Исключительные множества для решений квазилинейных уравнений параболического типа в весовых пространствах Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2000, Том 2, Выпуск 3

УДК 517.5 + 517.9

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ДЛЯ РЕШЕНИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА

М. С. А л борова

Исследуется вопрос об устранимости особенностей для ограниченных решений эволюционных уравнений параболического типа.

Пусть (} 1 = И х (0. '/*) — ограниченная цилиндрическая область, лежащая в евклидовом пространстве Кп+1 точек (х, £) = ..., хп, £).

Предположим, что Р(х, /. IX) — дифференциальный оператор в частных производных, определенный на открытом множестве (}■)■ С Кп+1, а е — компакт в С^т- Пусть и У-{С}т) — некоторые классы функций на множествах дт\е и <7, соответственно. Множество е называется устранимым для дифференциального уравнения /-"(.г. /. IX) / = 0 относительно функциональных классов и если для всякого решения / е уравнения Р(х, £, И)/ = 0 на С}т\е существует решение / е 3-{С}т) уравнения /'(.г. /. /.))/ = 0 на (}\ такое, что /|фт\е = /• Решение / называется продолжением решения / уравнения £))/ = 0 с С}т\е на Ят-

Задача состоит в нахождении функционально-геометрических характеристик множества е, которые гарантируют, что множество е устранимо.

Устранимость компактов для решений параболических уравнений хорошо изучена в классе ограниченных гёльдеровых функций и в некоторых пространствах Соболева (см., например, [1-6]). Условия устранимости описываются в зависимости от вида уравнения, в терминах равенства нулю соответствующих емкостей и мер Хаусдорфа.

В настоящей статье исследуется вопрос об устранимости особенностей для ограниченных решений эволюционных уравнений параболического типа

ди

— - и, Vхи) + В{х, г, и, Vхи) = о,

где А и В — некоторые функции, удовлетворяющие определенным условиям (см. §2).

© 2000 Алборова М. С.

Данная работа состоит из двух параграфов. В §1 определены весовые пространства Соболева. В §2 формулируются достаточные условия устранимости особенностей для ограниченных решений упомянутого выше класса параболических уравнений.

1. Функциональное пространство

Пусть ш — локально интегрируемая неотрицательная функция на П. Измеримому множеству Е соответствует весовая мера ц(Е) = [Еш(х)г1х. Тогда йц{х) = ш(х)г1х, где йх — мера Лебега. Говорят, что ш есть р-допустимый вес (1 < р < оо), если выполнены следующие условия:

И' 1. ш(х)г1х и йх взаимно абсолютно непрерывны;

И'2. О < ш < оо почти всюду и и существует константа С такая, что ц(В(х,2г)) < Сц(В(х,г)) для любого шара В(х,г), где 2В С О (условие удвоения) ;

И'З. если р^ е С°°(П) — последовательность функций такая, что

и J

п п

при г —оо, где г — векторнозначная функция из 1,1'(П. /г. 11?."'). то г = 0: И ' 1. существуют константы к > 1, /•(,. сз > 0 такие, что

1 1

1 Г \р\крй^ кР < с3г (^щ 11 V*

р

р(В)

в в

для любой функции р е Со°(В) и шара В = В(х, г) С О, х е О, 0 < г < го; И'Г>. существуют константы /•(,. С4 > 0 такие, что

\ч> - 4>в \р(1р < с4гр I | Уж <р\р(1р в в

для любой функции р е С°°(В) и произвольного шара В = В(х,г) С О, х £ П, 0 < г < г о- Здесь рв — ц^в) /в

Из условия И' 1 на весовую функцию с помощью неравенства Гёльдера получаем весовое неравенство Пуанкаре: если I) С И — ограниченное открытое множество, (ИатИ) < 2г0 я р Е Со°(.0), то

\р\рсЦ1 < С((ИатВ)р J | уж (1)

г> г>

(см. [9]).

