Взаимные мультифрактальные спектры II. Спектры Лежандра, Хентшель Прокачиа и спектры, определенные для разбиений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 11, 2004

УДК 511,514.8,530.1

ВЗАИМНЫЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ II. СПЕКТРЫ ЛЕЖАНДРА, ХЕНТШЕЛЬ — ПРОКАЧИА И СПЕКТРЫ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ДЛЯ РАЗБИЕНИЙ

Н. Ю. Светова

В статье вводятся в рассмотрение такие емкостные спектры, как взаимные мультифрактальные спектры Лежандра, Хент-шель — Прокачиа, спектры, определенные для разбиений и устанавливаются основные свойства упомянутых спектров.

Для произвольного подмножества Е метрического пространства X, конечной или счетной центрированной упаковки {Вг(х{)}{ множества Е замкнутыми шарами с фиксированным радиусом г положим

£) и £) обозначим соответствующие взаимные емкостные

размерности для упаковок, определенные на пересечении носителей мер. Нижним и верхним взаимными мулыпифрактуальными спектрами Лежандра назовем функции

Функции назовем нижней и верхней взаим-

ными мультифрактальными емкостными размерностями. Через

© Н. Ю. Светова, 2004

Определим взаимные мулыпифракталъные емкостные размерности для покрытий множества Е замкнутыми шарами фиксированного радиуса

М*:ЬПГ°КР(Е) = М | ^ШХг)))ЯМВЛХг)))*

Аналогично предыдущему случаю определим взаимные емкостные размерности для покрытий Гд°*р(^)5 ^°*р(#^) и взаимные мульти-фрактальные спектры Лежандра ^°*Рв(а? Р)?

Теорема 1. Для метрического пространства X, вероятностных бо-релевских мер [1, V справедливы следующие утверждения:

1) если д, £ Е М, то

*) < т%Ля,*), *) < ЧПЛч,t)^,

2) если q, t — неположительны, то

тп™р(ч, *) = т%Ля, *), *) = *%Ля, *);

3) если д, I Е 1я/1, г/ —диаметрально регулярные вероятностные меры, то

т™7(я,*) = Г^(д,*), г-кР(д,*) = т^,*);

В работе [1] приводится определение непрерывного, или интегрального, аналога производящей суммы М^ Г(Е) и для д > 1 рассматриваются НР-спектры размерностей (или спектры Хентшель — Прокачиа), отвечающие мере ц. Также для классического мульти-фрактального анализа доказано, что для всех д > 1 значение нижней (верхней) емкостной ^-размерности множества X совпадает со значением нижнего (соответственно, верхнего) НР-спектра с точностью до нормирующего множителя 1/(д — 1) [1].

В нашем случае положим

1&ЛЕ) = JJ (й(Вг(х^))<1-1(1У(Вг(Хг)))1:-1(1ф)(11У(у).

эирр дХэирр V

Интегральные аналоги нижней и верхней взаимных мультифракталь-ных емкостных размерностей назовем нижним и верхним взаимными мультифрактуальными спектрами Хентшель — Прокачиа:

Теорема 2. Для метрического пространства X, вероятностных бо-релевских мер /1, и, справедливы следующие утверждения:

1) если д, I <1, то

3) если д, Ь Е 1я/1, V —диаметрально регулярные вероятностные меры, то

В приложениях вместо покрытий и упаковок, конечно, удобнее пользоваться разбиением исследуемого множества на ячейки. Поэтому для натурального значения п рассмотрим разбиение Тп пространства уровня п. Под элементами разбиения будем понимать ячейки вида

Для произвольного подмножества Е пространства X, вероятностных борелевских мер /х, вещественных д и £ положим

где точная нижняя грань берется по всем возможным разбиениям Тп метрического пространства X.

—покр /1,1^

2) если д, £ > 1, то

—покр

—покр

где /ь е X.

