Условные и взаимные мультифрактальные спектры. Определение и основные свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 10, 2003

УДК 511, 514.8, 530.1

УСЛОВНЫЕ И ВЗАИМНЫЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Н. Ю. Светова

В [1-4, 8] была предложена идея выполнения мультифрак-тального анализа относительно произвольной меры, что является обобщением классического мультифрактального анализа в представлении информации о геометрических проявлениях сложных зависимостей двух распределений и применяется к геометрическим объектам, состоящим из различных категорий точек. Задача состоит в определении количественных характеристик влияния двух распределений на геометрию друг друга. В данной статье предлагается формализм для мультифрактального анализа одной меры относительно другой, который основан на идеях мультифрактального формализма, представленного Л. Олсеном [5]. Устанавливаются основные свойства условных мультифрактальных спектров, а также вводятся в рассмотрение новые взаимные спектры.

§ 1. Условные мультифрактальные спектры

Условная Хаусдорфова и условная упаковочная мультифрактальные размерности. Пусть X — произвольное метрическое пространство с заданной метрикой с?. В(Х) — сг-алгебра всех бо-релевских подмножеств пространства X. Под мерой /х, определенной на В(Х), подразумевается нормированная борелевская мера. Множество всех борелевских вероятностных мер обозначим через Р(Х). Напомним, что носителем меры /а называется множество всех точек, все окрестности которых имеют положительную меру. Через Вг(х)

© Н. Ю. Светова, 2003

обозначим открытый шар с центром в точке х и радиусом г. Пусть /х, V Е Р{Х). Меру V будем называть условной базисной мерой для меры ц (кратко: условной базисной мерой или базисной мерой). Пусть Ф — множество всех непрерывных функций (/?, определенных на [0, 6] так, что у?(0) = 0, (р(х) > 0 для 0 < х < 6. В качестве функции (р возьмем функцию

<Рд{х) =

00, X = о,

а* X > 0,

1,

0, X = 0,

X > 0,

я < о

д = 0 д > О

Для любого 6 > 0 центрированным й-покрытием множества Е С X называется счетное или конечное семейство множеств Е{ С X таких, что Е С Е{ и сЦат(.Е;) < 6 для любого г. Центрированным 5-

г

покрытием множества Е С X называется й-покрытие {ВГ{(х{)}{ множества Е шарами с центрами в Е.

Пусть Е С X, Е ф 0, Е М, {ВГ{ (ж*)}* — центрированное 6-

покрытие Е. Определим следующие функции множеств:

П^(Е) = : 1у(ВГ1(хг)) фО},Еф 0,

Ч1Л0) = °’

П^0(Е) = 8ир Щ^(Е),

(5>0

Н^Е) = 8ир?^,о(П

РСЕ

/£ ( 771\ _

ад) = К’!ЛЕ)-

'Н(1^1У(Е) назовем условной Хаусдорфовой мерой.

Упаковочная мера была введена Трикотом, Тейлором и Реймондом в середине 80-х годов прошлого века как двойственная к Хаусдорфовой мере. Хаусдорфова мера определяется рассмотрением экономичных покрытий, тогда как упаковочная мера определяется через введение эффективных упаковок [5, 7].

Пусть X — метрическое пространство, Е С X, Е / 0, 6 > 0. Счетное семейство {ВГ1(х{)}{ дизъюнктных замкнутых шаров с центрами в^и сЦат (ВГ{(х{)) < 6 для любого г называется центрированной й-упаковкой множества Е.

Для множества Е С X, Е / 0, д, £ Е М, {1?г. (ж;)}; — центрированной й-упаковки Е определим

Т^(Е) = 8ир{5>9ИД-гЫ)Ы2гч) : у{Вг^)) ф 0}, Е ф 0,

г

= о,

Р%,0(Е) =

г

<о(^) = р°1о(я),

рЦЕ) = Т°£(Е).

Т>^г1У(Е) назовем условной упаковочной мерой Е.

