CC BY
14
УДК 517.9
Е.С. Половинкин
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Интегрирование по Риману многозначных отображений
В работе получены новые результаты об интегрировании по Риману на отрезке многозначных отображений с невыпуклыми компактными значениями из равномерно гладкого банахова пространства. Показано, что интеграл Римана на отрезке от такого отображения является выпуклым компактом. Получены общие свойства интеграла Римана. Найдены необходимые и достаточные условия интегрируемости по Риману невыпуклозначного многозначного отображения со значениями в сепарабельном равномерно гладком банаховом пространстве. Эти условия состоят в том, что выпуклая оболочка значений отображения должна быть непрерывной почти всюду.
Ключевые слова: сумма множеств Минковского, метрика Хаусдорфа, интеграл Римана многозначного отображения, равномерно гладкое банахово пространство, необходимые и достаточные условия интегрируемости по Риману.
I. Введение
Проблему интегрирования многозначных отображений Е : Т ^ 2е исследовали многие ученые, начиная со второй половины двадцатого века. В случае, когда пространство Е является конечномерным евклидовым пространством Мп, основное признание получило понятие интеграла Аумана (П.Л. Аитапп) [1] как совокупности значений от всех интегрируемых по Лебегу ветвей многозначного отображения. Такой подход был обоснован рядом хороших свойств этого интеграла, в первую очередь тем, что его значение является выпуклым и компактным множеством в Мп. Имеется целый ряд работ, развивающих и обобщающих результаты Аумана (см., например, [2-6]), в том числе
Е
ховым (см., например, [7,8]).
В данной работе автор развивает свои результаты [9-12], основанные на другом подходе к определению интеграла от многозначного отображения с компактными значениями, опирающийся на частичную линейность совокупности подмножеств из банахова пространства, получаемую использованием ПОНЯТИЯ суммы множеств ПО МIII! конскому. Такой подход позволяет развивать классическое понятие интеграла Римана на случай многозначного отображения. В работе обобщаются результаты, полученные автором ранее для случая многозначных отображений с компактными значениями из Мп, на случай отображений с компактными значениями из равномерно гладких банаховых пространств. Показано, в частности, что в таких банаховых пространствах интеграл Римана на отрезке, определяемый как предел римановых сумм от ограниченного невыпуклозначного отображения, является выпуклым компактом. До-
казаны необходимые и достаточные условия интегрируемости невыпуклозначного многозначного отображения со значениями в сепарабельном равномерно гладком банаховом пространстве.
II. Определения и вспомогательные результаты
Через 2е обозначаем множество всех подмножеств из банахова пространства E, через K(E)
— множество всех непустых компактов из банахова пространства E, через co K(E) — совокупность всех выпуклых подмножеств из K(E). Если задан компакт X G K(E), то через K(X) обозна-
E X
Алгебраической суммой (иначе называемой суммой Минковского) непустых множеств ^йиз
E
A + B = {x\ x G E, x = a + b, a G A,b G B}. Произведением множества A С E, A = 0, на число A G M1 называется множество AA = {x G E\ x = = Aa, a G A}. Полунормой множества A G E называется число ||A|| = sup{||a||\ a G A}.
В пространстве K(E) можно определить расстояние между двумя компактами A,B G K(E), которое задается метрикой Хаусдорфа:
h(A, B) = inf{r ^ 0 \ A С B + Br (0),
B С A + Br(0)}, (2.1)
где Br(a) = {x G E \ ||x — a|| < r} — открытый шар радиуса r > 0 с центром в точке a G E.
E
мкнутое множество A. Пусть E* — пространство,
E
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 10-01-00139а и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».
Опорной функцией множества А называется скалярная функция в(р, А) аргумента р € Е*, определяемая равенством
в(р, А) = 8ир{(р, х) | х € А},
(2.2)
где (р, х) — значение линейного функционала р в х
Пусть {Ар }р= — последовательность замкну-
Е
держащихся в некотором ограниченном подмно-Е
х € Е, для каждой из которых найдется последовательность {х р }£=1, х р € А р, такая, что х =
= Иш хр, называется нижним пределом последо-
и—
вателъности {Ар}^=1 и обозначается ИшМ Ар.
и—
Е
называется функция д: [0, +го) ^ [0, +гс>) вида
д(т) =
х + у
+
х - у
— 1 | х,у € Е,
(2.3)
В силу определения модуль гладкости д(-) является выпуклой возрастающей функцией, причем д(т) ^ т при всех т ^ 0.
Е
мерно гладким, если его модуль гладкости является о-мадым от т при т —> +0, т. е. Иш = о.
т—+0 т
Примерами равномерно гладких банаховых пространств являются гильбертовы пространства, пространства Лебега Ьр [а, 6] при р > 1 и другие (о равномерно гладких пространствах см, например, [13]).
В силу монотонности модуля гладкости пространства Е для функции д(-) из (2.3) существует ее обратная функция д-1(0, причем в случае, Е
ким, очевидно, справедливы выражения
т " Иш д-1(т) = 0. (2.4)
Иш
т—+0 д 1(т)
0,
т— +0
Для обоснования основных результатов нам потребуется следующая теорема об усреднении множеств, являющаяся обобщением аналогичной теоремы из [11], полученной для гильбертовых пространств. Данное обобщение получено мною совместно с Г.М. Ивановым и представлено к печати в [14].
Теорема 2.1 (об усреднении). Пусть в
Е
задано выпуклое ограниченное замкнутое множество X. Пусть Ар, где к € N р € (1, к), — двухпараметрическое счётное семейство (невыпуклых) замкнутых подмножеств множества X. Опреде-1 и . и
лим множества Бр = . ^ Ар и Бр = . ^2 СоАр
р=1 р=1
при к € N.