г(Е/: С^Пэирр дИэирр иПЕфФ

В качестве взаимных емкостных размерностей для разбиений возьмем

, ч 1п МЦп{Е) / ч 1п МЦп{Е)

/ i\ 1* • с и,*1/*Т1\ / — / ,\ -I* u,*is*ti\ /

^№4 = lim inf-----------—-----, T^1/{q,t)= lim sup-—-,

^ ^oo fi 111 2i ti—^oo In 2i

а взаимные емкостные спектры Лежандра для разбиений fp^6B (а, /3)

и определим аналогично предыдущим случаям.

Теорема 3. Пусть X = M,d, /i, v — вероятностные борелевскне меры.

1) Если q, t < 0, то

T^u(q,t) > r™^(q,t).

2) Если q, t >0, то

ZfJLlV(Q>t)= M), W M) = r^v (q,t).

3) Если q > 0, t < 0 или q < Ot > 0 , то

Z^Aq^)> zln„(q,t), тм>1/ (g, *) > ту™и(q,t).

4) Если q, t E Ей/i, v —диаметрально регулярные вероятностные меры, то

Z^Mit) =Zn™p(q,t), r^q.t) =Tn™p(q,t).

Для любой ячейки С{ разбиения Vn увеличенной концентрической ячейкой (или увеличенной ячейкой) будем называть объединение ячеек разбиения, имеющих общие точки с ячейкой С{, т. е.

Ci = {иCih : Cih П 0}.

Для произвольного подмножества Е метрического пространства X обозначим

м^:(Е) = £ {mCiYiyCiY,

С,еТп:

C^nsupp /uPlsupp иС\Еф$

In M?’t’yJs(E) In М?'*;1В(Е)

&<«’ *> = ^ :Гп2 > = n“Sr nln 2 •

Следует отметить, что увеличенные ячейки использовались в работе [5] для улучшения классического мультифрактального формализма.

Предложение 1. Пусть X = /х, у —вероятностные борелевские

меры, для отрицательных д и £ выполнены неравенства

т1в„ Ы)< т£„ (<7, Ь), т£, (д, *) < («, *).

ТЕОРЕМА 4. Пусть X = М^. Если > 1 или Е (0; 1), то

= НРМ,„(?,*), тм>1/(д,*) = НРм>1/(^,^).

Доказательство. 1) Пусть > 1. Для произвольно выбранной точки ж; Е вирр /1 П яирр 1У = Е найдется ячейка С{ разбиения Тп пространства X, а также шар радиуса г с центром в ж*, для которых выполнено условие

Ж; £ Сг С ВГ(Ж») С С; = и С.

СеТп: сНз Ь(С,С{)^Ф

Принимая во внимание условие д, I >1, рассмотрим сумму

^ (цС^9< ^2 // (^Вг(х))4 1 (рВг(у))г 1 <1ц(х)<1р{у) =

>■ /: '• /:

С;ПВ^0 * *

= JJ (1лВг(х))<1~1 (1УВг(у)У~1(11л(х)(11/(у).

ЕхЕ

Поэтому М^П{Е) < 1^^Г(Е), что влечет выполнение неравенства в одну сторону.

С другой стороны,

(цВг(х))я~1(1уВг(у)У~1(1ц(х)(11у(у) < ^ {^Сг)я{иС^ <

ЕхЕ С-ГЛЕф®

Поскольку меры ди V — вероятностные, а д, t больше единицы или равны ей, то найдется константа А, удовлетворяющая неравенству

к к

^ А(»СУ{иС#.

к=1 5=1

Тогда

JJ (цВг(х))ч~1(рВг(у))*~1(1ц(х)(1р(у) < Кч+г~2А ^ (цСг)ч(рС^.

ЕхЕ С^пЕфО

Таким образом, имеем 1^Г(Е) < Кя+г~2А • М^п(Е). Переход к пределу заканчивает доказательство этого пункта.