Определим Ьр(П,/х) как класс функций

Ьр(П,/х) = |/:||/|Ьр(П,,х)||=^ \f\rdn) <оо|.

п

Говорят, что функция и принадлежит классу И '^ (I). //). если и только если и Е Ьр(0, р) и надйется векторнозначная функция V Е Ьр(£); р,Шп) такая, что для некоторой последовательности (рк Е С°°(В) (<рк Е Со°(£)))

\(рк-и\рёр^0 и J | у« <Рк ~ у\рёр ->• О г> г>

при к —оо. Вектор-функцию и называют субградиентом функции и в Шр(Бф) и обозначают символом \/хи.

о

Ясно, что пространства И^ (Г2, р) и И^р(П, р) — банаховы пространства относительно нормы ||и||ип(п)М) = \Ы\ьр(пФ) + || Уж и\\ьр(пФ)- Кроме того просто

ранства И^р(П,/х) и И^р(П,/х) рефлексивны.

Функция и принадлежит пространству И^ 1ос(Г2, р), если она принадлежит пространству И'^ (I). р) для всякой ограниченной области I). замыкание которой содержится в П.

о

Пространство Ьр(0, р) определим как пополнение пространства Со°(П) по норме

1Н1° = IIV®

Функция и принадлежит пространству 1лр1ОС(П), если для нее выполняется неравенство

|и(х) - и{у) | < р,\х - у\

для любой подобласти I). I) С Г>. Здесь | • | — евклидова норма. В работе [8] доказано, что пространство (Г2, р) = \¥р (П) П 1лр1ОС (П) плотно в /х).

Кроме того (Г2,/х) есть векторная решетка.

Отметим, что приведенные выше весовые пространства дифференцируемых функций хорошо изучены в работах С. К. Водопьянова [7-11] и других авторов, (см., например, [12-14]).

Пусть г переменная времени. Мы будем предполагать, что £ е (О,Г), где Т конечно или равно +оо. Пусть В — банахово пространство. Обозначим через ЬР(0,Г; В), р > 1 пространство (классов) функций / со значениями в В,

р

измеримых на (О, Г) (относительно меры Лебега dt на (О, Г)). Пространство ЬР(0,Г; В) является банаховым пространством по отношению к норме

{Т 1

{/о \№\\Рв*Г> ПРИ i <

ess sup ||/(£)||в при р = оо. te(o,T)

о

Обозначим Wp'°(QT, ¿0 = Lp(О, Г; И^(Г2, /х)) и пусть Wp'°(QT, /х) — замыкание Cq{Qt) = {и е C1(Qr) : и = 0 на , у} по норме || • ||wi,o(Qt, ц), где

11миw^°(qt,fi) = ihi p,p,qt,v + ii vie миp,p,qt,m'

В дальнейшем ||m||p,p,qTiM будем обозначать как |M|p,p,qt,m = |М|Р,qt,m и

i

= |M|PlQT,

Ят

Lp{о, Г; bg(0; /i)) = bPiiiQTiM,

ьр(0, t; bp(q; //)) = lpiqtim,

£p(0,T;Lg(fi)) = Lp,q,QT>

IM|oo,n = vraimax|u|.

Будем говорить, что функция и Е bp,QTlM имеет строгий субградиент v, если найдется последовательность Е C°°(Qt) такая, что

- 0 и 11 \\/х рк - v\pd^J,dt ^ 0. (2)

Для любого компактного множества е Е определим класс функций

У(е, (¿т) = {и Е С™(С}т) : и > 1 в окрестности е, 0 < и < 1 в С}т} и назовем (р, ц,)-емкостью компакта е число

сар(е) = < |уxp\pdfJ,dt + // \pt\dxdt\.

Ч>&Г(е,Ят) {,) ,) ,1,1 J

Ят Ят

Емкость как функция множества естественным образом распространяется на произвольные множества.

Термин «квазивсюду» означает, что данное свойство выполняется всюду, за исключением множества, имеющего емкость ноль.

