CC BY
62
1
нформационные технологии в управлении
УДК 510.6+512.57+681.51.011
ИМПЛИКАТИВНАЯ АЛГЕБРА ВЫБОРА КАК ОСНОВА ИНФВРМАЦИВННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В КОНТИНУАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Л.И. Волгин, А.Б. Климовский Ульяновский государственный технический университет, г. Ульяновск
Рассмотрены новые направления в теоретической информатике и математической кибернетике (континуальные алгебраические логики — специальные алгебры и общие логики), в аналоговой вычислительной технике (реляторная схемотехника), ориентированные на решение вычислительных задач управления на базе универсального логико-алгебраического аппарата импликативной алгебры выбора.
Классическая двузначная алгебра логики Дж. Буля (1815—1864) охватывает весь двоично-дискретный (виртуальный) мир, в котором переменные формул принимают значения из двухэлементного множества {1, 0}. «Ноль и единица от Бога, всё остальное дело рук человеческих» (Л. Кроне-кер (1823—1891)). По объему и многообразию применений булевой алгебры в информационных технологиях и во многих других областях науки и техники XX век можно назвать булевым.
Но физический макромир, технологии производства и управления, технические объекты, измеряемые и контролируемые параметры в подавляющем большинстве случаев сопровождаются и описываются континуальными (непрерывными, аналоговыми) процессами, что приводит к известным противоречиям применения двузначной булевой алгебры логики в континуальной области
[1]. Указанное обусловливает необходимость смены парадигмы логико-алгебраического обеспечения континуальных информационных технологий.
Многие проблемы в информационных технологиях и системах искусственного интеллекта относятся к классу задач (естественнонаучных, научно-технических, экономических, социальных и др.) оптимального многокритериального (векторного) управления в континуальной области [2].
Исторически первой задача оптимизации при нескольких противоречивых критериях была поставлена и решена итальянским экономистом и социологом В. Парето (1848—1923) и опубликована в его учебнике по экономике в 1896 г. [3]. Парето предложил использовать в качестве критерия оптимизации равенство нулю якобиана оптимизируемой вектор-функции, компонентами которого являются частные критерии оптимальности исследуемого объекта, когда в пространстве переменных управления существуют точки, в каждой из которых хотя бы один критерий оптимизации превосходит другие. В математической экономике па-рето-оптимизация была развита Л.Н. Волгиным, сформулировавшим «принцип согласованного оптимума» [4].
Большой вклад в развитие теории оптимального управления внес Л.С. Понтрягин (1908—1988) [5].
Вопросы оптимального управления тесно связаны с задачами разработки алгоритмов обработки, синтеза логико-алгебраических моделей и сопутствующих им программной, аппаратурной или аппаратурно-программной реализаций.
Самостоятельное направление в теоретической информатике, математической кибернетике, в математической (символической) логике и, соответственно, в информационных технологиях, системах искусственного интеллекта и управления представ-
ляют собой рассматриваемые в настоящей работе континуальные алгебраические логики (специальные алгебры и общие логики), входящие в разработанную логико-алгебраическую метасистему взаимоотношений алгебраических логик и сопутствующих им логических исчислений [6]. Предметными переменными (аргументами) упомянутых логик изначально являются различного типа математические объекты.
Наиболее широкими функциональными, управляющими, вычислительными, алгоритмическими, адаптационными и комбинационными возможностями обладает импликативная алгебра выбора (ИАВ), логико-алгебраические модели которой синтезируются через операции предметной и предикатной суперпозиций в базисе бинарных операций ИАВ-конъюнкции (Л) и ИАВ-дизъюнкции (V):
=1 = лI(\1, \2) = \1/([2 — [1) + \2/([1 — [2), (1)
=2 = 9,(\1, У2) = \11([1 — [2) + \21([2 — [1),
где 1([) — единичная функция, равная нулю при [ < 0 и единице при [ > 0, 1(0) е {0, 1}; I = = (112, 121) — кортеж (вектор) весовых коэффи ци-
ентов 112 = 1([1 — [2) и 121 = 112 = 1 — 112 = 1([2 — [1); 112 + 121 = 1 (условие комплементарности); у1 и у2 — предметные переменные (в общем случае любые физические величины и математические объекты, удовлетворяющие условиям мультипликативного выделения \ • 1 = у. и поглощения у. • 0 = 0), [ и [2 — предикатные переменные (действительные числа). При этом предметные переменные у1 и у2 могут быть объектами любой физической природы и различной размерности.
