Оценка точных взаимных мультифрактальных спектров Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 14, 2008

УДК 511,514.8,530.1

Н. Ю. Светова

ОЦЕНКА ТОЧНЫХ ВЗАИМНЫХ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ СПЕКТРОВ

В работе установлена связь между взаимными мультифрак-тальными хаусдорфовой и упаковочной размерностями множества К(а, в) (предложенного в [1]) и взаимными мультифрак-тальными хаусдорфовой и упаковочной размерностями пересечения носителей борелевских вероятностных мер [2, 3]. При доказательстве утверждений используется техника доказательств Л. Олсена [6, 7], К. Фальконера [4], К.-С. Ло и С.-М. Нгаи [5].

Пусть дано произвольное метрическое пространство X с заданной на нем метрикой с1. В(Х) — ст-алгебра всех борелевских подмножеств пространства X. Под мерой ^, определенной на В(Х), понимается нормированная борелевская мера. Множество всех борелевских вероятностных мер обозначим Р(X). Носителем меры ц называется множество всех точек, окрестности которых имеют положительную меру. Вг(х) — открытый шар с центром в точке х и радиусом г.

Для любого х € Е = яирр ^ П вирр V, мер ^, V € Р(X) положим

,, (ж)= Вш 1п'‘(В-(х)), (х)= пт 1пМ,В-(х)),

^ г—+ 1п г ’ М ^ г^о+ 1п г '

в (х) = 1,ш 1пМВМ>, „(х) = иш 1П^ВМ>.

-м ,^ 1 г—+ 1пг М ^ ' г^о+ 1пг

Значения V(х), , V(х) назовем, соответственно, нижней и верх-

ней взаимными локальными размерностями меры ц в точке х € X, вм „(х), вМ V(х) — нижней и верхней взаимными локальными размерностями меры V в х. Если V(х) = , V(х) (в ^(х) = вМ V(х)),

то их общее значение будем обозначать аМ(х) (вМ, V(х)) и называть

© Н. Ю. Светова, 2008

взаимной локальной размерностью меры ц в точке х € X (взаимной локальной размерностью меры V в х). Взаимные локальные размерности мер а и в показывают, насколько быстро убывает число элементов пересечения носителей мер с заданной мерой ц и, соответственно, число элементов пересечения носителей мер с заданной мерой V при уменьшении радиуса шара. Чем меньше значение локальной размерности, например а, тем медленнее это убывание и тем более плотное распределение точек с заданной мерой ц имеем. В случае однородно распределенной меры на пересечении носителей взаимная локальная размерность в точке совпадает с размерностью объемлющего пространства й, если указанная размерность принимает значения, меньшие й, то эти значения указывают на плотное распределение точек, в то время как а > й обнаруживается в областях, где точки с положительной мерой ц встречаются редко.

Для любых положительных а, в определим

Ка’в = {х € Е: < а,вм^ < в} , Кв= {х € Е: > а,вм^ < в} ,

К|= {х € Е: < а,вМ^ > в} , Ка,в = {х € Е: > а,вМ^ > в} •

Пусть К (а, в) — множество точек, принадлежащих пересечению носителей мер ц и V, для которых взаимная локальная размерность меры ц равна а, а взаимная локальная размерность V равна в, т. е.

К (а, в) = Ка’в П Кв П К| П Ка,в =

г 1пм(Вй(х)) 1пV(Вй(х))

= {х € Е : 11ш---^= а, 1т--------------^= в}•

й^о 1п £ й^о 1п £

Теорема 1. Пусть X —метрическое пространство, ^, V €Р(X), а,в> 0, д, 4 € К, ^1,^2 > 0 такие, что ^ + 52 < ад + в4 + «. Тогда

1) н“9+в*+й1 +й2+я(Ка"в) < 2“9+в*+й1+й2н9.М(К“’в), д > 0,4 > 0;

2) н“9+в4+Й1+Й2+я(Кв) < 2“?+в*+Й1+Й2Н«’‘ЛК|), д < 0,4 > 0;

3) н«9+в*+й1+й2+«(К“) < 2“9+в*+й1+й2^«’^(К!), д > 0,4 < 0;

4) н«9+в*+й1+й2+^(Ка,в) < 2“9+в*+й1+й2Н«;^(Ка,в), д < 0,4 < 0.