1) Тогда множество Б = ИшМБр, если оно не
и—
пусто, будет выпуклым замкнутым множеством Е
2) Если последовательность {Бр} сходится в метрике Хаусдорфа, то и последовательность {Бр} также сходится, причем к тому же пределу. □ Доказательство. Из условия следуют включения Б р с X V к € Ми Б с X, а также то,
Ар
жества X, ограничены в совокупности по полунорме, т. е. существует число а < +то такое, что \\Ар1, || ^ а при любых к,р.
Б
жество Б = ИшМ Б р очевидно являются замкну-и—
тыми множествами. Покажем выпуклость мно-Б
точек х, у из Б и всякого числа А € [0,1] точка ^ = Ах+(1 — А)у также принадлежит множеству Б. По определению нижнего предела для выбранных х, у € Б
чек {х и }^=^ {у и }^=^ хи € Би, у и € Бр такие, что
х = Иш х и и у = Иш у и. В свою очередь, для и—и —
каждого числа к € N найдутся точки хрк € Арр, ур € Ар при р € (1, к) такие, что справедливы равенства х и = . (х £ +-+ х и), у и = . (у 1 +-+ у k)•
Построим последовательность точек {гр}р=1,
г и € Б и вида г и = к (г к +-+ г ^ где точ ки гр €
€ Ар в паре со вспомогательными точками вр € Е будем вычислять по формулам:
во = 0,
р
х , р у ,
р1
вГ Х+ хри — уР
вр-1 + хрк — урк
вР = вр-1 + (Ахр + (1 — Ау — гр) Vр € (1, к).
г р = хр
венство вр = вр- + (1 — А)(ур — хрк), из которого очевидно следует оценка
Ю < шах{||вр-1||,\вр-1 + ур — хР||}, а при выборе гр = ур получаем равенство вр = = вр- + А(хр — ур), из которого следует оценка
ЦврЦ < шах{\вр-1\,\вр-1 + хр — урк\\}.
В итоге получаем общую оценку
11вр11 < шах{|вр-11, ш1п{\вр-1 + ур — хРII, ||вр-1 + хР — ур\\}}. (2.5)
По определению модуля гладкости д(^) (см. (2.3)) в случае, когда вр 1 =0, справедливо неравенство
вр-1 + ур — хр
в-1
1|вр-1\
+
\вр-1|
+
рр ху
^ 2 1 + д
2
1
р
г
к
р
к
1
откуда (и учитывая, что \\ур — хрр || ^ 2а) получаем
SI-
l|sp-1|
+
Р Р
Vk — xk
l|sp-1|
sp-
l|sp-1|
+
p p xk — Vk
l|sp-1|
2a
^ 1+Ч нвр-1^ ■ (2'6)
В итоге из выражений (2.5) и (2.6) получаем, что для любых р € (2, к), при которых вр 1 =0, справедливы неравенства
2а
1 + Q
lisp-11
(2.7)
(2.8)
Кроме того, для любого р € (2, к):
\\Бр\\ < \\Бр-1\\ + 2а.
Определим числовую последовательность ак = 2а1 при всех к € N ВДе д-1(0 — об-
ратная функция к модулю гладкости. В силу (2.4) получаем, что
Иш ар = +го, Иш ^ =0. (2.9)
р——+^ р——+^ к
Поэтому найдется номер к0 такой, что ак > 2а при всех к ^ ко, т. е., в частности, получаем оценку
\\в1\\ < 2а < ар Vк > ко. (2.10)
Для всякого к ^ к0 докажем оценку ||вр\| ^ < 2еак. Еели ||вр\| < ак, то требуемое неравенство очевидно верно. Пусть ||вр\| > ак. Тогда согласно (2.10) существует номер т > 1, т < к, та-
кой, что справедливы неравенства ||£р\| > ак при всех р = к, к — 1, ..., т + 1, но ||в™|| < ак. Поэтому в силу неравенств (2.6), (2.7) и определения а
Sii < ism (i + в(
<
Vis ' + ) =
nsri (i +1) <ism (1 +1) <...
< asr+1a (1 +1)
k—rn— 1
/ 1\ к-т-1 / -| \ к-т-1
^ (|вт| + 2а) (1 + < 2а к (1 + М < 2а ке'
Согласно полученной оценке для любого к ^ к0 имеем
||Ax k + (1 — A)yk — zka = у ||Sfca < 2e у,
откуда и из (2.9) следует, что построенная последовательность {гр}£=1, г р € Бр, сходится к точке г = Ах + (1 — А)у г € Б
Б
Б =
= соБ р. По доказанному выше множество Б =
= Иш Бр является выпуклым множеством. От-к——+^>
сюда и из очевидного неравенства Н(Бк,Б) = = Н(соБк, соБ) < Н(Бк,Б) получаем, что Б =
= Иш Бк. Теорема доказана. ■
к——+^>
Пусть Т,У — произвольные множества. Многозначным отображением Г множества Т во мно-У
каждой точке £ € Т сопоставляется некоторое (возможно пустое) подмножество Г(£) с У, называемое значением отображения Г в точке Ь. Такое многозначное отображение будем записывать в виде Г: Т ^ 2г.
Г
т. е. множества Г(£) при всех £ € Т замкнуты, комЕ
записывать соответственно в виде Г: Т ^ Т(Е), Г: Т ^ К(Е) и Г: Т ^ соК(Е).
Отображение Г: Т ^ К(Е) называется компактно ограниченным, если существует выпуклый компакт X с Е такой, что Г(£) € К(Х) V£ € Т.
Отображение Г: Т ^ К(Е) называется непрерывным в точке £0 € Те метрике Хаусдорфа, если для любого числа е > 0 существует окрестность и(£0) точки £0 такая, что для всех £ € и(£0) справедливо неравенство Н(Г(£), Г(£0)) < е.
