CC BY
2УДК 514
ЛАГРАНЖЕВЫ СЕЧЕНИЯ
канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Ф. ПАСТУХОВ, канд. физ.-мат. наук, доц. Д.Ф. ПАСТУХОВ (Полоцкий государственный университет)
Инвариантным образом определено понятие лагранжевых сечений в расслоенных пространствах скоростей произвольного порядка, сформулированы и доказаны их свойства. Дан инвариантный критерий решения задачи. Получено необходимое условие лагранжевых сечений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного четного порядка.
Ключевые слова: обратная вариационная задача, расслоенное пространство скоростей, лагран-жево сечение, уравнения Эйлера - Лагранжа, гладкие многообразия, тензор энергии, тензор обобщенного импульса, невырожденная функция.
Введение. Вариационное исчисление является одним из старейших и богатых содержанием и приложениями разделов математического анализа. Вариационные задачи (например, изопериметрические) рассматривались и в древности, но исследовались геометрическими методами. Началом зарождения вариационного исчисления можно считать работу П. Ферма 1662 г., в которой аналитическими методами исследованы задачи о распространении света из одной оптической среды в другую и о преломлении света на границе двух сред. Далее аналогичные (но более общие) вариационные задачи исследовались Ньютоном (задача о наименьшей поверхности вращения - в 1685 г.), Д. Бернулли (задача о брахистохроне) и др.
В 1696 г. И. Бернулли сформулировал и опубликовал математическую проблему с предложением для математиков своего времени заняться ее решением. В задаче о брахистохроне требовалось найти форму гладкой кривой, соединяющей две точки так, чтобы материальная точка, двигаясь по ней без трения под действием силы тяжести, прошла участок между этими точками за минимальное время. Задача была решена крупнейшими учеными того времени - Я. Бернулли, Г. Лейбницем, Г. Лопиталем и И. Ньютоном.
Свои подходы к решению этой задачи предложили Л. Эйлер и Ж. Лагранж, что привело к рождению вариационного исчисления. Эти решения наметили многие направления будущей общей теории. И. Бернулли исходил из оптико-механических аналогий, Я. Бернулли применил принцип Гюйгенса, Г. Лейбниц решил задачу, заменяя кривую ломаными, заложив тем самым основу прямым методам в вариационном исчислении.
Настоящими творцами общей теории вариационного исчисления (которые дали название этой науке) являются Л. Эйлер (уравнения Эйлера) и Ж. Лагранж (метод вариаций). Далее следует А. Лежандр (исследование второй вариации - необходимое условие Лежандра), У. Гамильтон и Б. Якоби (понятие сопряженной точки, необходимое условие Якоби, теория Гамильтона - Якоби), А. Клёбш и Ю. Майер (задачи с функционалами более общей природы, необходимое условие Клёбша, поля экстремалей Майе-ра), Вейерштрасс (задачи в параметрической форме, достаточные условия сильного экстремума). Работы Майера конца XIX в. послужили основой для углубленного исследования вариационных задач Лагранжа и Майера, доказательства правила множителей для них и др. В начале XX в. Д. Гильберт ввел свой известный инвариантный интеграл для доказательства достаточных условий экстремума, А. Кнезер исследовал задачи с подвижными концами, получил геометрическое условие Якоби (при помощи огибающей семейства экстремалей).
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема - понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII в. и связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Г. Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 г. К. Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в ее современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Б. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.
Теоретико-групповая точка зрения Ф. Клейна изложена в его «Эрлангенской программе» (1872): геометрия - учение об инвариантах групп преобразований. В применении к дифференциальной геометрии была развита Э. Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.
Основная задача дифференциальной геометрии состоит в нахождении и описании дифференциальных инвариантов геометрических структур. Необходимым аппаратом здесь является исчисление струй. Это понятие интенсивно использовалось в теории геометрических структур высшего порядка в работах В.В. Вагнера, Г.Ф. Лаптева, Л.Е. Евтушика, М.О. Рахулы, а в последнее время в теории особенностей гладких отображений - М. Голубицким, В. Гийеминым и геометрической теории нелинейных дифференциальных уравнений - А.М. Виноградовым, В.В. Лычагиным. Представленная работа является продолжением работ [9, 10, 13, 16-19].
