,xp) = sup(p,x). Тогда
xeA
A C BR(xp — Rp).
Для множества A CH через strco rA мы будем обозначать пересечение всех шаров радиуса R, содержащих A.
Метрикой Хаусдорфа на замкнутых ограниченных подмножествах пространства H мы будем называть функцию двух ограниченных замкнутых подмножеств A и B из H:
h(A, B) = inf{r > 0 | A C B + Br(0), B C A + Br(0)}.
Отметим, два непосредственных следствия определения метрики Хаусдорфа.
Во-первых, если Va G A 3ba G B, такое, что ||a — ba|| < r и Vb G B 3ab G A, такое, что ||b — ab|| < r, то h(A, B) < r.
Если же h(A, B) < r, то для любого A > 1 для любого a G A найдется b G B, такое, что ||a — b|| < Ar. Аналогичное верно с заменой A на B.
Определение 1. Скажем, что многозначное отображение F удовлетворяет условию Гельдера с показателем а и константой LF в метрике Хаусдорфа, если для любых ti и t2 из T выполнено неравенство
h(F(ti), F(t2)) < Lf (p(ti,t2))a .
При a = 1 многозначное отображение F называется непрерывным по Липшицу.
Под гладкостью многозначного отображения F мы будем понимать выполнение условия Гельдера для F с показателем a G (0,1] и некоторой константой Lf > 0.
В приложениях большое значение имеют свойства пересечения H гладких многозначных отображений F и G. В общем случае даже пересечение достаточно гладких (например,
хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект 01-01-00743) .
липшицевых) многозначных отображений может быть не только не гладким, но даже не непрерывным в метрике Хаусдорфа.
Мы предполагаем рассмотрение всего класса гладких многозначных отображений с выпуклыми значениями. Нас будет интересовать вопрос о зависимости гладкости Н = Г П О от гладкости Г и О. При этом существенную роль сыграет предположение о сильной выпуклости образов многозначного отображения Г.
Обозначим через Пд(а)[Ь, с] дугу окружности радиуса Я длины не более пЯ с центром кривизны в точке а и концами в точках Ь и с.
Скажем, что дуга (а)[Ь,с] видна из точки й € {а,Ь,с}, если для точек х = Ь и х = с выполнено равенство оК{й, х} П Дд(а)[Ь, с] = {х}.
Лемма 1. Пусть на плоскости И,2 задан замкнутый круг Вд(0) и точка Ь € Вд(0). Пусть Ьп — проекция точки Ь на Вд(0). Рассмотрим набор дуг
1 = (ца + ,/Я2-^ [Ьп .а]}
такой, что
1) а € ВД(0);
2) \д\ = 1, (Ьж - Ь.д)> 0, {Ьж — а.д) = 0;
3) любая дуга набора 1 видна из точки Ь.
Тогда дуга с максимальной по длине хордой в наборе 1 есть дуга ДД(0)[ЬП,д], где д € дВД(0) определяется из условия оК {Ь.д}р\ дВД(0) = {д}.
Теорема 1. Пусть Г.О : Т ^ Н -многозначные отображения с выпуклыми и замкнутыми значениями. Пусть образы Г сильно выпуклы с радиусом Я и для всех Ь € Т Н(¿) = Г(Ь) П О(Ь) = Пусть, кроме того, Г и О удовлетворяют условию Гельдера с показателями а и в и константами Ьр и Ьс соответственно. Тогда Н удовлетворяет на Т условию Гельдера следующего типа:
Н(Н(и).Н(12)) <
< Ьрр(г1,12)а + 2Ьср(г1.12)в + (1)
+ ^2Я(ЬР р(11.12)а + Ьср(11.12)в).
для всех ¿1,Ь2 € Т.
Доказательство. Фиксируем А > 1. Пусть с1 € Н(¿1). Пусть Ь(Ь) € О(Ь) - такой элемент О, что \\Ь(Ь) — с1\\ < АЬср(Ь,Ь1)в. Пусть с(Ь) — произвольный элемент Н(¿).
