CC BY
44
УДК 536.3
ИНДИКАТРИСА РАССЕЯНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНЫМИ ЧАСТИЦАМИ АЭРОЗОЛЕЙ
А.Б. ШИГАПОВ, Р.Н. ШАЙДУЛЛИН, Р.Р. ГАНЕЕВ, М.Ф.САДЫКОВ, А.В. КАЛИМУЛЛИН
Казанский государственный энергетический университет
Представлены результаты расчета индикатрисы рассеяния полидисперсными частицами аэрозолей. Вариация комплексного показателя преломления и плотности вероятности распределения частиц дисперсной фазы проводилась в интервале значений, охватывающем область, встречающуюся на практике.
Современные численные методы определения радиационных тепловых потоков к стенкам (методы дискретных ординат, моментов, сферических гармоник, Монте-Карло, дифференциально-разностное приближение и др.), а также обратные задачи теории переноса в дисперсных средах требуют расчета индикатрисы рассеяния полидисперсными частицами.
Индикатриса рассеяния, именуемая в зарубежной литературе по радиационному переносу фазовой функцией (phase function), для полидисперсного ансамбля частиц определяется соотношением [1, 2, 3]
12 *
Y(0) =--------{[ (0)+ i2 (0)]f(r)dr , (1)
8 п 2 ■ £ s 0
где 1 - длина волны излучения; £s — коэффициент рассеяния среды; ii, i2— функции интенсивностей поляризованных компонент рассеянного изолированной частицей излучения; 0 — угол рассеяния, угол между направлением падающей электромагнитной волны и рассматриваемым направлением в полном сферическом пространстве 4п; f (r) — плотность вероятности распределения
частиц дисперсной фазы по размерам.
Индикатриса рассеяния имеет следующее свойство нормировки:
— J у (0 )<Ш = 1.
4 п 4 п
Функции интенсивностей зависят от амплитудных функций: ii (0)= |S 1 (0)|2, i2 (0)= \S2 (0)|2, определяемых следующими соотношениями:
S1 (0)= S (2n+1){an ■пn (cos0)+bn ■тn (cos0)};
n=1 n(n+1)
s2 (0)= S ^2n+1 ^ {an ■ Tn (cos 0)+ bn ■ пn (cos 0)}. n=1 n(n+1)
© А.Б. Шигапов, Р.Н. Шайдуллин, Р.Р. Ганеев, М.Ф. Садыков, А.В. Калимуллин Проблемы энергетики, 2008, № 5-6
В этих формулах an, bn — коэффициенты Ми, зависящие от цилиндрических функций Ганкеля — Бесселя — Неймана полуцелого порядка и их производных. Аргументами цилиндрических функций являются: параметр
дифракции (действительный аргумент) x = 2п ■ r/1, а также произведение оптических констант вещества частиц m = n-г'ж на x (комплексный аргумент) m ■ x. Угловые функции т n и пn зависят от функций Лежандра Pn(cos0) и их
присоединений P'n (cos 0).
Во многих технических задачах, в том числе и в радиационном теплообмене, падающее излучение — естественное, т. е. с хаотической ориентацией плоскости поляризации. В этом случае целесообразно использовать осредненную функцию интенсивности
1
i(0)-[i'1 (0)+ i2 (0)],
2
интегрирование которой по полному телесному углу й = 4п дает коэффициент рассеяния изолированной частицы.
Как видно из предыдущих соотношений, определяющими параметрами угловой характеристики рассеянного света являются f (r) и оптические константы частиц дисперсной фазы. Из формулы (1) видно, что концентрация частиц (число частиц в единице объема N) не оказывает непосредственного влияния на вид индикатрисы рассеяния. Её влияние опосредованное, коэффициент рассеяния является функцией, пропорциональной N.
При вычислении у(0) была принята модель квазимонодисперсного приближения [3], когда концентрация частиц принималась равной единице: N = 1, но имеющей выбранное распределение по размерам f (r ).