Т
пространство, X — выпуклый компакт из равноЕ
7 < +го. Тогда для любого числа е > 0 найдется число V = у(е^) > 0 такое, что для любого конечного набора точек {^^т С Т, для любого конечного набора положительных чисел {Аi}ieI, таких, что ^2 Аi = 1 и шах^ | г € I} < V, а также
для любых многозначных отображений О : Т ^ ^ со) и Г: Т ^ K(X), удовлетворяющих оценке
h(G(t), co F(t)) < y Vt G T, справедливо неравенство
(2.11)
h G(Zi)AuJ2F(&)Ai ) < Y + £. □ (2.12)
iel
Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого конечного набора положительных чисел ^}^/, таких, что ^ Аi = 1, и лю-
iEІ
бого конечного набора точек {^ }^1 С Т и любой
О, Г
воряющих условиям теоремы (неравенству (2.11)), справедливы включения
Y,F(&)A С^G(£i)Ai + By(0);
iel
Е
iel
iel
G(6)Ai coF(^i)Ai + By(0).
(2.13)
ieI
Допустим, что неравенство (2.12) не верно. Тогда, учитывая первое включение в (2.13), получаем,
е0 > 0
дого к € N,2) пара многозначных отображений
1
1
Ок,Гр, удовлетворяющих оценке (2.11), 3) конечный набор номеров 1к = {1,2,...,тк} С N точек {£Р }-1£1к С Т И положительных чисел {Ак }-1£1к, удовлетворяющих условиям ^2 Ак = 1 и шах{АР |
| г € 1к} < для которых при всех к € N справедливы выражения
Як С Бк + (7 + е0)Б1(0)
тк тк
где Як .^2Ор(еР)Ак, Бр = ^2Гк(ер)Ар. (2.14)
i=1 i=1
Так как по условию отображения Ор, Гк ограничены на Т, а именно: Ок (£) С X и Гк (!) С X при всех £ € Т, то и все множества ЯР и Бк, где к € N ограничены, точнее Як С X и Бк С X. В силу свойства компактности подпространства К^), состоящего из компактов, содержащихся в заданном компакте X, из последовательностей {Як }'|к=1 и {Бк }^=1 можно выделить сходящиеся в метрике Хаусдорфа подпоследовательности. Без ограничения общности полагаем, что последовательности {Як}&=1 и {Бк}к=1 сходятся в К^) к некоторым компактам Я € соK(X) и Б € K(X) соответственно. Поэтому из (2.14) в пределе получаем, что
Я С Б + Щ0). (2.15)
С другой стороны, из второго включения в (2.13) получаем, что Як С соБк + Б7(0). Учитывая к тому же то, что последовательность {со Бк}^=1 сходится к со Б в ), в пределе получаем включение
Я С со Б + Б7(0). (2.16)
Выражения (2.15) и (2.16) возможны лишь в слу-Б = со Б
так, откуда допущение о несправедливости неравенства (2.12) будет опровергнуто. Перегруппируем слагаемые в каждом Бк в (2.14) так, чтобы
” п Ак + • • • + Ак тг
получить новый вид: Бк = —----------^------- ■ Для
этого полагаем
Ар =к • £ Гр(£р)Ар Vр € (М),
i=rp_l + 1
где натуральные числа г0 = 0 < г1 < г2 < • • • <
< гк = тк таковы, что справедливы неравенства
Гр Гр+1 _______
12 Ар < к <12 Ар при любом р € (1,к — 1). Так
i=l i=l
как по построению шах{АР | г € 1к} < то такие
числа гр, где р € (1,к — 1), существуют, причём справедлива оценка Ар С X. Осталось применить теорему 2.1 об усреднении, из которой следует, что Б = со Б
Т
пространство, X — выпуклый компакт из равноЕ
для любого числа е > 0 найдется число V = = V(е,X) > 0 такое, что для любого многозначного отображения Г: Т ^ K(X), любого конечного набора точек С Т и для любого конеч-
ного набора положительных чисел {Аi}iEІ, таких,
что 12 А-1 = 1 и шах^ | г € I} < V, справедливо
iEІ
неравенство
н1 £(соГ(&))\, £ Г&)АЛ < е. □ (2.17)
\ie_I iEІ /
III. Интеграл Римана на отрезке для отображений в К(Е)
Е
банахово пространство. Так как в метрическом К(Е)
жения и умножения на действительное число, то мы вправе ввести интеграл Римана на отрезке для отображений Г: [а, 6] ^ К(Е), как и для функций, через предел конечных сумм вида (см. [15-17]):
т
Е Г(&)Д^, где е € [г-1,и], Ati = ^ — г-1, = (3.1)
а — ^0 < ^1 < • • • < £т — 6.
К(Е)
и нормированным. Это не позволяет воспользоваться формально теорией интегрирования по Ри-ману функций со значениями в банаховом пространстве, хотя общую схему рассуждений [18] в какой-то мере можно сохранить (ср. [5,9]).
Для построения интеграла Римана на отрезке, как обычно, потребуется ввести понятие разбиения отрезка.
Римановым разбиением (или просто: разбиением) отрезка [а, 6] называется конечная совокупность интервалов и([а, 6]) = {Т1,Т2,... ,Ттш }, где Т = (^-1,и), и а = £р < £1 < • • • < т = 6, причем точки г € (0,т), будем называть точками разбиения и ([а, 6]). Диаметром разбиения и ([а, 6]) называется величина |и([а, 6])| = шах{|Т,;| | г € € (1,тш)}, где ^ = и —1-1.