Лемма 1. Пусть е — компактное множество (р, р)-емкости ноль (1 < р < оо). Тогда существует последовательность }• такая, что Ck Е Cq°(Qt), 0 < cfc < cfc = 1 в окрестности е.. Ск —0 п. в. в Qt и || уж p,qTiM — о, IICflli^T^o.

< Так как емкость сар(е) = 0, то существует последовательность {<pk} Е V(e,QT) такая, что || Xjx <рк\\р,Ят,ц ^ 0 и ||<£>i||i,QT 0. Используя технику Дж. Серрина [15], рассмотрим функцию Qk = max(min(i/?fc, 1), 0). Тогда Qk — функция с компактным носителем в (} \. 0 < (-)''' < 1, (-)''' = 1 в окрестности е

и II V® ©fc||p,qt,M ^ II0?IIi,Qt ^ о.

Пусть р Е Co°(Rn+1) — функция с компактным носителем такая, что /9 > 0, / p(x,t)dxdt = 1. Для е Е (0,1) пусть ре обозначает функцию

Rn + 1

.г —-¿т, p(f, |). Для достаточно малых £ свертка ik = pe*Qk Е Cq°(Qt). Так как || V^IUq^m ^ II V*©fc||p,Qt,m и HCifc||i,QT < II0?IIi,Qt> то II4x^k\\P,QT,fM 0

Пусть = £k(x,t). Тогда См е Q), supp С О, Qt = Ох(0,Т).

Используя весовое неравенство Пуанкаре (1), имеем

\e<\x)\pdp<c f IVx£м№

г> г>

для любого открытого ограниченного множества I) С И. С помощью неравенства Гёльдера очевидно

1См1^)Р<с/IV,

г> г>

Далее получим

т 1 т

v

|д(£))|1-р|Т|1-р / / |Cfc|d/idi < С | xjxik\pdpdt.

• ж

о г> о г>

т

Очевидно, / / 0 для любого открытого ограниченного множест-

о г>

ва I) из 1 Следовательно, найдется подпоследовательность {£к }• такая, что Е 0 < < 1, = 1 в окрестности г.. £к —0 п. в. в С}т и

II V® о, ЦС^кат о. >

2. Устранение особенностей

Пусть П — ограниченная область и II?,". п > 1; (}I = О х (О, Т] для некоторого фиксированного Г > Он Яг = дО, х (О, Г], , т = Ят и (П х {£ = 0}) (, г — параболическая граница цилиндра (}-у). Рассмотрим в (} 1 уравнение вида

ди

— - и, ужм) + В(х, и, ужм) = 0, (3)

где ухи = А = (Л1,...,^), функции А(х,г,и В(х,г,

удовлетворяют условию Каратеодори.

Предположим, что при всех (ж, £) Е (/у- и ^ е Д\{0}, ^ е 1" для некоторого р Е {1, оо) существует константа а > 0 и измеримые функции Д, /2, /з, дз, ^з такие, что выполнены следующие условия:

\А{х,г, 77,01 < а\£\р-1ф) + д2\г1\р-1ф) + 9гш{х), (4)

№¿,77,01 < МСГЧ^) + ¡2\лГ1ф) + 1зФ), (5)

¿(М,Т7,0 - С > |£1М*0 - ДЫМ*) - Л3и>0*0, (6)

для почти всех х Е О и всех 77 Е К, £ Е Кп, где ш(х) — р-допустимый вес, /1 е Ьр,<Эт,м> /2,/з,^з е 52,53 е

Обобщенным решением уравнения (3) при условиях (4)-(6) назовем функцию и Е р), если

{—+ А(х, £, и, ужм) уж — .В(ж, £, и, ухь)(р}йхсИ = О Ят

для всех е Со°(С}т)-

Используя технику, предложенную Дж. Серимым [15], аналогично результатам Л. М. Р. Сараивы [4] доказывается

Лемма 2. Пусть С^т — открытое множество в Кп+1 и Ь Е Д\{0}. Пусть и является решением уравнения (3) в (} 1 и пусть ф — произвольная функция с компактным носителем в (}т такая, что ф Е Ь^С^т) и ф Е Шр,0(СЦт, р), р > 1, фг Е Ь\(С£т)- Тоща имеет место равенство

Ят

еЬи

А(х, и, ужм) уж (феЬи) - В(х, и, Х7хи)феЬи - —фг

г!хгЫ = 0.