В силу выпуклости значений О весь отрезок [с(Ь),Ь(Ь)] содержится в О(Ь). Если Ь(Ь) € Г(¿), определим а(Ь) как ближайший к точке Ь(Ь) элемент из [с(Ь). Ь(Ь)] П дГ(¿). Заметим, что
Ух € (а(г).Ь(г)] х/Г (¿). (2)
Введем а(Ь). Положим а(Ь) = Ь(Ь), если Ь(Ь) € Г(¿) и а(Ь) = а(Ь), если Ь(Ь) € Г(¿). Далее будем считать, что а = а, так как в случае а = Ь имеем
\\а(1) — с4 = \\Ь(г) — с4 < АЬср(г,11)в. (3)
Пусть Ьп (£) — проекция Ь(£) на ^(г). Введем единичный вектор р(£)
р(.) = Ь(£) - Ьп(£)
р() ||Ь(г) - Ьп (£)||
В силу опорного принципа для сильно выпуклых множеств имеем
^(г) с Вя(Ьп(г) - р(г)Я) (4)
Определим единичный вектор из условий
1) (Ьп(£) - Ь(г),д(г)>> 0;
2) (Ьп(£) - а(г),д(£)> = 0;
3) (Ьп(£) + а(£))/2 + д(£) е aff {Ьп(*), Ь(4), а(4)>.
Если векторы Ьп(£), Ь(£), а(£) для некоторого £ аффинно зависимы, то, как легко видеть, а(£) = Ьп(£), и взяв х(г) е ^(г) такой, что ||х(£) - с1| < АЬ^р(£,£1)а, имеем
||а(£) - С1| = ||Ьп(£) - С1| < ||С1 - Ь(£)|| + ||Ьп(£) - Ь(£)|| < < ||С1 - Ь(£)|| + ||Ь(£) - х(£)|| < ||С1 - Ь(£)|| + ||Ь(£) - С11 + (5)
+ ||ж(£) - С1|< А^р(М1)а + 2АЬср(£,^1)в.
Считая вектора а(£), Ьп(£), Ь(£) аффинно независимыми, получаем, что условия 1)—3) определяют единственный вектор [а(£),Ьп(£)] — хорда дуги
Ся ( ^п«^ + Л2 -|ЬпС) - а(г>|2) [Ьп(г),а(г)],
которая лежит в ^(г) в силу сильной выпуклости образов ^. В силу включения (4) эта дуга лежит и в шаре Вя(Ьп(£) - р(г)Д).
Рассматриваемая дуга видна из точки Ь(£), что следует из условия (2) и условий 1) - 3) на вектор д(£). По лемме 1 хорда этой дуги не более хорды дуги (Ьп(£)-р(£)Я)[Ьп(£),$(£)], где $(£) определяется из условий
#(£) е aff {а(£),Ь(£),Ьп(£)},
aff Ш,Ь(£)} П дВд(Ьп(£) - р(£)Я) = Ш}.
Отсюда, решая плоскую задачу в аффинной плоскости aff {а(£), Ь(£), Ьп(£)}, имеем
||Ьп(г) - а(г)||<||Ь„(г) - г(г)|| =
\
Окончательно получаем (см. оценку в формуле (5))
\\a(t) - Ci \\ < WK (t) - a(t)\\ + \\к (t) - b(t)\\ + \\b(t) - cj <
< XLfp(ti,t2)a + 2XLGp(ti,t2)e + J2R(XLfp(ti,t2)a + Xlcp(ti,t2)e).
Отсюда в силу свойства метрики Хаусдорфа получаем, что
h(H(ti),H(t2)) <_
< XLfp(ti,t2)a + 2XLGp(ti,t2)e + J2R(XLfp(ti,t2)a + XLGp(ti,t2)e).
Переходя к пределу по X ^ 1 + 0, получаем правую часть формулы (1). Аналогично из формул (3) и (5) получается (1). ■
Из доказательства теоремы 1 следует, что если в предположениях теоремы 1 для каждого t Е T либо F(t), либо G(t) имеет сильно выпуклые значения, то для всех tl,t2 eT
h(H(ti),H(t2)) < 2Lfp(ti,t2)a + 2LGp(ti,t2)e+
+ J2R(Lf p(ti,t2)a + LGp(ti,t2)e).