Определение 3.1. Отображение Г: [а, 6] ^ ^ К(Е) называется ступенчатым, если существует такое риманово разбиение и ([а, 6]) отрезка [а, 6], что на каждом из инт ервалов Т € и ([а, 6]) Г
Указанное в определении 3.1 ступенчатого отображения разбиение и ([а, 6]) называется допусти-
Г
Будем различать ступенчатые отображения не только по их значениям, но и по выбору допустимого разбиения.
Определение 3.2. Пара (и([а, 6]),Г), где Г: [а, 6] ^ К(Е) — ступенчатое отображение, а и ([а, 6]) — допустимое для этого отображения раз-[а, 6]
рой.
Определение 3.3. Прединтегралом Римана ступенчатой пары (и([а, 6]),Г), где Г: [а, 6] ^
^ К(Е), называется множество
Р тш
У (и([а,6]),Г) А = ]ГГ(еО|^|, & € Ти (3.2)
[а,Ь] i=1
где и ([а, 6]) = {Т1,Т2,...,Ттш }.
Легко увидеть, что при отсутствии выпуклости значений Г (£) для одного и того же ступенчатого Г
разбиения в формуле (3.2), можем получить разные значения сумм.
В свою очередь, если ступенчатое отображе-Г
формула (3.2) дает один и тот же результат при любом выборе допустимых разбиений. В частности, для ступенчатого отображения Г : [а, 6] ^ ^ К(Е) можно корректно определить интеграл от
со Г
по формуле
со ¥ Зі = ^ со ¥ (&)№1, & є Ті, (3-3)
= 1
[а,Ь]
где и ([а, 6]) = {Т1, Т2,..., Ттш } — любое допусти-
Г
В силу данной формулы (3.3) интеграл от выпуклой оболочки ступенчатого отображения как конечная сумма выпуклых компактов есть выпук-Е
ний Г, О [а, 6] ^ К(Е), очевидно, справедливы равенства (а € М1):
У а(со Г) А = а J со Г 3!,
[а,Ь] [а,Ь]
У (со Г + со О) А = У со Г 31 + У со О 31.
[а,Ь] [а,Ь] [а,Ь]
Из формулы (3.3) для ступенчатого отображения Г: [а,6] ^ К(Е), очевидно, следует равенство
опорных функций
в(р, У со Г 3£) = У в(р,Г) 31 Vр € М". (3.5)
[а,Ь] [а,Ь]
Если рассматривать ступенчатую функцию /: [а, 6] ^ Е, то определение интеграла Римана для неё очевидным образом получается из формулы (3.3), если многозначное отображение таково, что каждое его значение состоит из одной точки Г(&) = {/(&)}.
Следуя [18], получаем, что для вещественной ограниченной функции / ^ 0 на отрезке [а, 6] верх-
*
ним интегралом Римана / /3£ этой функции /
называется число
[а,ь]
У /Зі = іп^і У дЗі | д : [а, Ь] ^ М
а,Ь] 1а,Ь]
Определение 3.4. Отображение Г: [а, 6] ^
^ К(Е) называется интегрируемым по Риману [а, 6]
ществует компакт X € со К(Е) такой, что Г(£) € € К^) V£ € [а, 6], и для любого е > 0
существует такая ступенчатая пара (и([а, 6]), О), где |и([а, 6])| < е, а отображение О: [а, 6] ^
^ К^) таково, что справедливо неравенство *
/ Н(со Г, со О) А ^ е.
[а,Ь]
Определение 3.4 эквивалентно существованию последовательности ступенчатых пар {(ир([а, 6]), Гр)}, где Гр: [а,6] ^ K(X), к €
€ N для которых последовательности диаметров ^ик([а, 6])|} и верхних интегралов
*
{ § Н(со Г, со Гк) А} сходятся к нулю при к ^ <х.
[а,Ь]
Такая последовательность пар {(иР([а, 6]), Гк)}р=1 называется аппроксимирующей последовательностью ступенчатых пар для интеграла Римана [а, 6] Г
Лемма 3.1. Пусть X € соК(Е). Компактно ограниченное отображение Г: [а, 6] ^ K(X) интегрируемо по Риману тогда и только тогда, когда е > 0
тая пара (и([а, 6]), О), где отображение О: [а, 6] ^ ^ Ш), и ступенчатая функция А [а, 6] ^ М+ такие, что справедливы оценки |и([а, 6])| < е, Н(со Г, со О) ^ Аи / А А ^ е. □
[а,Ь]
Теорема 3.1. Пусть Г: [а,6] ^ К(Е)
— интегрируемое по Риману отображение и {(иР([а, 6]), Гр)}р=1 — его аппроксимирующая последовательность ступенчатых пар. Тогда в пространстве К(Е) существует предел последовательности прединтегралов | / (иР([а, 6]),ГР) А^
[а,ь]
Р=1
являющийся выпуклым компактом, и этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей последо-
□
Доказательство. При любых т,к € N для
со Гт со Гк [а, 6]
соотношения (3.3), получаем
/
со ¥т Зі,
со ¥Р Зі I ^
\[а,Ь]
[а,ь]
^ У Н(со Гт, со Гк) А ^
[а,Ь]
* *
^ У Н(со Г, со Гт) А + у Н(со Г, со Гк) А.
[а,Ь] [а,Ь]
Отсюда следует, что при т и к, стремящихся к бес-
конечности, величина Н
/ со ¥т Зі, / со ¥РЗі
[а,ь] [а,ь] у
н
1
тт
тельноеть интегралов < / со Гк А> фундамен-
[а,Ь] } к=1
тальна и, в силу полноты метрического прост-
К(Е) со К(Е)
Гк
ограничены в совокупности. В силу (3.2), (3.3) получаем равенства (
! (ир([а, 6]), Гр) А^ со Гр А
\[а,Ь] [а,Ь]
(3.6)
= (Ь — а)Н
= \Ц
'"^к
^Рр$)\р,£ со ¥р$)\р
г™ \к = Iг Аде А — ь _
Поэтому и по следствию 2.1 для любого числа е > 0 найдется число V = V(е) > 0 такое, что для всех номеров к, для которых |иk([a, 6])| < (6 — a)v,
(6 — а)е
как по условию Иш и к([а, 6])| = 0, то последо-к—
вательность значений (3.6) стремится к нулю.
