СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ СО СТАРШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ СО СТАРШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Ф. ПАСТУХОВ, канд. физ.-мат. наук, доц. Д.Ф. ПАСТУХОВ (Полоцкий государственный университет)

Рассмотрены свойства функций Гамильтона и Лагранжа в координатно-импульсном и расслоенном пространстве скоростей. Основным полученным результатом является утверждение - в случае локальной невырожденности матрицы Гессе от функции Гамильтона по импульсам максимального порядка (матрицы Гессе от функции Лагранжа по скоростям максимального порядка) указанные матрицы Гессе взаимно обратны. Получен ряд вспомогательных результатов, например, о квазилинейной форме временной производной порядка к от обобщенной координаты по скоростям расслоенного пространства порядка к для невырожденной замены координат. Получены неожиданные тождества в координатно-импульсном пространстве д-р для частной производной между координатами расслоенного пространства (координата-координата, импульс-импульс). Получены формулы, связывающие частные производные в координатно-импульсном пространстве д-р для функций Лагранжа и Гамильтона по одним и тем же переменным.

Ключевые слова: функция Гамильтона, вариационная задача, расслоенное пространство скоростей, уравнения Эйлера - Лагранжа, гладкие многообразия, тензор обобщенного импульса, невырожденный гессиан.

Введение. У.Р. Гамильтон в 1835 году получил новую форму уравнений движения механических систем - канонические уравнения Гамильтона. В 1848 году М.В. Остроградский распространил принцип Гамильтона на случай систем с нестационарными голономными связями, после чего распространилось название принцип Гамильтона - Остроградского. Полученная система канонических уравнений содержит вдвое больше дифференциальных уравнений, чем у Лагранжа, но зато все они первого порядка, (у Лагранжа - второго).

Академик В.И. Арнольд следующим образом охарактеризовал возможности, открывшиеся после появления гамильтоновой механики: Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряда задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачи о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т.п.).

Подход Гамильтона оказался высоко эффективным во многих математических моделях физики. На этом плодотворном подходе основан, например, многотомный учебный курс «Теоретическая физика» Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица. Первоначально вариационный принцип Гамильтона был сформулирован для задач механики, но при некоторых естественных предположениях из него выводятся уравнения Максвелла электромагнитного поля. С появлением теории относительности оказалось, что этот принцип строго выполняется и в релятивистской динамике. Его эвристическая сила существенно помогла разработке квантовой механики, а при создании общей теории относительности Д. Гильберт успешно применил гамильтонов принцип для вывода уравнений гравитационного поля (1915).

Вариационное исчисление является одним из старейших и богатых содержанием и приложениями разделов математического анализа. Вариационные задачи (например, изопериметрические) рассматривались и в древности, но исследовались геометрическими методами. Началом зарождения вариационного исчисления можно считать работу Ферма 1662 г., в которой аналитическими методами исследована задача о распространении света из одной оптической среды в другую и о преломлении света на границе двух сред. Далее аналогичные (но более общие) вариационные задачи исследовались Ньютоном (задача о наименьшей поверхности вращения, 1685 г.), Д. Бернулли (задача о брахистохроне) и др.

Теоретико-групповая точка зрения Ф. Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия - учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Э. Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.

Основная задача дифференциальной геометрии состоит в нахождении и описании дифференциальных инвариантов геометрических структур. Необходимым аппаратом здесь является исчисление струй. Это понятие интенсивно использовалось в теории геометрических структур высшего порядка

в работах В.В. Вагнера, Г.Ф. Лаптева, Л.Е. Евтушика, М.О. Рахулы, а в последнее время в теории особенностей гладких отображений М. Голубицким, В. Гийеминым и геометрической теории нелинейных дифференциальных уравнений А.М. Виноградовым, В.В. Лычагиным. Представленная работа является продолжением работ авторов [9, 10, 13, 16-20].

Определения и постановка задачи. Введем обозначения для дифференциально-геометрических

структур, используемых в работе: Хт - гладкое многообразие размерности т; ТпХт - гладкое расслоенное пространство скоростей порядка п с базой расслоения Хт ; Ь: ТпХт ® ^ - невырожденная функция в точке е ТпХт [9].

Пусть Н(д, р): ^2тп - функция Гамильтона с 2тп независимыми переменными (д^2, Рд1) Л = 1, т, 11 = 1, п, ]2 = 1, т, 12 = 1, п ,

где

p = p = ( / p'1,..., p]n) = ( p1 Pi2-РГ, À Pï-pmpipm ) = ( pj1) j1 = 1, m 11 = 1, n ;

q = q = (q12,q22,...,q]n2) = (q^2..^, q2q|...qm,...,qi,...,qr) = (q/22) /2 = 1,г l2 = 1, n .

n-1 г . . г , эн(q, p)

Далее, L(p,q) = -H(p,q) + S S pJ/qj/+1 + S pi--'— _ функция Лагранжа, двойственная

k=1 /=1 /=1 dpi

к функции Гамильтона.

Определение 1. Система функций Рп = { p/ (п)} = {p/ п } ,

p/ (п) = pî ,„ = ï (-1)1 (эд х^/) ), /=0,i , i=1Г,

l=0 Э х

называется обобщенным импульсом ранга п для функции L : TpXm в локальных координатах (х)

• (p)

базы ХГ расслоения TpXm, где L(х,х,..., х ) - локальная запись функции L при выборе локальных координат (х) в базе ХГ расслоения TpXm.

Функция plki - /-я компонента обобщенного импульса Рп ранга п по г-й координате или импульс порядка / (/-импульс) по г-й координате обобщенного импульса Рп ранга п .

Постановка задачи. Исследуем свойства функции Гамильтона H (q, p) : Â2mi 2гп независимых переменных (q.,2,p.1) /1 = 1,г, 11 = 1,п, /2 = 1,г, 12 = 1,п и функции Лагранжа, двойственной

п-1 г . . г . эн(q, p)

к функции Гамильтона L(q, p) = -H(q, p) + S S p/q/+1 + S pi--'—, а также связи между этими

/=1 /=1 /=1

функциями H (q, p): Â2mi , L( p, q). Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть х = Si (х1,х2,...,хГ), здесь S :(х) ® (х) - гладкое невырожденное преобразование координат в базе гладкого многообразия ХГ расслоения скоростей порядка TpXr, p > max(s, l), i = 1, г , тогда

_ _ Г Эу-i(х)(/)/ _ • (/-1)

D/х (х) = х(/)г (х) = ï ^^ х + f(x, х,..., х ) / > 1, (1)

/=1 Э х

_ • (/-1) _ • (/-1) (s) (s)1 (s)m

где f (х,х,..., х ) - некоторая гладкая функция, аргументы которой х,х,..., х , х = ( х ,..., х ),

(s)/ _. _

х = Dstx , s = 0, /-1 .

Доказательство проведем методом математической индукции. База индукции к = 1, тогда

1 • - т- - т ЭХ' (г)*-1--7' т ЭХ (х) дУ (г) = х(1)' (х) = X г = X ^^ г

7=1 Э X

7=1 Э X

Доказано.