Лемма 2. Пусть F,G С E1 множества, T : E1 ^ E2 линейный инъективный оператор. Тогда T(F П G) = (TF) b(TG).
Теорема 2. Пусть E — нормированное пространство. Пусть выполнены условия теоремы 1. Пусть задано семейство линейных операторов T(t) : H ^ E, инъективных для всех t Е T, причем выполнены следующие свойства:
1) Vti,t2 Е T \\T (ti) - T (t2)\\ < Lt p(ti,t2)at,
2) M = sup {\\х\\ | xeF (t) f| G(t), tE T} < +< и m = sup \\T (t)\\ < +<. Тогда если
ter
H(t) = (T(t)F(t))f](T(t)G(t)), то для любых ti,t2 eT и для p = p(ti,t2) имеем
h(H(ti),H(t2)) < mx
, /_N (6)
x [Lfpa + 2LGpe + ^J2R(Lfpa + LGpe)) + MLtp"t
Доказательство. Пусть H0(t) = F (t) f| G(t). По лемме 2 H (t) = T (t)H0(t). Фиксируем X > 1. По теореме 1
Vx0 E H0(ti) 3y0 E H0(t2) :
_ч (7)
\\X0 - У0\\ < X (Lfpa + 2LGpe + ^2R(Lfpa + LGpe)) .
Фиксируем x E H(t\). Найдется x0 E H0(ti): X = T(ti)x0. Пусть y = T(t2)y0, где y0 взято в зависимости от х0 из условия (7).
\\х - y\\ = \\T(ti)x0 - T(t2)y0\ =
= \\T(ti)x0 - T(ti)y0 + T(ti)y0 - T(t2)y0\\ < <\\T (ti)\\\\x0 - y0\\ + \\y0\\\\T (ti) - T (t2)\\.
Из равноправности ti и t2, формулы (7) и условий 1), 2) теоремы получаем предельным переходом по t ^ 1 + 0 формулу (6). ■
Приведем примеры показывающие неулучшаемость полученных результатов. П р и м е р 1. Пусть при t > 0 заданы многозначные отображения F (t) = {(x1, x2) | x2 > x2} П B1((0, 0)), G(t) = {(x1, x2 + t) | x2 < —x1} fl B1((0, t)). F и G удовлетворяют условию Липшица с константами Lp = 0 и Lg = 1 и имеют сильно выпуклые образы с радиусом сильной выпуклости \/2. Выберем t1 = 2t2, t2 > 0. Имеем
h(H(t1), H(t2)) > 2 (VtT — Vt2) = 2(^2 — 1)^|t1 — t2|.
Отсюда видно, что условие Гельдера с показателем 1/2 неулучшаемо.
Пример 2. Пусть при t G [0,1] заданы F (t) = {(x1,x2) | x2 > |x1|3^ B1 ((0,0)), G(t) = {(x1,t) | x1 G [—1,1]}. F и G удовлетворяют условию Липшица с константами Lp = 0 и Lg = 1. Здесь F(t) не является сильно выпуклым множеством. Имеем
h(H (t1), H (t2)) = \¡ (^T — Vt2)2 + |t1 —12|2 < < VlViT—12 + |t1 — t2|2 < V2|t1 — t2|1/3,
причем при t1 = 2t2, t2 > 0 имеем h(H(t1), H(t2)) > 2( \/2 — 1) ^|t1 — t2|, то есть в данном примере условие Гельдера с показателем 1/3 неулучшаемо. Рассмотрим некоторые применения теоремы 1. Пример 3. Рассмотрим следующую задачу:
min f (x).
x€G
Будем предполагать, что G - выпуклое замкнутое ограниченное множество в H, f : H ^ R - функция (вообще говоря, невыпуклая), но такая, что f имеет строгий глобальный минимум, равный нулю, и ее лебеговы множества уровня L(e) = {x | f (x) < в}, в G [0, во], сильно выпуклые с одним и тем же радиусом сильной выпуклости R. Такие функции будем называть сильно квазивыпуклыми с радиусом R.
