Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 17, 2010
УДК 511,514.8, 530.1
Н. Ю. Светова
свойство выпуклости взаимных
МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ
В работе установлено свойство выпуклости взаимной муль-тифрактальной упаковочной размерности подмножества пересечения носителей вероятностых борелевских мер ^ и V. Также показано, что взаимная мультифрактальная хаусдорфова размерность подмножества множества вирр ^Пвирр V является слабо выпуклой.
Пусть X - произвольное метрическое пространство с заданной на нем метрикой й. Обозначим через Р(X) семейство борелевских вероятностных мер, определенных на ст-алгебре всех борелевских подмножеств пространства X. Носителем вирр ^ меры ц называется множество всех точек, окрестности которых имеют положительную меру. Через Вг (х) обозначим открытый шар с центром в точке х и радиусом г. Для ц € К определим функцию : [0; то) ^ К + = [0, то] следующим образом:
Для ц, V € Р(X), Е С X, ц, £, в € К рассмотрим
(Е) = 1^1 £ ^(р(ВГг (х4))) • ^(ВГг (х4))) • (2г;Г |, Е = 0,
то, х = 0,
ж9, х > 0,
1,
0, х = 0,
х9, х > 0,
для ц < 0; для ц = 0; для ц > 0.
© Н. Ю. Светова, 2010
где точная нижняя грань берется по всем конечным или счетным покрытиям множества Е шарами с центрами из Е и диаметрами, не превосходящими заданного числа 6,
Функция Н9’^Я(Е) обладает всеми свойствами ст-субаддитивной внешней меры [6], и назовем такую меру взаимной хаусдорфовой мерой.
Пусть Т - семейство подмножеств множества X, содержащее пустое множество. Предположим, что существуют две функции П, Ф : Е ^ К+, которые удовлетворяют условиям:
А1. п(0) = 0 и "0(0) = 0; п(и) > 0 и 0(и) > 0 для всех непустых и Є Т;
А2. Для всякого 6 > 0 найдется такое є > 0, что п(и) < 6 для всех и Є Т таких, что 0(и) < є;
А3. Для всякого є > 0 найдется конечное или счетное подсемейство 0 С Т, покрывающее X, и такое, что
Пусть £ : Т ^ К+ - функция множества. Говорят, что семейство подмножеств Т и функции множеств £, п, Ф, удовлетворяющие условиям А1, А2 и А3, задают на множестве X структуру Каратеодори (или С -структуру т) и пишут т = (А, £, п, Ф) [1].
Внешняя мера, отвечающая семейству Т и функциям множества £, п, Ф, называется внешней мерой Каратеодори [1].
Пусть А - семейство конечных или счетных центрированных ^-покрытий множества Е, а функции
£ = ^9(м(Вп(х0)) • ¥г(»(ВГ4(х*))), п = Ф = й1ат(В^(х*)).
Легко проверить, что семейство А и функции £, п, Ф удовлетворяют условиям А1, А2, А3 и задают структуру Каратеодори (А, £, п, Ф), а функция Н9, Vя (Е) является мерой Каратеодори. Поэтому по предложению 1.2 [1] существует критическое значение ё1т9, V (Е):
Е СЕ
0(0) = 8ир(0(и) : и Є 0} < є.
для в < <ііш9’^, (Е),
для в > &ш^ (Е).
Назовем dim^’V взаимной мультифрактальной хаусдорфовой размерностью множества E.
Напомним, что счетное семейство {Bri(xj)}j дизъюнктных замкнутых шаров с центрами xi из E и диаметрами, не превосходящими заданного числа S для любого i, называется центрированной S-упаковкой множества E.
Для непустого множества E С X, q,t Є R, {Bri(xj)}j — центрированной S-упаковки множества E определим функции
p;’V:(E) =sup j^^9(MBn(xi))) • ^t(v(Bri(xi))) • (2ri):
где точная верхняя грань берется по всем конечным или счетным упаковкам множества E шарами с диаметрами, не превосходящими S,
p;;v: (0) = o,
p;;Vfo(E) = ino p;^ (E), p;;V’:(E) = inf £ p;;V’;:o(Ei).
EC у Ei i i
Для функции P9 V’:(E) также выполнены условия а-субаддитивной внешней меры [б], и назовем такую меру взаимной упаковочной мерой множества E, а P;’ V’ :o(E) - взаимной предупаковочной мерой.
