Полиномиальное представление индикатрисы рассеяния полидисперсных частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНДИКАТРИСЫ РАССЕЯНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ

А.Б. ШИГАПОВ, Р.Р. ГАНЕЕВ, Р.Н. ШАЙДУЛЛИН, М.Ф.САДЫКОВ, А.В. КАЛИМУЛЛИН

Казанский государственный энергетический университет

Представлены результаты разложения индикатрисы рассеяния полидисперсных частиц по полиномам Лежандра. Вариация комплексного показателя преломления и плотности вероятности распределения частиц дисперсной фазы охватывает весь интервал значений, встречающихся на практике. Рекомендуется использовать результаты при численной реализации уравнения переноса теплового излучения в дисперсных средах, например в топках энергетических котлов.

Перенос энергии излучения в двухфазных средах описывается интегро-дифференциальным кинетическим уравнением Больцмана [1,2,3], удовлетворительное решение которого для реальных условий работы котла возможно лишь численными методами. Численные методы основаны на разложении интенсивности излучения либо в полиномиальный ряд (метод сферических гармоник), либо в ряд производных по координатным осям (метод моментов), либо дискретных направлений сферического телесного угла, преобразованных в квадратуры Гаусса (метод дискретных ординат). Все перечисленные методы требуют представления индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра, имеющего вид

Л

7(9) = X (2й + 1)апрп соз(0). (1)

п=0

Коэффициенты разложения ряда (1) ап определяются с использованием свойств ортогональности полиномов Лежандра от угла рассеяния 0 [3].

Логически продолжая работу [4], авторы сочли возможным не перечислять вид функций распределения частиц по размерам и значения их параметров, которые выбраны аналогичными указанным ранее.

Исследования выполнены при широкой вариации значений оптических констант частиц дисперсной фазы в разумных пределах, длины волн варьировались в интервале 1=0,5 20 мкм.

Одновременно с разложением индикатрисы рассеяния рассчитывался фактор анизотропии рассеяния (ФАР) полидисперсной системы частиц для истинной индикатрисы, а также при различных порядках разложения у(0) [5]:

5+ -= |у(0)^П / |у(0)^П. (2)

-2п / +2п

Фактор анизотропии рассеяния представляет отношение энергий рассеянного излучения, падающего из отрицательного полупространства (-2п) в положительное (+2п). Фактор анизотропии рассеяния является интегральным показателем (показателем излучений, падающих из всех направлений полусферы

© А.Б. Шигапов, Р. Р. Ганеев, Р.Н. Шайдуллин, М.Ф.Садыков, А. В. Калимуллин Проблемы энергетики, 2008, № 11-12

й=2я) перераспределения энергии излучения в результате рассеяния теплового излучения полидисперсными частицами. За положительное направление полусферы условно принято направление падающих тепловых потоков.

Увеличение номеров функций распределения Д(т) от № 1 до № 4 соответствует укрупнению средних размеров частиц (модальных размеров), а также росту дисперсии - среднего квадратичного отклонения:

а(т) = |т2Дт)йт | Дт)йт.

(3)

0

Некоторые результаты численных исследований представлены на рис. 1-6.

Представленные графические зависимости показывают довольно сложную взаимосвязь у(0) с оптическими константами (т = п - /ж) и порядком разложения индикатрисы. С увеличением показателя поглощения ж интенсивность рассеянного под малыми углами теплового излучения снижается при одновременном росте доли отраженного излучения в области 0>13О° (рис. 1, 2).

7(0)

200

1(0

100

Рис. 1. Зависимость индикатрисы рассеяния от порядка разложения: 1 - истинная;

2 - при п=1; 3 - при п=11; 4 - при п=19 Д(т) № 1; 1=1 мкм; т = 1.5- 0.01/)

В зависимостях уп (0) появляются осцилляции в п-м разложении, частота которых растет с увеличением числа членов полинома. В полиномиальных представлениях появляются области отрицательных значений у(0), характерные

для областей обратной полусферы (0>11О0). Наиболее сильное отклонение в отрицательную область наблюдается при малых ж»0,01 и порядке разложения индикатрисы при п=1. Попадание в отрицательную область индикатрисы наблюдается для всех порядков разложения полидисперсной индикатрисы, во всей области варьирования значений оптических констант п=[1.5; 2,5], а ж=[0,01; 10].

Индикатриса рассеяния представляет безразмерную характеристику интенсивности рассеянного под углом 0 теплового излучения, и она по физическому смыслу не может быть отрицательной. Отрицательные значения у(0) представляют «плату» за попытки упрощения решения задачи. Предугадать

го

го

последствия такого разложения заранее невозможно, и установление некоторых особенностей является предметом исследований данной статьи.

У(0)

13011090.

70.

(0.

