CC BY
18
УДК 621.4:535.2
РАДИАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧАСТИЦ КОНДЕНСИРОВАННОЙ ФАЗЫ ГЕТЕРОГЕННЫХ ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ
В.А. КУЗЬМИН, И. А. ПЯТКОВА
Вятский государственный университет
Результаты данной работы могут быть использованы для упрощения и сокращения времени расчетов характеристик излучения и теплообмена излучением в энергетических установках. Предложены аппроксимационные зависимости для нахождения первых трех членов разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра. Вычисления выполнены для полидисперсной системы частиц оксида алюминия.
Ключевые слова: радиационные характеристики, энергетические установки, полидисперсная система, индикатриса.
При расчетах теплообмена излучением в энергетических установках исключительно важную роль играет уравнение переноса энергии излучения. Для решения данного интегро-дифференциального уравнения на конечном этапе численных вычислений необходимы данные по коэффициентам полного ослабления к, ослабления поглощением а, рассеянием в и матрице рассеяния. Без учета эффектов поляризации матрица рассеяния равна индикатрисе рассеяния у.
Радиационные характеристики к, а, в и у конденсированной фазы необходимо связывать с радиационными характеристиками индивидуальных частиц - эффективными поперечными сечениями ослабления оосл, поглощения опогл , рассеяния Орас и индикатрисой рассеяния у0 [1].
Важнейшим исходным параметром при расчете и моделировании радиационных характеристик гетерогенных продуктов сгорания (ГПС) является комплексный показатель преломления
т = п 1 - п 2 • г,
определяющий оптические свойства вещества частиц конденсата. Действительная часть п1 (показатель преломления) определяет скорость распространения излучения в среде. Мнимая часть п 2 (показатель поглощения) характеризует затухание амплитуды электромагнитных колебаний в веществе, обусловленное поглощением [2].
Для полидисперсной системы независимых частиц связь между радиационными характеристиками единичного объема и индивидуальных частиц устанавливается соотношениями:
¥ ¥
к = N |о0СЛ (г)■ /(г)■ йг ; а = N |Опогл (г)■ /(г)■ йг ; 0 0
¥
в = N |орас (г)■ /(г)■ йг ; у = 0 (г) ■ /(г) ■ йг ,
0
© В.А. Кузьмин, И.А. Пяткова
Проблемы энергетики, 2010, № 1-2
где N - количество частиц в единичном объеме; / (г) - функция распределения частиц по размерам.
Условием заметного рассеяния излучения на частицах является соотношение радиусов частиц г с длиной волны падающего на частицу излучения X, определяемое параметром дифракции р = 2пг / X [3].
Таким образом, величины т и р являются основными параметрами, определяющими распределение рассеянного излучения по различным направлениям 0. Это распределение характеризуется индикатрисой рассеяния, которая для единичной сферической частицы в направлении угла рассеяния 0 имеет вид
X2 Ч (т,р,0) + г2 (т,р,0)
У 0 (0 ) =—г------,
8п Орас (m,р)
где (т, р, 0) характеризует интенсивность рассеяния (скорость) излучения, поляризованного в направлении, перпендикулярном плоскости рассеяния, а г 2 (т, р, 0 ) - в плоскости рассеяния.
Индикатриса у(0) для определения рассеяния излучения единичным объемом полидисперсной системы частиц определяется, при данной длине волны излучения X, по формуле
g( в ) =
8 п 2
J[ii (m,р,в)+ i2 (m,р,в)]■ f (r)■ dr
О_
¥
J О рас ( m р, в )■ f (r )■ dr О
В некоторых методах решения уравнения переноса энергии излучения (методы сферических гармоник, дискретных ординат, характеристик и т.д.) индикатриса рассеяния представляется по полиномам Лежандра:
1 1 ®
g( в ) = — + _£ AnPn (cos в). 4 п 4 п i
Здесь An - коэффициенты, не зависящие от угла рассеяния в; Pn (cos в) -полиномы Лежандра.
Коэффициенты An можно определить по известным значениям g(в) с использованием свойства ортогональности полиномов Лежандра [1]: 1
An = 2 п( 2n +1) J у (в) Pn ( cos в )d (cos в). -1
Известно, что конденсированная фаза гетерогенных продуктов сгорания состоит, в основном, из частиц оксидов алюминия и магния, а также частиц сажи. Частицы конденсата в общем случае представляют собой полидисперсную систему, которая описывается определенной функцией распределения.