Докажем следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 3. Пусть и — решение уравнения (3), иЕ ^р]\0с {Qt.ii) Ш оо (О), г е \VHQt, I') п Со(фг) И zt е Ь1гЯт, причем

||м||оо,ат + Ы\оо,Ят + || V® г\\р,дт,^ + \ШН,Ят < м-Тогда существует постоянная С = С(М. /|. /■>■ /з- ,'/•_>• Ц:\- 1'-л) такая, что

Уж и\рё{л(И < С.

Яч

< Функция ф = \г\р е И7^¿0 П Со((5г)- Используя лемму 2, имеем

с/ V

tl.nl/. = 0.

С учетом условий (4)-(6) получим

уж ь\ргреЪис141си

Ят

< JJ <х\ Чхи\р^ уж (к|р)еЬм^ + JJ д2\и\р^г уж МР)еЬийрМ

Ят Ят

+ Цдз\7х \г\реЪийр<И + ^Д| у. ч\р^греыАрА Ят Ят

+ JJ ¡2\и\р^1\г\реЬи(1{л(И + Ц ¡3\г\реЪи(1цМ + Ц кг\г\реЪи(1цМ Ят Ят Ят

+ [[ ¡2\и\р\г\реЬий11М+ [[ =

ъ дг

Ят Ят

Оценим каждый из девяти интегралов правой части:

к= 1

Ь < раеь||и||о° • \\г уж и\\р,дтф • || Уж 4р,Ятф^

(7)

/2 < реь|М1ос . 1 . || уж . \\г\\Рж 1 . \\д2\\-^>Ятф,

/3 < ре6"""00 • ■ || 4р,Ят,^

1А < еЬ||и|и • ЦгЦоо • \\г Уж «11Гот,м ' И/1|1р.ет,м.

15<еь»и»~-Н?о"1-|И1?о11/2||1,<Зт,м.

17 + 18<С(М,Ь,Н з),

/9 < е^НИ&гЧк^кдт-

Оценим теперь левую часть

ухи\р\г\реЬиёр(И>е^и^ JJ | уж и\р\г\рс1,рси.

Ят Ят

Собирая вместе оценки левой и правой частей неравенства (7), окончательно имеем

II* V* и|| < II* V* и\\р~&тфсз(М, Ы + /2, /з, 92,9з, ^з)-

Лемма доказана. >

Теорема 1. Пусть (¿-у — открытое ограниченное множество в 11?."+1. е — компакт в (}т нулевой (р, р,)-емкости. Если функция и е р) П

1^оо(Ят) удовлетворяет уравнению (2) на множестве <7/ то существует единственное продолжение й е ((¿т, р) решения и такое, что й есть ре-

шение уравнения (3) на (}т ■

< Пусть — последовательность функций из леммы 1. Пусть функция ф е {(¿-у) с компактным носителем И С (¿-у. (><(/•< 1. ^ = 1 в окрестности ш множества е. Определим последовательность функций = ф(1 — ('''). Очевидно гк е Со°(<5г\е). Легко видеть, что || уж ^||р,<эт,м < С, где С — постоянная, не зависящая от к. Так как и е р>), Ф = 1 на ш, и

мера множества е равна нулю, то

J |и|р|1

ш

остается ограниченным при /.: оо. Так как —0 п. в., то и £ Ьр,<эт,м,1ос-

Далее по лемме 2 Ц^ у;Г м||р,<зт,м < С. п т. к. гк —ф почти всюду, то \\Ф V

Далее аналогичным рассуждением доказываем, что Х/хи является строгим субградиентом, т. е. найдется последовательность функций (р$ е С°°((^т) таких, что выполняются условия (2).

