О модулях выпуклости функции и множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

М. В. Балашов

Московский физико-технический институт (государственный университет)

О модулях выпуклости функции И множества

В банаховом пространстве рассматривается связь между равномерно выпуклыми функциями и множествами. Доказано, что лебеговы множества равномерно выпуклой функции равномерно выпуклы. Доказано, что граница равномерно выпуклого множества является графиком равномерно выпуклой функции. Получены оценки на модуль выпуклости.

Ключевые слова: модуль выпуклости, равномерно выпуклая функция, равномерно выпуклое множество.

В статье мы кратко рассмотрим связь равномерно выпуклых функций и множеств. Кроме того, мы рассмотрим зависимость параметров выпуклости лебеговых множеств равномерно выпуклой функции от модуля выпуклости этой функции. Подобные вопросы возникали и ранее для конкретных пространств и классов функций, например [1,2,5,9,10]. В конце статьи на основании полученных теорем единым образом доказывается ряд известных результатов о равномерно выпуклых функциях в гильбертовом пространстве.

Банахово пространство Е рассматривается над вещественным полем скаляров. Через Вг (а) обозначим замкнутый шар радиуса г с центром в точке а € Е. Диаметром множества А называется число ё1ашА = вир ||х — у||; границу множества

х,у£Л

А обозначим через дА. Через со А обозначим выпуклую, а через сопе А коническую оболочку мно-А

Для точек хо и XI из Е и числа А € (0,1) обозначим

х\ = (1 — А)хо + Ах1.

Определение 1. ([8]). Пусть функция

/ : Е ^ М выпуклая и полунепрерывная снизу. Пусть функция 5: [0, +гс>) ^ [0, +гс>) строго монотонно возрастает, £(0) = 0. Будем говорить, что функция / равномерно выпуклая с модулем выпуклости 5, если для любых хо, х1 из Е и для любого А € (0,1) выполнено неравенство

/(х\) ^ (1 — А)/(хо) + А/(х1) —

—А(1 — А)5(||хо — х1\

(1)

Определение 2. ([8]). Пусть А С Е замкнутое выпуклое подмножество. Модуль выпуклости 5Л: (0, ^аш А) ^ [0, +го) есть функция, определяемая как

х + х2

5л(е) = вит 5 ^ 0

Вл

2

А

У х1,х2 € А : ||х1 — х2 \| = £>.

х1 , х2

дА

Е

А С Е

тое подмножество. Если модуль выпуклости 5л(е) строго положителен для всех е € (0, ё1ашА), то А

модулем 5л(•))•

Определения 1, 3 впервые даны Б.Т. Поляком, достаточно полное исследование содержится в работах [2,5] и особенно в работе [10].

Определение 1 можно сформулировать и для функции, определенной на множестве и С Е, однако мы далее будем считать, что область опреде-/Е Отметим, что для любого выпуклого замкну-А

ряет оценке 5л(е) ^ Се2 для некоторой константы С > 0. Если пространство Е содержит собственное неодноточечное равномерно выпуклое мно-А

ную равномерно выпуклую норму (и тем самым

А

ничено, см. [6].

Введем еще несколько обозначений. Через С(а) = С] (а) обозначим множество уровня а /

С(а) = С](а) = {х € Е | /(х) ^ а}. Определим также Ь

Кп

вир{|Н| | V € д/(х), х € С](а)}, М{||р|| | р € д/(х), х € дС](а)}.

д/(х) /

х € Е

д/(х) = {р € Е* I /(г) > /(х) + (р,г — х) У г € Е}.

Для дифференцируемой функции субдифференциал совпадает с множеством, состоящим из про/х

Работа поддержана грантом РФФИ 10-01-00139-а, программой «Развитие научного потенциала высшей школы» 2.1.1/11133 и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» программа 1.2.1.

Теорема 1. Пусть функция f удовлетворяет определению 1. Тогда для любого а > inf f (х)

xEE

множество L(a) равномерно выпуклое с модулем выпуклости

□

Доказательство. Зафиксируем е > 0 и x,y е

е д£(а), \\х — у\\ = е. Пусть z = ^ (х + у). В силу определения 1

f (z) <1 f (x)+2f (y) - 4'

- y|) = а - 7 S(^

В силу условия а > М /(х) имеем Ьа > 0, в силу

хЕЕ

/

всем пространстве Е имеем Ьа < +гс>.

Таким образом, если т € В (г), то /(т) <

4Ьа

< /(г) + Ьа 4^- = /(г) + 1 5(е) < а. Поэтому

B

Не)

X + y 2

с £(а),

откуда следует утверждение теоремы. ■

Из теоремы сразу следует, что 5(е) = O(e2), е ^ +0 (см. также [2]).

Кроме того, как следует из свойств модуля выпуклости множества, все лебеговы множества f

min f (х) = f (0) = 0.

xEE

Напомним, что график функции f : E ^ R есть множество

graph f = {(х, j) е E х R | j = f (х)},

а надграфик функции f : E ^ R есть множество

epi f = {(х,р) е E х R | j > f (х)}.

