ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, СОХРАНЯЮЩИЕ ВАРИАЦИОННУЮ ЗАДАЧУ СО СТАРШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 514

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, СОХРАНЯЮЩИЕ ВАРИАЦИОННУЮ ЗАДАЧУ СО СТАРШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Ф. ПАСТУХОВ, канд. физ.-мат. наук, доц. Д.Ф. ПАСТУХОВ (Полоцкий государственный университет)

Введенное в работе определение компоненты импульса вдоль струи и сохранение компоненты импульса ранга п вдоль струи порядка п - 1 на экстремалях уравнения Эйлера - Лагранжа для групп преобразований, сохраняющих вариационную задачу, является прямым и естественным обобщением определения компоненты импульса первого ранга вдоль векторного поля (струи нулевого порядка), связанного с однопараметрической группой преобразований, сохраняющих функцию Лагранжа, зависящую от производных нулевого и первого порядков Для экстремалей уравнения Эйлера - Лагранжа доказано свойство сохранения компоненты импульса ранга п вдоль струи порядка п - 1, связанной с группой преобразований, сохраняющей вариационную задачу со старшими производными:

т п

О (11 ок-1(X1 (х)) ркп)=0, 1=1 к=1

где Б : ЖхХт ® Хт Бт : Хт ® Хт,"те Ж — однопараметрическая группа преобразований, сохраняющая функцию Ь: ТпХт ® Ж

-^Щт(х),£>А(х),Бт(х),..., О(п)Бт(х))и = 0, "хе Хт, (1 т

}У1~1Х1 (х) = (Х1 (х),О\Х1 (х),О^Х1 (х),...,О/1-1 Х1 (х)) - струя порядка п — 1, связанная с группой

. ¿б1 (х) _

преобразований Бт : Хт ® Хт, Х1 (х) =-т-|т=о, . = 1,т.

1 т

Ключевые слова: уравнение Эйлера - Лагранжа, уравнение Эйлера - Пуассона, гладкие многообразия, расслоенное пространство скоростей, импульс системы, тензор энергии, тензор обобщенного импульса, невырожденная функция, струя векторного поля.

Введение. Классифицировать алгебраические уравнения по их группам симметрии предложил Э. Галуа; Ф. Клейн - взять идею симметрии в качестве единого принципа при построении различных геометрий. Выйдя за пределы геометрии и развиваясь, эта идея показала, что принцип симметрии служит той единственной основой, которая может объединить все разрозненные части огромного здания современной математики. Феликс Клейн развил свою концепцию в физике и механике. Его программа как задача поиска различных форм симметрии выходит за рамки не только геометрии, но и всей математики в целом, превращается в проблему поиска единого принципа для всего естествознания. В 1872 г. Ф. Клейн представил сенату и философскому факультету Эрлангенского университета и свое «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», получившее название «Эрлангенской программы». Феликс Клейн рассматривает иерархию многообразий - пространств любого числа измерений и соответственных геометрий, положив в основу их определения понятия инварианта, введенное в математику за двадцать лет до этого. В элементарной геометрии преобразованиями, то есть переходами от одних переменных к другим, служат прежде всего движения, переносы и вращения геометрических фигур, когда сами фигуры (расстояния между образующими их точками) не меняются. Пространство, в котором происходят подобные переносы, называется метрическим. Инвариант пространства - расстояние, определенное, например, теоремой Пифагора в прямоугольной системе координат. Есть более сложные геометрии, где инвариантами служат иные выражения: в проективной геометрии инварианты - уже не расстояния между точками, не величина и форма геометрической фигуры, а только форма, то есть соотношения между расстояниями, например, треугольник, при проективном преобразовании может стать меньше, но остается подобным себе. Содержание истории натурфилософии - преобразование самых общих понятий, самые радикальные изменения, охватывающие основные представления о мире и методы его познания.

Фундаментальность законов сохранения заключается в их универсальности. Они справедливы при изучении любых физических процессов (механических, тепловых, электромагнитных), а также одинаково применимы в релятивистском и нерелятивистском движении, в микромире, где справедливы квантовые представления, и в макромире, с его классическими представлениями.

Законы сохранения имеют важное значение не только в механике, но и в физике вообще. Научное и методологическое значение законов сохранения определяет их исключительная общность и универсальность. Благодаря той особой роли, которую играют законы сохранения в физике, они являются важнейшим элементом современной научной картины мира.

Дифференциально-геометрическое рассмотрение импульса и энергии в физической и математической постановке изложено в литературе [1-10, 12-16]. Свойства тензора энергии-импульса при простейших линейных преобразованиях координат и времени объясняет законы сохранения импульса в макроскопической системе. Но тензор энергии-импульса в дифференциальной форме является инвариантным относительно произвольного невырожденного преобразования координат, что приводит к локальным законам сохранения энергии-импульса, например, в физике элементарных частиц. Функция Лагранжа определяет некоторую вариационную задачу, например, минимизацию интеграла действия в механической системе и динамику этой системы (уравнения Эйлера - Лагранжа) [6]. Если интегрант (подынтегральная функция в простейшей вариационной задаче) вырожден относительно переменных времени либо координат, то это вырождение приводит соответственно к закону сохранения энергии, либо импульса относительно данной координаты [7]. Представленная работа является продолжением работ [9, 10, 13, 16].

Основные определения и математические объекты.

Пусть Хт - гладкое многообразие размерности т, ТпХт - гладкое расслоенное пространство скоростей порядка п с базой расслоения Хт .

Ь: ТпХт ® ^ - невырожденная функция в точке ^ е ТпХт [9].

Теорема 1 [11]. Пусть X = Sl(x1,X2,...,xm) S :(x) ® (x) - невырожденное преобразование координат в базе гладкого многообразия Хт расслоения скоростей порядка ТрХт, р > тах(^, I) I = 1, т, тогда

(р)

дх{1 )1 (X,X,..., X )

(з) ]

д X

С1 • иг

(

дх1 ( X) д~х

I! Л

---, I! = П к, I > 3,

з !• (I — з)! к-1 (1)

0, I < я

Определение 1. Система функций Рп = { р1к (п)} = {рк п } ,

(р)

. . . (2тш(п,р)—к) п—к дЬ(х,..., x ) - -

рк (п) = р1кп (X, X,..., X ) = ^ (—1) Д (-—), к = 0, п, I = 1, т называется обобщен' 1 г\ +к )1 1=0 д X

ным импульсом ранга п для функции Ь : ТрХт ® ^ в локальных координатах (х) базы Хт расслоения

р . ( р )

ТрХт, где Ь(X,X,..., X ) - локальная запись функции Ь при выборе локальных координат (х) в базе Хт расслоения Т р Хт .