2) Допустим Е (0; 1). Аналогично предыдущему случаю для каждой точки Xi ^ Е — яирр /1 П яирр у найдется ячейка С{ из разбиения пространства уровня п и шар Вг(х{): Х{ Е С{ С Вг(х{) С (7*. Поскольку

> (1ЛВГ(Х1))Я~1 > (//С;)9-1,

(г/С^)9-1 > (глВг(ж;))9-1 > (г/С;)9-1, то, используя выкладки для 1^ги г(Е) в пункте 1, получим

^2(рВг(х)Г(иВг(у)У > /*;1>Г(Я).

%е1

Таким образом, для 0 < д, £ < 1 неравенства в одну сторону доказаны.

С другой стороны, рассмотрим интеграл

jj (1лВг(х))<1~1(1уВг(у)У~1(11л(х)(11/(у) >

С;ХС;

- ')»*'> '2-, {мс^

Если для каждой ячейки С{ разбиения Тп существуют положительные константы К\, К2 < оо, для которых справедливы неравенства К\(1С{ > {1С{ и К2^С{ > уС{, тогда меры диг/ удовлетворяют условию диаметральной регулярности, и, следовательно, можно воспользоваться теоремой 2 (п. 3) и теоремой 3 (п. 4). Допустим, что не для

всех ячеек это условие выполнено. Множество всех ячеек, покрывающих Е, разобьем на четыре, а именно:

М = {i G I N = {i&I P = {i&I R = {i£l Тогда

pCi > fi(Ci \ Ci) > 0, vCi > v(Ci \ Ci) > 0},

0 <iiCi< n(Ci \ Ci), 0 <vCi< v(Ci \ Ci)},

цС{ > n(Ci \Ci)> 0, 0 < vCi < v(Ci \ Ci)},

0 <fxCi< fx(Ci \ Ci), vCi > v(Ci \ Ci) > 0}.

^ („ЛЛ1-Я ' {yCiY-t - (pCiY-я ■ (vCi)'-* -IxCi vCi

vCj

i€l(nCiY~9 {уЩ

ftCi

vCi

>E

>E

^№i + ii{Ci\Ci)) q {yCi + v (Ci \ Ci))

MCi ^ E WrWnvBriv))*.

г€М(21гСО1-,

Рассмотрим сумму

YtWiYiyCi)* <Е(^ (Ci \ Ci))q {у [Ci \ Ci))* <

ieN

i£N

CifcnC;#0, CifcnC;#0,

ieNCiker„: CireVn-

Ci.nCi^®,CirnCi^<t, СНФС, Cir±Ci

<YAi(d,q,t) m.§x {{цС*)ч(рС*У} < A1(d,q,t)'y(nCi)q(i'Ci)t.

c-cCACi "

6 ci6p„ 6

Далее рассмотрим сумму

Ew)’(^)‘ < E(^)9 И^лсг))4 < E(^)9( E ^)4 ^

ieP ieP ieP Cik EVn-

CiknCi^0,

Ci^Ci

<A2(d,t) У m_ax {(цС^ч(1уС*У) < A2(d,t)y2(iJ,Ci)q(isCi)t.

G* CCi\Ci

Ci€Vn fc

Аналогично можно показать, что

Y^inCiYivCiy < Md^YtWiYivCiy.

ieR iel

Тогда

{еМ г£/ г<ЕЛГ г£Р

= (1-^1(^д,*)-^2(й,*)-Аз(</)9))Е(^),(^)*-

ге1

Следовательно, 1^1 Г(Е) > (7 где

%Е1

С = 1 - >4.1 (б?,д,£) - А2((1,г) - Аъ((1^).

Последнее неравенство завершает доказательство теоремы. □

Из теорем 1-4 вытекает СЛЕДСТВИЕ.

1) Если д, £ < 0, тогда

г^Ля^) < НЕ^М) < г™крЫ) = т^Ля^) < ту*М,*) < НРМ,Л<7^) < т™*р (<?,£) =т1п„(д^)

2) Если д, £ Е (0; 1), тогда

Ш^(я, *) = г™*р(д, *) = г^(д, *) = г) = т^Ля, *), НРм,„(д,г) = т™*р(д,£) = т£п„(д,г) = тр,„(<?,£) = ту*М^)-

3) Если д, £ > 1, тогда

т™*р(я, *) < Ш^,Ля, *) = т^Ля! *) = *) = ^1вЛя, *),

т™*р(я^) < НРр>„(д,г) = т£п„(д,г) = = г^Дд,*).