Вариационная задача с управляемым параметром и е КС[^, на классе функций
х(г) е КС1^, решена Л.С. Понтрягиным и сформулирована как принцип максимума Понтрягина. Эта задача тесно связана с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений с управлением на классе кусочно-непрерывных функций от времени, новые результаты также получены А.А. Козловым для двух неизвестных функций [5-7].
Основные определения и математические объекты. Дифференциально-геометрические структуры, используемые в работе: Хт - гладкое многообразие размерности т; ТпХт - гладкое расслоенное пространство скоростей порядка п с базой расслоения Хт ; Ь: ТпХт ® ^ - невырожденная функция в точке vn е TnXm.
Определение 1. Система функций Pn = {plk (п)} = {plk п} ,
(р)
. . . (р+шш(п,р)-к) п-к ЛТ( х х ) _ _
Рк(п) = Рк,п(х,X,..., х ) = x (-1)4'(° (Х^Х )), к = 0, п, = 1,т,
I=0
д х
называется обобщенным импульсом ранга п для функции Ь: ТРХт в локальных координатах (х)
• (р)
базы Хт расслоения ТРХт, где Ь(х,х,..., х ) - локальная запись функции Ь при выборе локальных
координат (х) в базе Хт расслоения ТРХт.
Функция Рк п читается как к-я компонента обобщенного импульса Рп ранга п по г-й координате или импульс порядка к (к-импульс) по г-й координате обобщенного импульса Рп ранга п .
Замечание 1. Обобщенный импульс ранга п определен для функций Ь: ТРХт ® ^ .
п-к (Р}
Из определения Рк (п) =Х(-1)'Д1 (дЬ(х,,",\.х )) следует, что при к > р,
1=0 д х
(Р)
дЬ(х,..., х )
I > 0 ^ I + к > р ^-,+к— ° 0 и все Рк (п) ° 0 (тривиальные импульсы), то есть для нетривиальных
дх
импульсов к < р . Поскольку к < п, к < р ^ к < ш1п(п, р) , то в определении 1 можно считать, что
к = 0, шт(п, р), г = 1, т .
Максимальный порядок производной по г в рк (п) равен I + к +1 = 2 • I + к .
(Р) П
дЬ(х,..., х ) +к)г
При I + к > р ^-,+к— ° 0 и коэффициент при производной х равен 0, значит, при
д х
определении максимального порядка производной по г можно считать I + к < р, кроме того,
I < п - к I + к < п ^ I + к < шш(п, р) ^ I < шш(п, р) - к ^ 2 • I + к < 2 • (шш(п, р) - к) + к = = 2 • шш(п, р) - 2 • к + к = 2 • шш(п, р) - к.
Хотя более грубая оценка порядка старшей производной по г в рк (п) дает
I < п - к I + к < п ^ 2 • I + к < 2 • (п - к) + к = 2 • п - 2 • к + к = 2 • п - к.
(р)
При р > п, I + к < п и максимальный порядок производной по г в аргументах Ь(х,..., х ) больше максимального порядка производной по переменной г в знаменателе частной производной.
Теорема 1 [11]. Пусть X = (хг,х^,...,хт) S : (х) ® х(х) - невырожденное преобразование координат в базе гладкого многообразия Хт расслоения скоростей порядка ТрХт, г = 1, т, тогда
( ) , ,
, а =—-—, г!=п к, г > *
1 „ И (1)
_ • (р) Эх(г)г(х,х,..., х )
д х
Ч • иг
о, г <
дхг (х)
дх
—-—, г! = п к, г > * (г - *)! }= .