Для расчетных исследований было выбрано четыре характерных распределения f (r) , встречающихся в теплоэнергетических установках [3, 4], рис. 1:
№ 1 — нормальное логарифмическое f (r) = exp(-(ln(r)- rm )2 /2о2 )/(r ■ oV2re);
№ 2 — модифицированное Пуассона f (r ) = аГ 1 ■ exp (- a )/\A ■Г (r) ];
p ■ a(b+1 V p ( )
№ 3 — трёхпараметрическое гамма f (r ) =---r ■ exp\- a ■ r p I;
Г{(Ь +1) p}
№ 4 — по модальному размеру f (r ) = 4r ■ exp(- 2 Jr/rm )/ 3rm.
Области и рекомендации по их использованию обобщены в работах [3, 4]. Значения оптических констант варьировались в широких пределах: Re(m) = [1,5; 2,5]; Im(m) = [0,01; 10]. Указанный диапазон существенно шире встречающихся на практике значений комплексного показателя преломления. Возникает, несомненно, справедливый вопрос о правомерности независимого произвольного выбора интервалов варьирования показателя преломления n и показателя поглощения ж. Изменение n и ж не должно происходить независимо друг от друга. Функциональная зависимость между составляющими комплексного показателя преломления определяется соотношениями Крамерса —
Кронинга [5]. Тем не менее, принятый в данной работе интервал варьирования оправдан. Во-первых, зависимость и(ж) определяется не столько их значениями, сколько дисперсией оптических постоянных - темпом изменения компонентов т от длины волны и(к), ж(к). Во-вторых, выбранный интервал изменения в столь широких пределах позволяет установить общие закономерности изменения индикатрисы рассеяния полидисперсными частицами.
0,8
0.7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1234 56789 г, мкм
Рис. 1. Функции распределения частиц по размерам при значениях параметров: 1) нормальное логарифмическое а = 0,971; гт = 0,35; 2) модифицированное Пуассона а = 1; 3) трёхпараметрическое гамма а = 0,4; Ь = 1; р = 1; 4) по модальному размеру гт = 6
На рисунках 2-8 и в таблице приведены некоторые характерные результаты численных исследований.
Представленные на рис. 2 и в таблице значения у(0) при вариации ж показывают, что при углах рассеяния 0 > 40° наблюдается её рост при увеличении показателя поглощения. Исключение составляют полупрозрачные частицы (полупроводники, ж < 0,01). Для слабопоглощающих частиц появляется отраженная часть интенсивности при углах 0 > 160°, которая по величине достигает интенсивности рассеянного излучения при 0 = 20°. В представленной серии расчетов выбрано трёхпараметрическое гамма распределение № 3, Яв(т) = 2,0; длина волны к = 1 мкм, дискретизация шага интегрирования йт выбрана равной 300 в интервале /(т) от 0 до ттах, где ттах соответствует достижению / (т) < 10-5. Рассеяние сильно концентрируется в направлении вперед. Наиболее отчетливо это видно из таблицы.
Таблица
ж у(0) при углах 0 °
0 5 10 15 20
0,01 3917,67 36,32 4,96 1,89 1,09
0,1 4345,11 39,88 5,12 1,73 0,87
1 4073,82 37,33 4,87 1,69 0,87
10 2626,37 25,27 3,75 1,53 0,94
Более точное определение положения максимума у(0, ж) при малых углах рассеяния возможно при вариации ж с более мелким шагом, рис. 3, где исходные данные по № [ (г) и к оставлены без изменения. Изменение исходных данных не приводит к качественным изменениям вида у(0), хотя количественные характеристики изменяются (возрастают) почти на 17 % при переходе к [ (г ) № 1.
Рис. 2. Влияние на у(0) показателя поглощения ж ([(г) - № 3; п = 2,0; ж =: 1 - 0,01; 2 - 0,1;
3 - 1,0; 4 - 10,0)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 а'
Рис. 3. Зависимость индикатрисы рассеяния от показателя поглощения (0 = 0°, п =: 1 - 1,5; 2 -2,0; 3 - 2,5 и 4 - 3,0; трёхпараметрическое гамма распределение)
Измерение параметров у(0) при нулевом угле рассеяния не представляется возможным, выбор данного угла объясняется стремлением получения обобщенных характеристик рассеяния излучения полидисперсным ансамблем частиц.