Функция рк п называется к-й компонентой обобщенного импульса Рп ранга п по 1-й координате или импульсами порядка к (к-импульсами) по 1-й координате обобщенного импульса Рп ранга п .

. (2тш(п, р)—к)

Функция рк п(X,X,..., X ) называется к-й компонентой обобщенного импульса Рп ранга п по 1-й координате или импульсами порядка к (к-импульсами) по 1-й координате обобщенного импульса Рп ранга п .

Замечание 1. Обобщенный импульс ранг п определен для функций Ь : ТрХт ® ^ .

п-к (р)

Из определения обобщенного импульса ранга рк(п) = ^ (—1)1Д1 (дЬ(^ )) следует, что при

1=0 д X

(р)

дЬ(х,..., д: )

к > р, I > 0 ^ I + к > р ^-'— ° 0 и все рк (п) ° 0 (тривиальные импульсы), то есть для нетриви-

д X

Я =

альных импульсов к < р . Поскольку при к < п, к < р ^ к < тш(п, р), то в определении 2 можно счи-

тать, что к = 0, тт(п, р), г = 1, т.

Максимальный порядок производной по г в рк (п) равен , + к + , = 2 • , + к .

ЭЬ(х,..., х ) (I+к)г

При I + к > р ^-1+к— ° 0 и коэффициент при производной х равен 0, значит, при опре-

д х

делении максимального порядка производной по г можно считать I + к < р, кроме того, справедливы оценки между индексами обобщенного импульса

I < п - к ^ I + к < п ^ I + к < тт(п, р) ^ I < тт(п, р) - к ^ 2 • I + к < 2 • (тт(п, р) - к) + к = = 2 • тт(п, р) - 2 • к + к = 2 • тт(п, р) - к. Хотя более грубая оценка порядка старшей производной по г в рк (п) дает

I < п - к I + к < п ^ 2 • I + к < 2 • (п - к) + к = 2 • п - 2 • к + к = 2 • п - к .

(р)

При р > п, I + к < п- к + к = п максимальный порядок производной по г в Ь(х,..., х ) больше максимального порядка производной по г переменной, по которой производится частное дифференцирова-

п-к (р)

ние в рк(п) = П (-1)1 О1 (дЬ(х/,'''Дх )), в общем случае отлично от нуля.

, „ (1+к)1

1=0 д х

( р )

дЬ( х, ... , х )

При р < п , поскольку I + к < п - к + к = п , следует, что I + к > р, -+к^— ° 0 и часть членов

дх

п-к (р)

в сумме П (-1)'о/ (дЬ(Ха '1х )) будет тождественно равна 0. 1=0 д х

Пограничным является случай р = п , именно этот случай будет рассмотрен в дальнейшем без ограничения общности рассмотрения.

При р = п в локальных координатах (х) в базе Хт расслоения ТпХт получаем импульсы в преобразовании Остроградского:

п-0 (р) (р) (р) (р)

Л = V ( 14т4(дЬ(х,..., х ) = дЬ(х,..., х ) дЬ(х,..., х ) + + п п дЬ(х,..., х )

р0,п = П (-1) Ог( ) = Ог( : ) +... + Ог ( ^ ) ~

,=0 д х дх д х. д х

это нуль-импульс (функционал в уравнении Эйлера - Пуассона), импульс 0-го порядка. Теорема 2 [9] (дифференциальная связь импульсов к-го и (к - 1)-го порядков).

(п) . . (2п-к)

ПустьЬ :ТпХт ®Ж - невырожденная функция Лагранжа, Ь(х,..., х ), рк п(х,х,..., х ),

. (2п-к+1)

рк-1уп(х,х,..., х - локальная запись функции Ь и импульсов к-го и (к - 1)-го порядков при выборе локальных координат (х) в базе Хт расслоения ТпХт. Тогда

(п)

(2п-к\ =дЬ(х,х,..., х ) ^ ; {2п-к+1}л (к -1)г

дх

Огр'к ,п(х, х,..., х ) =-тг-гб--р'к-1,п(х, х,..., х ), (2)

. (п)

. (2п-к) п-к дЬ(х, х,..., х X где ркп(х,х,..., х ) = п (-1) Ог (- ..—) - импульс к-го порядка;

' I=0 дх(+ )г

- + - - д . (п)

г , ( )ч (к , ч, т-.,,дЬ(х, х,..., х ) рк-1,п(х,х,..., х ) = п (-!)Ог(-(1+к-1) ) - импульс (к - 1)-го порядка.

1=0 дх( ;

Имеет место следующая теорема.

. (р)

Теорема 3 (о связи импульсов к-го порядка рангов п и п +1). Пусть Ь : ТрХт , Ь^, X,..., X ) -

локальная запись функции Ь : ТрХт ® ^ при выборе локальных координат в базе расслоения Хт, учитывая определение обобщенного импульса:

п—к (р) _ _

I к / 1\1 гл! /дЬ(X,..., X) т ~ . ~ т

ркп = I (—1) О/ (-.. ..—), к = 0, п, I = 1, т - импульс к-го порядка ранга п,

' !=0 д X

п+1-к (р)

р'к п+1 = I (—1)! (дЬ(X-,/" ^^.X )) - импульс к-го порядка ранга п + 1.

' 1 п (/+к)1

/=0 д X

Тогда справедливо следующее соотношение:

( р )

I I . / 1\п+1—к тлп+1—к/дЬ(Л:,..., x X

рк ,п+1 = рк +(—1) А (-(„+!).. ). (3)

д X

Доказательство:

1— (р) —. (р) (р)

I и+1—к, !дЬ(^..., X ) ^ I I дЬ(X,..., X ) + п+Х—к^п+Х—кгдЬ(X,..., X )

рк,п+1 = I (—1) О/(-) = X (—1) О/(-^к)—) +(—1) О ( (п+1—к+к)1 ) =

/=0 д X /=0 д X д X

( р )

I , 1Лп+1—кТлп+1—к1-дЬ(x,..., x ).

= рк п +(—1) О/ (-).

д X

Теорема доказана.