тт
прединтегралов < / (ик([а,6]), Гк) А> сущест-
[а,Ь] Р=1
тт
лов < / со Гк А> , т. е. выпуклому компакту. [а,Ь] } Р = 1
Рассмотрим две аппроксимирующие
Г
{(ик([a, 6]),Гк)}^=1
И {(и'к ([а,6]),Ок)}^=1.
Тогда последовательность пар (и1([а, 6]), Г1), (и1 ([а,6]),О1) ММ]),^), (и2([а,6]),О2), ..., (ик ([а, 6]), Гр), и'к ([а,6]),Ок), ..., очевидно, также будет аппроксимирующей. Поэтому последовательность / (и1([а, 6]), Г1) А, / (и1 ([а, 6]),О1) А,
[а,Ь] [а,Ь]
/ (и2([а,6]),Г2) А, / (и2([а,6]),О2) А,
[а,Ь] [а,Ь]
должна иметь предел. Это и означает, что
последовательности
/ р([а,ь]),рР) Зі ^
1[а-ь] ) р=1
< / (и 'к([а, 6]), О р) А > имеют один общий пре-
1[а-Ь] ) р=1
дел. Теорема доказана.
Определение 3.5. Значение предела, указанного в теореме 3.1, называется интегралом Ри-мана интегрируемого отображения Г: [а, 6] ^
оЬ о
^ К(Е) и обозначается через / Г (£) А, / ГА,
о а [а,Ь]
или (Д) / Г А.
[а,Ь]
Г
[а, 6] ^ К(Е) интегрируемо по Риману, тогда и отображение со Г: [а, 6] ^ К(Е) интегрируемо по Риману, причем интегралы Римана от них равны
между собой (т. е. справедливо равенство)
J ГА = J со ГА. □ (3.7)
[а,Ь] [а,Ь]
Доказательство очевидно в силу доказательства теоремы, причем если {(и р([а, 6]), Гк)}^=1 есть некоторая аппроксимирующая последо-
Г
{(и р([а, 6]), со Гк)}р=1 будет аппроксимирующей
со Г
как показано в теореме, пределы последовательностей интегралов от них совпадают.
Г
[а, 6] ^ К(Е) является ступенчатым. Тогда справедливо равенство
¥ Зі
[а,ь]
і=1
со ¥(&) |Ті|, 6 є Ті,
(3.8)
где и ([а, Ь]) = {Т1,Т2,..., Ттш } — любое допустимое разбиение отображения ¥. □
Теорема 3.2. Пусть а є М1, а ¥,О: [а,Ь] ^ ^ К(Е) — два интегрируемых по Риману отображения, тогда а¥ и ¥ + О также интегрируемы по Риману и для них справедливы формулы
j а¥ Зі = а j ¥ Зі,
[а,ь] [а,ь]
(3.9)
У (¥ + О) Зі = J ¥ Зі + J О Зі. □
[а,ь]
[а,ь] [а,ь]
а¥
очевидно. Пусть теперь {(и р([а, Ь]),¥Р)}^=1
{(и к ([а, 6]),Ок)}р=1 — аппроксимирующие последовательности ступенчатых пар для отображе-ГО
Н(со(Г + О), со(Гр + Ор)) < Н(со Г, со Гр) +
+ Н(со О, со Ор) получаем, что последовательность ступенчатых пар {(и к([а, 6]),ГР + Ок)}^=1, где разбиение ир([а, 6]) содержит все точки разбиений и р ([а, 6]) и и к ([а, 6]), будет аппроксимирующей для отображения Г + О. Из правого равенства в (3.7),
Г О
рывности операции алгебраической суммы Мин-ковского в пределе получаем нижнее равенство
ГО
Следствие 3.3. Пусть выбраны числа а, 6, с € € М1, причем а < 6 < с Отображение Г: [а, с] ^ ^ К(Е) интегрируемо по Риману на [а, с] тогда и только тогда, когда оно интегрируемо по Риману [а, 6] [6, с]
равенство
J ГА = J ГА + у ГА. □ (3.10)
[а,с] [а,ь]
[м
Доказательство. Для произвольного множества А определим характеристическую функ-
ОО
цию этого множества по формуле Ха(£) =
если £ € А, если £ € А.
Г
[а, 6] [6, с] [а, с]
интегрируемы отображения Г ■ Х[а,Ь] ш Г ■ Х(ь,с]> причем из равенства Г = Г ■ Х[а,Ь] + Г ■ Х(ь,с] и теоремы 3.2 следует интегрируемость по РиГ [а, с]
Г
по Риману на отрезке [а, с] и пусть {Гк }^к=1 — его аппроксимирующая последовательность и по-о*
следовательность / Н(со Г, со Гк) 3£ стремится к
[а,с]
нулю при к ^ ж. Тогда очевидно существуют и стремятся к нулю последовательности интегралов о* о*
/ Н(со Г, со Гк) Ат / Н(со Г, со Гк) А, т. е. ото-
[а,Ь] [Ь,с]
Г
[а, 6] [6, с]
ГО
[а, 6] ^ К(Е) интегрируемы по Риману. Тогда интегрируема по Риману функция Н(со Г, со О): [а, 6] ^ М+ и справедливо неравенство
Jг3£,Jo3£\ ^ Jн(co Г, со О) А. □ (3.11)
\[а,Ь] [а,Ь]
[а,ь]
Доказательство. Пусть {Гк }^=1 и
{Ок}ск=1 — аппроксимирующие последова-
ГО
венно. Тогда последовательности {со Гк }^=1 и {со Ок }р=1 являются аппроксимирующими со Г со О
| Н(со Г, со О) —
— Н(со Гк, со Ок)| ^ Н(со Г, со Гк) + Н(со О, со Ок) следует стремление к нулю числовой последов,
о*
тельности < / |Н(со Г, со О) — Н(со Гк, со Ок )| А> 1>,Ь] )
при к ^ ж. Таким образом, последо-
вательность ступенчатых функций дк, где дк(£) = Н(со Гк(£), со Ок(£)), является аппроксимирующей для функции /(£) = Н(соГ(£), со О(£)). Поэтому эта фикция / интегриоуема по Риману и Иш / Н(со Гк, со Ок) А = / Н(со Г, со О) А.