Рассмотрим утверждение теоремы 1 для к = 2

Д2хг'(х) = х(2)''(X) = о}(X ) = XX + Д X = XX^Xj

Ь т Эхг'(X) т Эхг' (х). -7 Эхг'(х) ^ -7 т т Э2X(X) - -7

X X +

7=1 Э X

7=1 Э X

Э х

I=17=1 Э х Э х

Эхг ( х) -7 т Эх1 ( х) -7

Э2 хг' (х)- -7

+ X —х = X —3х- х + /(х, х), /( х, х) = XX -I -■ х х . Доказано для к = 2 .

7=1 Э X

7=1 Э X

I=17=1 Э х Э х

Индуктивный переход.

- _ т эх'(Г)(к)7 - • (к-1)

Пусть Дкх'(х) = х(к)'(х) = X + /(х,х,..., х ). Тогда

7=1 Э х

Дк+У (х) = дУк)г'(Х) = Д(X + /(X,X,..., Х )) = X ДX ) + Д (/(X,X,..., Х )) =

Эг' (х)к 7

(к -1)

Эг' (х)к 7

(к -1)

7=1 Э х

7=1 Эх

= X А (^М +ЭХ7У Д (~х) + Д (/(X, Х,...,(?)).

(2)

7=1 Эх

Э х

тг „ ,Эгг'(XX т Э Эх'' (XX - т Э2х'(X) - \ (к +1-1 ^

Поскольку Д(———) = ^^т(—з^) х = X _, _ • х и О,( х ) = х , то сумма (2) равна

Э х м Э х Э х

(к) 7

/=1 Э х Э х

Эх' ( 7 Эх' ( х)

(к) 7

(к-1)

X О(-7) х +~7 Д( х ) + Д(/(Х,Х,..., Х )) =

7=1 Эх

Э х

(к -1)

т т Э2X(Х)^(к)7,Эх''(Х)(к+1У7, к-1 т Э/(X,X,..., X)

= X Xх)

7=1 1=1 Э х Э х

х + -

Э х

+XX:

5=0 7=1

ф 7 Э х

(5 +1) 7 х =

т Эх1 (X) (к +1У7 - •

= X + / (X, X,..., X ),0 +1 < 5 +1 < к -1 +1 = к.

7=1 Эх

(3)

т ЭХ' (Х)(к 7 - •

В формуле (3) сгруппируем члены X —г- х +/(х, х,..., х ), 0 +1 < 5 +1 < к -1 +1 = к, где

7=1 Э х

- - • (к-1) • (к) т т Э2X*(х) (к-}7 к-1 т Э/(X,X,..., х) 7

X,..., X У = X ^ -7 ху X + XX-—- X

7=1 ы Э х Э х Теорема 1 доказана.

5=0 7=1

(?) 7 Э х

Теорема 2. Пусть х' = (х1,Х2,..., Хт), S :(х) ® (х) - гладкое невырожденное преобразование

координат в базе гладкого многообразия Хт расслоения скоростей порядка ТрХт, р > шах(5, I), ' = 1, т, тогда

_ • (к) Эх(кУ'(X,X,..., X )

(р)7 Э х

гр _ Дк-р ск Д

0, к < р.

' Эх' (х) V Эх )

к! к ср =-к.-, к! = ^7 к > р

, к р !• (к - р)Г ^ •7, р

тт

т

т

Доказательство. При к < р по Теореме 1 имеем

(к) _ т м (Х)(к)1 _ • (к—1)

х(к)1 (X,X,..., X ) = х(к)(х) = У~(^ X + /(X,X,..., X ) к > 1, поэтому

1=1 д X

_ • (к) _

д/к)1 (X, X,..., X ) д т дxг' (X)(k)l .._ • (к-\ п - , '. -" = (У-Г^ X + /(X, X,..., X )) = 0.

(Р) ] (Р) ] Н

- - 1=1 д X

д X д X

При к > р доказательство проведем методом математической индукции. База индукции к = р .

_ • (к) _

т Т , дx(k(X,X,..., X) д т дxi(x)(k-)/ _ • (к-1)

Тогда по Теореме 1 имеем -—--= . (у—X + /(X,X,..., X )) =

(р)] (р)] , л 1 _ - 1=1 д X

д X д X

_ (к)1 _ • (к-1) _ _

™ дxг(X) д X, д/(X,X,..., X ) т дxlдxl(X) I1,] =1 ТГ

= (У^^к] + (к)д ) = У"^] = ^Т, 8] = 10 . * ."символ Кронекера.

к=1 д X Л - - к=1 д X д X 10, ] * I

д X д X

База индукции доказана.

Индуктивный переход: пусть утверждение теоремы 2 справедливо при к > р .

. _ • (к) . _ • (к) (к+1)г , т к дТ

Введем функции Е[ (X, X,..., X ) = x(k )г (X, X,..., X ), X = (x(k)г) = В1¥1к = ¿У—тку X , тогда

1=1 5=0,-

д X

• (1)

дx(k+1)!'(X,X,..., X) = д у ¿у (5-)/) = ¿у ¿у д2¥{ (5+1}/ дx(5+1>7) =

(р)] (р)](уУ У x ) У ( (р)] X + («)* (р)] )

_ _ I=15=0 _ I=15=0

д X д X д X д X д X д X д X

т к д2¥{ {5+)\ дТк' 1 т к , д2Тк' ^ дТк'

=у У^]^ x)+^1§р+1§]=у УЬ^ x)• (4)

I =15=0 _ _ _ I=15=0 _ _ _

д X д X д X д X д X д X

.-- (к) . . _ ^ дx(k)!(X,X,..., X) дТк „„„к_„,дx!(X). _

По предположению индукции-——-= ( ). = СрОк р (—). Значит, сумма (4) равна

( р) ] ( р) ] —ч ]

-1 " -1 " д X

д X д X

т к ~\2 г ! (5+1)1 -477! т к I . (5)1

¿У¿Уx) =ср(¿Ур(^А^+СР~1вк—(^Ч^)=

1=!5=0 д X д X д X 1=!5=0 д X д x д x

тк—Р д 1 дх' (X) _- (к—Р) 1 1 г л\ дх' (X)

= Скр(У У-д)7(Дк"Р(X,..., X ))Д X ) + СРк~1ок~(p-1)(д^(X)). (5)

1=15=0 Л - д X д X

д X

Известно, что

СкР + СкР-1 = ^^^ +-к--= (1 + ) = (к + 1)! = скР+1. (6)

к к р!(к - р)! (р-1)!(к - (р -1))! р!(к - р)Г к - р +1 р !(к - р +1)! к+1

Тогда

г. дxг' (X) _ • (к -р) тк - р д , дx'' (X) _ • (к -р)

^к-р(д^(X))(x,X,..., X ) = у У^Фк^(^^иX,..., X ))Д( X ).

д X I=15=0 Л - д X

д X

Учитывая формулы (6) и (7), получим выражение для суммы (5):

т к - р Э , Эх' (Х) - • (к -р) (-)1 1 п ЭХ' (Х)

Скр(XX ^^(Др(Э^(Х))(х,X,..., х ))Д х ) + Скр-1Огк^(^у

/ =1 5=0 л -

Э х

Э х

к О

Э х

: сро{ Д- р (Эх^Х)))+Ср-1оКр-1) (Эх^Х)) = (ср + Ср-1 )ДК+1-р (Эх^Х)) = ср+1оК+1-р (Эх^Х)).

Э х

Э х

Э х

Э х

Теорема 2 доказана.