Теорема 4. Рассмотрим преобразование из новой координатной системы в старую

1 о —1 —2 —т- ' ' — — — —

X = (X , X ,..., xm), X = (X , X ,..., X ). Пусть X1 = Sl (X!, X2,..., xm) S : (X) ® (X) - невырожденное преобразование координат в базе гладкого многообразия Хт расслоения скоростей порядка ТрХт, I, к = 1, т,

S—1 : (X) ® (X) - обратное отображение, тогда

т д.X1 (X) дX(X) _1- т дX (X) дx](X) _1- 5к [1, I = к „ ...

I У =§к, I У,- _к =§к, §к = У символ Кронекера. (4)

j=l дX] д^1 j=1 д^ дXк I0, 1 ф к

Доказательство. X = X(х(X), дx2(X), ..., X1 (X)). По теореме о сложной функции

дxl = т дХ (X) д'X (X)

~Т = к = I — ~Т~ ■

дxk j=l д^ дxk

. дX Ж дX (X) дx■' (X) Аналогично доказывается равенство ——г = Ок = I-:--^т—

дxk j=1 д^ дxk

Теорема доказана.

Определение 2. Однопараметрическая группа преобразований S: ^х Хт ® Хт, Sт: Хт ® Хт, "те ^ сохраняет лагранжиан Ь : ТпХт ® ^, если выполняется равенство

-^Ь^ (X), Б^т (X), О^ (X),..., О(п) Sт М)1т=0 = 0, "X е Хт. (1 т

ОЧ (х)1т =0 : Хт ® Т Хт - оператор к-кратного полного дифференцирования по переменной г.

С каждой однопараметрической группой преобразований можно связать однопараметрическое семейство

. (х) . (х) _

векторных полей Хг(х,т)) =-т—, "те Ж, Х1 (х) =-т— |т=0, г = 1,т (струй 0-го порядка) и одно-

1т 1т

параметрическое семейство струй порядка п -1

х-1 Хг(х,т) = (Хг(х,т), ОХг(х, т), Ог2Хг(х,т),..., Оп-1 Хг(х, т)), которые будем называть связанными (индуцированными) с группой преобразований Бт : Хт ® Хт .

г т (х).

Векторное поле Х (х) =---|т=0 и струю порядка п -1

1 т

х-1 Хг (х, т) = (Хг (х, т), О Хг (х, т), Ог2 Хг (х, т),..., О?-1 Хг (х, т)) также будем называть связанными (индуцированными) с группой преобразований Бт : Хт ® Хт .

Математическая постановка задачи.

Пусть Ь: ТпХт ® Ж - гладкая функция, заданная в расслоенном пространстве скоростей ТпХт (п) . (2п-к)

многообразияХт Ь(х,..., х), рг-(х,х,..., х ) - локальная запись функции Ь и импульсов к-го поряд-

^ (р)

, , дЬ(х х )

ка при выборе локальных координат (х) в базе Хт расслоения ТпХт . р1кп = Щ (-1) 01 (-тг+гг.—),

1=0 д х

к = 1, п, . = 1, т.

И пусть Б : ЖхХт ® Хт, Бт : Хт ® Хт, "те Ж - однопараметрическая группа преобразований, сохраняющая функцию Ь: ТпХт ® Ж

(Ь(Бт(х),О^т(х), О2Бт(х),..., О(п)Бт(х))1т=0 = 0, "хе Хт. 1 т

Задача данной работы - установить закон сохранения компоненты импульса

п-к (р)

р'кп = Щ (-1)' 0' (дЬ(х(/"г,').х )), к = 1, п, г = 1, т (импульсы к-го порядка ранга п) вдоль струи ' '=0 д (+х)г

¿Г1 Х1 (х) = (Х1 (х), О1 Х1 (х), О? Х1 (х),..., Оп-1 Х1 (х)), связанной с группой преобразований

. (х) _

Бт : Хт ® Хт, Х1 (х) =-т— |т=0, г = 1, т, на экстремалях уравнения Эйлера - Пуассона

т т 1т 0

п-0 . (п)

. п-0 , , дЬ(х, х,... , х ) р0 п = Щ (-1) О' (-(0+7:-) = 0 , то есть показать, что

тп

О(Щ Щ Ок-1(Хг(х,т))ркп) = 0 .=1 к=1

I=0

дх(0+1>.

при следующих условиях:

п-0 . (п)

г 1 ^гЛ дЬ( х, х,..., х )

р0п = 5( -) Ог ( а^* ) =0,

1Ь(Бт(х),О^(х),О2Бт(х),...,О(п)Бт(х)) и = 0,"хе Х„

1т

Имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть S : ^хХт ® Хт, Sт : Хт ® Хт, "те ^ однопараметрическая группа преобразований Ь : ТпХт ® ^ - гладкая функция в расслоенном пространстве скоростей ТпХт на гладком

п—0 . (п)

многообразии Хт р0п = I (—1)!О.(дЬ(x,x'.^^,. x)) - импульс 0-го порядка (функционал в уравнении ' /=0 дx(0+/)l

»-» 1—Г Ч Тт I , dS т (X)

Эйлера - Пуассона) Х (X, т) =--—, тогда

(т

(п)

1Щт(X),О^(X),О2Sт(X),...,О(п)Sт(X)) = £ £ дЬ(X,..., X )ри(Х.(x,т)). (5)

1 т 1=1 к=0 д X

Доказательство.

о м (п) . (п)

dЬ(Sт(X),о^т(X),о/Sт(X),...,о(п)sт(X)) = I дЬ(X,..., X ) (X) + Ц дЬ(X,..., X) 1 (о1^1т(X)) + 1 т !=1 дxl. 1 т ¿1 .1 1 т

д X

(п) (п) (п)

+Ц дЬ(X,..., X) 1 (О2St(X)) + + I дЬ(X,..., X ) 1 ((X)) = I I дЬ(X,..., X) 1 (oksT(X))

1 т "' 1 т _(к )1 1 т

д X

1=1 - " 1=1 д X 1=1 к=0 д X

(п) (п)

= I I дЬ(X,..., X ) рк =II дЬ(X,..., X ) рк(^ (xт))

= Л Л ^ Р/ -11 ^ Р/ (Х (x,т)).

1=1 к=0 д X 1 т 1=1 к=0 д X

В частности, при п = 1

(1) (1)

1Щт(^ о/sт(x)) = I (Х' (X, т) + О/ (Х1 (X, т))) = 1 т '=1 дxl .1

д X

т (1) т (1) Ц Х1' (X, т) + ]Т дЬ(x7x) р/ (Х1' (X, т)) =

г=1 дxl I=1 •1

д X

. . к

Ж дЬ(X,X) ь , Ж Ж дЬ(X,X) дXl(X,т) . = I(—Х'(X,т) + II—-X .