Р [а,Ь] [а,Ь]
Кроме того, по аналогии с доказательством теоремы 3.1 на общем допустимом для ступенчатых отображений со Гк и со Ок разбиении получаем неравенство
/ I
У со Гк А, У со Ок 3£ I <у Н(со Гк, со Ок) А.
\а,Ь] [а,Ь] / [а,Ь]
Переходя к пределу по к ^ ж, в силу равенства (3.7) получаем неравенство (3.11).
Следствие 3.4. Пусть Г: [а, 6] ^ К(Е) ин-
оо
венство || / Г А\\ < / \\ГУ А. □
[а,Ь] [а,Ь]
Доказательство следует из (3.11) и определения полунормы ограниченного множества, положив при этом, что О(£) = {0} при всех £ € [а, 6].
Теорема 3.4. Пусть отображение Г: [а, 6] ^ ^ К(Е) интегрируемо по Риману. Тогда при любом р € Е* опорная функция в(р,Г): [а, 6] ^ М1 также интегрируема по Риману и справедливо равенство ( р,
[а,Ь]
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.3. Пусть {Гк}^=1 — произвольная аппроксимирующая последовательность для Г р € Е*
свойств хаусдорфовой метрики (см., например, [19]) справедливо неравенство |в(р, Г) — в(р, Гк)| <
< ||р||Н(со Г, со Гк), откуда числовая последо-
о*
вательность / ^^, Г) — в(р,Гк)
[а,ь]
к нулю при к ^ ж. Следовательно,
!га\ =ув(р,Г) А V р € Е*. □ (3.12)
[а,ь]
стремится
последовательность функций {в(р,Гк )}р=1 является аппроксимирующей для функции в(р, Г), т. е. функция £ ^ в(р,Г(£)) интегрируема по Риману и справедливо равенство / в(р, Г) 3£ =
[а,Ь]
= Иш / в(р,Гк) 3£. В силу непрерывности опор-
к—юс г 7.1 [а,Ь]
ной функции как функции множества, а также в силу равенства (3.5) для каждого отображения со Гк, получаем в пределе равенство (3.5) для ото-Г
чаем (3.12).
ГО
[а, 6] ^ К(Е) интегрируемы по Риману и удовлетворяют условию: Г(£) С О(£) при всех £ € [а,6]. Тогда справедливо включение
J Г 3£ С J О 3£.
[а,Ь] [а,Ь]
□
Доказательство. Из условия следует, что р € Е*
в(р,Г(£)) < в(р, О(£)) при всех £ € [а, 6],
о
чёт неравенство для интегралов / в(р,Г) 3£ ^
[а,Ь]
< / в(р,О) 3£. По теореме 3.4 получаем нера-
[а,ь]
венство в р, / Г 3£\ < в р, / О3£\. Отсюда
V [а,ь] / V [а,ь] У
р € Е*
тегралов Римана (теорема 3.1) и свойств опорных функций (см, например, [19]) получаем искомое включение для многозначных интегралов.
Н
Покажем наконец, что в равномерно гладком Е
жет быть представлен как предел интегральных сумм Римана (3.1).
Лемма 3.2. Пусть число 7 < +ж, множества X € соК(Е), Я € соК^) и отображение Г: [а, в] ^ К^) (где а < в) таковы, что
Н(Я, со Г(£)) < 7 V£ € [а, в]. (3.13)
е > 0
П = п(е) > 0 такое, что для любого разбиения и([а, в]) = {£о, £и ■■ ■ > £тш} отрезка [а, в] с диаметром |и([а,в])| = шах{^ — £i_1 | г € (1,тш)} < п и при любом выборе точек ^ € [а, в], * € (1,тш), справедливо неравенство
Н[Я,^ ¥ (6і)
іі іі
в — а
< 7 + є. □ (3.14)
Доказательство. Данная лемма является простым следствием теоремы 2.2, в которой следует выбрать Т = [а,в]; О(£) =
Іг Іг-1
в — а
По указанной в теореме 2.2
функции V(є) выбрать п(є) ^ и(є)(@ — а).