Составленная нами программа позволяет рассчитывать радиационные характеристики единичного объема k, а, в и у, а также находить коэффициенты An разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра. Расчеты были
выполнены на основании формул Ми для полидисперсной системы частиц основного компонента конденсированной фазы - частиц оксида алюминия.
С помощью полученных результатов была проведена аппроксимация первых трех членов разложения индикатрисы в ряд в спектральном интервале X = 0,5...6,5 мкм и диапазоне температур Т = 300...2500 К.
Температурная зависимость комплексного показателя преломления (п и п2) и дисперсия приняты по формулам:
п 1 = 1,747 + 0,0066- X - 0,0068- X 2 + 0,00003-Т;
к = - 2,19+0,089-X°'95 - 0,00056 • (3200 - Т)- X-0,45; п2 = 10к [3].
В табл. 1-3 приведены результаты аппроксимации по Ах, А2, А3 для полидисперсной системы частиц А1203, характеризуемой функцией распределения частиц по размерам вида
аЬ+1 ,
/(г) =-гЬе~аг . (1)
Ь\
Таблица 1
Аналитическое представление первого члена А1 разложения индикатрисы в ряд по полиномам
Лежандра для функции (1)
А1(^ Т)=К3^3 + К2^2 + Х^ + К0
№ 2 •с К3 Кг К! К0
1 1,514 о -9,297410-11Т2 +4,2140710-7Т -3,2506510-3 1,1632410"9Тг -4,12581 10-6Т +0,04464 -5,22075 10-9Т2 +1,0801 10"5Т -0,16671 1,0426510"8Тг -2,02462-10-5Т +0,76064
2 "1 <ч ,5 ® -4,75288-10"11Тг +3,51024 10-8Т -4,3703610-3 6,91693 10-10Т2 +4,10284 10-7Т +0,0497 -3,75277-10-9Т2 -3,18529 10-6Т -0,15864 +8,2761910"9Тг -1,05201 10 5Т +0,72119
3 1,642 1 ,1 1, -1,2499210"10Тг +7,30949-10"7*Т -2,59445 10-3 1,51868 10"9Тг -7,67945 10-6Т +0,0414 -6,54971 10-9Т2 +2,19943 10-5Т -0,17348 1,2759710"8Тг -2,84706-10-5Т +0,79524
Таблица 2
Аналитическое представление второго члена А2 разложения индикатрисы в ряд по полиномам
Лежандра для функции (1)
А2(^ Т)=К3^3 + X X2 + X X + К0
№ ^ 1 2 •с К3 К2 К1 К0
1 1,514 о -1,0293810"10Тг +4,88953 10-7Т -2,03153-10-3 1,26951 10"9Тг -5,2040810"6Т +0,03251 -5,2589710-9Т2 +1,4686 10-5Т -0,16377 8,5259 10"9Тг -1,93842 10-5Т +0,68165
2 "1 <ч -6,0077510"11Тг +2,10410-7Т -3,2353510-3 7,86571-10-10Т2 -1,6867710-6Т +0,04171 -3,56815 10-9Т2 +2,84731 10-6Т -0,18607 6,17684 10"9Тг -9,74716 10-6Т +0,66381
3 1,642 1 1, -1,310610"10Т2 +6,92988 10-7Т -9,57419 10-4 1,610610"9Тг -7,79055-10-6Т +0,02213 -6,66607-10-9Т2 +2,39842 10-5Т -0,13702 1,0954310"8Тг -2,75882-10-5Т +0,69533
Таблица 3
Аналитическое представление третьего члена А3 разложения индикатрисы в ряд по полиномам
Лежандра для функции (1)
А3(к, 7)=К3к3 + К2к2 + К1-Х + К0
№ е •с К3 К2 К1 К0
ТГ -1,9061710"10Гг 2,425710"9Гг -1,033310"8Гг 1,64416 10-8Гг
1 1 о +6,35104 10-7Г -6,98255 10"6Г +2,1858310"5Г -2,76663 10-5Г
-2,58385-10-3 +0,03882 -0,18754 +0,53044
-1,2349810"10Гг 1,6557310"9Гг -7,4802710"9Г2 1,21266-Ю-8!2
2 <ч 1С1 о' +2,45778-10"7Г -2,29805-10"^ +6,60928 10"6Г -1,49708 10-5Г
-3,7618510-3 +0,04742 -0,20531 +0,50444
2 1 -2,3754410"10Гг 3,0086310"9Гг -1,2833910"8Г2 2,08385-Ю-8!2
3 +9,17458 10-7Г -1,0432310"5Г +3,38995 10"5Г -3,86626 10-5Г
1 -1,4729410-3 +0,0285 -0,16353 +0,55061
Данное гамма-распределение характерно для частиц оксида алюминия в камере сгорания (№1, 2) и в свободной струе (№3) средних и модельных двигателей.