Пусть Я (д, р) - функция Гамильтона зависит от 2тп независимых переменных (д^7,2, р^1), 71 = 1, т, 11 = 1, п, 72 = 1, т, 12 = 1, п, при этом нижние индексы меняются от 1 до п, верхние индексы меняются от 1 до т

р = р = (р/1, р^1,..., рп^1) = (р} р12... рГ, р2 р22... р2т,..., рП,..., рГ) = (р£), 71 = 1Г, 11 = Ш; д = д = (д/2, д22,..., дП2) = ^д^.-дГ, д2дг...дГ,..., дП,..., дг ) = (д/22), 72 =1 т, 12 =1 п.

Теорема 3. Пусть 5, к = 1, п, 7 = 1, т. Тогда

1)

Эд7

к +1

Эд5

(1 -§1)57 5 = 1, к = 1,п, г,7 = 1,т (1 -§1)57 5к+1, 2 < 5 < п, к = Щ,г,7 = 1,т

= 5) 5к+1 (1 - §1), 5, к = 1, п, г, 7 = 1, т;

(8)

2)

Н = М = 0, 5, к = й, /, 7 = ^; Эд5 Эд5

(9)

3)

М = 57 5К, Эр5 ' 5

(10)

а [1, а = Р

где 5р = <! - символ Кронекера.

[0, а^Р

Доказательство. Прибавим 1 к обеим частям двойного неравенства 1 < к < п -1 ^ 2 < к +1 < п, 1 < 5 < п , поэтому при 5 = 1

7 = 0 = 1 -1 = 1 - 51 = (1 - 51) 57 5К+1,7 = 1, г

Эд5

1 [1, 5 = 1 [1,5 = 1 где 55 = <! = <! - символ Кронекера. 10,5 Ф 1 10,5 > 2

То есть при 5 =1 проверена справедливость формулы (7),

где 57 = •

[1,' = 7 0,' Ф 7

ок+1 , 5к =

[1,5 = к +1 Ь, 5 Ф к +1

- символ Кронекера.

Эдк+1 [1,('' = 7) а (5 = к +1) . 1 _

При 2 < 5 < п -Щ- = \ = 57 5к+1 = 57 5К+1 (1 - 51,), ', 7 = 1, т или

Эд5 [0,(1 Ф 7) V (5 Ф к +1) 7 7

Эд7

к+1

Эд5

(1 - 51 )5г7 5к+1, 5 = 1, к = 1, п, г, 7 = 1, т (1 -51 )5'75к+1,2 < 5 < п, к = Щ г,7 = 1,г

= 57 5К+1 (1 - 51), 5, к = 1, п, г, 7 = 1, т.

Вторая и третья части теоремы очевидны: ЭрК Эр]„ „ , -— . . :—

—^ = = 0, 5, к = 1, п, г, 7 = 1, т, так как переменные р, д независимы;

Эд5 Эд5

Эрк [1,(1 = 7) а (к = 5) 575к

—^ = < = 57 5Х, условие во второй строке очевидно является отрицанием усло-Эр5 [0,(г Ф 7) V (к Ф 5)

вия в первой: (г = 7) а (к = 5) = (г = 7) V (к = 5) = (г Ф 7) V (к Ф 5). Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть (д, р) - 2тп независимых переменных (д-7,2, р^1) 71 = 1, т, 11 = 1, п, 72 = 1, т, 12 = 1, п. Тогда при 5 = 1, п, г', 7 = 1, г и произвольных рк е ^ выполнено соотношение

п—1 т п—1 т

X X (рк(1 -51)57 5К+1 = (1-51)X X рК 57 5,к+1 = р5-1(1 ) = р^1(1 -51 )(1 -51,), (11) к=17=1 к=17=1

1 [1, 5 = 1 [1,5 = 1 где 55 = <! = <! - символ Кронекера; [0,5 Ф 1 [0, 5 > 2

, [1,' = 7

57 = <! - символ Кронекера; [0,' Ф 7

1 [1,5 = к +1 5^ + = <! - символ Кронекера.

[0, 5 Ф к +1

Доказательство. Так как (1 - 51) не зависит от индексов суммирования к, 7 , то

п-1 т п-1 т

X X (рК(1 -51)57- 5К+1 = (1 -51)X X р{ 57 5к+1. к=1 7=1 к=1 7=1

п-1 т

При 5 = 1 (1-51) = 1 -1 = 0 ^ (1-51) XX рК 57 5^+1 = 0 р'-1(1 -51) = р'_1 • 0 = 0 и утверждение

к=1 7=1

теоремы 4 выполнено.

При п > 5 > 2 ^ 5-1 > 1 5^ = 0,1 -5! = 1 -0 = 1 ^ 1(1 -51) = р!_ 1 - правая часть;

■■, л I р¡=1 1 = -1, (7 = ') а (к +1 = 5) ,

р{ 57 5К+1 = Г^-1 ^ 7 ^ (1 -51) ри = (1 - 0) ри = р1 -1 - левая часть

[0, (7 Ф ') V (к +1 Ф 5)

утверждения.

При п = 1 ^ 5 = 1 (5 = 1, п) ^ 5\ = 51 = 1, поэтому

р1 -1 (1 - 55 )(1 - 5п) = р*-1(1 - 51 )(1 - 51) = 0 = р-1 (1 - 51).

При п > 1 ^ 5п = 0 ^ (1 - 5п) = (1 - 0) = 1 ^ р1-1 (1 - 51) = р5-1 (1 - 5^ )(1 - 5п). Формула (11) проверена. Теорема 4 доказана.

п-1 т т

Рассмотрим функцию Ь( р, д) = -Я(р, д) + XX р^м + X рI' ЭЯ(g, р)

к=1 7=1 7=1 Эр

п-1 т ■ ■ т дН (д, р)

Теорема 5. Пусть Ь( р, д) = -Н (р, д) + У У р]дк+1 + У Рп--,—, тогда имеют место следу-

к=1 ]=1 ]=1 дРп.

ющие равенства

2

дЬ(g,р) дН(g,р) + ; п окп о1. + т ; д Н

1. ——— =--—— + Р5_1(1 -0п)(1 -Й5) + У р] , (12)

дд5 дд5 ]=1 дР] дд5

др5 др5 ' ' '1 ' 'дР1п ]=!" 'дР] др5

дЬ(g, Р) дН^ Р) + п о1 хП I' + 05 дН + т „] д Н п сп

- -+(1 -0п)(1 -0„ )д5+1 + °п——+ У р]———, (13)

а |1, а = Р

где оп = <! - символ Кронекера.

[0, а * р

^ дЬ(д, р) дН(д, р) п-1 т № ] ] дд]+ь т -р1 дН(д, р) . д2Н

Доказательство: —(др = —+ У У (-кд]+1 + рк -к±1) + У ^—Т]1+Р ] ——

дд5 дд5 к=1 ]=1 дд5 дд5 ]=1 дд5 др] др] дд5

дР] дрп

По теореме 3, —= —п = 0, так как переменные р, д независимы, перепишем равенства:

дд5 дд5

дд]

к+1

дд

5

(1 -б!)§]§к+1, 5 = 1, к = 1,п, !,] = 1,т _ _

_ _= б] бк+1 (1 -§1), 5,к = 1,п, !,] = 1,т ,

(1 -§1 )б]§к+1, 2 < 5 < п, к = 1,п, !,] = 1,т

дЬ(д, р) дН(д, р) п-1 т Эр] ] ] дд]+1 т др;] дН(д, р) . д2Н

поэтому —= —+ У У (-кд]+1 + Рк -т1)+У ип Р + р] ттт7).