Доказательство.

1) Пусть т € М, д, 4 > 0. Рассмотрим множество

Л Г 1п дБг (ж) -1 1п ^Вг (ж) „ -2 1 ]

Ат= ж € К“’в : ^ П ; <а + -; ■ П ; <в + -=- ;0 <г< - .

[ 1п г д 1п г 4 т^

Очевидно, что множества Ат являются вложенными друг в друга и Иш (М Ат) = Ка’в.

т—\ /

\ т /

Для фиксированного т € N выберем п так, чтобы 0 < п < т. Пусть {Бп(ж*)}* — произвольное центрированное п-покрытие любого множества V С Ат. Поскольку

1п ^Бг, (ж*) -1 1п VБп (ж*) -2

---------- < а +---- и ----------------- <в + —,

1п г* д 1п г* 4

то для произвольного элемента ж* множества V

(М(Бг< (ж*)))9 > г“9+Й1 и (VБ п (ж*))4 > г,в‘+Й2. Следовательно,

На9+в^ + ^1+^2 + в (V) < ^ ^ (2г-)а9+в4+^1+^2+в < 2а9+в4+^1+^2+в х г

х £(м(Б„(ж*)))9(v(Б„(ж4)))‘(2г4Г < (V).

*

Для произвольно выбранного п < — имеем

т

Н“9+в*+й1+й2+я (А ) < 2“9+в*+й1+й2Н9>М (А )

Переходя к супремуму по п и устремляя п к 0, для Ут € N получим

Н«9+в*+й1+й2+я(А )<2а9+в*+й1+й2(А ) <2“9+в*+й1+й2н9,*,я(А )

Поэтому Н“9+в4+Й1+Й2+я(К5’в) = яир На?+в‘+Й1+Й2+я(Ат) <

т

< 2«д+в*+й1+й2 8ирН«’^(Ат) < 2“9+в4+Й1+Й2Н«;‘ДКа’в).

т

Доказательство следующих трех пунктов почти в точности повторяет доказательство пункта 1, отличие состоит в выборе множества Ат. Ниже перечислим вид множества Ат для каждого случая.

, { тв 1п иВг (х) -1 1п (х) -2 1 ]

2) Ат= х € ка: и п ; > а + -1; , к ; <в + -# ;0 <г< - .

Г — 1п г д 1п г I т ]

, Г — 1п иБг (х) -1 1п VБг (х) -2 1 1

3) Ат= х€ка: и ^ ; <а + -; , ^ ; >в + -2;0 <г< - .

[ в 1п г д 1п г I т]

, Г 1п иВг (х) -1 1п VВг (х) -2 1 1

4) Ат= х€Ка,в : и К ; >а + -1; ■ к ; >в + -#;0<г<- .

[ — — 1п г д 1п г I т ]

Более того, если А является борелевским множеством, то справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть X —метрическое пространство, и, V € Р(X), а, в > 0, д,I € К, -1,-2 > 0 такие, что -1 + -2 < ад + в1 + в. Тогда

1) если А С Ка,в, д < 0,1 < 0, то

2ад+в£—— ^2н?,*,«(А) < на^+^—Й1— +в(А);

2) если А С Кв, д > 0,1 < 0, то

2ад+в*—^1—^2н?,*,я(А) < н“9+в*—й1—й2 +Я(А);

3) если А С Кд, д < 0,1 > 0, то

2ад+в*—^1—^2н?,*,я(А) < н“9+в*—й1—й2 +Я(А);

4) если А С Ка,в, д > 0,1 > 0, то

2ад+в*—^1—^2н?,*,я(А) < н“9+в*—й1—й2 +8(А)

Доказательство. 1) Выберем произвольное борелевское множество А из Ка,в, д, I < 0. Для любого натурального т положим

. Г . 1п и Вг (х) -1 1п V Вг (х) -2 1

Ат= < х € А : ^ п ; < а - —;——^ <в - —, 0 <г< —

[ 1п г д 1п г I т

Для фиксированного т и произвольного множества V С Ат подберем положительное п < т. Пусть {(ж*)}* — произвольное центрированное п-покрытие любого множества V С Ат. Для Ух € V имеем

(иВп(х*))9 > г“9—Й1 и (V(х*))4 > гв4—Й2.