Лемма 1. Пусть (E, \| • ||) — банахово пространство. Пусть f : E ^ R полунепрерывная снизу равномерно выпуклая функция с модулем выпуклости S. Пусть а > min f (х). Тогда множество

xEE

A = {(х, j) е E х R | j < а}П graph f является частью границы равномерно выпуклого множества В ТОМ смысле, ЧТО ДЛЯ любых точек Z0,Z1 е е A выполнено включение

zo + zi 2

S

+

\ZQ - Zi у0 La + І

4(La + 1)

B0 (G, G) с epi f.

Здесь норма {(x, м) Є E x I

lo = INI + і • j, a B^^xo^o) =

||x - xo|| + їм - м0j < r}. □

Доказательство. Для а > min f (x) обозна-

xEE

чим

Sa = {(x, м) Є E x R j м ^ а}.

Пусть точки zo,zi е A таковы, что Zi (хг,f (хг)) и f(xi) < a i = 0, ^гда If (хо) f (х1)| < Ьа\\хо — х1\\ И, значит, ||zo — Zi||o < (La 1)||х0 — х1\. Отсюда

IIxo - xi| >

I zo - zi ||q

La + 1

f

f (х1/2) < 2 f (хо) + 2 f (х1) — 1 £(||хо — х1у) <

/ 1 t( ) , 1 s( ) 1 x ^lZ0 — Z1\o

< 2 f (х0) + 2 f (х1) — 4 4 La + 1

Положим h = 4 S (_|Z11^° ). Определим в -

= 1 /(хо) + 1 /(х0 < а г = (х1/2,в) € ер1 / и множество

К = {(х,л) € Е х М | ЬаЦх1/2 — х|| ^ л — (в — К)}.

Отметим, что К — конус с верш ИНОЙ (х1/2, в—К) € € ер1 / и «раствора» Ьа.

Ьа К

имеем

К П Ба С ер1 / П Ба,

откуда

Во н (х1/2,в) П Бр =

Ьа + 1 1 ^

= {(х,л) € Е х М | (Ьа + 1)(||х — х1/2| +

+в — л) < К}П Бр С К П Бр С ер1 / П Бр. (2)

Из доказательства теоремы 1 следует, что

В Н (х1/2) С С] (в),

Ьа

отсюда и из включения (2)

(х1/2,в) С ер1 /.

І

BQh

Последнее включение в точности означает, что Zo + Z1

2

+ B0 h (G, G) с epi f.

La + 1

Обозначим через N(A,у) нормальный конус к выпуклому множеству A в точке у е A, т. е.

N(A, у) = {р е E* I (p,y — х) ^ 0 V х е A}.

Лемма 2. Пусть f : E ^ R — выпуклая полунепрерывная снизу функция. Пусть а > inf f (х).

xEE

Пусть int L(a) = 0 и у е дС(а), т. е. f (у) = а. Тогда

N(С(а), у) = cone df (у). □

Доказательство. Смотри [3, Пример 1.16.5].

Напомним, что суммой Минковского множеств A,B С E называется множество {а + b | а е е A, b е B}, расстояние в метрике Хаусдорфа A, B С E

h(A, B) = inf{r > 0 | A С B+Br (0), B С A+Br(0)}.

Следующая лемма уточняет следствие 2.3 из

[10].

/

определению 1 и шт /(х) = /(0) = 0. Тогда для

хЕЕ

любых в > а ^ 0 выполнено неравенство

h (С(а), С(в)) < фа (в — а),

(3)

где <^а(^) — обратная функция к функции д(€) = = КаЬ + 5(Ь), Ь ^ 0 □

Доказательство. Отметим, что лебеговы /

Е

С(а) С С(в) х € дС(в) у

х С(а) у

силу рефлексивности Е), очевидно, что у € дС(а). Как показано в [10], субградиентное неравенство для равномерно выпуклой функции может быть записано в виде: р € д/(у) влечет /(г) ^ /(у) + + (р,г — у) + 5(||г — у!), для всех г € Е.

При а > 0 в силу леммы 2 во множестве д/(у) р = 0

ром 3(х — у) € N(С(а),у). Здесь 3(х — у) € Е*, единичной длины, и такой, что (3(х — у),х — у) =

= IIх — у||-

г=х

в = /(х) > /(у) + (р, х — у) + 5(||х — у||) =

а+

х — у\\ + S(||x — у||) >

> а + Ka\\x — у\\ + S(||x — у||),

откуда ||х — у\\ < фа(в — а). а=0

достаточно взять р = 0 е df (0).

Поскольку точка х е дС(в) произвольная, то h (£(а), С(в)) < фа (в — а). ■

Следующая теорема является уточненным вариантом [4, теорема 4].