Потребуем также, чтобы решение задачи минимизации u(G) было единственным. Это, например, имеет место, когда функция f полунепрерывна снизу и строго выпуклая на H. Рассмотрим, как решение u(G) зависит от множества G.
Пусть G1 и G2 - выпуклые замкнутые ограниченные множества, для которых min f (x) <
x€Gi
в0; u = argmaxf (x), h = h(G1, G2).
x€Gi
Без ограничения общности считаем, что f (u1) < f (u2), т.е. L(f (u1)) С L(f (u2)). Пусть F = F(G) = L (f (u2)) - сильно выпуклое множество с радиусом R. Имеем u2 = Ff| G2, u1 = L (f Ы)П G1 С Ff| G1. Пусть G(G) = G. По теореме 1 имеем
||u(G1) — u(G2) || < h (F П G1, F П G2) < 2h + V2Rh. (8)
Пример 4. Снова рассмотрим задачу из примера 3. Будем предполагать, что G -сильно выпуклое в H с радиусом сильной выпуклости R, f : H ^ R - функция (вообще говоря, невыпуклая), но такая, что f имеет строгий глобальный минимум на строго
выпуклых множествах из H и имеет выпуклые и замкнутые множества Лебега. Важными частными случаями таких функций являются линейные непрерывные функционалы и строго выпуклые функции.
Рассмотрим, как решение u(G) зависит от множества G.
Пусть Gi и G2 - сильно выпуклые множества с радиусом R, щ = arg max f (x), h =
h(Gi,G2).
Повторяя рассуждения примера 3, получаем, что
\\u(Gi) — u(G2) \\ < h (F П Gi,F p| G2) < 2h + V2Rh. (9)
Отметим, что формулы (8) и (9) одинаковы и являются уточнением для случая гильбертова пространства результата, полученного в работе [2] (формула (11) на странице 12). Преимуществом этих формул является то, что они получена в более удобных терминах, чем результат (11) из [2, С. 12]. Еще раз подчеркнем, что в отличии от формулы (11) из [2, С. 12], функция f не предполагается выпуклой.
Отметим, что из примера 3 в случае f (x) = \\x\\2 мы получаем известный результат Да-ниеля [3] о том, что проекция нуля на выпуклое замкнутое множество зависит по Гельдеру от множества в метрике Хаусдорфа с показателем в условии Гельдера 1/2. Из примера 4 в случае f (x) = (p,x), p Е H, следует, что опорные элементы сильно выпуклых множеств также зависят по Гельдеру от множества в метрике Хаусдорфа с тем же показателем 1/2.
Пример 5. Покажем, что если точка минимума не единственна, то множества минимумов нерегулярно зависят от множества в метрике Хаусдорфа. Пусть f : H —► R задается формулой
f\\xl \\x\\ < 1,
1, \\x\\ е[1, 2],
\\x\\ — 1, \\x\\ > 2.
Ясно, что f липшицевая с константой 1 и имеет сильно выпуклые множества уровня {x \ f (x) < ß} с радиусом 2, ß Е [0,1]. Фиксируем единичный вектор e Е H и число R > 1/2, а также е Е (0,1). Пусть G1 = strco R{e, 2e}, а G2 = strco R{e—ee, 2e—ee} = G1—ee. Рассмотрим две задачи из примера 3 с G = G1 и G = G2.
Все точки Gi являются точками минимума f на G1 (сужение f на G1 есть константа). Решение второй задачи - точка e — ee.
h(G1,G2) = е, а h (Arg min f, Arg min f 1 = 1 + е. Ясно, что никакой разумной оценки V Gi G2 /
hl Arg min f, Arg min f ) через h(G1,G2) нет.
Gi G2
Литература
[1] Балашов М.В., Половинкин Е. С. M-сильно выпуклые подмножества и их порождающие множества. Матем. сб. 2000. Т. 191. 1. С. 27 - 64.
[2] Бердышев В.И. Устойчивость минимизации функционалов и равномерная непрерывность метрической проекции: Автореф. дисс. д-ра ф.-м. н. 01.01.01. - М., 1987. - 27с.
[3] Daniel J.W. The continuity of metric projections as functions of data //J. Approxim. Theory, 1974. - Vol. 12. - №3. - P. 234-240.