дд5 дд5 к=1 ]=1 дд5 дд5 ]=1 дд5 -РП -РП дд5

И^р) ^^ + (1 -§, )У У (] + р]] + У (ма. + рп ) =

дд5 дд5 к=1 ]=1 дд5 дд5 ]=1 дд5 дрп дрп дд5

+'1 -§п >Е У (Н ^)+У ( р1 ^г)=

дд5 к=1 ]=1 дд5 ]=1 дРп дд5

= дНдр)_ + (1 -оп)у У(р](1 -§1)о]§к+1) + Утрп. д'Н =

дд5 к=1 ]=1 ]=1 дРп. дд;

- Нд^+(1 - оп Х1 - §5) у1 У р.] §] §к+1+У р]-дН

дд5 к=1 ]=1 ]=1 .рп. дд5

дН(д, р) ^ К I т . д2Н

- (д Р)-+(1 -оп)(1 -§5)р5-1 + У р]

дд5 ]=1 дрп. дд,

п—1 т п—1 т

По теореме 4, У У (р] (1 - о^) о] о.+1 = (1 - о^) У У р] о] о.+1 = р5-1 (1 - о^ ), поэтому к=1 ]=1 к=1 ]=1

п-1 т т Т\2ы т ~\2 1

+(1-бп Х1-б15 )У о] о5+1+1р1]Г-НИ+р5 -1(1 -оп )(1 -515)+тр..!

Щ5 к=1 ]=1 ]=1 др] дд5 Щ5 ]=1 дРп дд5

Формула (12) проверена. Первая часть теоремы 5 доказана.

-1 т т -1 т т

Ь( р, д) = -Н(р, д) +51 т ркдк+1 + £ р] • = -Н(р, д) + (1 - 8^) 511 Р*] + ^ Р. д-дН].

к=1.=1 .=1 .рп. к=1 ]=1 .=1 .РП.

=- +(1 - оп т (]]+1+р. +т (м +рп

дР5 дР5 к=1 ]=1 Р5 Р5 ]=1 Р5 дРп дРп дР5

2

dp j 11 (s = k)л (i = j)k = 1 n> ''j = 1m dq7 Так как = ] _ _= S-jdk и = 0, то

Ы |o, (s Ф k) v (i * j), s, k = 1, n, i, j = 1, m dpi

.¿mil+(1 _sn m (j+1+pj j+m (м +pn -j-)=

dps k=1 j=1 ¿Ps dps j=1 dps Эр;5 Эр;5 dps

_HLP>+<1 -sn >g m j qk+,)+£ j ^^+pn j-)=

psi k=1 j =1 j=1 pnj pnj psi

dH(qp) + n S1V1 Ss^j + sn эя^ + £ j d Я

= —r—+(1 -sn)(1 -sn )q;+1+Ss —i— + L pnTji

dps dpn j=1 dpndps

s

Формула (13) проверена. Теорема 5 доказана.

• (k)

Теорема 6. Пусть f (x,x,..., x) - локальная запись гладкой функции f : TnXm в локальных координатах в базе Xm расслоения TnXm . Тогда

• (k)

• W m df (x,x,..., x ) (k+p)j . • (k+ p-1\ ^ Dp f(x, x,..., x ) = L—kj- ' x + a(x, x,..., x ), p > 1.

j=1 d x

Доказательство проведем по индукции по индексу p. База индукции p = 1.

• (k)

rJ„ • (k\ г, ,, • (k\ df (x,x,..., x) (s+1) j

D f (x,x,..., x ) = Dtf (x,x,..., x) = L L d (s)j-x(s+1Jj =

s=0 j =1 dx

• (k) • (k) = k— m df (x,x,..., x ) (s+1)j + m df (x,x,..., x ) (k+1)j

= st0j=1 dx(D j x +j=1 dx(k) j x .

• (k) • (k)

,-r , , , df(x,x,..., x) (s+n j df(x,x,..., x) fs+i) j При s < k -s +1 < k, поэтому —-—-, x( 1J и произведение —-—-x( 1J за-

dx(s)j dx(s)j

висят от производных порядка не выше k, значит и вся сумма

• (k)

• (k+1-1) • (k) k-1 m df (x x x ) , . a( x, x,..., x ) = a( x, x,..., x ) =LLf^.-11x(s+1j

s=0 j =1 dx(s) j

также зависит от производных порядка не выше k . Значит,

• (k) • (k) • (k) D f (xx (x)) = Y Y df(x,x,..., x)x(s+1)j + у df(x,x,..., x ) x(k+1)j = a(xx (x\ + m df(x,x^ x ) x(k+1)j

D1f (X,X,..., x ) = s=0 j=1 dx(s)j x +j=1 dx(k)j x = a(X,X,..., x ) + £ dx(k)j x .

База индукции проверена.

Индуктивный переход: пусть утверждение верно для p, то есть

• (k)

• (k) m df (x,x,..., x ) (k+p)j . • (k+p-1>, Df f (x,x,..., x ) = L-(kv--x + a(x,x,..., x ).

(k) j

j=1 d x

Докажем, что оно верно для p +1, то есть имеет место равенство:

• (k) • (k)

„p+i • (к\ m df (x,x,..., x ) (k+p+1)j - • (k+p+1-1\ m df (x,x,..., x ) (k+p+1) j - • (k+p) Dj f (x,x,..., x ) = L-kj--x + a(x,x,..., x ) =L-(^j--x + a(x,x,..., x ).

j=1 d JCj k^1 d JCj

По предположению индукции имеем

• (к)

+ • (]) • (]) т д/(xx x ) (] + р)] • (]+р-1)

/(X,X,..., X ) = Д (Др /(X,X,..., X)) = Д (У 3 ( , —)• X + а(X,X,..., X )) =

]=1 д X:] • (к) • (к) т д/(X, X,..., X ) (к+Р)] д/(X, X,..., X ) <к+Р)], ^ , • (к+р-

= (У А"-^--X -—-Д( X )) + Да( x, x,..., X ) =

] =1 д X д X

• (к) • (к) ™ д/(X,X,..., X ) (к+Р)] т д/(X,X,..., X ) (к+Р+1), • (к+Р-1\

= У Д/-тгт^--X + У --т—--X + X,..., X ).

^ / (к) ] ^ (к) ] /

] =1 д X ]=1 д X

• (к) ™ д/(X,X,..., X ) (к+р)]

Максимальный порядок производных в каждом члене суммы У -——--X равен

. ., \к/] ] = д X

тах(к +1, к + р) = к + р , так как р > 1. По доказанному утверждению при р = 1 максимальный порядок

• (к)

_ д/(X, X,..., X ) , 1 п • (к+р-1

производных в -т.- равен к +1, а максимальный порядок производных в Д/а(X,X,..., X

д X

• (к)

_ • (]+р) т д/(Xх..., x ) (]+р)] • (]+ р-1)

равен к+ р-1 +1 = к+ р. Значит, а(%,X,..., X ) = УД/-' к"'.'--X + X,..., X ) зави-

]=1 д X

сит от производных порядка не выше к + р . Следовательно получим

• (к) • (к) ™ д/(X,X,..., X ) (к+Р)] т д/(X,X,..., X ) (к+Р+1), • (к+Р-1\

У --—--X +У --т—--X + а(X,X,..., X ) =

^ / (к) ] ^ (к) ] /

J = Э X j=1 Э

х

• (к)

m Э/(х, х,..., х ) (к+р+1)J - • (к+р\

= > ------х + a(х,х,..., х ).