¿=1 дx ¿=1 к=1 . дx

д X

Теорема доказана. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Пусть S : ^хХт ® Хт, Sт : Хт ® Хт, "те ^ - группа преобразований в Хт, Ь: ТпХт ® ^ - гладкая вещественнозначная функция в расслоении скоростей ТпХт.

П к п

» . . ч к . л\/ г\/ / дЬ (X,..., X ). ... т

ркп(X,X,..., X ) = I (—1) О/ (- —), г = 1,т - импульсы к-го порядка ранга п

' !=0 д X

w dS t (x) ^ ^ ^

X (x, t)) =--- - однопараметрическое семейство векторных полей, индуцированное группой

d t

St: Xm ® Xm . Тогда имеет место следующее равенство:

(n)

m n m n gr ( rr ) m

D (I I X'' (x, t)) pin) = II (X¿ (x, t)) -1 X¿ (x, t) ,n . (6)

i=1 i=1 ¡=1 i=0 g (x i=1

Доказательство. По теореме 2 имеем

. (n)

_ i f • (2n-i\ =3L(x,x,..., x) i . . (2n-i+1)

Dtpi ,n ( x,x,..., x ) =-(i-1)i--pi—1,n ( x,x,..., x ).

Э x

m n m n m n

D (I I Di-1(X''(x, t))pi n) =I I Dt(Di-1(X''(x,t)))pi n +1 I Di-1(X''(x,t))Dtpin = i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

. (n)

mn mn gr () . (2n-i +1)

= II Di(Xi(x,t))pi,n + II Di-1(X1 (x,t))(d¿(x,(x-.1;;x ) - pi-1,n(x,x,..., x )) = i=1 i=1 i=1 i =1 g x

(n)

m n m n gт(rrr) mn . (2n-i+1)

= II Di (X'' (x, t))pin + II Di-1(Xi (x, t))( gL(x,(x"1;;. x)) - II Di-1(Xi (x, t)) pi-1n (x, x,..., x ). (7)

i=1 i=1 i=1 i=1 g ( i=1i=1

Введем новую переменную i1 и свяжем со старой переменной i : i1 = i -i = i1 +1, 1 < i < n ^ 0 < i1 < n -1, затем подставим i1 в формулу (7):

. (n)

m n , , mn дт( ) m n , . . (2n-i+1)

I I Di(X1 (x,t))pin +1 I Df-1(Хг(x,t))(gL(x,(x:--i/ ))-II Dti-1(Хг(x,t))pi-1,n(x,x,..., x ) =

i=1 i=1 i=1 i =1 g x i=1 i =1

(n)

m n m n-1 дт (x x x ) m n-1 . (2n-i1)

- - ^ j,n +11 dí1(xi(x,t))(gL(x,x¿1;;:x^ ^ ' '

= II Di (X1 (x, t)) pi ,n + I I Dti1( X' (x, t))(^^-.L±±) -II Díi1( Хг (x, t)) pi 1,n (x, x,..., x ) =

i=1 i=1 i=1 i1=0 g( x i=1 i1=0

- - . (n)

m n-1 m m m n-1

= II Di (X' (x, t))( pi,n - pin) -1 D0 X1 (x, t)p0,n +1 DnX' (x, t) pln,n + II Di (X' (x, ^(^^^x^) =

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=0 g (x

m m . (n) m n-1 . (n) = -Id0 x' (x, t) p0,n + Id;x (x, t) ^ x) + I ID ( x' (x, t))(gL( x, x-x)) =

i=1 i=1 g x i=1 i=0 g x

. (n)

m • m n i ■ gj( x x x )

= -IX' (x,t)pf,n + II Di (X' (x, t))(gL(x, x- x )). i=1 i=1 i =0 g x

Этот результат может быть получен и по-другому. Проведем доказательство индукцией по п. При п = 1 в формуле (6) получим импульс к-го порядка ранга п:

(1)

m n=1 m n=1 g r (x x)

Dt(II Dti-1(x'(x,t))pin) = II ^^^^Di(X'(x,t))-1X'(x,t)p0,n=1. (8)

i=1 i=1 i=1 i=0 g (x i=1

m

Преобразуем левую часть формулы (8):

т т т

О,(I О1—1 (X'(X,т))р1д) = О,(IО°(х'(X,т))р1д) = О,(IX'(X,т)р1д) = ¡=1 '=1 '=1

тт

= I О, (X' (X, т)) р1д +1X' (X, т) О/ (р1д) = '=1 '=1

= Ц О, (X' (X, т)) ^^^+1X' (X, т) О, (ЭЬх-х)) = О, (I ЭЬ(х-х) X' (X, т)). (9)

'=1 д X '=1 д X '=1 д X

Преобразуем правую часть (8):

(п)

т п=1 дЬ (x x ) , т ■

I1 дЬ( ^ )Ок (X'(X,т)) — IX'(X,т)р0,п=1 = ' =1 к=0 д X '=

= Ц ЭД^оС^ х1 (X, т)) + р1( х1 (X, т)) — I x' (X, т)р0,п=1 =

'=1 а X а X '=1

= Ц ( X' (X, т)) + дЬ^ О1( X' (X, т)) — ^х' (X, т)(— О, ()) =

'=1 д X д X '=1 дxl д X

= Ц Щ^Х X' (X, т) +1о1( X' (X, т)) — IX' (X, т) + Цх' (X, т)О, () =

'=1 д X '=1 дX '=1 дxl '=1 д X

= Ц Щх^ о1( х' (X, т)) + Цх' (X, т)О (дЬ^) = О, (Iх' (X, т)). (10)

'=1 д X '=1 д X '=1 д X

Формулы (9), (10) совпадают, база индукции при и = 1 проверена. При п = 2 в формуле (6) получим

п-к (2)

' ч к . 1 \ ^ гч / / дЬ (х,..., х )-.т л ... т

ркп = I (—1) О, (- —), к = 0, п, ' = 1, т - импульс к-го порядка ранга п;

' !=0 э(+х)1

2—1 (2) ... ...

Л = ^ 1 \/тл/гдЬ(X,..., х X = 0 г.0^дЬ(х,х,х) + 11дЬ(х,х,х) =

р1,2 = I (—1) ° ( (/+)—) = (—1) ° ( ^+1)—) +(—1) ° ( ) =

/_0 д х д х д х

= дЬ( х, х, х) = дЬ( х, х, х) 1 дЬ( х, х, х)

= (1)Г~ = 1 О ( 7' );

д х д х д х

2—2 (2) ... ...