Теорема 3.5. Пусть отображение ¥: [а,Ь] ^ ^ К(Е) интегрируемо по Риману. Тогда для любого числа є > 0 можно найти число 3 = 3(є) > > 0, обладающее следующим свойством: для любого разбиения и([а, Ь]) = {і0, іь ..., ітш} отрезка [а, Ь], диаметр которого не превосходит числа 3, и при любом выборе точек &і Є [іі_1,іі] справедливо неравенство
н
¥ Зі, У"' ¥(Єі)Діі
1
□ (3.15)
\а,Ь]
Доказательство. Пусть в силу компактной ограниченности Г множество X € соК(Е) таково, что Г: [а, 6] ^ К(X). Зафиксируем число е > 0. По лемме 3.1 существуют ступенчатые отображение О: [а, 6] ^ K(X) и функция А [а, 6] ^ М+ такие, что Н(со Г, со О) < А и / А 3£ < |. Обозна-
[а,ь]
чим через уо = а < у1 < ■ ■ ■ < уN = 6 точки разбиения ио([а, 6]), являющегося общим допустимым
ОА Обозначим Дуя = у8 — у.э_1, а терез О8 и А3 —
со О(£) А(£) £ €
€ (у3_1,у3), в € (1,М). Так как справедливо неравенство Н(ОВ, со Г(£)) < Ая щи £ € (у8_1,у8), то по лемме 3.2 для числа е1 = 4^ — а) найдётся
число п(е1) > 0 такое, что для всякого разбиения отрезка [уя_1,уя] с диаметром, не превосходящим числа п(е1), и при любом выборе точек е^ € € (у8_1 ,уз) справедливы неравенства
Н(ОаДуа^¥ (фДі?)
<
3 = 1
<
4( Ь — а)
+ А^ ДУв Vв є (1, N). (3.16)
Покажем, что 3 = шт{ 8ц^ц^- ,п(е1)} обладает
необходимым свойством, дающим (3.15). В самом деле, пусть и([а, 6]) = {£о, £1, ..., £т} — произвольное разбиение отрезка [а, 6], причем шах{^ —
— £_1 | г € (1, т)} ^ 3. Пусть выбраны произвольные точки & € [^_ь£^. Через и* ([а, 6]) = {£*, £*, ..., £р} обозначим такое разбиение отрезка [а, 6], которое получится объединением всех точек разбиений ио([а, 6]) и и ([а, 6]). Тогда точ ки {е*}р=1 определим из равенства £* = где г € (1,т) такое, что [£._ь^] Э [£*_1,£*]. Обозначим Д£* =£* —
— £*_1т Д£^, = £,, — £i_1. Оценим искомое расстояние (3.15) следующим образом:
/
¥ Зі, ^2 ¥(6і)Діі
\а,ь]
+н
! ¥ Зі^ О Зі | +
\[а,ь] [а,ь]
Р
[ соОЗі,^¥(6*)Ді* I +
Гь] 3 = 1
+Н | Е ¥(3)Ді*^¥(6і)Діі | . (3.17)
і3' = 1 і=1
По теореме 3.3 получаем /
н
I ¥ Зі, І О Зі | ^
\[а,ь] [а,ь]
^ У Н(со ¥, со О) Зі ^ J А Зі ^ 4 .
[а,ь] [а,ь]
Суммируя неравенства (3.16) по в, получаем
! со О Зі, ]Г(¥(3)Ді3) I £
\[а,ь]
н
3=1
N
<
Е (4(Ь—а) + А0 ДУ = 4 + / АЗі ^ 2 .
" = 1 [а,ь]
Множество ^ Г(^)Д^ отличается от множества
i=1
к
Г(е* )Д£* лишь по тем слагаемым г, для кото-
з=1
рых интервалы (£i_1,£i) содержат точки из разбиения ио([а, 6]) Для любого номера в € (0, N) обозначим через ] (в) такой номер от 0 до к, при котором у8 = £*(в), где у8 € ио([а, 6]), £*(в) € и * ([а, 6]). Пусть 5* = {в € (1, N) | у8 € и ([а, 6])}. Для любого номера в € 5* найдётся номер г (в) € (1,т) такой, что Д£i(S) = Д£** (в)+Д£** (в)+^ еi(S) = е^) =
н
1
є
= **(.)+!• Учитывая эт0! для третьего слагаемого в (3.17) получаем оценку
'• г е )д<* ,
< Е к{Г (е;(.))Д(**и+Г (е*(,)+1)Д(**(,)+1,
яей*
Г(е^))Ди,) < 2N3||XУ < 4 .
Теорема доказана.
IV. Необходимые и достаточные условия интегрируемости по Риману
Е
Е
также является сепарабельным пространством.
Теорема 4.1. Для того чтобы компактно ограниченное отображение Г: [а, 6] ^ К(Е) было интегрируемо по Риману, необходимо, чтобы отосо Г
[а, 6] □
Г
[а, 6]
р € Е* функция £ ^ в(р,Г(£)) интегрируема по Риману. По известному (см., например, [18]) условию интегрируемости по Риману функций из того, что для каждого р € Е*, ||р|| = 1, функция £ ^ ^ в(р, Г(£)) интегрируема на [а, 6] по Риману, следует, что она непрерывна почти всюду. В свою очередь в сепарабельных пространствах это означает, со Г
[а, 6]
Для доказательства достаточных условий интегрируемости по Риману определим два понятия колебаний отображения Г: М1 ^ К(Е) на множестве А С М1 и в точке £ € М1 по следующим формулам:
П(Г; А) = впр{^(Г(£1), Г(£2)) | £1, £2 € А}; (4.1)
П р (£) = Ш {П(Г; (с, 3)) | с,3 € М1, с <£ < 3}.
1
Очевидно, что отображение Г: М1 ^ К(Е) непре-£о € М1
Пр (£о) = 0.
3 > 0
Т = [а, 6] множество
16(Г) = {£ € Т | Пр(£) > 3}. (4.3)
Легко показать, что множество I$ (Г) замкнуто.