Следовательно, (V) < ^(и(В^ (х*)))9 МВГ. (х*)))*^)8 <

г

< 2я ^ ^ г“9—Й1 • гв*—й2 • гя = 2— («9+в* — й1— й2) ^ ^(2г.)«9+в* — й1— Й2 + Я <

**

< 2—(«9+^—^1— й2)н«9+в*—Й1 — Й2+я^). Поэтому

'Н’^'д (V) < 2— (“9+в* — й1— Й2)н“9+в* — й1— ^2+Я^ ) < Н“9+в* —й1—Й2 + Я(А )

Последнее неравенство справедливо для любого V С Ат, тогда

Н^ДАт) < 2—(“9+в*—Й1—Й2)Н“9+в*—Й1—Й2+я(Ат).

Так как множество А можно представить в виде счетного объединения Ат (по условию А — борелевское), то неравенство

209+^* —й1—й2 Н9’*’Я(А) < ^“9+^* — й1— й2 + я (А)

завершает доказательство.

Следующие пункты теоремы доказываются аналогично этому. В

качестве Ат в каждом отдельном случае следует взять

1п иВг (х) -1 1п (х) -2 п „ „ 1 1

~ ' —----- < в-----, 0 < г < — > .

1п г I т ]

1п (х) -2 11

——^ >в - -2, 0 < г < — }. 1п г I т

2) Ат— ^ х € А : -------------- > а — —

Г 1п г д

3) .4„,= |х € А : 1п иВг (х) < а - *

Г 1п г д

<N4 Г Л 1п иВг (х) -1

4) Ат= х € А : ^ Л ’ > а-----1

1п (х) -2 1 .

П 7 > в - —, 0 < г < — \ .

1п г д 1п г I т

Теорема 3. Пусть X —метрическое пространство, и, V € Р(X), а, в > 0, д,I € К, -1,-2 > 0 такие, что -1 + -2 < ад + в! + в. Тогда

1) рад+в*+Й1 +Й2 + Я (К“’в) < 2“9+в*+Й1+Й2рд,4,,я(К“,в), д > 0,1 > 0;

2) Рад+^+й1 +Й2+.(К?) < 2«?+в*+Й1+Й2Р^ДК?), д < 0,* > 0;

3) ра9+в*+Й1 +Й2+я(к?) < 2а9+в*+й1+й2Р9’Д’я(К;а), д > 0,г < 0;

4) ра9+в*+Й1 +Й2+я(ка,в) < 2а9+в*+й1+й2Р9;4/(Ка,в), д < 0,2 < 0.

Докажем только первый пункт теоремы, доказательства остальных проводятся аналогично, в качестве Ат следует взять множества из соответствующих пунктов доказательства теоремы 1.

Доказательство. Пусть т € М, д,I > 0, Ат — множество из доказательства пункта 1 теоремы 1. Для фиксированного т € N подберем

0 < П < т. Пусть {Д, (х*)}* — любая центрированная п-упаковка произвольно выбранного множества V С Ат. Тогда для каждого х* € V

(иВ^(х*))9 > га9+й1, ^Вг.(х*))* > гв‘+Й2 и

^ '(2г-)“9+в*+Й1+Й2+я < 2а9+в*+Й1+Й2 ^ ^ га9+й1 гв*+й2 (2г. )я < **

<2а9+в*+Й1+Й2^(и(Вгг (х*)))9 ИВГ4 (х4)))‘(2г4)я< 2а9+в*+й1+й2 Р9’,^).