' - V с и/тл/гдЬ(х,..., х ) П0П0,дЬ(х,х,х) дЬ(х,х,х) _ р2,2 = ^ (—1) О ( (0+2)' ) = (—1) О ( (0+2)' ) = ^ ; ! _0 д х д х д х

— (2) . .. . .. . .. ' ^ 1 ^гЛдЬ(х,..., х \ ^ п дЬ(х,х,х) + 11дЬ(х,х,х) + 2^2,дЬ(х,х,х)

р0,2 = I (—1) О/ (-^^) = (—1) О0 ( (0+0)' ) + (—1) О1 ( (0+1)' ) + (—1) О ( (0+2)' ) =

/0 д х д х д х д х

= дЬ(х,х,х) о (дЬ(х,х,х) + дЬ(х,х,х))

= дх' , .' , ' д х д х

По формуле (6) проверим выполнение равенства

(п)

т п т п ^т г \ т

О(II ок —1(X'(х,т))ркп) = II дЬ(х,-х)ок(X'(х,т)) — IX'(х,т)р0,, '=1 к =1 '=1 к=0 д х '=1

При п = 2 уравнение (6) примет следующий вид:

= = (п)

т п=2 т п=2 дд( х х )

о, (11 ок—1( х' (х, т)) рк п)=11дЬ( х,;к;х О ( х' (х, т))—I х' (х, т)р0,л=:, '=1 к =1 '=1 к=0 д х '=1

Преобразуем левую часть последнего выражения:

т

О,(I о1—1(X'(X,т))р1,2 + о2—1(X'(X,т))р2,2) = О,(Iо0(X'(X,т))^ + о,(Х'(х,т))р2,2) = '=1 '=1

т

= О, (I Х'(х, т)) р1д + О, (Х'( X, т)) р2,2) =

=1

= IО1 (X' (X, т))р1,2 + X' (X, т)О, (р1,2) + О2(X' (X,т))р2,2 + О1 (X' (X,т))О1 (р2д) = =1

т т т т

= I О, (X' (х, т)) р1,2 +1X' (х, т)О, (р1,2) +1 О?( X' (х, т)) р2,2 +1 О, (X' (х, т)) О, (р2Д). =1 =1 =1 =1

. (п)

п , ■ (2п—к\ дЬ(х,х,..., х) ' . • (2п—к+1) По теореме 2 имеем О1р^п (х, х,..., х ) =-(к—)'--рк—1,и (х, х,..., х ).

д х

_ ' , . " дЬ(х, х, х) ' , • " дЬ(х, х, х) ' . . " (3) (4\ дЬ(х, х, х) ' , (4\ О, Л,2( X, X, х) =-(1—)'--р1—1,2(х, х, х) =-'--й— 1Д(х, X, X, X , X ) =-'--р0,2(х,..., X ),

д х д х д х

_ ' , • •• дЬ(х,х,'х) ' , • •• дЬ(х,хс,хх) ' • " (3) (4), дЬ(х,хх,X.) ' (3) О/P2,2(x, X,х) =-(2—)'--р2—1,2(X, X, х) =---р2—1,2(X, X, X, X , X ) =--.--ри(X,..., X ).

д х д х д х

На основании чего последний результат можно переписать так:

т т т т

I О, (X'(х, т)) р,2 +1 Х'( X, т)О, (р1д) +1 о,2( Х'(х, т)) р2,2 +1 О, (Х'( х, т))О, (р^) = =1 =1 =1 =1

(X'(х, т)) р1,2 + Х'( X, т)( — р0,2( х,...,(?)) + о2( Х'( X, т)) р2,2 + О, (Х'( X, т))( ЭЬ(ххх) — р1,2) =

'=1 Э X Э X

(X'(х, т)) р1,2 + Х'( X, т)(— р0,2( х,...,(?)) + о2( Х'( X, т)) р2,2 + О, (Х'( X, т))( дЬ(х^х,х) — р1,2) = '=1 Э X Э X

= ¿Х'( X, т)( дЬ^х1х) — р0,2( х,...,х)) + О2( Х'( X, т)) р2,2 + О, (Х'( X, т))( ) =

=1

д х д х

т

т

т

,,дЬ(х, х, х) ; . (4).. ,,дЬ(х, х, х) ^ . „,дЬ( х, х, х).

= ЩХг(х,т)( 4 '.' 7-р0,2(х,..., х)) + О/(Хг(х,т)) У '..' 7 + О1 (Хг(х,т))( У ' 7) =

г=1 д х д х д х

= ЩХг(х,т)(дЬ(х,хх) + 0{(Хг(х,т))(дЬ(х,х'х) + Ог2(Хг(х,т))дЬ(х'х'х) -Хг(х,т)р0,2(х,.../?) = г=1 д х д х д х

= ЩХг(х,т)(+ Ог(Хг(х,т))(дЬ(х,х'х) + Ог2(Хг(х,т))дЬ('х) -Щ Хг(х,т)р0,2(х,...,?) =

г=1 д х д х д "¡с 1=1

(2)

т 2 дЬ(г г) < т •

= Щ Щ дЬ(х^х) Огк(Хг(х,т))-Щ Хг(х,т)р0,п.

«=1 к=0 д х г=1

Утверждение теоремы проверено для п = 2.

Пусть утверждение теоремы справедливо для произвольного натурального числа п:

(п)

т п т п дЬ( х, ... , х ) т

Ог(ЩЩ Ок-1(Хг(х,т))ркп) = Ц дЬ(х,-х )Огк(Хг(х,т))- ЩХг(х,т)р0,„

г=1 к =1 г=1 к=0 д х г=1

Докажем, что оно верно для п + 1, тогда запишем:

(п+1)

т п+1 т п+1 дЬ( х,... , х ) т

Ог(Ц Огк-1(Хг(х,т))р^) = Ц )п'к (Хг(х,т))- ЩХг(х,т^. (11)

г=1 к=1 г=1 к=0 д х *=1

(р)

По теореме 3 (формула 3) имеем рк,п+1 = рк п + (-1)п+1-кОгп+1-к(дЬ(х(^).х )),

дх

+ - (п+1) + - + (п+1) (п+1) р = ( 1),О,(дЬ(х,..., х )) . р = ^Щ^1) ,,(дЬ(х,..., х )) = дЬ(х,..., х )