30 10 -10*

-30.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0,° '

Рис. 2. Зависимость индикатрисы рассеяния от порядка разложения: 1 - истинная; 2 - при п=1;

3 - при п=11; 4 - при п=19 (Д(т) № 1; >.=1 мкм; т = 1.5- 10/)

Увеличение длин волн теплового излучения при неизменных значениях оптических констант вещества частиц дисперсной фазы равносильно уменьшению параметра дифракции х = 2п • т/>, следовательно средних размеров.

7(0)

40*

3(<

30*

2(<

20.

1(.

10.

(.

0 -(.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0>о

Рис. 3. Зависимость индикатрисы рассеяния от порядка разложения: 1 - истинная; 2 - при п=1;

3 - при п=11; 4 - при п=19 (Д(т) № 1; >=10 мкм; т = 1.5- 0.01/)

На графиках (рис. 3, 4) наблюдается снижение значений индикатрисы, более пологое снижение у(0) - при малых углах рассеяния. Сужаются также области отрицательных значений индикатрисы для высоких порядков полиномов

разложения п. Например, при >=10 мкм, ж=10 при остальных идентичных условиях (^Д(т); п) область у(0)<0 наблюдается только при п=1 и 0>1400; а при порядке разложения п=19 - только при углах рассеяния 0>1750. у(0)

30 2(

20 1(

10 (

0 -(

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0,°

Рис. 4. Зависимость индикатрисы рассеяния от порядка разложения: 1 - истинная; 2 - при п=1;

3 - при п=11; 4 - при п=19 Д(т) № 1; >=10 мкм; т = 1.5- 10/)

Вид функции распределенияД(т) оказывает заметное влияние на вид у(0) и точность полиномиального представления индикатрисы. Особенно сильно влияние на точность полиномиального представления наблюдается при больших длинах волн, >=10 мкм (рис. 5).

8

6

4

2 0 -2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0,°

Рис. 5. Зависимость индикатрисы рассеяния от порядка разложения: 1 - истинная; 2 - при п=1;

3 - при п=11; 4 - при п=19 (Д(т) № 2; >=10 мкм; т = 1,5- 0,01/)

Характерным является совпадение истинной индикатрисы и полиномиального представления у(0) при порядке разложения и>11, где истинная индикатриса рассеяния представляет рассчитанное на компьютере

значение углового распределения рассеянного теплового излучения на полидисперсных ансамблях частиц.

Ввиду сложности вычисления индикатрисы рассеяния полидисперсного ансамбля частиц, в некоторых работах принимаются различные приближенные ее представления. Например, в работе [6] предлагается использовать следующую аппроксимацию полидисперсной индикатрисы:

N

У(0) = 2f5(1 + cos 0) + (1 - f) £ (2n + 1)bnPn cos(0). (3)

n=0

Назовем ее дельта аппроксимацией. Параметры данной полиномиальной индикатрисы имеют следующие функциональные зависимости от лежандрового полиномиального представления (1):

a — f

f = “ж+i; bn = -f-f-. (4)

1 — f

В связи с тем, что по выбору значений дельта-функции (5 -функции) никаких рекомендаций в статье [6] не приводится, то представляется возможным произвольный выбор данных значений по усмотрению пользователей. Естественно было стремление авторов данной статьи, во-первых, разобраться в виде данной функции у(0), во-вторых, прогнозировать правомочность ее использования в теплообменных задачах - в топках энергетических котлов.

На рис. 6, 7 показаны результаты численных исследований дельта аппроксимаций у(0) (3) применительно распределению f(r) № 1.

Если при малых 1=1 мкм и 5 =0 наблюдается удовлетворительная аппроксимация истинной индикатрисы, то для больших длин волн 1=10 мкм при любых значениях 5 наблюдается существенное расхождение дельта аппроксимации от истинной у(0) в широком диапазоне углов рассеяния. Наиболее нежелательным моментом в результатах является явно выраженный вклад в рассеянное излучение в обратную полусферу (или 0>9О°). Данная особенность может внести существенную ошибку при расчете плотности радиационных тепловых потоков к поверхностям топки котла. К тому же никаких преимуществ, кроме лишних осложнений в алгоритм расчета, использование этого распределения не вносит. Надо полагать, что его использование в свое время было вынужденным, ввиду отсутствия у авторов надежных программ расчета индикатрисы рассеяния полидисперсных частиц.

Некоторые результаты вычисленных значений ФАР 5+— для приведенных распределений представлены в таблице. При вычислениях ФАР поворот индикатрисы по направлениям телесного угла в пределах полусферы 2п (это соответствует учету направлений, падающих на полидисперсную среду электромагнитных волн теплового излучения) выполнен с шагом 1 градус, обеспечивающим весьма высокую точность. Можно заметить, что существенное влияние на значения ФАР оказывает показатель поглощения ж. При ж=[0,1; 1,0]

5+— имеет меньшие значения, а при ж=10 возрастает. При более больших длинах волн значения ФАР для истинной индикатрисы возрастают на порядок. Также можно заметить, что при возрастании порядка разложения значения фактора анизотропии рассеяния также возрастают.