При отождествлении в выражениях (1) предметных и предикатных переменных (у1 = [1 и у2 = [2) операции ИАВ-конъюнкции и ИАВ-дизъ-юнкции вырождаются в базовые бинарные операции непрерывной логики [7, 8]:
= = Л(х1, [2) = т!п(х1, [2),
=2 = 9([1, [2) = тах(х1, [2). (2)
Если континуальные переменные в выражениях
(2) принимают N разрешенных уровней, то приходим к бинарным операциям многозначных (Л-знач-ных) логик, которые при N = 2 вырождаются в конъюнкцию =1 = [ л [ и дизъюнкцию = = [ V [ двузначной булевой алгебры логики.
В свою очередь, ИАВ-операции (1) являются частными реализациями бинарных операций предикатной алгебры выбора (в публикациях до 2002 г. ИАВ, как подалгебра предикатной алгебры выбо-
ра, также называлась предикатной алгеброй выбора) [9, 10]:
=1 = Л$(ур \2) = У 1а2 + У2a1,
=2 = 9$(У1, У2) = У1а1 + У2а2, (3)
где а. е {0, 1}, а1 + а2 = 1 (условие комплемен-
тарности весовых коэффициентов а1 и а2), А = = (а1, а2) — кортеж весовых коэффициентов а1 и а2.
Выражения (1)—(3) воспроизводят различного типа операции альтернативного выбора. Выражения (3) при выполнении условия комплементарности а1 + а2 = 1 описывают бинарные операции континуальной комплементарной алгебры (условие двузначности весовых коэффициентов а1, а2 е е {0, 1} не накладывается) [11].
Путем введения вместо единичных функций операторов отношения предпочтения (доминирования) р ([1, [2) и р ([1, [2), где р + р = 1, разработано теоретико-множественное обобщение бинарных операций ИАВ [2].
Из всех алгебраических логик метасистемы [6] наиболее содержательна ИАВ. Это обусловлено тем, что п-арные ИАВ-функции
= = :$(У1, У2, ..., Уя) =
= УЛ + У 2 ^2 + ... + У„«„ (4)
определены на двух задающих множествах — предметных < = {у1, у2, ..., уп} и предикатных X = {[1, [2, ..., хп} переменных.
В выражении (4) операция Жлибо конъюнкция Л, либо дизъюнкция V; я. е {0, 1} — составные (су-перпозиционные) весовые коэффициенты, являющиеся функциями элементарных весовых коэффициентов 17; 17 + I.. = 1; /, у е {1, 2, ..., п}, / ф у. Для весовых коэффициентов выполняется условие А1 + Я2 + ... + Ап = 1 (свойство суперпозици-онной инвариантности условия комплементар-ности).
Универсальность, многофункциональность и многообразие применений ИАВ [2, 9] также определяется наличием двух различных по целевому назначению задающих множеств X и < переменных, обслуживающих, соответственно, области управления (предикатные переменные) и исполнения (предметные переменные).
В области информационных технологий построение соответствующей поставленной задаче алгебраической логики (логико-алгебраической модели) начинается назначением (или поиском) подходящих базовых алгебраических операций, образующих полную систему исходных функций, через суперпозиции которых в заданной предметной области строятся необходимые логико-алгеб-
раические модели. Таким образом, от алгебры формул классической логики, логики высказываний и событий приходим к алгебрам функций.
Известна также обобщенная трактовка понятия функциональной системы (Р, :), где Р — множество отображений, реализуемых управляющими системами из некоторого класса, а множество : состоит из операций, используемых при построении новых управляющих систем из заданных [12] и ориентированных на построение оптимальных логико-алгебраических моделей.
Следует выделять, как считает О.П. Кузнецов, два компонента науки об управлении — вычислительный и концептуальный. Соответственно различаются и два типа исполнителей: руководители конкретных разработок (проекты, стройки и пр.) и руководители с гораздо более общим ареалом деятельности (министры, мэры и пр.). Если первые из них должны профессионально владеть вычислительным компонентом науки, то для вторых достаточно компетентности в области ее концептуальных аспектов [13]. Формальная логико-алгебраическая теория управления начинается с элементарных (бинарных) операций альтернативного выбора (1)—(3) в континуальном (трехмерном) пространстве предикатных (управляющих) и предметных (исполняющих) переменных (вычислительный подход) или с использованием логико-концептуального подхода [14].
Аппаратурно ИАВ-модели реализуются в элементном базисе реляторов — универсальных логических схемных элементов, воспроизводящих бинарные операции ИАВ, непрерывной логики, многозначных и двузначной логик [10, 15—18].
Принципиальное отличие аналоговых релятор-ных электронно-вычислительных сетей и релятор-ных процессоров от цифровых заключается в том, что элементами задающих множеств являются аналоговые сигналы. Здесь в роли одного двоичного разряда выступает аналоговое число, т. е. необходимость двоично-поразрядного сканирования слов в последовательности кодовых комбинаций при вводе и считывании информации устраняется. Тем самым изначально обеспечивается глобальный параллелизм обработки и преобразования формы представления информации без промежуточного преобразования в цифровой код.