Предложение 1. 'Н^1/,Т^1/ являются внешними мерами и поэтому мерами на а-алгебре борелевских множеств.

Доказательство. Следует из стандартных рассуждений (см., например, [5]). □

Из определения условной упаковочной меры вытекает

Предложение 2. Пусть /л, г/ е Р(Х),д,£ е М. Тогда

КИЕ) < Г^0(Е).

Очевидно, существуют критические значения Бш^(Е),

А^^(Е) такие, что

киЕ) = Г 00 \о для г < <Ит 1^(Е), для Ь > (Ит® „(Я),

П'!ЛЕ) = Г 00 1° для г < Бш’ ДЕ), для Ь > Бил® „(Я),

К$,0 (Е) = Г 00 1° для Ь < А® ,„(#), для г > А «,„(#).

Назовем их, соответственно, условной мулътифракталъной Хаусдор-фовой, условной мулътифракталъной упаковочной мерами и условной мулътифракталъной упаковочной предмерой множества Е.

По аналогии с классическим мультифрактальным формализмом [5] установливаются некоторые свойства представленных условных мультифрактальных мер.

Предложение 3. Пусть X — метрическое пространство, ц, v Е Р(Х), QjPjSjt £ ^ v — условная базисная мера. Тогда

V К’!»,о > Ki,o’если ч-Р’

0 ^ К’ко’ если s < t-

2) Отображение (q,t) —У ^’t,o — логарифмически выпуклое, т.е. для a Е [0; 1], р, q, s, t Е I и Е С X

vzt~a)q’at+{1~a)s < (K:t,о(^))а(^,о(^))1_а-

3) P/ki > если q<p,

если s < *■

4) > Щ'А если q < p,

если S<L

Введем в рассмотрение условные размерностные функции. Обозначим

b^,v(q) = dim® „(suppц П suppz/),

в»,» (о) = (supp ^ n supp v) ’

КАч) = A®,„(suPPMnsuppi/).

Очевидно, что Bfl^{q)^ Kll^{q) являются убывающими

функциями, BfJ>iU(q), AfJ>iU(q) — выпуклыми. Обозначим

dim^(suppц П supp v) = bM>I/(0),

Dim^suppц П supp v) — B/l^{0).

Теорема Безиковича о покрытии. Пусть d Е N. Тогда найдется £ Е N, которое удовлетворяет условию: для данного множества i С произвольно выбранной точки х Е А и фиксированного положительного rx (supTG^4 гх < оо) существует счетное или конечное подсемейство А\, * * * множества {ВГх(х) : х Е А}, для которого выполнены условия:

1) А С U U В>

i BCAi

2) {Ai} — семейство дизъюнктных множеств.

Используя теорему Безиковича о покрытии и предложение 2, несложно доказывается

Теорема 1. Пусть X С ~M,d, fi^v Е Р(Х), v — условная базисная мера, Е CX,q,teR, Тогда выполнены условия

1) найдется такое £ Е N, что Hq^(E) < £ • V^U(E),

2) dim%{Е) < Dim 1>V(E) < Д®,„’(£)•

Некоторые свойства мультифрактальных мер и размерностей имеют место только в том случае, если меры удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Приведем одно из таких условий. Пусть /1 Е Р(Х), a > 1. Положим

гр ( \ у /л(ВаГ{%))

Ta{fjL) = limsup sup .

г—>-0 cc£supp /j, r\X))

Семейство борелевских вероятностных мер, определенных на метрическом пространстве X и удовлетворяющих условию: для некоторого а > 1 выполнено Та{ц} < оо, будем обозначать Рр(Х) и называть семейством диаметрально регулярных мер [6].

Предложение 4. Если ц Е Pr>(M,d), v — условная базисная мера,

V G P(Rd), Е С то W*V(E) <

Доказательство. Доказательство основано на стандартном приложении теоремы Витали о покрытии и является аналогом доказательства предложения 3.4.2 [6]. □

Из предложений 3 и 4 вытекает Следствие. Если supp ц = suppz/, то

1) о < b^v(q) < B^,v(q) < A^(q), q < 1,

2) b^v(q) < B^viq) < ЛД;„(д) < 0, q > 1,

3) b^q) = B^v{q) = A^„{q) = 0, q = 1.