Из определений взаимной упаковочной и предупаковочной мер следует, что существуют такие критические значения Dim; V (E) и д;і(E)что
s < Dim;i(E), s > Dim;i(E), s < д;і (e ), s > д;і (e ).
p;;V’:(e ) =
p;;V’:o(e )
то, для
О, для
то, для
О, для
Конечная борелевская мера ц называется диаметрально регулярной [6], если существуют такие константы 70 > 1 и Со > 0, что для
всех точек х и всех г > 0 верно неравенство
М(ВТог (х)) — С0М(Вг (х))*
Если 70 = 2, то говорят, что мера ц удовлетворяет свойству удвоения, и называют такую меру удваивающей [2]. Известно, что если ц является вероятностной борелевской и диаметрально регулярной мерой для любого х, принадлежащего носителю меры, и некоторого 70 > 1, то эта мера является и диаметрально регулярной для всех 7 > 1 [7, 5, 2].
Из определений взаимных упаковочной и предупаковочной мер вытекает, что для непустого множества Е справедливо
Если меры у«, V являются диаметрально регулярными, то из леммы Витали о покрытиях [6] следует неравенство Н9’^Я(Е) — РД’£,’8 (Е).
Для множества Е С вирр ц П вирр V из определений взаимной хау-сдорфовой и взаимной упаковочной мер вытекает
Поэтому функции ё1ш^’ V(Е) и Б1ш^’ V (Е) являются невозрастающими по переменным ц и £.
При доказательстве следующих утверждений используется техника доказательств Л. Олсена [7, 8], К. Фальконера [6], Я. Б. Песина
Лемма. Для произвольного множества Е С X, вещественных чисел 91,92,^1^2,а, 6,в1,в2, 0 — в1,в2 — 1 и в! + в2 = 1 справедливо неравенство
Доказательство. Пусть для 3 > 0 семейство (х*)} является
центрированной 3-упаковкой множества Е. Рассмотрим сумму
[1].
(Р£$’6 (Е))
^3 ?1+52?2 (МВГ^ (хг))‘^в1(1+3 2£2 (х*))(2г)
51а + в2 6+£ ^
Х ^«2 (МВг* (х*))^42 <ГВгг (х*))(2г)
< (ст* <е)Г(сГ* (е))’2'
Тогда для произвольного 6 > 0 получим
р’1«1+’2«2 5 ’1:1+’2:2 , ’1 а + ’:Ь+£(Е ) < р ’1 «1+’2«2 5 ’1:1+’2 :2 , ’1а + ’2Ь+£(Е) <
<5(сг+* (< • (с:2 5Ь< <
Следовательно,
р;1«,1о+’2«25’1:1+’2:2’’1а+’2Ь+е(Е) < (р^:0,а+*(е ^(р^о5^* (е ))’2,
откуда и получим доказываемое неравенство.
Теорема 1. Функция Бш^(Е) является выпуклой на множестве Е С яирр ^ П яирр V.
Доказательство. Действительно, в силу неравенства Йенсена достаточно показать, что для д1, 92,^1,^2 € К, ®1, «2 € [0,1] и в! + в2 = 1 справедливо неравенство
Бт;1;^’2*2’’1^^2(е) < в1 б™;1^1 (е) + в2 Бт;^2(е).
Положим а = Бт^1 (Е), Ь = Бт^2(Е). Поскольку для произвольных положительных чисел е' и е''
Р^1’^ (вирр ^ П яирр V) = 0, р;ь:1’ь+е (вирр ^ П яирр V) = 0,
то можно найти такие конечные или счетные покрытия {А*}* и {В*}* множества Е, для каждого элемента которых выполнено
Е 01,:1,а+ ^ е
Р;,^,0 1 (А^ < 1, где = е
Е «2,:2,Ь+ ^ 1 е //
рм,^,о 2 №) < 1, где =е .