^ (к) j J=1 Э х

Теорема 6 доказана.

Теорема 7 (линейность обобщенного импульса по старшим производным). Пусть Pn = { р'к (и)} = {р'к n} -

импульс ранга и для функции L: TpXm ® ^ в локальных координатах (х) базы Xm расслоения TpXm. Обозначим b(n, р, к) - максимальный порядок скорости в аргументах обобщенного импульса; b(n, р, к) = max(2 min( р, и) - к, р), max v = 2 min(n, р) - к , min v = min(n, p)

• b(n p к) n-/t (p}

рк(n)=рк,n(х,х,..., T )=I: (-i)'ö/(Эд)),

'=° Э V

где k = 0, min v -1, i = 1, m - компоненты импульса ранга n. Тогда

2 ( р ) -

• m Э2L(г г) ^ \ • • (maxv-1) — рк(n) = I Э .Мх,."; хх(maxv)j + (х,х,..., х ), i = 1,m. (14)

j=1 Эх(ШШ v) J Э^^п v)i 6iV

Доказательство. По теореме 6 максимальная степень координат по t, которые войдут в произ-

(р)

1 dL(х,..., х ).

водную Dt (-1+к —) по порядкам скоростей при выполнении дифференцирования, равна

Эх

max(1 + к +1 = 21 + к) = max(21 + к) при условии, что 1 < n - к, 1 + к < р ^ 1 < р - к ^ 1 < n - к, 1 < р - к « 1 < min(n - к, р - к) = min(n, р) - к, max (21 + к) = 2(min(n, р) - к) + к = 2min(n, р) - к = max v.

/<min(n, р)-к

Значит, значение наибольшего порядка скорости, которое войдет в выражение

ь (Р)

1 I ЭL(х х )

У (-1) Д (-Ц-^.—), равно max(p, max (2I + k)) = max(p,2min(n, p) - k)) = b(n, p, k).

.,(I+k>l I<min(n,p)-k

1=0 Э x

При условии max v = 2 min(n, p) - k > p выражение (14) будет линейно по скоростям старшего порядка.

Теорема 7 доказана.

Замечание. Ясно, что maxv = 2min(n, p)-k > min v = min(n, p) при k < min(n, p) и max v = 2min(n, p) - k > min v = min(n, p) при k < min(n, p)).

Условие k < n следует из определения импульса ранга n, а при k > p компоненты импульса

• b(n, p,k) n-k ЭL(X,...,<X'))

pk ,n (x, x,..., x ) = У(-1)1 ( v'+kv 7)°о (тривиальны), поэтому условие k < n, k < p « k < min(n, p)

1=0 Э x

определяет нетривиальные компоненты импульса ранга n.

Теорема 8. При p = n maxv = 2min(n,p) -k = 2min(n,n) -k = 2n-k , minv = min(n, p) = min(n,n) = n, b(n, p = n, k) = max(2 min( p = n, n) - k, p) = max(2 min(n, n) - k, n) = max(2n - k, n) = 2n - k, так как

• m Э2L(x,...,(x})(2n-k)j • (2n-k-1) _

k < min(n, p) = min(n, n) = n , pk (n) = >> —(--г—(-r^ x + gl (x, x,..., x ), l = 1, от при 0 < k < n-1

j=1 Эx(") j Эx(")l

2n - k > n +1 > n и выражение

• от Э2L(x (x}) (2n-k)j • (2""k-1) _

pk(n)x + g(x,x,..., x ),l=1 от (15)

(2n-k) j

линейно зависят от скоростей старшего порядка x . Формула (15) доказана. Теорема 8 доказана.

Э2 l( хп) • •• (и)

Теорема 9. Пусть det(—, '.) ф 0 в точке n'in~kX^n~k = Xn = (x0, xo, x о,..., x0),

Эx(n)j Эx(n)l n 0 0

• •• (2n-k)

X0n~k = (x0,x0, x0,..., x0 ), 0 < k < n-1, p;n"k :T2n~kXm ®TnXm - каноническая проекция. Тогда существует окрестность U (X0n-k) точки X2n-k, такая что в ее окрестности выполнены условия:

п л^гЭА(n)(X2n k \ Фп yn p2n-k (v2n-kv

1) det(-^—) =det( ^xjw^ ф 0 X =p" (X h (16)

Э x

« «л • л, м • • (2n-k-1) .

2) x(2n-k)j = x(2n-k) j (x, x,..., x , pk (n)). (17) Доказательство:

Эpk(n) Э - Э2L(x,Jx)i2n-k)s , • (2n-k-1) ' ,. . = ^-T-T ( > -—:--T^— x + g: (x, x,..., x )) =

(2n-k)j (2n-k)j vs=1 Эx(n)jЭ^п): l

Э x Э x

™ Э ,Э2 L( x,...,(xV2n-k)' Э t ( • (2n-k -1)

=Ih*^(ax(n)jax(n)l x )+^nn-m(gl(x,x,..., x )))=

Э x Э x

=т д (д2ьи...,?)/2"-^ т д2Ь(x,...,(X)) д ((2""к)5) т д ( ( • -1)))) =

= 5=1 <2И-к)] ( дx(n)]-X-n)' ) X + 5=1 Эx(n)sдx(n)п' (2«-к)] ( X ) + 5=1 (2«-])] (111(*X,..., X ))) = д X д X д X

(п) (2п-к)5 (п) (п)

= у д (д2Ь(x,..., X ))( )= т д2Ь(X,..., X) о5 =д2Ь(X,..., X)

= 5=1 (2п-к)- ( дx<n)]дx<n-п' ) X = 5=1 д^5дx<n-п' ] = дx<n)]дx<n-п'

д X

5 |1, 5 = ] где о. = <! - символ Кронекера.

[0 , 5 * ]

Так как при 0 < к < п -1 ^ 2п - к > п +1 > п , следовательно,

(п) (п) (2п-к)5

д ,д2Ь(X,..., X). . т д ,д2Ь(X,..., X V ) п

( с пп ) °0 ^У^ с (п); ) x = 0.

(2п-к) ] дx<n)j дx<n)г' 5=1 (2п-к) ] дx<n)j дx<n)

д X д X

д • ^п-к-1)

Поскольку 2п - к > 2п - к-1 при любых целых п и к, следовательно —-—— (g¿ (X, X,..., X )) = 0.

(2п к).

д X

Первое равенство в формуле (16) доказано, первая часть теоремы 9 доказана. В силу условий первой части теоремы 9 (формула (16) имеем

ае^)(Xо"-к) = ае«^^) = ^д2(5-к))) * 0, (2п-к)] 0 дx<n)гдx<n)j дx<n)гдx<n)j

д X

то из гладкости функций я""-к : Т2n—kXm ®ТпХт , Ь: ТпХт ® ^ и гладкости композиции

О 7 О 7 О 7 О 7

Ьояпп- : Т п- Хт следует, что существует окрестность и(Xц"- ), точки Xц"- , такая что

д2 ь(p2n—к ( X 2п-к — • •• <2n—к)

ае1(д Ь(К",. ())) * 0 "X 2п-к е и (X02n—к), X 2п-к = (X, X, X,..., X ), по теореме о неявной дx<n)гдx<n)г 0

функции в окрестности и(X^n—k) точки X^n—k x<2n—k)] = x<2n—к)](X,X,.../ X ^ р](п)). Формула (17) и теорема 9 доказана.