Теорема 2 [10] (закон преобразования импульсов при замене системы координат в базе Хт расслоения Т2пХт). При замене (х) ® (х(х)) в базе многообразия Хт расслоения Т2пХт импульсы
_ • (2п-к)
рк (п)(х, х,..., х ) преобразуются как тензоры типа (0,1) (ковекторы): — (2п~к) т . . (2п-к) дх1 (х) • • (2п-к) д^ (х)
рк(п)(х,х,..., х ) = ^ р](п)(х,х,..., х )--з— = р](п)(х,х,..., х )--з--свертка по ] ,
•=1 д х дх
(п)
. . • (2п-к) п-к г г дЬ(х,..., х) — —
рк (п) = р.п (х, х,..., х ) = ^ (-1)Д(-'" к —) - импульс порядка к, к = 0, п г, ] = 1, т .
' г=0 д(+х)г
Пусть ТкХт - расслоенное пространство скоростей порядка к многообразия Х т , як :ТгХт ® ТкХт, г > к > 0 - каноническая проекция (при к = 0 - проекция на базу расслоения многообразия Хт). Предполагается, что Хт - бесконечно гладкое многообразие, и (^п-1) - окрестность
точки у?"-1 в расслоении Т2п-1 Хт .
Определение 2. Пусть Ь : ТпХт - гладкая функция. Ь(х,х,...,х(п)) - локальная запись в системе координат (х).(фх: (УсТпХт) ®^<п+1)т - координатный диффеоморфизм в локальной карте
гх • п
(У, фх)). Функция Ь: ТпХт называется невырожденной (вырожденной) в точке е ТпХт, в си-
(п)
стеме координат (х) базе Хт расслоения, если det(■
д2Ь(х,... , х )
(п)г (п)] д х д х
—) Ф 0 (= 0) соответственно.
Теорема 3. Пусть Ь: ТпХт ® ^ - гладкая функция в точке е ТпХт, Ь
( * (
- локаль-
ная запись в системе координат (х) в базе Хт, Ь
_ . (п) )
- локальная запись в системе координат (х).
- • n , (n) . - . -
Т Э2L(х,х,..., х) _ ™ ™ Э2L(х,..., x) Эxг(x) dxJ(x)
огда (n)k (n)l _ zz (n)i (n)j k Э-г . ( )
Э x Э x ^ j_1 Э x Э x ^ ^
_ _ • (n) _ (n) _ (t)j _
„ ЭL(x, x,..., x) V^* ЭL(x(x),..., x (x)) Э x (x) Доказательство. --_ zz-^--^ •
э x j_1t_0 э x э x
_ • (n) _ _ • (n) _ (n)_ (t) j _
Э2 L( x, x,..., x ) Э ЭL(x,x,..., x ) Э ,V n ЭL(x(x),..., x (x)) Э x (x)
(n)k (n)l _ (n)k( (n)/ j _ (n)k(zz «j (n)^"j _
Э x Э x Э x Э x Э xj Э x Э x
_ (n) _ (t)j _ _ (n) _ (t) j _
_ VV ( Э (ЭL(x(x),..., x (x). Э x (x). ЭL(x(x),..., x (x) Э (Э x (x). . _
_ ZZ0( (n)k( (txj } (ЩГ + (Oj (n)k( (ЩГ _
j_11_0 Э x Э x Э x Э x э x Э x
- (n) _ (t)j _ _ (n) _ (t)j _ • (n)
V^ Э ^L(x(x),..., x (x) Э x (x) Vn ЭL(x(x),..., x (x) Э Э x (x). Э2 L( x, x,... , x )
_ z z (n)k( (tXZ j z z ^ (n)k( (ЩГ _ (n)k (n)l '
j Э x Э x Э x j Э x э x Э x Э x Э x
Преобразуем левую часть в сумме (3):
- (n) _ _ (n) _ (s)d _
Э ЭL(x(x),..., x (x)- _ Vn Э ЭL(x(x),..., x (x), Э x (x)