4) Если д > 1, £ Е (0; 1) или д Е (0; 1), £ > 1, тогда

т™*р{я, г) < т?™Ля, *) = гм,„(д, *) = г^Ля, *), т1°*р(я,1) < ту*Ля^) = тм,„(д,г) = ту*и{я,1)-

5) Если д Е (0; 1), £ < 0 или д < 0, £ Е (0; 1), тогда

Ш^Ля,*) < г™*р(д,*) < т^„(д^) < г^Ля,*),

НРм>1,(д, *) < г^р(д^) < ту£„{д,£) < гм>„(д,^).

Предложение 2. Для любых вещественных д и £ и для положительных а, /3 выполнены условия

Следующая теорема позволит получить оценки для взаимных ем-

смотренных в статье [2].

ТЕОРЕМА 5. Для вероятностных борелевских мер /х, и, вещественнозначных д, £ справедливы следующие утверждения:

Доказательство теоремы основано на технике доказательств К.-С. Ло и С.-М. Нгаи [3].

Доказательство. Пусть д, £ е М, выберем число з, для которого ОД + /?£ + т^11/(д, £) < 8. Используя предложение 2, можем сказать, что 8 > 0. Поэтому для достаточно малого г

Для произвольного положительного числа б рассмотрим такую центрированную упаковку {Вг(х{)}{ множества Е = виррц П эиррг/ замкнутыми шарами фиксированного радиуса г, мощность которой рав-на 7Уг(а, /3, е) и для любого элемента упаковки выполнены неравенства га+€ < 1х(Вг(х{)) < га-е, г/3+е < ту(Вг(х{)) < г/3~€. Тогда

м^гП(Е) > Е^+те(М+И) = б)г«9+/з*+*(Ы+1*1).

Используя оценку (*), получим 7Уг(а,/3,б) > г~8~€^+^. Поскольку ^ выбрали положительным и г достаточно малым, то г~8~е^+^ строго меньше единицы. Тогда

ад + (Зі + (д, і) > 0, ад + (Зі + (д, і) > 0.

костных мультифрактальных спектров /®м^вз(а,/5), /^В3(а, /5), рас-

М$?(Е) < г'

,ад+/3і — в

(*)

г—>-0+ -ІПГ

< в + б(|д| + |*|).

. . —ем, в з , —уп .

При б —у 0 вытекает неравенство / (р-чР) < Jц^,в\°">Р)' Неравенство в другую сторону вытекает из следствия к теоремам 1 - 4. □

Resume

In this paper we introduce such coarse multifractal spectra as the mutual Legendre multifractal spectra, the mutual Hentschel - Procaccia spectra and the spectra, which defined for partitions of metric space X.

Библиографический список

[1] Песин Я. Б. Теория размерностей и динамические системы: современный взгляд и приложения / Я. Б. Песин. М. - Ижевск, 2002. 404 с.

[2] Светова Н. Ю. Условные и взаимные мультифрактальные спектры. Определение и основные свойства / Н. Ю. Светова // Труды ПетрГУ. Сер. “Математика”. 2003. Вып. 10. С. 41 - 58.

[3] Lau K.-S. Multifractal measures and a weak separation condition / K.-S. Lau, S.-M. Ngai // Advances in mathematics. 1999. t 141. P. 45 - 96.

[4] Olsen L. A multifractal formalism / L. Olsen // Advances in mathematics. 1995. f 116. P. 82 - 195.

[5] Riedi R. H. An improved multifractal formalism and self-similar mease-res / R. H. Riedi // Journal of math analysis and application. 1995. I* 189. P. 462 - 490.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33