Точные условные мультифрактальные спектры. Альтернативный подход к мультифрактальному описанию мер включает разложение носителя меры на подмножества одинаковой логарифмической плотности меры. Ниже приводятся точные формулировки для данного случая.

Пусть даны меры /х, V Е Р(Х), V — условная базисная мера. Для любого х Е X положим

а (х), ам?1/(ж) назовем, соответственно, нижней и верхней услов-

ными локальными размерностями меры ц в точке х Е X. Если %*(х) ~ т0 их общее значение будем обозначать а(1^{х) и на-

зывать условной локальной размерностью меры /1 в точке х Е X.

Для любого положительного а определим

Пусть К (а) = К_а ПК = {х Е яирр /1 П яирр у : (х) = а}.

Положим

/м Аа) = <1т1/А'(а),

^^(а) = БшД(а).

Размерностные функции /^(а), (^?1/(а)) назовем нижним (соответственно, верхним) точным условным мулътифракталъным спектром. Далее определим

ж Е яирр г/, х 0 яирр г/,

Кп, = {х Е яирр /1 П яирр г/ : ад?1/(ж) > а},

= {ж Е яирр /1 П вирр у : ад?1/(ж) < а},

Ка = {ж Е вирр ц П эирр г/ : ам?1/(ж) > а},

= {ж Е вирр ц П эирр V : ам?1/(ж) < а}.

Из следствия к предложению 4 и определений выводится

Предложение 5. Пусть /х, у Е Р(Х) и д Е М, у — условная базисная мера. Тогда

1) 0 < < а^„ при д > 1;

<0 при 0 < ч < 1;

= 0 при <7 = 1.

2) 0 < 0 < д < 1.

В дальнейшем будет полезна

Лемма. Пусть /1,у Е Р{1(), у — условная базисная мера, а > 0. Тогда

1) }СХ — 0 при а <

2) Ка = 0 при а >

3) Ка = 0 при а > А^,

4) Ка = 0 при а < а^.

Доказательства следующих теорем 2-5 основаны на методе доказательств Л. Олсена [5, 6].

Теорема 2. Пусть X — метрическое пространство, ц, у е ^

— условная базисная мера, а > 0, д, £ Е М, £ > 0, ад + £ > £. Тогда

1) Н?я+ь+6(Ка) < 2а<*+6Щ^{Ка), д < 0;

2) Яг«+*+*(1Гв) < 2а1+Щ^(Ка), <? > 0;

3) если ад + > 0, то

< ад + Ъ^„{д), д < 0, сИти(Ка) <ад + Ъ^„(д), д > 0.

Следствие. сИт„{Ка) < а, Бт„{Ка) < а.

Теорема 3. Пусть X — метрическое пространство, //, V £ Р(Х), г/

— условная базисная мера, а > 0, д, £ £ Ж, 6 > 0, ад + £ > <5. Тогда

1) Т^+*+&{Ка) < 2“«+<5Р9;<1/(Жа), д < 0;

2; Р“9+4+г(Жа) < 2ао+5Т^(Ка), д > 0;

3) если ад + В(1^{д) > 0, то

Випи(Ка) < ад + В^^(д), д < 0;

Бш„(Ка) <ад + В/1^(д), д>0.

Теорема 4. Пусть X — метрическое пространство, ц, у е Р(Х), у

— условная базисная мера, а > 0, д, £ Е М, 6 > 0, ад + £ > 6. Тогда

1) если А С К_а — борелевское, то 2ад~6/Н^(А) < , д > 0;

2) если А С Ка — борелевское, то 2ад~5'Н(1^и(А) < Н*ч+г~8, д < 0.

Следствие. Если А С К_а — борелевское и /л(А) > 0, тогда справедливо неравенство сШп^Л) > а.