г
Зафиксируем натуральное число п и пусть множество
П
Еп = и (Аг П В)
*5.7 = 1
для любого натурального п. Тогда, используя свойства взаимной упаковочной меры, получим
р>Я1д1+Я2д2,Я141+Я242,Я1а+Я2Ь+Е(Е ) _
( п \
_ р Я1д1+Я292,Я1 41+Я242,Я1а+Я2Ь+е Ш (А*п в)) <
\*,3 = 1 )
п
< Е р3191 + 3292,31 *1 + Я2*2,Я1а+Я2Ь+е(А п В •) <
*,5 = 1 п
< Е р3191+3292,31 *1+32*2,31а + 32Ь+Е(А. П В-) __ К
*,5 = 1
Применяя лемму и свойства предупаковочной меры, продолжим оценку упаковочной меры множества Еп
К < Ё (С!Г+ * (А* п В, ))31 • (р;5,Ь+ * (А* П В, ))32 <
*,.7 = 1
< (5: с;о,о+* (А* п в, ^ • (Ё р:5,ь+* (А* п в, ^ <
м,^,о ^А* п в,у I \ ' м,^,о
^*,^=1 ( \*,^=1
\ 31 ( п 4 32
-:й,а+271 (А*)) • (ёр:й,ь+272(в,) ^*,^=1 ) \*,,=1
32
< (пЁр:5,а+ * (Л)] • (пЁСО^* (В,)) < п31
Тогда для любого п € N
Отм1^32®,31^32*2 (Еп) < в1а + в26 + е. Поскольку Е С и Еп, то
п
Б1ш31д1+32 52,31*1+32*2 (Е) < О1т31^1+32?2,31*1+32*2 |
< вирБ1тМ1,51+3292,3:141+32*2(Еп) < в1а + в26 + е.
п
и Еп1 <
п
Так как эта оценка справедлива для любого положительного е, то выпуклость функции Вт^ (Е) установлена.
Итак, функция Вт^*, (Е) является выпуклой на любом подмножестве вирр ^иЯвирр V, более того она является собственной: ее надграфик непустой и не содержит вертикальных прямых.
Следующая теорема показывает, что функция ^т^ (Е) удовлетворяет условию слабой выпуклости.
Теорема 2. Пусть V € Р(X), множество Е С вирр^пвирр V, числа 91, 92,^1,^2 € К, «1, в2 € [0,1] и в! + в2 _ 1, то взаимная хаусдорфова размерность множества Е обладает свойством
ё1тМ^1+3292,31‘1+3242 (Е) < в1 Вт^1 (Е) + в2 ^т^2 (Е)
в следующих случаях:
а) если оба числа в191 + в292, в1^1 + в2^2 неположительные;
б) если в191 + в292 < 0, «1^1 + в2^2 > 0 и мера V является диаметрально регулярной;
в) если в191 + в292 > 0, в 1^1 + в2^2 < 0 и мера ^ является диаметрально регулярной;
г) если в191 + в292 > 0, «1^1 + в2^2 > 0 и меры ^, V диаметрально регулярные.
Доказательство. Пусть задано множество Е С вирр ^ п вирр V. Рассмотрим случай, когда в191 + в292 < 0, «1^1 + в2^2 > 0 и мера V является диаметрально регулярной. Для удобства введем следующие обозначения:
а _В1тМ^ (Е), Ь _ ё1т^2 (Е).
Пусть для произвольного положительного достаточно малого 3 задано центрированное покрытие {О*}* множества Е открытыми шарами диаметрами, не превосходящими 3. Для каждого элемента покрытия О* можно подобрать такую центрированную 3*-упаковку шара О*, чтобы выполнялось неравенство
-р91,*1,“+ § (о ) «рЗ1,*1,“+ 2 (о ) I 1
' м,^А (О*) < ' м,^,о (О*) + 2*.
Поскольку для любого е > 0 верно Вш^1 (Е) _ а < а + е, то из определения взаимной упаковочной размерности вытекает
Р^1,а+ 2 (Е) _0.
Для любого положительного числа е также очевидно, что ёш^2^2 (О* п Е) < Лт^2 (Е) _ Ь < Ь + е,
поэтому
н^2,ь+2 (О* п Е) _ 0.
Тогда какое бы мы ни взяли центрированное 7-покрытие множества О* п Е, получим
Н^27,Ь+2 (О* п Е) _ 0.
Возьмем теперь такое центрированное покрытие {Вг^ (ж*,)},е/ множества О* п Е открытыми шарами диаметрами, не превосходящими 7* _ тш | 7, 3* 1, чтобы
^ ^ ^92 (мВг^- (xij))^t2 (vBrij (xij))(2rij) +2 < . (1)
j
По лемме Витали о покрытиях [6] из семейства {Bri.(xj)}jej шаров, содержащихся в ограниченной области пространства Rd, можно выбрать конечное или счетное подсемейство (xj)}jej' непересе-
кающихся шаров таких, что
U Brij (xij) ^ U B4rij (xij).
jeJ jeJ'
Таким образом, в нашем распоряжении имеется центрированная 7*-упаковка {Brij (xj)}jej' множества Oj и соответствующее ему центрированное 47^-покрытие {B4rij (xjj)} множества Oj П E, при этом справедливо
р^;“+2 (ог) <рй;“+2 (ог) <p^0’“+2 (ог).