рк,п+1 = Щ (-1) Ог(-^-) ^ рп+1,п+1 = Щ (-1) Ог(-^-) =-^-•

,=0 д х ,=0 д х д х

Проведем преобразования левой части формулы (11):

т п+1 т п т

Ог(I I Огк-1(Хг(х,т))рк,„+1) =Ог (Щ Щ О^-1(Хг(х,т))рк,„+1 + ЩО,п+1-1(Хг(х,т))р.,+1,^+1) = .=1 к=1 .=1 к=1 .=1

тп

Ог (Ц Ок-1 (Хг (х, т)) ркп+1) + Оп (Хг (х, т)) р^) = .=1 к=1

т п т

= Ог(Ц Огк-1(Хг(х,т))рк^ + О,(Щ(Ог"(Хг(х,т))р'п+1,и+1) =

г=1 к=1 г=1

т п т

= Ог (Щ Щ Ок-1(Хг(х,т))рк,л+1) + ЩОгп(Хг(х,т))рп+1,п+1) = .=1 к=1 .=1

т п т

= О, (Щ Щ Ок-1 (Х' (х, т)) ркп+1) + Щ О, (Огп (Хг (х, т)) рЦ^).

г=1 к =1 г=1

(п+1)

Подставим рк п+1 = ркп + (—1)"+1—коп+1—к(ЭЬ(х,..+1 ,х )) при р = п +1 в первую сумму в формуле (12):

Э х

Ог (I I Ок—1( X' (х, т)) рк п+1) +1 О, (О? (X' (х, т) р^) = '=1 к=1 '=1

(п+1)

т п т

= О(I I ок—1(X'(х,т))(ркп + (—1)п+1—коГ1—к(дЬ(х,(^1}' )))) + IО,О(X'(X,т))рп+1п+1 =

'=1 к=1 д х '=1

(р)

тп тп ЭЬ( хх ) т

= О (II о,к—1( х1 (X, т)) рк ,п) + А (II ок—1( х1 (X, т))(—1)n+1-kD/n+1-k (ЭЬ( х^х)))+1 о О ( х1 (х, т)) рп+1,п+1) = '=1 к=1 '=1 к=1 д х '=1

(п+1) (п+1)

= О,(III ок—1(X'(X,т))рк,п) + III ок—1(X''(X,т))(—1)п+1—коГ1—к (}) + Цог(оп(X'(X,т)) д^ц* ^ (13)

'=1 к=1 '=1 к=1 Э х '=1 Э X

По предположению индукции первое слагаемое в сумме (13) равно

(п) (п+1)

тп

лк — 1 / V „.чч /

О<(IIОк—1(Х'(X,т))ркп) = II х Ок(X'(х,т)) — IX'(X,т)р0п. (14)

'=1 к=1 '=1 к=0 д х '=1

По формуле (3) имеем

(п+1) (п+1)

' ' . / п+1—0 ГЛ п+1—0/дЬ( x,..., х \ ' , / 1чп+^п+ЬдЬ( x,..., х X р0,п+1 = р0,п + (—1) О, (-) = р0,п + (—1) О, (-^^). (15)

д X д X

Преобразуем второе слагаемое в сумме (13):

т п (п+1)

О<(II ок—1(X'(X,т))(—1)п+1—коп+1—к(дЬ(ху1}'х ))) =

'=1 к =1 д х

т п (п+1)

= 11 о,(ок—1 (х'(х,т)))(—1)п+1—ко,п+1—к(дЬ(х,(п+1)'х ))) +

'=1 к =1 д х

т п (п+1)

+5II о,к—1(X'(х,т))(—1)п+1—кО,(О,п+1—к(дЬ{^1)х ))) =

=1 к =1

д х

т п (п+1)

= III О,к (X'(х,т)))(—1)п+1—к о,п+1—к(дЬ(х,(.п+1)X ))) +

'=1 к =1 д х

т п (п+1)

+5II ок —1( Х'( х, т))(—1)п+1—кО,п+2—к ( =1 к =1

(16)

д х

Введем новую переменную и преобразуем второе слагаемое последней суммы (16), которую перепишем в следующем виде:

к1 = к — к = к1 +1,1 < к < п ^ 0 < к1 < п — 1, п +1 — к = п — к1, п + 2 — к = п +1 — к1

т п (п+1) т п—1 (п+1)

I¿О,к(X'(х,т))(—1)п+1—кО,п+1—к(дЬ(х,-1)х ))) + I I О,к1(X'(х,т)))(—1)п—к1 О,п+1—к1(дЬ(х,-1)'х ))) =

'=1 к=1 д X '=1 к1=0 д X

т

(п+1) (п+1)

= Щ ±ок (хг (х, т))(-1)п+1-кОгп+1-к (Ш х-+1)х ))) + Ц^ок (хг (х, т)))(-1)п-кОгп+1-к (дД х—).х ))) = г=1 к =1 д х г=1 к=0 д х

т (п+1) т п-1 (п+1)

= Ц Огк(Хг(х,т))(-1)п+1-кОгп+1-к(^^^п^)) + Щ Щ о?(Хг(х,т)))(-1)п-к0гп+1-к(\ + г =1 к =1 д х г=1 к=1 д х

(п+1) (п+1)

+Щ0,п(Хг(х,т))(-1)п+1-п0гп+1-п(дДх,(п+1).х ))) + Що0(Хг(х,т))(-1)п-0О,п+1-0(дЦ^^ ))) = г=1 д х г=1 д х

(п+1) (п+1)

= Щ! ((-1)п-кОгк(Хг(х,т))0,п+1-к+1)) + ЦО,п(Хг(х,т))(-1)г0гп+1-п(дLT¡,n^fi) + г =1 к =1 д х г=1 д х

т (п+1)

+^О°(хг(х,т))(-1)п-0Огп+1-0(дДх,(п;+1).х )) = г=1 д х

(п+1) (п+1)

= (-1)Щоп(Хг(х,т))О1(ЭДх,(.п;^1).х )) +Що0(x1 (х,т))(-1)пОгп+1(дД^^ )) = г=1 д х г=1 д х

(п+1) (п+1)

= (-1)Щ0гп(Хг(х,т))о1(д^(х,(^1)гх )) +ЦХг(х,т)(-1)п0гп+1(д^^^). (17)

г=1 д х г=1 д х

Рассмотрим последнее слагаемое в сумме (13):

(п+1) (п+1) (п+1)