Замечание. В теореме 8 условие 0 < к < п -1 было существенно, так как из неравенства 0 < к < п -1 ^ 2п - к > и +1 > п следует равенство 0:

(п) (п) (2п-к)5

д (д2Ь(X,..., X )) ° 0 , т д (д2Ь(X,..., X ))( )= 0

(2п-к)]( дx<n)]дx<n-п' ) 5=1 (2п-к)]( дx<n)]дx<n-п' ) X .

д X д X

Для к = п этого утверждать уже нельзя. Но тем не менее, аналогичное утверждение справедливо и для к = п .

Теорема 10. Пусть Н :^2тп - функция 2тп независимых переменных (дт-2, Р/.1) ]1 = 1, т,

д2

—Н(д, р)) * о, п, - = 1, т в окрестности и (дц, рц) точки (дц, рц).

11 = 1, п, ]2 = 1, т, 12 = 1, п и выполняется условие

>2 Н (д,

-р"дРп Тогда

п п дН (д, р) . :— „

1) замена переменных рп ® X4 ' =-. , г = 1, т является невырожденной в окрестности точ-

п дрпп

ки (д0, р0 ) и справедливо

Эх(п)г' _ Э2Я(д, р)

(18)

эр1 эр1эр1П

2) локально существует обратная замена

р'п = р'п (gl, д2,..., дп, Pl, P2,..., рп-ь х(п)); (19)

3) имеет место формула свертки

Г Э2я^ = 57 = I1, г 7 - символ Кронекера. (20)

ЭрпЭрп Эхп7 7 [0,' Ф 7

(п)г ЭЯ(д, р) Эх(п)г' Э .ЭЯ(д, р), Э2Я(д, р) Доказательство. х(п)' = —^-- = —Г (—) =-

Эрп Эр]п Эр]п Эр'п ^р^рп

Выражение (18) проверено.

Так как а* ) ф 0 , то по теореме об обратной функции существует обратная замена

эр7 Эр'п

р'п = р'п (д1, д2,..., дп, Р1, Р2,..., Рп -1, х(п)), (21)

и значит, первые 2 части утверждения доказаны. Продифференцируем соотношения

^(г) (gl,..., дп, р^..^ рп-1, рп (дь дх.д, p1, P2,..., рп-1, х(п) )у ° ^(г) , ', 7 =1, т.

Эх(п)г' _ Э2Я(д, р). Эхп(г) _ п _ — , Эр5

Учитывая, что -— =-;——;-— = 0 5 = 1,п ;—= 0 5 = 1,п-1,

Эр'п Эрп Эр'п Эд1 x](j>

Эхп(г'у =5г = п Г-х^+ у уЭх!^^+уЭх!^_ЭрП_

хп(7 = 7 = Эд5 хп(7) + ¿1 ¿1 Эр5 хп(7У + ¿1 Эр'п хп(7)

= у -хпО = у Э2Я(д, р) Эр! ¿1 Эр'п хп7) ¿1 Эр'Эр^ хп(7) ' Что доказывает формулу (20) и теорему 10.

Теорема 11. Пусть Я(д, р) - функция Я тп 2тп независимых переменных (д^ , р/ ) 71 = 1, т, 11 = 1, п, 72 = 1, т, 12 = 1, п . И пусть функция Гамильтона в уравнении связи

п 1 Г 7 7 т 7 ЭЯ(д р) Э2Я(д р) _

L(р,д) = -Я(р,д) +X XPJ/gJ/+1 + X р]п--7— невырождена -.. ) Ф 0, г',7 = 1,т , где

к=17=1 7=1 эрп эРП эРП

и(д0, р0) - окрестность точки (д0, р0).

Тогда справедливы следующие результаты:

1) формула замена переменных - это переход от

рп ® х(п)' = Ядр, г' = /Г, (22)

Эр'п

является невырожденным в окрестности точки (д0, р0);

2) локально существует обратная замена

р'п = рп ^ д2,..., дп, Pl, P2,..., рп-1, х(п) у; (23)

3) эln)dL(gl, д%-Яп, Pl, P2,..., р^ рп (дь д%...Яп, Pl, P2,..., рп-1, х(п)))=р'п. (24)

Доказательство. По теореме 10, первые 2 части теоремы 11 доказаны:

(„),• _эн (q, p) ^ -jl(дн (q, p)) -э2 н (q, p) x _ . ^ . _ ( ) _

dpin

Ы М dpln

dp}n dpln

Так как det(^—H-j-qL-p-) * 0, благодаря теореме об обратной функции существует обратная замена

переменных р" = р"(gl,д2,...,дп,Рl,Р2,...,Рп-ьx<n)).

г ь(д1, д2,...дп, Рl, Р2,..., Рп-1, Рп (gl, д2,..., дп, Рl, Р2,..., Рп- ь x<n))) =

Эх(п)

(-H(qp)+Y YPnj + m pn.Hop.)_ Эх^ (H(qp) + ¿¿1Pkqk+1 +n-l^ Эр;п ) _

Э ^ Л n-1 m Э . n n Л m Э , n Hq, pX

"аХ(П7Н q p)+£j_1 ЭХ^(pkqk+i)+П?1 ЭХ^(pn "Upr) _

_ ЭН(q, p) Эдк ЭН(q, p) +

k£1 n_1 Эо/ Эх(п)П Эpk Эх(п)П

(25)

n-1 m, Э j j, Э . Э ЭН (q, p) Э ЭН (q, p)^

+Z Z (-mnp{ )qj+1 + p]k (-ш°п+1))+Z((wnv pn) —^+pi(-Н¥1-)). (26)

k_1 м Эх(п)п

Эх(п)п

n_1 Эх(п)п

^n

Эх(п)п эpij

э

э

Учтем тождества —-П-т _ 0; k _ 1, n; —(П— pk _ 0; k _ 1, n -1; ——г qk+1 _ 0, поэтому формулу (26) Эх(п)п Эх(п)п Эх(п)п

можно переписать в виде

nm ЭН (q, p) ^ ЭН (q, p) Jp^ + n-1 m pn) qn +

k=1jt1- aqk Эх^ - Эpí Эх^ + Эх^ pk )n +

n-1 m n< Э n Л m„ Э ЭН(q, p) Э ЭН(q,p)^

+Sg pk(Эх^^+1) +n_1(( ЭХ(n^pn) -^т+pn ( эХ^^Т )) _

_ZZ-

ЭН(q, p) Эpk + Э n ЭН(q, p) Э ЭН(q, p)

k_1 n_1 Эpk Эх(п)П n_1 Эх(п)П

7 +Z ((-n»pJn) -

ЭPn

+ pn (

Эх(п)п эpn

r^)).