На графиках (рис. 3) можно заметить, что рост п приводит к смещению положения максимума у(0) по ж. С уменьшением показателя преломления усиливается рассеяние вперед, причем точки максимума смещаются в сторону меньших значений показателя преломления.
Положение точек максимума определяется линейной зависимостью между показателями поглощения и преломления (рис. 4).
2,7
2,4
2,1
1,8
1,5
0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 ж
Рис. 4. Зависимость п(ж) в точке максимума у(0) (/(г) =: 1 - № 3; 2 - № 1)
В качестве диагностического параметра при восстановлении /(г) часто используется рассеяние излучения в обратном направлении. С целью обобщения расчетных исследований для параметрического анализа была выбрана индикатриса при угле 180° (рис. 5).
С уменьшением показателя преломления рассеяние полидисперсными частицами назад снижается, причем точки минимума смещаются в область меньших значений показателя поглощения (рис. 5).
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ж
Рис. 5. Зависимость индикатрисы рассеяния от показателя поглощения (0 = 180°, п =: 1 - 1,5; 2 - 2,0; 3 - 2,5 и 4 - 3,0;/(г) - № 3)
Рассмотрим изменение индикатрисы рассеяния при некоторых промежуточных значениях угла рассеяния.
С увеличением действительного показателя преломления интенсивность рассеяния при 0 = 10° снижается, при 0 = 120° - возрастает (рис. 6).
у<10)|------------------------------------1 у(10)
0,2
0.1
2 1
1,9 2,1 2,3 п 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 и
а) 0 = 10° б) 0 = 120
Рис. 6. Зависимость индикатрисы рассеяния от действительного показателя преломления при длине волны излучения X = 1 мкм для различных распределений частиц по размерам (ж = 0,01;
f(r) = 1 - № 1; 2 - № 2; 3 - № 3; 4 - № 4)
Переход характера изменения у(0, п) от убывающего вида к возрастающему происходит для разных f (r ) при различных углах. Например, для f (r) № 1 - № 3
при 30° наблюдается снижение интенсивности рассеяния света от п, для f (r ) № 4, которое характеризуется содержанием частиц крупных размеров, имеет место рост интенсивности рассеянного излучения от показателя преломления (рис. 7).
1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 и
Рис. 7. То же, что на рисунке 6, но при угле рассеяния 0 = 30°
Сложная функциональная зависимость у(0) в интервале 0 = [10-120] градусов наблюдается от показателя преломления для заданного /г) (рис. 8).
Рис. 8. Зависимость индикатрисы рассеяния от действительного показателя преломления при различных значениях угла рассеяния для /(г) - № 4 (0= 1 - 10°; 2 - 30°; 3 - 60°; 4 - 120°; ж = 0,01)
Вид зависимости индикатрисы рассеяния от показателя поглощения для данного распределения частиц по размерам определяется величиной угла рассеяния. При малых углах она принимает форму, характерную для рассеяния вперед (рис. 3), т.е. имеет точку максимума; при больших углах, также как для рассеяния назад (рис. 5), имеет точку минимума.
Summary
The article contains results of calculation of phase function for polydisperse particles of aerosol. Complex refraction index and size distribution of particles varies in the range, which possible in practice.
Литература
1. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами. - М.: Мир, 1971. - 165 с.
2. Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. - М.: ИЛ, 1961. - 536 с.
3. Шигапов А.Б. Перенос энергии излучения в энергетических установках: Научное издание. - Казань: КГЭУ, 2003. - 150 с.
4. Блох А.Г. Теплообмен в топках паровых котлов. - Л.: Энергоатомиздат, 1984. - 240 с.
5. Белоусов М.В., Погаров Д.Е. Анализ Крамерса-Кронинга спектров отражения с предварительным дисперсионным анализом // Опт. и спектр. - 1977. -Т. 43. - № 2. - С. 379-381.
Поступила 15.01.2008