7(0)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0^

Рис. 6. Зависимость дельта аппроксимации у(0) при б =1 от порядка разложения:

1 - истинная; 2 - при п=1; 3 - при п=11; 4 - при п=19 (Д(т) № 1; >=1 мкм; т = 1,5- 0,01/)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 08 I

Рис. 7. Зависимость дельта аппроксимации у(0) при б =1 от порядка разложения:

1 - истинная; 2 - при п=1; 3 - при п=11; 4 - при п=19 (Д(т) № 1; >=1 мкм; т = 1,5- 10/)

Представленные результаты показывают, что полиномиальное

представление не обеспечивает точное воспроизведение значений 5+- даже при высоких порядках разложения индикатрисы, хотя результаты низкого (п=1) и высоких порядков (п>10) отличаются между собой не существенно.

Анализ показывает, что необходимо выработать такую стратегию организации решения уравнения переноса энергии излучения, которая позволила бы учесть отмеченные особенности эффекта рассеяния и обеспечила высокую точность расчетов радиационных тепловых потоков к поверхностям топки котла.

Фактор анизотропии рассеяния полидисперсных частиц

Nf(r) n ж Значения S+ при различных порядках разложения у(0)

мкм истинное n=1 n=11 n=19

0,01 0,01237 0,18296 0,20646 0,21450

1,5 0,1 0,01024 0,18591 0,20954 0,21763

1,0 0,01204 0,18499 0,20854 0,21660

1 10 0,02215 0,17915 0,20224 0,21014

0,01 0,01435 0,18287 0,20631 0,21433

2,5 0,1 0,01213 0,18514 0,20869 0,21675

1,0 0,01284 0,18478 0,20830 0,21635

1 10 0,02169 0,17958 0,20270 0,21061

0,01 0,10651 0,16595 0,18821 0,19584

1,5 0,1 0,06947 0,16922 0,19201 0,19981

1,0 0,07361 0,17177 0,19444 0,20220

10 10 0,17725 0,17509 0,19677 0,20418

0,01 0,17892 0,17094 0,19246 0,19983

2,5 0,1 0,10486 0,17143 0,19376 0,20140

1,0 0,08514 0,17180 0,19432 0,20203

10 0,17314 0,17512 0,19683 0,20425

0,01 0,03879 0,20051 0,22451 0,23274

1,5 0,1 0,02387 0,20204 0,22626 0,23456

1,0 0,02901 0,20325 0,22736 0,23562

1 10 0,06165 0,20713 0,23054 0,23856

0,01 0,04624 0,20427 0,22812 0,23629

2,5 0,1 0,02974 0,20374 0,22784 0,23609

1,0 0,03163 0,20403 0,22808 0,23631

2 10 0,06021 0,20729 0,23073 0,23877

0,01 0,19574 0,30951 0,33712 0,34663

1,5 0,1 0,18389 0,30859 0,33647 0,34608

1,0 0,23001 0,31817 0,34517 0,35446

10 10 0,54729 0,38503 0,41018 0,41871

0,01 0,48901 0,33600 0,35972 0,36788

2,5 0,1 0,36259 0,32903 0,35471 0,36354

1,0 0,26319 0,32263 0,34938 0,35857

10 0,53713 0,38316 0,40834 0,41690

Результаты работы могут быть резюмированы следующим образом. При полиномиальном разложении индикатрисы рассеяния полидисперсных частиц при некоторых углах появляются отрицательные значения, которые могут привести к погрешностям расчета радиационных тепловых потоков. Поэтому должны приниматься меры, предотвращающие возникновение таких ситуаций.

Summary

The article contains results of phase function expansion by the Legendre polynomials. Variation of complex refraction index and density probability of dispersed phase particles distribution includes all the range possible in practice.

Литература

1. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. - М.: Атомиздат. 1981. - 454 с.

2. Viskanta R., Mengus M.P. Radiative transfer in dispersed media. Appl Mech Rev. 1989. - Vol. 42. - № 9. - pp. 241-255.

3. Шигапов А.Б. Перенос энергии излучения в энергетических установках. Научное издание. - Казань.: Изд. КГЭУ, 2003. - 150 с.

4. Шигапов А.Б., Шайдуллин Р.Н., Ганеев Р.Р., Садыков М.Ф., Калимуллин А.В. Индикатриса рассеяния полидисперсными частицами аэрозолей // Известия вузов. Проблемы энергетики. - 2008. - № 5-6. - С. 21-27.

5. Шигапов А.Б. Численный анализ решений уравнения переноса энергии излучения в дифференциально-разностном приближении // Известия вузов. Авиационная техника. - 2001. - № 1. - С. 51-53.

6. Файвленд В.А. Решение трехмерного уравнения радиационного теплопереноса методом дискретных ординат // Аэрокосмическая техника. - 1989. -№ 9. - С. 79-88.

Поступила 30.05.2008