Теорема 5. Пусть X — метрическое пространство, ц, у е Р(Х), у

— условная базисная мера, а > 0,д, £ Е М, 6 > 0, ад + £ > 6. Тогда

1) если А С 1С* — борелевское, тогда 2ад~6Т^и(А) < ?

я > 0;

2) если А С Ка — борелевское, тогда 2ад~6Т>^1У(А) < ^

Я < о.

Следствие. Если А С К_а — борелевское и /л(А) > 0, тогда справедливо неравенство Т)ипи(А) > а.

Доказательство. Приведем доказательство пункта 2 теоремы 2. Доказательства остальных утверждений основаны на аналогичных рассуждениях.

Пусть д > 0. Для любого натурального числа т положим

ТТ г -Т7 1п/л(Бг(ж)) 6 1

Нгп = {ж Е Ка : ---------------------------- < а Н—, 0 < 2г < —}.

1п г д т

Зафиксируем т, выберем любое множество Е С Нт и 0 < Г] < —.

Рассмотрим центрированное ту-покрытие {ВГ{ (ж*)}* множества Е. Тогда для каждого г получим, что Е вирр у и

1п /л(ВГ{(Хг)) 6

------------------------------- < а + -.

1п г* д

Следовательно,

(//(^(Жг)))«(2гг)4 >

В таком случае для г] < ^

2яа+6Щ^п(Е) > Щ%+6+\Е).

Поскольку 77 —0 с ростом тп и Е С Нт, то

%1^5+\Е) < 2да+вН1'^0{Е) < 2<1а+6П^{Е) < 2яа+вПя^(Нт). Итак, для любого натурального числа т выполнено неравенство ПГ+6+*(Нт) < 21а+6Щ*„(Нт).

Так как Ка С I I Нт и Нт Ет = Ка, то

— т—^ос

т

ПГ+&+\Ка) = 8ирПГ+6+*(Нт) < 8ир2*а+вЩ$,(Нт) < 2яа+6{Ка).

т т

□

Напомним, что преобразованием Лежандра функции д : М —у М называется функция д* : М —> М = 1и {-оо; оо} такая, что д*(х) = т{{ху + д(у)) для х Е М.

у

ТЕОРЕМА 6. Пусть X — метрическое пространство, /Л,г/ Е Р(Х), V

— условная базисная мера, а > 0. Тогда выполнены условия

1) < т£а»,Лх) < 8ир

< Ма^х) < вирад „(ж) < ам>„,

91 { ^ ^ (—р,!'’

4 иАа)-\ = 0. « е [0,оо)\(а^,а^),

Р (г,,} _ / — ^ (Д/и,!/’

м.Л ае[0,оо)\[а^,а^],

где В* и(а) — преобразования Лежандра функций Ь/1^{д),

в^Ая)-

Доказательство.

1) Следует из теоремы 2.

2) Если а Е [0,0^), то в силу леммы имеем Ка = 0, тогда К(а) = 0. Следовательно, /м,г,(а) = (а)) = 0. Если а > ам?г/, то

Ка = 0 и К(а) = 0, в таком случае /^^(а) = (а)) = 0.

Наконец, если а Е (ад г/, ам?г/), то, используя теорему 2, получим

Аналогично проверяется второе утверждение. □

Очевидно, что выполнено

Предложение 6. Ь* (а) < В^„(а).

Условные мультифрактальные спектры Лежандра и емкостные условные мультифрактальные спектры. Пусть Е С X, г > 0, {Вг(х{)}{ — конечная или счетная центрированная упаковка множества Е шарами радиусом г. Определим

По аналогии с классическим мультифрактальным формализмом [5]

мерности. Определим ячеечные условные размерностные функции (или спектры Лежандра) следующим образом:

!ц,Ла) = П Ка) < т{{ад + Ь^1/{д)) = Ь*^{а).

М™?Г(Е) = 8ир{5>(Вг(*<)))в : НВЛхг)) ф 0}.