В элементном базисе реляторов возможно построение широкой номенклатуры аналоговых управляющих, коммутационных, логических, вычислительных, функциональных, нейронных, измерительных преобразователей и реляторных управляющих спецпросессоров.
Континуальные алгебраические логики [2, 6—22] и реляторная схемотехника [15—21] являются са-
мостоятельным и эффективным направлением в теоретической информатике, математической кибернетике и, соответственно, в информационных технологиях и континуальных системах управления.
Многочисленные практические применения ИАВ в различных областях науки и техники приведены в работах [18—21] и др. Применение логико-математического аппарата ИАВ для решения прикладных задач (в том числе интеллектуальных) в различных предметных областях непрерывно расширяется. Это подтверждается географией возникновения новых научных направлений и школ в России, пользующихся логико-математическим аппаратом ИАВ, ИАВ-моделями и реляторной схемотехникой для решения задач в аналоговой области [20].
В частности, на кафедре «Конструирование и производство радиоаппаратуры Пензенского государственного университета логико-алгебраический аппарат ИАВ применяется для синтеза формы теплонагруженных элементов конструкций радиоэлектронных средств и построения их ИАВ-мо-делей на основе эволюционной оптимизации. Тем самым заложены основы теории вычисления элементов конструкций радиоэлектронной аппаратуры.
На кафедре вычислительной техники Курского государственного технического университета логико-алгебраический аппарат ИАВ применяется для построения алгоритмов, ИАВ-моделей структурных схем реляторных ячеек и устройств управления клеточной самоорганизацией мультимикроконтроллеров с программированным резервом, что позволяет устранить необходимость преобразования континуальной формы представления информации в цифровую [20]. Разработаны синхронные и асинхронные варианты клеточно-нейронной среды с различными механизмами образования репродуцируемой логической структуры. Результаты моделирования подтвердили корректность предложенного подхода и перспективность его развития и применения. При этом элементы управляющей системы подобны эмбриональной клетке, выполняющей функцию в зависимости от места ее расположения. Для синтеза клеточной и клеточно-нейронной сред применен аппарат ИАВ и ре-ляторный элементный базис [23].
На кафедре «Сервис бытовой радиоэлектронной аппаратуры» Тольяттинского государственного института сервиса развивается новое направление в области силовой электроники на основе информационных [17] и силовых [2, 20, 24] реляторов, переключательный канал которых построен на полевых транзисторах с изолированным затвором или на биполярных транзисторах с изолированной базой; коммутируемые токи составляют более сотни
ампер. Разработаны ИАВ-модели и соответствующие им реляторные структуры интеллектуальных устройств электропитания с высокой концентрацией типов энергетических преобразований и процедур управления.
На кафедре «Электронные измерительные системы» Московского инженерно-физического института для сокращения сроков проектирования и снижения финансовых затрат разработан аналоговый базовый матричный кристалл. На его основе реализованы реляторные микросхемы, в частности, в одном корпусе микросхемы можно разместить три релятора (ограничивающим фактором является допустимое число контактных площадок, равное 24) [20].
Направление, связанное с реляторной схемотехникой и ее логико-алгебраическими основами, традиционно развивается на кафедре измерительно-вычислительных комплексов Ульяновского государственного технического университета [2, 6—11, 15—22, 25, 26].
Развиваемое направление полностью соответствуют концепциям Г. Башлара (1884—1962) «Мир культуры требует изменения логических ценностей, ... необходимо разработать столько логик, сколько существует типов объектов любой природы» [27] и В.А. Смирнова (1931—1996) «Цель науки — создание типовых методов, позволяющих стандартным образом решать целые классы задач» [28].
Авторы надеются, что реферативность изложенного компенсируется ссылками на соответствующие публикации.
ЛИТЕРАТУРА
1. {олгин Л.Ж., Мишин {.А. Будущее за цифровыми или аналоговыми технологиями? // Информационные технологии в электротехнике и электроэнер гетике // Матер. II Все-росс. НТК.- Чебоксары, 1998. - С. 86-89.
2. Алгебраические логики, импликативная и предикатная алгебры выбора в задачах науки и техники: Тр. междунар. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» / Под ред. Л.И. В о л г и н а. — Ульяновск: УлГТУ, 2003. — Т. 2. — 138 с.
3. Теория автоматического управления / Под ред. А.В. Н е т у-ш и л а. — М.: Высшая школа, 1983. — 432 с.
4. {олгин Л.#. Принцип согласованного оптимума. — М.: Сов. радио, 1977. — 144 с.
5. Лонтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1989. — 64 с.
6. {олгин Л.Ж. Метасистема взаимоотношений алгебраических логик и сопутствующих исчислений, порождаемых функцией-аксиомой взвешенных степенных средних // Инфор. технологии. — 2002. — № 7. — С. 20—26.
7. {олгин Л.Ж. Алгебраические логики: взаимоотношения, законы и свойства. — М., 2003. — 24 с. — (Б-ка журн. «Ин-форм. технологии», прилож. к № 6/2003).
8. 5о.лгuн ЛЖ, Левuн 5.j. Непрерывная логика и её применения. — Таллинн: AH Эстонии, 199О. — 21О с.
9. 5о.лгuн ЛЖ Комплементарная алгебра и предикатная алгебра выбора. — Ульяновск: УлГТУ, 1996. — 68 с.
10. 5о.лгuн ЛЖ Предикатная алгебра выбора и её модификации // Опыт, результаты, проблемы: Повышение конкурентоспособности радиоэлектронной аппаратуры. — Таллинн, 1986. — Blot. 4. — С. 64— 1О4.
11. 5о.лгuн ЛЖ Свойства и законы комплементарной ал гебры // Изв. AH ЭССР. Физика. Математика. — 1988. № 4. — С. 417—427.
12. Хариенко k.C Многозначные логики. — М.: Наука, 2ООО. — 223 с.
13. Манйель к.С Bторая международная конференция по проблемам управления // Проблемы управления. — 2ОО3. — № 2. — С. 6О—64.
14. Жололов Лк. Логические методы исследования дискретных моделей выбора. — М.: Наука, 1989. — 288 с.
15. 5о.лгuн ЛЖ, Заруган k.j. Развитие элементного базиса ре-ляторной схемотехники // Датчики и системы. — 2ОО2. — № 3. — С. 2—8.
16. 5о.лгuн ЛЖ, Заруган k.j., Xiumosckum к.Г. Классификация реляторов по доминантным признакам // Проектирование и технология электронных средств. — 2ОО2. — № 3. — С. 32—38.
17. 5о.лгuн ЛЖ Элементный базис реляторной схемотехники. — Тольятти: Поволж. технол. ин-т сервиса, 1999. — 7О с.
18. 5о.лгuн ЛЖ Синтез устройств для обработки и преобразования информации в элементном базисе реляторов. — Таллинн: Bалгус, 1989. — 21О с.
19. 5о.лгuн ЛЖ Реляторные процессоры на основе графа Паскаля для адресно-ранговой идентификации, селекции и ранжирования аналоговых сигналов. — Тольятти: ТГИС, 2ООО. — 81 с.
20. 5о.лгuн ЛЖ Релятор и реляторная схемотехника: ло гико-ал-гебраические основы и применения: Темат. библио гр. указ., комментарий и приложения. — Тол ьятти: ТГИС, 2ОО3. — 213 с.
21. 5о.лгuн ЛЖ Лналоговые реляторные сети для преобразования структуры данных с адресно-ситуационной идентификацией // Телекоммуникации. — 2ОО2. — № 12. — С. 5—11.
22. 5о.лгuн ЛЖ Aлгебраические логики как основа интеллектуальных информационных технологий в континуальной области // Там же. — С. 3—7.
23. Холосков {.k., Мейвейева М.5. Синергетический подход к обеспечению отказоустойчивости процессорных систем // Импликативная алгебра выбора и непрерывная логика в прикладных задачах науки и техники: Тр. меж дунар. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроматематика в науке, технике и экономике» / По д ред. Л.И. B о л г и н а. — Ульяновск, 2ОО2. — Т. 2. — С. 59—6О.
24. кфалов Г.#., Х}вшuнов k.k. Однофазный инвертор AC-DC с коррекцией коэффициента мощности на базе силово го релятора // Там же. — С. 61—65.
25. 5о.лгuн ЛЖ Теоретико-множественная интерпретация бинарных операций импликативной алгебры выбора // Там же. — С. 8, 9.
26. Жерсональньш библиографический указатель публикаций Л.И. Bолгина: Юбил. изд. к 7О-летию. — Ульяновск: Ул-ГТУ, 2ОО2. — 142 с.
27. 5acA/aurf G. Le nouvel esprid scientffique.— Paris: Press Uni-versitaires, 1934. Рус. пер.: Башляр Г. Новый рационализм: Пер. с фр. — М.: Прогресс, 1987. — 276 с.
28. Старнов 5.k. Творчество, открытие и логические методы поиска доказательства// Природа научного открытия. — М.; 1986. — С. 1О1—115.
8 ^422)-45Ш2
(-rnai7: vo/jin@M/vWM.UM □
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 4 • 2OO3
5