В табл. 4-6 приведены результаты аппроксимации по А1, А2, А3 для полидисперсной системы частиц А1203, характеризуемой логарифмически-нормальным распределением частиц по размерам:
2
(1п г—1п го)
I (г ) = —е 2 (1п")2 . (2)
г 1п ал/2 п
Таблица 4
Аналитическое представление первого члена А1 разложения индикатрисы в ряд по полиномам
Лежандра для функции (2)
№ м к м, е 2 а Я £ К А1(к, Т)= К4 + Кук3 + К2к2 + Кгк + К0
К4 К3 Кг К! К0
1 ,5 1, 3 <4. 1, (-9,80889 10-7Г +0,01266)мп(2к) -4,8312410-11Гг +2,2729 10-7Г -5,2018810-3 7,47969 10-10Г2 -1,50823 10-6Г +0,06276 -4,4191-Ю-9!2 +1,40783 10-6Г -0,21143 1,0561-Ю-8!2 -1,24019 10-5Г +0,78536
2 ,5 1, 5 о 3, (-5,2854 10-5Г +0,17628)мп(к) 5,14244 10-6Г -0,01145 -5,08333 10-5Г +0,12335 +1,15569 10-4Г -0,32631 1,85584-Ю-8!2 -6,2804710-5Г +0,77798
3 ,5 1, 1 о 2, (6,43162 10-11Т2 -7,18468 10-8Г -1,77143 10-3)к3 -1,0502 10-9Гг +2,11974 10-6Г +0,02331 2,83736 10-12Г5 -5,9376710-9Г2 -2,3011510-6Г -0,08776 -7,55359-Ю-12!2 +1,6864910-8Гг +5,67323 10-6Г +0,0534 1,84905-Ю-8!2 -4,31658 10-5Г +0,71052
Таблица 5
Аналитическое представление второго члена А2 разложения индикатрисы в ряд по полиномам
Лежандра для функции (2)
Ч1 5 А2(к, Т)= К4 + К3 + К2к2 + Кгк + К0
№ X я е В Я о К4 К3 К2 К! К0
1 3 <4 0 (-7,6911410-10Т2 +5,52513 10-6Т -0,03182)мп(к) 2,84289-10"10Т2 -2,56584 10-7Т +0,01115 -3,10006 10-9Т2 +3,10803 10-6Т -0,12138 8,32491 10"9Тг -1,67441 10-5Т +0,69998
2 5 О Г<1 (-2,9653310"97 +5,4549410-6Т +0,04193)мп(к3) (1,24891 10-9Т2 -6,92432 10-6Т -0,02561)мп(к2) 4,92369 10-10Т2 -2,55888-10"6Т +8,9122410-3 -5,28574 10-9Т2 +1,7401 10-5Т -0,07605 1,4486710"8Тг -2,88146 10-5Т +0,67968
3 1 о <ч (3,96405 10"11Тг +9,144210-8Т -1,18958 10-3)к4 -7,0562310"1°Тг -4,10359 10-7Т +0,01686 4,42874 10"9Тг -4,1093710-6Т -0,06834 -1,2170710-8Т2 +2,21733 10-5Т +0,03838 1,5309310"8Тг -3,03618 10-5Т +0,622
Таблица 6 Аналитическое представление третьего члена А3 разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра для функции (2)
5 А3(к, Т)= = К4 + К3 + К2к2 + Кгк + К0
№ е' £ К4 К3 К2 К1 К0
1 3 <ч 0 (-1,5614110"9Тг +6,1229310-6Т -0,04042 )мп(к) 6,1931910-10Т2 -4,9216110-7Т +0,01259 -6,438 10"9Тг +6,12348 10-6Т -0,13755 1,6066 10-8Тг -2,30302 10-5Т +0,55335
2 5 о Г<1 (-5,19625 10"9Тг +1,0296310-5Т +0,04856)мп3(к) (1,061110-9Т2 -6,67444 10-6Т -0,02849)мп2(к) 9,76066 10-10Т2 -3,55259 10-6Т +0,01027 -1,0426710-8Т2 +2,60852 10-5Т -0,08844 2,8116210"8Тг -4,50713 10-5Т +0,53014
3 1 о <ч (8,15825-10"11Тг +9,21948 10-9Т -1,41862 10-3)к4 (-1,4119110"9Тг +1,0607410-6Т +0,01967)к3 8,73486 10"9Тг -1,317710-5Т -0,07792 -2,39715 10-8Т2 +4,4829510-5Т +0,03915 2,93896 10"8Тг -4,94049 10-5Т +0,46738
В качестве примера на рис. 1 и 2 показаны реальная (данные из компьютерной программы) и аппроксимационная зависимости (расчет по формулам из табл. 1 и 4) первого коэффициента А1 разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра в зависимости от длины волны к и температуры Т.