Що, (0гп (x1 (х, т)) дД )) = Щ (От ( 0,п (Хг (х, т))) дД ) + о^ (Хг (х, т))0, (ЭД х-).х ))) =

г=1 д х г=1 д х д х

(п+1) (п+1)

= Щ (0гп+1( х' (х, т))) дД х-).х ) + опп (х' (х, т))0г (ЭД х-).х ))) = г=1 д х д х

(п+1) (п+1)

= Що^Х(х,т)))дЦх-1).х ) + ^оп(x1 (х,т))о,(^Щ-.^). (18)

г=1 д х г=1 д х

Преобразуем левую часть доказываемого тождества (11), равную сумме (13) и состоящую из трех слагаемых, равных соответственно правым частям формул (14), (17), (18):

(п+1) (п+1)

(ЩЩоЛХ'(х,т))ркп)+ЩIof-1(X'.(хЖ-1)п+1-кап+1-к(^-х ))+Щд(Оп(Хг(х,т))^^^ )) =

¿=1 к=1 ;=1 Ы д х г=1 д х

(п+1) (п+1)

дЦх,..., х плт-т^г,^^дЦх,..., х ).

= ЩЩ 'Ок (Хг (х, т)) - ! Хг (х, т) р0 ,п + (-1)Щ 0гп (Хг (х, т)) ) +

лп

(к)г г V" -// ¿а— V™' -/^0,п ■ V г V" V-' ^ (п+1)г

г=1 к=0 д х г =1 г=1 д х

(п+1) (п+1) (п+1)

+Цх'.(х,т)( 1)поп+1 (дДх,(п+1)гх))+Цогп+1(Хг(х,т)))дДх,(.п+1)гх)+Щоп(хг(х,т))о,(д^(х,(^1)гх)) = г=1 д х г=1 д х г=1 д х

(п+1)

т п дЬ (х х ) , т

= 11 (х,-;к' х )ок(X'(X,т)) — IX'(X,т)р0,п + '=1 к=0 д к '=1

д х (19)

(п+1) (п+1)

X'(х,т)(—1)пО,п+1(дЬ(х-}'х )) + ÍГО/n+1(X'(х,т)))дЬ(х-)'Х ). '=1 д х '=1 д X

Учитывая выражение (15), объединим первое и последнее слагаемое в сумме (19), получим, что левая часть (11) равна

+ (п+1) (п+1)

II1 ^¿^к^^ок(X'(х,т)) — IX'(х,т)р0,п + IX'(х,т)(—1)пО,п+1(дЬ(х,(-п+1)х )) =

'=1 к=0 д х '=1 '=1 д X

(п+1) (п+1)

= II дЬ(X,.;k,)l'X )ок(X'(х,т)) — Цх'(х,т)р0,п — ¿X'(X,т)(—1)п+1 О,п+1(дЬ(х,-1)х )) = '=1 к=0 д х '=1 '=1 д X

+ (п+1) (п+1)

= Ц дЬ(х,(к,)'х )О,к(X'(X,т)) — Их'(х,т)(р0,п + (—1)п+1 О,п+1(дЬ(ху1}'х )). (20)

'=1 к=0 д х '=1 д X

Преобразуем выражение (20), учитывая формулу (15):

(п+1) (п+1)

I = I +/ 1 чп+1—0 п п+1—0/дЬ(х,..., х X = ' +, 1 чп+1 п п+1/дЬ( х,..., х X = р0,п+1 = р0,п +(—1) О, ( ) = р0,п +(—1) О, ( ) =

д X д X

+ (п+1) (п+1)

= II дЬ(^к/ )О,к(X'(х,т)) — IX'(х,т)(р0,п + (—1)п+1 О,п+1(дЬ(х,(п+1)'х )) = '=1 к=0 д х '=1 д X

+ (п+1)

т п+1 дЬ (х х ) , т •

= II дЬ(х,.;к,)'х )ок(X'(X,т)) — IX'(X,т)р0,п+1. (21)

= к=0 д х '=

Полученный результат (21) представляет правую часть доказываемого равенства (11).

Теорема доказана.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 7. Пусть Ь : ТпХт ® ^ - гладкая функция, заданная в расслоенном пространстве скоро-

(п) . (2п—к)

стей ТпХт. Ь(х,..., х), рг (х,х,..., х ) - локальная запись функции Ь и импульсов к-го порядка при

п—к (р)

I I дЬ(х х )

выборе локальных координат (х) в базе Хт расслоения ТпХт . р1кп = I (—1) О. (-тгтг-—),

_ _ , !=0 д (+х

к = 1, п, ' = 1, т. И пусть Б : ^ х Хт ® Хт, Бт : Хт ® Хт, "т е ^ - однопараметрическая группа преобразований, сохраняющая функцию Ь: ТпХт ® ^

^Ь(Бт(х),О,Бт(х),О,2Бт(х),...,О,(п)Бт(х))^ = 0, "хе Хт, 1 т

jИ—1X'(х) = (X'(х),О1 X'(х),О2X'(х),...,О,п—1X'(х)) - струя порядка п - 1, связанная с группой преобра-

' (х) _

зований Бт : Хт ® Хт, X' (х) =-т— |т=0, ' = 1, т - векторное поле.

1 т

п-0 . (п)

Тогда на экстремалях уравнения Эйлера - Пуассона р0 п = I (—1)'о/( Ь(х,(0+'.''х )) = 0 спра-

, 1=0 дх( + ведлив закон сохранения компоненты обобщенного импульса вдоль струи:

тп

О{(I I Ок—1(X'(X))ркп) = 0. '=1 к =1

Доказательство. По формуле (6) теоремы 6 при любых хе Хт,те ^ выполнено соотношение :

(п)

т п дЬ(х х) , т

О, (II Ок—1( X' (X, т)) рк п) = II х,(.,;;х О (Х' (х, т)) — IХ' (х, т)р0,п. (22)

чк — 1 / V'/

»'III/», .