*

Поэтому для произвольно выбранного V С Ат

ра9+в*+Й1+Й2 (V) < 2“9+в*+Й1+Й2р9,М (V)

Пусть Ат С |^| V*, тогда

*

Р“9+в‘+Й1+Й2+я(Ат) <Ра9+в*+й1+й2 ^(Ат П ^ <

< ^ ра9+в*+й1+й2 (Ат п V*) < 2а9+в*+й1+й2 ^ Р^Ат П V*) < **

< 2?9+в*+й1+й2 ^ ^ р9’*,я (V-)

*

Следовательно, для любого натурального т

ра9+в*+Й1+Й2 + в(А ) < 2?9+в*+Й1+Й2р9,*,з(А )

Поскольку Пт I |Ат = Ка,в, то

т—

т

ра9+в*+Й1+Й2+я (К?’в) < 2“9+в*+Й1+Й2р9,М(К“’в)

Теорема 4. Пусть X —метрическое пространство, и, V € Р(X), а, в > 0, д, I € К, -1, -2 > 0 такие, что -1 + -2 < ад + в^ + в. Тогда если множество А является борелевским и

1) если А С Ка’в, д < 0,* < 0, то

2«9+в* — Й1— Й2 р 9,*,я (А) < Р “9+в* —Й1—Й2 + я(А);

2) если A С Ke, q > 0,t < 0, то

2aq+et-^l-^2 pq,t,s(A) < р aq+^t-^l-^2 + s (A)'

3) если A С Kp, q < 0,t > 0, то

2aq+et-^l-^2 pq,t,s(A) < р aq+^t-^l-^2 + s (A)'

4) если A С Ka,e, q > 0, t > 0, то

2aq+et—й1—й2рq,M(A) < рaq+et—^i—^2+s(A)

Из теорем 1 и 3 получим

Следствие 1. Пусть X — метрическое пространство, yU,, v G P(X), а, в > 0, q, t G R, тогда

1) dimM,v(K“’в) < aq + et + bM,v(q, t), q > 0, t > 0,

2) dimM,v(K|) < aq + et + bM,v(q,t), q< 0,t > 0,

3) dimM,v(K|) < aq + et + bM,v(q, t), q > 0, t < 0,

4) dimM,v(Ka,e) < aq + et + bM,v(q, t), q < 0, t < 0,

5) DimM,v(K“’e) < aq + et + (q,t), q > 0, t > 0,

6) DimM,v(Kj) < aq + et + (q, t), q < 0, t > 0,

7) DimM,v(K|) < aq + et + (q,t), q > 0,t< 0,

8) DimM,v(Ka,e) < aq + et + (q,t), q< 0,t< 0.

Следствие 2. Пусть X — метрическое пространство, ^, v G P(X), a, e > 0, q, t G R, тогда для точных взаимных спектров dimMjV (K(a, e)) и DimMjV (K(a, e)) имеют место следующие неравенства

1) dimM,v(K(a, e)) < inf(aq + et + (q,t)),

q,t

2) DimM,v(K(a,e)) < inf(aq + et + (q,t)).

q,t

Resume

It has received the estimations for the fine mutual multifractal spectra.

Список литературы

[1] Светова Н. Ю. Условные и взаимные мультифрактальные спектры. Определение и основные свойства / Н. Ю. Светова // Труды Петрозаводского государственного унивеоситета. Сер. Математика. 2003. Вып. 10. С. 41-58.

[2] Светова Н. Ю. Взаимные мультифрактальные спектры I. Точные спектры// Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. Математика. Вып. 11. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2004. С. 4247.

[3] Светова Н. Ю. Взаимные мультифрактальные спектры II. Спектры Лежандра, Хентшель - Прокачиа и спектры, определенные для разбиений / Н. Ю. Светова // Труды Петрозаводского государственного университета. Сер. Математика. 2004. Вып. 11. С. 47-56.

[4] Falconer K. J. Fractal geometry. Mathematical Foundations and Applications / K. J. Falconer. John Wiley & Sons. New York, 1990.

[5] Lau K. S. Multifractal measures and a weak separation condition / K. S. Lau, S.-M. Ngai // Advances in mathematics. 1999. № 141. P. 45-96.

[6] Olsen L. A multifractal formalism / L. Olsen // Advances in mathematics. 1995. № 116. P. 82-195.

[7] Olsen L. Multifractal geometry / L. Olsen // Progress in probability. 2000. V. 46. P. 3-37.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]