4ш™Пв(Е) =

Т.--Ч,уп /

&™^,в(Е) =

дшУв(Е) = йшк°*”в(Е),

<ИтУв (Е)

назовем 4ш4’Гв’ &т™пв нижней и верхней д-мулътифракталъными условными ячеечными размерностями.

Ажг^1(Е), (Лт^п(Е) — нижняя и верхняя условные ячеечные раз-

{д) = Щт^"в (Е) (вирр ц П вирр р), С (<?) = <Ит ч^в (Е) (йирр м П эирр у) .

Верхний и нижний условные ячеечные спектры:

1Ц,в{а) =^АЧ) =ш{(ад + С^М),

7Г,,*(а) = С1,Л^) = ^(аЧ + СрЛч))-

^-мультифрактальные условные ячеечные размерности также можно определить другим способом.

Для любого .ЕСХ,г>0,дЕМи конечного или счетного центрированного покрытия {Вг(х{)}{ множества Е замкнутыми шарами радиусом г положим

М^Г(Е) = М{^2(КВг(хг))Г : *(Вг(хг)) Ф 0}.

ге1

1п Мд'покр(Е)

___ 1л мд’покр( ЕЛ

—--д,покр , ч ШШ уИ/)

&1ти,и,в (Е) = Ьтвир---^-------,

4ш$™вР(Е) = дШв(Е), Ш?^(Е)=Ш?в(Е).

Условные ячеечные размерностные функции (или спектры Лежандра):

(<?) = (Е) (вирр ц П вирр и),

(о) = с11т(Е) (эирр ц П эирр и).

Верхний и нижний условные ячеечные спектры:

г;;рв(а) = ь^м) =

71Т,в(а) = = т{(ад + 1^„(д)).

Перейдем к определению емкостных мультифрактальных условных спектров.

Пусть даны вероятностные меры /л, г/, е > 0, фиксированное г > 0 и {Br(xi)}i — конечная или счетная центрированная 2г-упаковка множества supp ц П supp v. Определим

Щ(а,е) = sup{card{I?r(^) : г Е 1} : v(Br(xi)) / 0;

In n(Br(xi)) ^

OL — 6 \ \ СУ + б },

lnr

In Nu (о, с)

feM(a) = liminf liminf------- —-—,

~v e—>-0 r—>-0 — In r

■jeM . In N"(a,e)

tj. (a) = hm mi hm sup-------------.

e—>-0 r—>-0 — In ^

Назовем fe^M(a), (а) нижними верхним емкостными мулътифрак-

талъными условными спектрами. Если fe^M(a) = /^(a), то их общее значение f„M(ot) назовем емкостным мулътифракталъным условным спектром.

Далее приводятся основные свойства условных размерностей и спектров, аналогичные свойствам соответствующих размерностей и спектров, определенных в [5].

Теорема 7. Пусть ti,v Е. Р(Ш!), а > 0. Тогда

гл«) </:;>)’

7Г(а)<7£,в(«).

ТЕОРЕМА 8. Пусть /л, и Е Р(Мг), a > 0. Тогда

UA<*) < £м(<*),

F^M) <7Г(“)-

Предложение 6. Пусть ц, v е P(Ed), Е С q е Ж. Тогда

Предложение 7. Пусть ц,у е тогда имеет место утверждение

сигг?;™;р(Е) > ^-;В(Е).

Предложение 8. Пусть р е Рв(№*), у е Р(М*), Е С д > 0, то выполнены неравенства

-II,и,в V

■д,уп

йш^у(Е)>йш™пв(Е),

сЦт

-д,покр .

,^в\Е)>$ш?^в{Е).

Итак, из предложений б, 7, 8 следует Следствие.

1) для любого д < 0 и /1,1; Е Р(Х)

^^(Е)=&т™пв{Е),

<Шп ™(Е) = й\т^в(Е).

Ьц,Ля) = С^(д), ЬцАя) = СцАо)-

2) для любого д > 0 и (1 £ Р/>(Ж<г), V £ Р(М<г)

^:7(е)=&ш™пв{е),

с11т Г;7{Е) = йш1’\,‘в (Е).