,п) ^ ^ (к)'

'=1 к =1 '=1 к=0 д X '=1

В частности, при т = 0

т п т п

О,(I I Ок —1(X'(х,т)) 1т=0 ркп) = О,(II О,к —1(X'(х))рк,п) = '=1 к =1 '=1 к =1

(п)

т п дЬ(х х ) 1 т

= 11 дЬ(х ) О,к (X' (X,т)) 1т=0 — IX'(X,т) 1т=0 р0,п =

'=1 к=0 д X '=1

(п)

т п дЬ (х х ) , т ■

= II дЬ(х,^х ) О,к(X'(х)) — IX'(х)р0 п. (23)

= к=0 д х '=1

По условию теоремы 7 Бт : Хт ® Хт, "те Ж — однопараметрическая группа преобразований сохраняет функцию Лагранжа Ь : ТпХт ® ^

(Ь(Бт(х),О,Бт(х),О,2Бт(х),...,О,(п)Бт(х)) 1т=0 = 0, "хе Хт. (24)

(т

По формуле (5) теоремы 5 имеет место равенство

т п п

(Ь(Бт(х),О,Бт(х),О2Бт(х),...,О,(п)Бт(х)) = I I дЬ(х,--,- х )о,к(X'(х,т)), (25)

1 т '= к=0 д х

которое выполняется при любом т , в частности, при т = 0 . Учитывая равенства (24), (25) получаем

т п (п)

1 Ь(Бт(х),ОД (х),О2Бт(х),...,О,(п)Бт(х)) 1т=0 = I I ^¿^^ок(Х'(х,т)) 1т=0=

1 т '= к=0 д х

т п (п)

= I I дЬ(" )О,к(X'(х)) = 0,

'=1 к=0 д х

поскольку

Ок (X' (х, т)) 1т=0 = Ок (X' (х, 0) = Ок (X' (х). (26)

(п)

т п дЬ( х х) к

Следовательно, I I-(к)'-О, (X'(х)) = 0. Поскольку х ® Хт - экстремаль уравнения

(к)''

'=1 к=0 д X

Эйлера - Пуассона, то

_0 . (п) . (п)

ркп=I н)^ ())=± (Эдх£*х))=0. (27)

т , т

Таким образом, ЩХ (х) р0,п = ШХ (х) • 0=0. Подставляя формулы (26), (27) в равенство (23) по-

''=1 ' ''=1 лучим основной результат работы:

(п)

т п т п дт/ \ т

О(Ш Шо^-1(X''(х))Р1п) х,(.,;;.х )О(X''(х))_Шх'(х)р£,л = 0_0 = 0. (28)

''=1 к=1 ''=1 к=0 д х '=1

Теорема доказана.

Замечание 2. Введенное в работе определение компоненты импульса вдоль струи и сохранение компоненты импульса ранга п вдоль струи порядка п - 1 на экстремалях уравнения Эйлера - Пуассона для групп преобразований, сохраняющих вариационную задачу, является прямым и естественным обобщением определения компоненты импульса первого порядка вдоль векторного поля (струи нулевого порядка), связанного с однопараметрической группой преобразований, сохраняющих функцию Лагранжа, зависящую от производных нулевого и первого порядков [1, с. 297]. В частности, на экстремалях уравнения Эйлера - Лагранжа справедлив закон сохранения компоненты импульса первого порядка первого ранга вдоль векторного поля, индуцированного группой, сохраняющей вариационную задачу первого порядка:

о (т Х%) = А (±х' = А (т х'' = 0.

''=1 ''=1 Э х ''=1 Эх

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубровин, В. А. Современная геометрия. Методы и приложения / В. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. - М. : УРСС, 1994.

2. Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. - М. : Гостехиздат, 1956.

3. Погорелов, А. В. Дифференциальная геометрия / А. В. Погорелов. - М. : Наука, 1974.

4. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. - М. : Наука, 1974.

5. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - 7-е изд., испр. - М. : Наука, 1988. - Т. 2: Теория поля. - 512 с.

6. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - 7-е изд., испр. - М. : Наука, 1988. - Т. 1: Механика. - 214 с.

7. Галеев, Э. М. Краткий курс теории экстремальных задач / Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. - М. : Изд-во МГУ, 1989. - 203 с.

8. Дирак, П. Лекции по квантовой механике / П. Дирак. - М. : Мир, 1968.

9. Обобщение теоремы Гамильтона - Остроградского в расслоениях скоростей произвольного порядка / С. Г. Ехилевский [и др.] // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2016. - № 12. - С. 125-133.

10. Закон преобразования обобщенного импульса / С. Г. Ехилевский [и др.] // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 4. - С. 85-99.

11. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Серия «Проблемы геометрии» ; ВИНИТИ. - 1979. - Т. 9. - С. 5-246.

12. Трофимов, В. В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых и дифференциальных уравнений / В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко. - М. : Факториал, 1995.

13. Инварианты в расслоениях скоростей произвольного порядка / Ю. Ф. Пастухов, Д. Ф. Пастухов, С. В. Голубева // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2015. - № 12. - С. 117-123.

14. Об эффективном поиске безусловного экстремума гладких функционалов в конечномерных задачах/ С. В. Голубева [и др.] // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2016. - № 4. - С. 119.

15. Задача построения поля линий тока по температурному разрезу // Ю. Ф. Пастухов, Д. Ф. Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2015. -№4. - С. 27-36.

16. Тензор обобщенной энергии // Ю. Ф. Пастухов, Д. Ф. Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 12. - С. 78-100.

Поступила 20.03.2018

GROUPS OF TRANSFORMATION CONSERVING VARIATIONAL PROBLEM WITH SENIOR DERIVATIVES

Y. PASTUKHOV, D. PASTUKHOV

The definition of the momentum component is introduced along the jet and the conservation of components of momentum of rank n along the jet of order n - 1 on the extremals of the Euler-Lagrange equation for groups of transformations preserving the variational problem is a direct and natural generalization of the determination of the momentum vector field (zero-order jet) connected with a one-parameter group of transformations preserving Lagrangian function that depends on the derivatives of zero and first orders. For the extremes of the Euler - Lagrange equation, the property of preserving the momentum component of rank n - 1, connected with the transformation group preserving the variational problem with higher derivatives:

m n

D (I ID-1(X1 (x)) pln) = 0, i=l k =1

5: ^xXm ® Xm St : Xm ® Xm, Vie ^ — is a one-parameter group of transformations that preserves the function L: TnXm ® ^

dL(St(x),DtSx(x),D2St(x),...,D(n)St(x))U = 0, "xe Xm, d t

jin~lXl (x) = (X1 (x), D1 X1 (x), Dt2X1 (x),..., Dtn-1 X1 (x)) - a jet of order n-1 connected, with the transformation group St: Xm ® Xm, Xi (x) = dS t (x) |t=o, i = 1, m.

m m dt 0

Keywords: the Euler - Lagrange equation, the Euler - Poisson equation, smooth manifolds, fibered velocity space, system momentum, energy tensor, generalized-momentum tensor, nondegenerate function, jet of a vector field.