(27)

С учетом теоремы 3

^k Эpk dk

ГТ-On _

Эх(п)п Эх(п)п

, k _ n k [1 k _ n Эх11'1 , On _ <! - символ Кронекера

10, k Ф n

0, k < n

(переменные q1, q2 qn, p1, p2,..., pn-1, х(п) независимы), тогда выражение (27) запишем в виде

(28)

ZZ-

ЭН(q, p)

Э

Г + Z((—^pJn) •

ЭН (q, p) Э ЭН (q, p)

k_1 n_1 Эpk Эх(п)п n_1 Эх(п)п

+ pn (

Эх(п)п эpn

)) _

ЭН(q, p) ^ Ok , m. Э n ЭН(q, p) + piV Э ЭН(q, p)

n )

_ Z Z -ЭН(q,5k + Z(( Э pn)

k=17t1 Эpk Эх^ n_1(( Эх(п)п pn)

+ pn (

Эх(п)п эpn'

)) _

ЭН(q, p) Эpn i m. Э n ЭН(q, p) + n Э ЭН(q, p)

+ pn (

_ у yJL± (q, p) uyn +y (( U ,)

n_1 Эpn Эх1 n_1(( Эх(п)п pn) Эд

Эх(п)п эpn

m

m

= у - Шд^ъ/ + Г ( э -Ядр) + у (^этдр)) =

•=1 Эрп Эх(п)г Эхп>1 У Эрп7 /=1 рп (Эх(п)г Эр7

= Г (- ЭЯдр) + . а/ + Г рп ) = у рп (*тдь£х (29)

/=1( Эрп7 Эх(п)г Эх(п)г Эр■ /=1^ (Эх(п)г Эр' У /=1^ (Эх(п)г Эр;/ ), ( У

так как Г (- ЭЯ(д, р) Эрп + ЭЯ(д, р) У = Г (- ЭЯ(д, р) + ЭЯ(д, р)у_Эр^ = 0 /=1 Эрп Эх^' Эх(п)г' Эр7 /=1 Эр7 Эрп Эх^' ' Преобразуем выражение (29), получим

Г рп = у рпп (п Г^^Я^^ + п Г^(30)

/=}рп (Эх(п)г Эрп ' /=}^ (/=1 п=1 Эр^Эд/ Эх(п)г ¿1П=1 Эрп Эр/ Эх(п)г У ( У

э п _ __э ' э ' [1,' = п

Зная, что —= 0, к = 1, п, г', I = 1, т и по формуле (27) —= —5пп, где 5п = [ - сим-

Эх(п)г Эх(п)г Эх(п)г [0,1Ф п

вол Кронекера, то выражение (30) можно преобразовать:

Гй(И^Н. + )=Гр/±Г:э2Я ЭрП =

7=1 " /=/П=/ Эр/М.Эх'»' йй Эр/Эр/ Эх'"" /=1 ый Эр/Эр/ Эх(п)'

= у р' у У^Я51 = у р'У^Я--%. (31)

/=1рп /=}П=} Эр/Эр/ Эх(п)г п /=/ п=1 Эр/Эр^ Эх(п)г ( У

т Э2Я(д, р) Эр5 ' [1, '' = 7

По пункту 3 теоремы 10, X-:—!---Г^ = 5/ = I - символ Кронекера, перепишем

5=1 Эр1пЭр°п Эх(п)7 7 [0, IФ /

формулу (31) следующим образом:

т т 2 Я рп т т

XPJ/X"iHl Л1' = X р/ 5/ = X р/ 5/ + р/=5/=г' = 0 + р£-1 = р'.

/=1 п=1 ар'арп Эх ' /=1 /=1,/Фг

Теорема 11 доказана. Теорема 12. Пусть

1) Я(д,р)- функция Я :^2m" 2тп независимых переменных (д'2,рп/1) /1 = 1,т, 11 = 1,п, /2 = 1, т, 12 = 1, п. Введем сокращенные обозначения

д = ^д2,...,-п,), р =(Pl, P2,...,рп), Рп-1 =(Pl,P2,..., рп-1), рп = рпдр-1,х(п));

2) —ф 0 , ', / = 1, т окрестности и (д0, р0) точки (д0, р0).

эр'эр/

Тогда

у Э2 Я (д, Рп-1, рп (д, Рп-1, х(п))) Э2 L(q, Рп -1, рп (д, Рп х(п))) = Эр^ Эx(")пЭx(")j

' [1,'' = 7

= 5/ = I - символ Кронекера (32)

7 [0, ' Ф 7

Э2 Я (д, Рп _ 1, рп (д, Рп _ 1, х( п))) Э2 L(g, Рп рп (д, Рп _ь х(п))) (матрицы-——-—- и-п 1 ,п —„ ' 1--взаимно-обратные);

Эр'пЭрп Эx(")пЭx(")j

2) Э2 Я (д, Рп -1, рп (д, Рп-1, х( п))) ф 0 ^ Э2 L(q, Рп-1, рп (д, Рп-1, х(п))) ф 0

2) -:-Ф 0 ^ -—-—:-Ф 0. (33)

р' р 5 х( )5 х( ) 7

Доказательство. По пункту 2 теоремы 10, р1п = р1п (д/, д2 дп, р/, р2,..., P"-l, х(п)) = р1п (д, Рп-1, х(п)). Значит, L(g, р) = L(g, Р^, рп(д, Рп-/, х(п))), Я(д, р) = Я(д, Р^, рп(д, Р^,х(п))).

По теореме 11 —Эг-^(д, Рг-/, рп (д, Р^/, х(п))) = рп, следовательно Эх(п)г

Рп-/, рп (д, Рп-/, Л) = Э2 L(g, Р»-1,р п ^-'Рг -1.х(п))) = Ш-/!. ^

х( ) 7 х( )' -1 -1 х( ) 7 х( )' х( ) 7

(п)

„ _ Эр!(х,..., х)

Равенство (34) - это аналог матрицы Якоби ——(—- - локальной записи импульсов п-го порядка по старшим скоростям порядка п для функции Лагранжа L: ТпХт ® ^, и оно может быть получено по-другому:

п к (п)

р/(п)(х,..., Вх ) = р/п = 5 (-1)4'к = 0Я' = /Г ^

п=0 -V

(п) (п)

^ I ( „ (2"-"\ (п\ Г1,1=0 п IЭL( х,..., х) _ ^ рп(п) = р/=п (])(x,..., х У = рп (])(x,..., х У = (-1) О (-——) = - -

(0+n)i (n)i

д x д x

. (n) 2

^ дрп _ д ( д дЦx,..., x )) _ д2L

дх(п)j дx(n)j дx(n)i <n)i д^п)

x

По третьему пункту теоремы 10, имеем

£ д2Я(î,Pn-1, pn(î,Pn-1,x(n))) дpn(î,Pn-1,x(n)) si f1, ' _ j

У- n 1 n n 1-- • n n\-- _ 8; _ i - символ Кронекера. (35)

дpnдpn д^j j [0, i * j

Подставим ^q^^ = ^L(q,"^x(n))) = Э2Щ,Pn(q p^ (прямое Эх(п)7 Эх(п)7Эх(п)* Эх(п)*Эх(п)7

следствие из выражения (34) в (35):

£д2 Я (î, p) • дpn

дpinдpn дx(n)j

от д2Я(î, Pn-1, pn (î, Pn-1, x(n))) д2L(î, Pn-1, pn (î, Pn-1, x(n))^ _ f1, f _ j

= _ и F^n-1^ JJ = 5j = j - символ Кронекера. (36)

S=1 ЭрпЭрп Эх(п)*Эх(п)7 7 [0, i * j

Вторая часть теоремы

Э2H(q, p) Э2H(q, Рп-i, рп(q, P.-1, х(п))) * 0 Û Э2L(q, Рп-i, pn(q, Рп-Ь х(п))) * 0

-:-=-:-* 0 Û -—-r—.-* 0

ЭрпЭрп Эр1пЭрп Эх(п>Эх(п>7

следует из равенства (36).