Теорема 2. Пусть A С E — равномерно выпуклое множество с модулем выпуклости Sa-Пусть E = L® /, где codimL = 1, diml = 1. Отождествим / с осью значений. Пусть PL — проектор на L параллельно l и C = ||Pl||. Определим функцию

f : Pl A ^ l, f (x) = min{j | (x, j) е A}

V x е PlA. (4)

f

области определения PlA с модулем выпуклости S(e) = 2SA( □

Доказательство. Заметим, что C = ||Pl|| ^ 1 (так как Pl оставляет точки L неподвижными).

Пусть х0,х1 е graph f, ||х0 — х1| = е > 0 z = = 2 (х0 + х1). По условию теоремы BgA(e) (z) С С A С epi f

х0 и коэффициентом 2A, где А е (0, 2], имеем

f (Pl'x\) < (1 — A)f (Plx0) + Af(Plx1) — 2ASa^) <

< (1 — A)f(Plx0) + Af(Plx1) — A(1 — A)2SA(e). (5)

С учетом формулы Се = C||х0 — x1|| ^ ||Plх0 —

— PLx11| мы получаем, что

f (Pl'x\) < (1 — A)f (Plx0) + Af(Plx1) —

—A(1 — A)2SA

[!Plx0 — Plx1||

C

Анмом^т оценка получается и при A е

е (2> 0- ■

Теоремы 1 и 2 имеют общий характер и позволяют единым способом доказать многие известные результаты.

Пример 1. Пусть гильбертово пространство H есть сумма ортогональньи подпространств l®L, dim l = 1

пространстве H множество A есть пересечение шаров радиуса R > 0, то функция f из (4) сильно

2

выпукла с модулем S^) = Этот результат

анонсирован в [4, теорема 4].

A

RA

R

е > 0

Sa^)

е2 е2

R —\ IR2 — — -

4 8R

е 0.

Переписывая верхнюю строчку формулы (5) для точек хо, х1 € РьАш А = 2, получаем

/ (х 2) < 2/ (хо)+2/ (х1)—5л(|хо—х1|).

Пусть К1 > К. Выберем ео > 0 так, чтобы

е2 е2

5л(е) = К — у К2 4 > 8К1 Уе € [0, ео].

Отсюда получаем, что для любых точек хо,х1 € РьА таких, что ||хо — х1| ^ ео выполнено неравенство

/(х2) < 2 /(хо) + 2 /(х1) — 5л (|хо — х1|) ^

< 2 /(хо) + 2 /(х1) — 2 • 2 • 2К1 |хо — х1|2.

Последнее неравенство, как легко показать, эквивалентно неравенству выпуклости для функции д(х) = /(х) — 2^1 ||х||2 с А = 2 й при условии, что ||хо — х1|| < ео. По, как следует из сообра-

/

РьА, локальная выпуклость функции д (с А = 2)

д(х)

выпукла в обычном смысле: для любых хо, х1 € Н и А € [0,1]

д(хх) < (1 — А)д(хо) + Ад(х1).

Отсюда получаем для всех хо,х1 € Н и А € [0,1], что

/(хА) ^ (1 — А)/(хо) + А/(х1) —

—А(1 — А) 2р ||хо — х11|2 уК1 > Я.

2к1

Предельный переход по Я1 ^ К + 0 завершает доказательство. ■

Пример 2. Пусть функция / : Н ^ М равномерно выпукла с модулем 5(е) = К е2. Как сле-

д( х) =

= /(х) — К2 ||х||2 выпукла.

Тогда по теореме 1 лебеговы множества такой функции равномерно выпуклые с модулем

5С(а) (е) > е2.

Итак, 5^(а)(е) ^ Се2, С = -Ц—• Применяя результаты [7], получаем, что лебегово множество а

ров радиуса К < ■

Литература

1. Балашов М.В., Иванов Г.Е. Сильная выпуклость множеств уровня сильно выпуклой функции // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: междувед. сб. / М.: МФТИ. - 1996. - С. 46-52.

2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980.

3. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. - М.: Физматлит, 2007. 2-е изд. исправленное и дополненное. 440 с.

4. Половинкин Е.С. Сильно выпуклый анализ // Матем. сб. - 1996. - Т. 187:2. - С. 103-130.

5. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983.

6. Balashov M.V., Repovs D. Uniform convexity and the splitting problem for selections // J. Math. Anal. Appl. - 2009. - 360:1. - P. 307-316.

7. Balashov M.V., Repovs D. Uniformly convex subsets of the Hilbert space with modulus of convexity of the second order // J. Math. Anal. Appl. -2011.-377:2, P. 754-761.

8. Polyak B.T. Existence theorems and convergence of minimizing sequences in extremum problems with restrictions // Soviet Math. - 1966. - N 7. -P. 72-75.

9. Vial J.-Ph. Strong convexity of sets and functions // J. of Math. Economics. - 1982. - 9: 1-2. -P. 187-205.

10. Zalinescu C. On uniformly convex functions // Journal of Math. Anal. Appl. - 1983. - 95:2.

- P. 344-374.

Поступила в редакцию 13.01.2011