В частности,

ЬрАч) = СцАч)-

Предложение 9. Пусть /х, у е Р{Х) и д еМ. Тогда

< а 1ЛЕ).

д Е М. Если

Предложение 10. Если /а е Ро(Х), у е Р(Х) и д > 0, то

НЦ£Т(Я) > А 1,ЛЕ)-

Предложение 11. Если /х, г/ е Р(Х) и д <0, то

НЦ£Т(Я) > А*,„(£)•

Таким образом, из предложений 9, 10, 11 вытекает Следствие.

1) для любого д < 0 и Е Р{Х)

<Шп *™Р(Е) = А %(Е).

В частности,

ЕБССц^) = Д^ ^вирр// П виррг/)

2) для любого д > 0 и (1 £ Р/>(Ж<г), V £ Р(М<г)

<Шп “(£?) = А^ЛЕ).

В частности,

Сд^О?) = Дд,[/ (вирр Ц П эирр р). Предложение 12. Если ц е РЕ1(Ш<1), V е Р(Шё), то

Предложение 13. Если ц,у е Р(Е<г), д < 0, то й\т1ЛЕ)=дш^у(Е).

Из предложений 12, 13 вытекает Следствие.

1) для любого д<0и/1,г/Е Р(1Г)

(Ит^^ирр^Пвирр!/) <Ь^и(д),

2) для любого q £ М, Ц £ P.D(Md), v £

dim/^ (SUPP M n supp v) < (q).

Из теоремы 4 и предложений 6, 7, 8, 12, 13 получим

Следствие. Если ц е Po(Md), г/ е P(Ed), тогда f»Aa) < infq(aq + C^iq)), если a G {a^ v{q)]a^^{q)).

Обобщенные условные размерности Реньи. Для q / 1 положим

T?(n,u) = ^—yln(M®;^(supp/insuppi/)).

В случае q = 1 пусть {Е;}; — счетное борелевское разбиение supp/iD suppz/, для каждого i выполнено diam(Е{) < г и

ті in,v) = ini(^2 ц(Еі) Ы ц(Еі)}.

ІЄІ

Следуя определению обобщенных размерностей Реньи [5, 7], определим условные размерности Реньи:

В1..=Шт1Т'М

г—>0 —ІП Г ТА у

Da,v = limsup----------.

г->о - In г

Теорема 9. Пусть /л, v Є Р(х), g Є 1. Тогда

AIASUPP v П SUPP = \ (q - 1) .D4

Доказательство предложения проводится аналогично доказательству утверждения для обобщенных размерностей Реньи в мультфрак-тальном формализме Л. Олсена [5].

§ 2. Взаимные точные и емкостные мультифрактальные спектры

В связи с рассмотрением мультифрактальных условных спектров показалось интересным исследовать спектры, построенные следующим образом.

Точные взаимные спектры. Пусть имеются меры /х, V Е Р{1Г), а,/3 > 0. Обозначим

Ка,(3 = {х е яирр /I П яирр V : а< а, < /5},

= {ж € йирр м П йирр I/ : > а,]3^ „ < /?},

Кр = {ж £ эирр ц П вирр V : а< а, /3 ^ > /3},

Каф = {ж € виррмПвиррг/: > £}.

К (а, /3) = К01,15 П П Кр П Каф = {ж € эирр /< П йирр г/ :

,.ш ы^В|(*)) =

<5-И) 1п 6 <5^0 1п 6

Тогда точные нижний и верхний взаимные спектры:

= <1\тК(а,Р),

Р1%(а,Р) =ОипК(а,Р),

где сЦт, Бш — соответственно Хаусдорфова и упаковочная меры.