Используя условие диаметральной регулярности меры v, найдется некоторая константа Со, для которой vB4ri.(xj) < Co • vBri.(xj).
Тогда для 91, 92^1^2 € М, в1, в2 € [0,1], в1 + в2 _ 1, в191 + в292 < 0 и «1^1 + в2^2 > 0 оценим
н;:q:/32q2,3l^l+32^2,3la+32Ь+e(E) <ёё ^31,1+32З2 (мВ4ггз (х*, ))х х ^3141+32*2 (*у))(8г*,)31“+32Ь+< (4Со)31“+32Ь+£х
Х Ё Ё Ё Ё ^31,1+3292 (МВГ^3- (х*, )) ^31*1+32*2 ^ВГ1,' (х*, ))(2г*, ) 1 + 2 + <
* '
<(4Со)31“+32Ь+е 1ЁЁ ^ 1 (мВггз (х*,(х*,))(2г*,)а+ § ) х \ * ,е^' /
х ( Ё Ё Ё Ё ^,2 (мвг^3- (х*, ))^^2(vBr^j (х*, )) (2г*, )+ Ч < М.
\ * ,е^' /
Принимая во внимание условие (1) выбора покрытия множества О* пЕ и соответствующей центрированной 7*-упаковки {Вг^ },е/', получим
(ЁЁ^,2 (мВггз (х*,(х*,)) (2г*,)Ь+ ^ < ^Ё *) < 1.
Тогда
М < (4Со)31 “+32Ь+е (ЁЁ ^ 1 (мВг^3- (х*, ))^*1(г/Вг^3- (х*, ))(2г*, ) + 2 ) <
\ * ,е^' /
< (4Со)31“+32Ь+^ЁР^л1“+ 2(О*^ < (4Со)31 “+32Ь+£х
х (Ё (Р^“+ § (О*)+ 2*)) <(4Со)31“+32Ь+^ЁР^“+ 2 (О*) + ^ .
Переходя к точной верхней грани по всем 3 > 0 и по всем подмножествам множества Е, получим
( § V1
Н*! ,1+32,2,31*1+32 *2,31“ + 32Ь+£(Е) < (4С|] )31“ + 32Ь+Е ЁР^“+2 (О*)+1 .
Поскольку центрированное покрытие {Oj}j множества E выбрано произвольно, то
Hsl9l+s292,Sltl+S2t2,Sia + S2b+E(E) < (4С )Sl“ + S2b+^p^qiiVtl 2 (E) + 1^ 1 =
= (4C0)Sia+S2b+e < то.
Поэтому для любого положительного £ получим неравенство
dim^iqi+s292’sitl+s2t2(E) < ею + s2b + £,
из которого вытекает доказываемое неравенство.
Доказательство остальных случаев проводится аналогично.
Resume
It has received that the mutual packing dimension of subset E of set supp ^ Пsupp v for Borel probability measures ^ and v is convex, but the mutual Hausdorff dimension of E satisfies the condition of weak convexity.
Список литературы
Песин Я. Б. Теория размерностей и динамические системы: современный взгляд и приложения. М.; Ижевск: Изд-во института компьютерных исследований, 2002. 404 с.
Богачев В. И. Основы теории меры: В 2 т. Т. 1. М.; Ижевск: Изд-во НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2003. 544 с.
Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 471 с.
Светова Н. Ю. Взаимные мультифрактальные спектры I. Точные спектры // Труды ПетрГУ. Сер. Математика. Вып. 11. 2004. С. 4247.
Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. 760 с. Falconer K. J. Fractal geometry. Mathematical Foundations and Applications. New York: John Wiley & Sons, 1990. 337 p.
Olsen L. A multifractal formalism // Advances in mathematics. 1995. № 116. P. 82-195.
Olsen L. Multifractal geometry // Progress in probability. 2000. V. 46. P. 3-37.
Петрозаводский государственный университет, математический факультет,
185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: nsvetova@petrsu.ru