Теорема 12 доказана.

Заключение. В работе получены основные результаты:

1. Оператор к кратного дифференцирования расслоения скоростей по времени (старых координат, выраженных через новые) квазилинеен относительно к-го дифференцирования по времени новых координат и якобиану перехода (теорема 1).

2. Получена формула первой частной производной порядка к от расслоения скоростей в старых координатах по скоростям в новых координатах порядка р. Показано, что она пропорциональна производной по времени от якобиана перехода порядка к-р (теорема 2).

3. Выявлена связь частных производных первого порядка обобщенных координат по координатам и импульсов по обобщенным импульсам и с произвольными нижними и верхними индексами. Рассматриваемые производные можно выразить через функции дельта Кронекера (теорема 3).

4. Теорема 4 - формула свертки обобщенных импульсов в двойной сумме по верхнему и нижнему индексам.

5. В теореме 5 показано, что частные производные по обобщенным координатам с индексами (п',5) в функциях Гамильтона и Лагранжа пропорциональны с точностью до слагаемого по сопряженной координате (нижний индекс для производной по координате понижается на 1, для производной по импульсу нижний индекс - повышается на 1), а также с точностью до суммы со вторыми частными производными функции Гамильтона и умноженные на обобщенный импульс максимального порядка.

6. В теореме 6 доказано, что формула временной производной порядка р от гладкой функции с аргументом старшей скорости порядка к выражается квазилинейно через скорость максимального порядка к + р.

7. Теорема 7 - формула связи обобщенного импульса с индексами (г,к) со вторыми частными производными функции Лагранжа по скоростям минимального порядка, умноженными на скорость максимального порядка в расслоенном пространстве скоростей.

8. Теорема 8 - частный случай теоремы 7 (порядок временной производной равен рангу обобщенного импульса).

9. В теореме 9 показана эквивалентность частной временной производной порядка 2п - к от обобщенного импульса ркп (п) по координате расслоенного пространства скоростей и гессиана от функции Лагранжа по координатам расслоенного пространства с максимальным порядком п производных по времени (локально невырожденного). И в силу теоремы о неявной функции можно выразить координату расслоенного пространства скоростей с временной производной максимального порядка через обобщенный импульс.

10. В случае невырожденности гессиана от функции Гамильтона по импульсам (старшего порядка п) его можно выразить через частную производную скорости порядка п по обобщенным импульсам порядка п (максимален).

11. В случае локальной невырожденности гессиана от функции Гамильтона по импульсам старшего порядка п существует равенство частной производной первого порядка от Лагранжиана по скорости порядка п расслоенного пространства обобщенному импульсу того же порядка. Аналогично, скорость порядка п равна частной производной функции Гамильтона по обобщенному импульсу порядка п.

12. Матрица Гессе для функции Гамильтона по импульсу старшего порядка п и матрица Гессе от функции Лагранжа по скоростям порядка п являются взаимно обратными, то есть их свертка по индексу пространственной переменной равна символу Кронекера.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубровин, В. А. Современная геометрия. Методы и приложения / В. А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М. : УРСС, 1994.

2. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. - М. : Гостехиздат, 1956.

3. Погорелов, А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. - М. : Наука, 1974.

4. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М. : Наука, 1974.

5. Козлов, А. А. Об управлении показателями Ляпунова двумерных линейных систем с локально интегрируемыми коэффициентами / А. А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 10. -С. 1319-1335.

6. Козлов, А.А. Об управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / А.А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 621-627.

7. Козлов, А.А. О глобальном управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / А.А. Козлов // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. - 2006. - № 3. - С. 63-64.

8. Галеев, Э.М. Краткий курс теории экстремальных задач / Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. - М. : Изд-во МГУ, 1989. - 203 с.

9. Обобщение теоремы Гамильтона - Остроградского в расслоениях скоростей произвольного порядка / С.Г. Ехилевский [и др.] // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2016. - № 12. - С. 125-133.

10. Закон преобразования обобщенного импульса / С.Г. Ехилевский [и др.] // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 4. - С. 85-99.

11. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Серия «Проблемы геометрии»: ВИНИТИ. - 1979. - Т. 9. - С. 5-246.

12. Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых и дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов А.Т. Фоменко. - М. : Факториал, 1995.

13. Инварианты в расслоениях скоростей произвольного порядка / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов, С.В. Голубева // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2015. - № 12. - С. 117-123.

14. Вакуленко, С.П. К вопросу о нелинейных волнах в стержнях / С.П. Вакуленко А.К. Волосова, Н.К. Волосова // Мир транспорта. - 2018. - Т. 16, № 3 (76). - С. 6-17.

15. Пастухов, Ю.Ф. Задача построения поля линий тока по температурному разрезу / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2015. - № 4. - С. 27-36.

16. Пастухов, Ю.Ф. Тензор обобщенной энергии / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 12. - С. 78-100.

17. Пастухов, Ю.Ф. Группы преобразований, сохраняющие вариационную задачу со старшими производными / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2018. - № 4. - С. 194-209.

18. Пастухов, Ю.Ф. Сборник статей по дифференциальной геометрии [Электронный ресурс] / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов. - Новополоцк, 2018. - Режим доступа: Ьйр://еИЬ.р8и.Ьу:8080/ЬапШе/123456789/22094. -Дата доступа: 15.06.2018.

19. Пастухов Ю.Ф. " Необходимые условия в обратной вариационной задаче ". Фундаментальная и прикладная математика. 7:1(2001), 285-288.

20. Пастухов, Ю.Ф. Лагранжевы сечения / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2018. - № 12. - С. 75-99.

Поступила 12.03.2019

PROPERTIES OF THE HAMILTON FUNCTION IN VARIATION TASKS WITH HIGHER DERIVATIVE DERIVATIVES

Y. PASTUKHOV, D. PASTUKHOV

The Considered characteristic function Hamilton and Lagranzha in coordinate-pulsed and stratified space of the velocities. The Main got by result is a statement - in the event of local absence of degeneracy of the matrix Gesse from function Hamilton on pulse of the maximum order (the matrixes Gesse from function Lagranzha on velocity of the maximum order) specified matrixes Gesse mutually inverse. It Is Received row auxiliary result, for instance, about quasi linear form of the time derived order k from generalised coordinates on velocity stratified space of the order k for change the coordinates with nonzero finder Yakobi. Unexpected identity are Received in coordinate-pulsed space q-p for quotient derived between coordinate is stratified space (the coordinate-coordinate, pulse-pulse). They Are Received formulas, linking quotient derived in coordinate-pulsed space q-p for function Lagranzha and Hamilton on one and same variable.

Keywords: function Hamilton, variational problem, stratified space of the velocities, equations Eylera -Lagranzha, smooth of the variety, tensor of the generalised pulse, nonzero finder of the matrix Gesse.