Емкостные взаимные спектры. Пусть имеются меры /х, и Е Р(Х), X = М^, е > 0. Зафиксируем положительное г. Выберем конечную или счетную центрированную упаковку {Вг(х{)} множества яирр /1 П яирр у. Положим

б) = 8ир{сагс1{Бг(жг) : г Е / : \/г Е /,

а_ МВД)

1п г

1„^М) ^ + е}

1пг

Нижний и верхний емкостные взаимные мультифрактальные спектры определим следующим образом

/еж’ез (а, 0)= Нт т£ Нт т£

—е—>-0 г—>-0 — 1п Г

—ем,ез, л . 1п7Уг(а,^)

г.. 7. (а,р) = птпп птвир

’ е—>-0 г—>-0 — ^

Теорема 10. < Г^вз{а,(3).

Доказательство. Пусть f^u(a,/3) = dim К(а,/3) = t. Выберем произвольное е > 0 и m, £ N. Положим

_ r \n fj,(Br(xi))

± m — \ х £ supp а П supp v : а — е < ------------- < а + б,

1пг

In i/(Br(xi)) „ л 1 .

Р - б < -----\ п < 0 + б, 0 < г < —}.

lrir m

Тогда lim I \ТШ = К(а,/3). Поскольку 'Ht~€(K(a, 0)) = оо и множе-

€—>•0

га

ства Тт вложены друг в друга, то найдется такое S > 0 и натуральное то, что Н*6~е{Тт) > 1. В таком случае обязательно существует такая центрированная г]-упаковка {Brj(xi)}i множества supp /1 П supp v, что

^ < га ’ ^ < I' ДЛЯ кажДОГО Ъ ВЫПОЛНеНО

Inn(Bv(xi)) ^ , a ^ 1 nu(Bv(xi)) ^ a ,

а — б < ----- —{------- < а + б, р — б < ------ —{------ < р + б.

1п 77 1п 77

Предположим, что количество шаров Bv(xi) упаковки совпадает с Nr](a, /3, б). Тогда очевидно, что {B2r,{xi)}i является покрытием множества Тш. Далее,

Nr)(a,(3, е)(2т])*~е = > К\-€{Тт) > 1.

Тогда для каждого положительного г] < ^ и г] < ^ 1пЛ^(а,/3,б) • (г]У~€ > 0. Таким образом, для любого е > 0 получим

цтШ!£^М + е>,.

77—>-0 — 1п 77

Если б —)► 0, то t < feM,63(a, 0). □

гем,вз (

—II,и

Теорема 11. Р^(а,/3) </^^(а,/?).

Доказательство. В доказательстве теоремы используются похожие рассуждения доказательства предыдущей теоремы и известный

факт, что

Dim(supp/i)= sup dim в(Ат)

supp ц С U Ат

га

(см. [6]). □

Resume

This paper introduces a formalism for the multifractal analysis of one probability measure with respect to another. The conditional and the mutual multifractal spectra are considered, which give the better understanding of influence of local geometry of fractal measures against each other.

Литература

[1] Cole J. Relative multifractal analysis/ J. Cole// Chaos, solitons & fractals. 2000. № 11. P. 2233-2250.

[2] Das M. Local properties of self-similar measures/ M. Das// Illinois journal of mathematics. 1998. № 42. P. 313-332.

[3] Dansereau R. New relative multifractal dimension measures/ R. Dansereau, W. Kinser: Preprint. Manitoba, 2001.

[4] Levy Vehel J. Multifractal analysis of Choquet capacities/ J. Levy Vehel,

R. Vojak// Advances in applied mathematics. 1998. 20. P. 1-43.

[5] Olsen L. A multifractal formalism/ L. Olsen// Advances in mathematics. 1995. № 116. P. 82-195.

[6] Olsen L. Multifractal geometry/ L. Olsen// Progress in probability. 2000. V. 46. P. 3-37.

[7] Riedi R. An improved multifractal formalism and self-similar measures/

R. Riedi// Journal of math, analysis and application. 1995. 189. P.

462-490.

[8] Riedi R. Conditional and relative multifractal spectra/ R. Riedi, I. Scheur-ing// Fractals. 1997. V. 5. № 1. P. 153-168.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]