Лемма 4.1. Для интегрируемости по Риману отображения Г: [а, 6] ^ К(Е) достаточно, чтобы для любого числа е > 0 нашлось такое разбиение ие([а, 6]) = {£о, £1, ..., £р} отрезка [а, 6], при коток
ром справедливо неравенство 12 (^ — ^-1)^ ^ е,
i=1
где П = П(соГ, [£i_l,£i]) (см. (4.1)). □
Доказательство. Пусть выполнены условия леммы и ие([а, 6]) — указанное там разбиение от-
О
(а, 6] ^ со К(Е) и функцию А (а, 6] ^ М+ так, что О(£) = со Г(^) и А(£) = П.^ при всех £ € (и_1,£^, г € (1, к). Очевидно, что Н(О(£), со Г(£)) < А(£) при
ок
£ € (а, 6]. Кроме того, / А3£ = ^ (^ — <
[а,Ь] i=1
^ е. В силу леммы 3.1 получаем, что отображение Г
Теорема 4.2. Пусть компактно ограниченное отображение Г: [а, 6] ^ К(Е) таково, что отосо Г [а, 6]
Г [а, 6] □
е > 0
М = 8ир{||Г (£)|| | £ € [а,6]} < IX ||,
П* = П(со Г, [а, 6]) (см. (4.1) ). Очевидно, что
П* < 2М < +ж. Пусть I* — множество точек раз-
со Г [а, 6]
теоремы мера Лебега множества I* равна нулю. Это значит, что для любого п > 0 множество I* можно покрыть не более чем счётной системой открытых интервалов с суммарной длиной меньше П. Выбираем п таким, чтобы П*п < §. Выберем число 3 = 2(ь— а) и рассмотрим множество точек
^(Г) (см. (4.3)), колебание в которых не менее, чем данное 3. Так как ^ (Г) С I* , то множество ^ (Г) также покрывается этой системой интервалов. В силу компактности множества ^ (Г) выберем из указанной системы интервалов конечную совокупность интервалов, покрывающих ^ (Г), причём сумма их длин и подавно меньше п. Построим разбиение и([а, 6]) = {£о, £1, ..., £Р} [а, 6]
входили все концы выделенного конечного множества интервалов, покрывающих ^(Г). Кроме того, потребуем, чтобы оставшаяся вне этих ин-
[а, 6]
из и([а, 6]) на столь мелкие части [£^,_1,£,1], чтобы
со Г
3
к
и ([а, 6]) рассмотрим сумму вида 12 (и — £<^_1)П{,,
i=1
где П^, = П(соГ, [£_,£.1]). Разобьём эту сумму на две группы слагаемых £ = £1 + £2, где к первой из них отнесены индексы г € (1, к), для которых отрезки [£_ ,£i] не содержит интервалы из конечного покрытия для ^(Г), ко второму — остальные. Оценим каждое слагаемое:
е
£1^ — £i_l)Пi ^ 3(6 — а) ^ ^ ,
е
£2^ — £i_l)Пi ^ П*п ^ ^ .
Г
[а, 6]
V. Заключение
В данной статье мы разобрали лишь простейший случай интеграла Римана от многозначного отображения на отрезке. Указанные результаты
перенесены автором и на случай интеграла Римана от многозначного отображения, заданного на компактном топологическом пространстве с мерой, со значениями в пространстве компактов из равномерно гладкого банахова пространства. Показано, что в случае, когда мера, заданная на компакте, является непрерывной (неатомарной), то результаты получаются аналогичные случаю отрезка. Если же мера не является непрерывной, то интеграл Римана не обязан быть выпуклым компактом и условия интегрируемости по Риману многозначного отображения принимают другой вид. Эти и другие результаты будут описаны в моей книге «Многозначный анализ и дифференциальные включения», которую я планирую опубликовать в 2012 году.
Литература
1. Aumann R.J. Integrals of Set-valued Functions // J. Math. An. Appl. - 1965. - V. 12. - P. 1-12.
2. Debreu G. Integration of correspondences // Proc. of 5th Berkeley Symp. on Math. Statistics and Prob. - 1966. - V. 11, Part 1. - P. 351-372.
3. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Pubis. Res. Inst. Math. Sci. - 1968, B, N 16. - P. 205223.
4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. - М.: Наука, 1974.
5. Матерой Ж. Случайные множества и интегральная геометрия. - М.: Мир, 1978.
6. Olech, С. Existence theorems for optimal control problems involving multiple integrals // J. Diff. Eq. - 1969. - N 6. - P. 512-526.
7. Aubin, J.-P. and H. Frankovska. Set-Valued Analisys. - Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 1990.
8. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мыш-кис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию
многозначных отображений и дифференциальных включений. - М.: КомКнига, 2005. - 216 с.
9. Polovinkin, E.S. Riemannian Integral of Setvalued Function // Lecture Notes in Computer Science. - 1975. - V. 27. - P. 405-418.
10. Половинкин E.C. Элементы теории многозначных отображений. - М.: Изд-во МФТИ, 1982.
11. Половинкин Е.С. Об интегрировании многозначных отображений // Докл. АН СССР. -1983. - Т. 271, № 5. - С. 1069-1074.
12. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. - М.: Изд-во МФТИ, 1983.
13. Дистель Дою. Геометрия банаховых пространств. Избранные главы. - Киев: Вигца школа, 1980; пер. с англ.: J. Diestel, Geometry of Banach spaces. Selected topics // Lecture Notes in Math., 485. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1975.
14. Иванов P.M., Половинкин Е.С. Одно обобщение теоремы об усреднении множеств // Мат. сб. (в печати).
15. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх, 1 // Доклады АН СССР, 1967. -Т. 174, № 6. - С. 1276-1280.
16. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх, 2 // Доклады АН СССР, 1967. -Т. 175, № 4, С. 764-766.
17. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. Н.С. -1980. - 112, № 3. - С. 307-330.
18. Шварц Л. Анализ. Т. 1, 2. - М.: Мир, 1972.
19. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. - М.: Физматлит, 2004 (первое изд.), 2007 (второе изд.).
Поступила в редакцию 17.01.2011