Теперь докажем, что и является решением (3) в С^т- Пусть (р е Со°((^т), имеем

Ц[Ачх ((1 - еы - в{ 1 - е^ - <1 - еш^хм = о.

Ят

Следовательно,

(1 - епА иЩ] = Ц ^не^ - А{е%¥хм.

Ят Ят

Ввиду того, что —>■ 0 п. в., первый интеграл стремится к

(.А уж Ц> — Bip — wpt)dxdt.

Qt

Второй интеграл в силу условий (4)-(6) не превосходит величины

IMIoo • IMIp ' llCjillp + Il Va: С IIp,Qt,m ' IM|oo(a|| Va: Mllp,qtlm

+ 1М1Роо 1 • 1Ы|^,дт,м + |Ы1^,дт,м)-

Так как \\CtWp 0, || V, 0, то последнее выражение можно сделать как угодно малым. Следовательно,

(А уж ip — Bip — uipt)dxdt = 0.

Qt

Таким образом и — является решением (3) в Qt и теорема доказана. >

Литература

1. Aronson D. G. Removable singularities for linear parabolic equations // Arch. Rational Mech. Anal.—1964,—V. 17. P. 79-84.

2. Edmunds D. E., Peletier L. A. Removable singulirities of solutions to quasilinear parabolic equations // J. London Math. Soc.—1970.—V. 2, No. 2.— P. 273-283.

3. Gariepy R., Ziemer W. P. Removable sets for parabolic equations // J. London Math. Soc.—1981.—V. 21, No. 2. P. 311-318.

4. Saraiva L. M. R. Removable singularities and quasilinear parabolic equations // Proc. London Math. Soc.—1984,—V. 48, No. 3. P. 385-400.

5. Крайзер В., Мюллер Б. Устранимые множества для уравнения теплопроводности // Вест. МГУ.—1973.—№ 3. С. 26-32.

6. Ziemer W. P. Regularity at the boundary and removable singularities for solutions of quasilinear parabolic equations // Proc. Center for Math. Anal. Australia Nat. Univ.—1982,—V. 1. P. 17-25.

7. Водопьянов С. К. Разряженные множества в весовой теории потенциала и вырождающиеся эллиптические уравнения // Сиб. мат. журн.—1995.— Т. 36, № 1. С. 28-36.

8. Водопьянов С. К. Весовые пространства Соболева и граничное поведение решений вырождающихся гипоэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн,—1995,—Т. 36, № 2. С. 278-300.

9. Водопьянов С. К. Весовая Ьр-теория потенциала на однородных группах // Сиб. мат. журн,—1992,—Т. 33, № 2. С. 29-48.

10. Водопьянов С. К., Маркина И. Г. Исключительные множества для решений субэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 36, № 4,—С. 805-818.

11. Водопьянов С. К., Черников В. М. Пространства Соболева и гипоэллип-тические уравнения // Линейные операторы, согласованные с порядком.— Новосибирск: Изд-во Ин-та мат-ки СО РАН,—1995.—С. 3-64.

12. Lu G. Weigthed Poincare and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hormander's condition and applications // Revista Matematica Iberoamericana.—1992,—V. 8, No. 4. P. 367-439.

13. Fabes E. В., Kenig С. E., and Serapioni R. R. The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations // Comm. in P. D. E.—1982.—V. 7, No. 1.— P. 77-116.

14. Jerison D. The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Math. J.—1986,—V. 53, No. 2,—P. 503-523.

15. Serrín J. Introduction to differentiation theory.—University of Minnesota, 1965.

г. Владикавказ

Статья поступила 21 августа 2000 г.