При расчетах теплообмена излучением и характеристик излучения в энергетических установках необходимо знание индикатрисы рассеяния. Расчет индикатрис рассеяния в заданном интервале длин волн и температур с малым шагом по длине волны Ак и температуре АТ требует больших объемов вычислений (ресурсов ПЭВМ), времени и памяти. Это, в свою очередь, сказывается при расчетах характеристик излучения дисперсных систем (интенсивности, потоков энергии излучения и степени черноты) в зависимости от спектрального интервала и выбранных температур. Полученные результаты по трем членам разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра для наиболее представляемых в расчетах Р1, Р2, Р3 приближений метода сферических гармоник значительно упрощают и сокращают количество вычислений без
потери точности конечного результата. Величина достоверности аппроксимации
2
находится в интервале R = 0,940...0,999. А1
0,69 ■
0,55
: : : : ;
III! ;
—•—Данные, 7=300 К --Расчет, Г=зоо К А -Данные, 7M5U0 К ■ ■ " -Расчет, 7=15(1(1 К —■— Данные, 7"=25<М) К - Расчет, 75=2500 К
-Ал 1
; f 1
: ■
jr » ■
-- — - -!- -i- -i- - -i-
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
X, мкм
4,5 5 5,5 6 6,5
Рис. 1. Дисперсия и температурная зависимость Aj для функции (1), «=1,514 мкм , b=0
0,73 0,71 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,59 0,57 0,55
Л1
0,53
i ; ; ; ; ;
--♦— Данные, Г=300 К --Расчет, 7=300 К —А—Данные, 7=1500 К ■---Расчет, T—i 500 К -и— Данные, 7=2500 К _ . _ Расчет, 7=2500 К ...
A чЧ .....
У*
— M®
* ^
\ \
! jr
; ,
Gr ! i
i i
0,5 1
2,5
3,5 X, мкм
4,5
5,5
6,5
Рис. 2. Дисперсия и температурная зависимость A1 для функции (2), о=1,5 мкм, r0=1,23 мкм
Summary
The results of this research can be applied to simplify the process and reduce the time of estimating radiation and radiation heat transfer characteristics ofpower generators. Functional dependences were suggested to find the first three members of the indicatrix series development by using the Leg andre polynomials. Estimates were obtained for a polydisperse system of aluminum oxide particles.
Key words: radiation characteristics, power generators, polydisperse system, indicatrix.
Литература
1. Блох А.Г., Клабуков В.Я., Кузьмин В.А. Радиационные характеристики полидисперсных систем сферических частиц. Горький: Волго-Вятское кн. изд-во, 1976. 112 с.
2. Блох А.Г. Теплообмен в топках паровых котлов. Л.: Энергоатомиздат, 1984. 240 с.
3. Кузьмин В.А. Тепловое излучение в двигателях и энергетических установках. Киров: ООО «Фирма «Полекс», 2004. 231 с.
Поступило в редакцию 03 сентября 2009 г
Кузьмин Владимир Алексеевич - д-р техн. наук, профессор кафедры «Физика» Вятского государственного университета (ВГУ). Тел.: 8 (8332) 54-45-52; 8-912-3734010. E-mail: vl. kuzmin@mail. ru.
Пяткова Ираида Александровна - аспирантка кафедры «Физика» Вятского государственного университета (ВГУ). Тел.: 8 (8332) 53-42-87; 8-905-8703213. E-mail: iraida-pyatkova@yandex.ru.