(n)k( «j j _ ZZ (s)d( (t)j j (n)T ■ ( }
Э x Э x d_1 s_0 Э x Э x Э x
Подставим выражение (4) в левую часть суммы (3):
- (n) _ (t)j _ z Z э (ЭL(x(x),..., x (x)_ Э x (x) _
zz (n)k( (t) j j (n)l _
j_1t_0 Э x э x э x
_ (n) _ (s)d _ (t) j _
_ z z (z z Э (c»L(x(x)i;;:^x(x)) > Э x (x) Э x (x)
_ zz (zz (s)d( (t)j ' (n)k (n)l • ()
j_1t_0 d_1 s_0 Э x Э x Э x Э x
Подставляем полученное выражение (5) в формулу (3):
_ (n) _ (t)j _ _ (n) _ (t)j _
Z Z Э (ЭL(x(x),..., x (x)_ Э x (x)_ Z Z ЭL(x(x),..., x (x) Э (Э x (x)_ _
zz (n)k ( (t) j } (n)l j + Z Z (t) j (n)k( (n)l j _
•7_1t_0 Э x э x э x J_u_° Э x э x Э x
_ (n) _ (s)d _ (t)j _ _ (n) _ (t)j _
_ z z ( z z Э Э x (x) _ Э x (x) z z ЭL(x(x),..., x (x) Э (Э x (x)) _
_ zz ( zz (s)d( (t) j } (n)k } ' (n)l + ZZ (t) j (n)k( (n)l } _
j_11_0 d_1 s_0 Э x Э x Э x Э x •'_1t_0 Э x э x Э x
_ (n) _ (s)d _ (t)j _ _ (n) _ (t)j _
_ z z z z Э (aLCxix),^JlCx)) Э x (x) Э x (x) z z ЭL(x(x),..., x (x) Э (Э x (x)_ _
_ zzzz (s)d( (t) j ' (n)k (n)l + ZZ (t) j (n)k( (n)l j _
j_1t_0 d_1 s_0 Э x Э x Э x Э x •'_1t_0 Э x э x Э x
0 _ (n) _ (s)d _ (t)j _ _ (n) _ (t) j _
_ z Z Z z Э L(x(x),..., x (x) Э x (x) Э x (x) z z ЭL(x(x),..., x (x) Э (Э x (x)) (6_
_ zzzz (s)d (t)j (n)k (n)l + zz (t)j (n)k( (n)l j. ()
j_1t_0 d_1 s_0 Э x Э x э x Э x •'_1t_0 Э x э x Э x
По теореме 1,
дх(г)г(х,х,..., х )
д х
сг •
0, г < *
дхг (х)
. д х
г, г , с? =—-—, г! = п к, г > * —
г *!• (г-*)! к! ] = 1,т.
Поскольку п > г > 0 , то
_ • (п)
дх(г)• (х,х,..., х )
.^п тлп-п=0 _= сп ■
(п)г
д х 0, г < п.
Значит, при п > г > 0,
(дх](х)^ д х1 У
= Я
п-п=0
(дх](х)^ д х )
(п)
. дх] (х) сп = ■ _г , сп =
дх
и!- (п - п)!
= 1, п! = П к, г = п = 8',
к=1
дх(г)• (х,х,..., х ) ^ дхг(х)
(п)г
дх
■ = 5'
п
дх
ы |1, г = п
где 5п = ^ - символ Кронекера.
[0, г Ф п
Подставляем формулу (7) в правую часть суммы (6):
(п) -
_ (п) _ (г)• _
! ! дЬ(х(х),..., х (х)) д (д х (х)) = ! ! дЬ(х(х),..., х (х)) д г дхг(х)) =
]=1 г=0
(г) • дх
(п)^ (п)г д х д х
•=1г=0
(г) • дх
(п)к
дх
дх
дх • ( х) д х
(7)
_(»)_._ - (п) - . -
тп дЬ(х(х),..., х (х)) _г д ,дхг(х), т дЬ(х(х),..., х (х)) д ,дхг(х),
= ъ ъ-^-5п ^) = ъ-~--.
• =1г=0
(г) • дх
д х д х •=1
(п) • дх
(п)к -,-./ _ д х дх
(8)
_ _ .. дхг(х) -
Так как п > 1, то ——- зависит только от х и не зависит от производных первого порядка и выше. Сле-
д х
довательно, д (дх_( х)) = 0. Значит полученное выражение (8) - правая часть в формуле (6)
кп)к ^ ]
_ д х дх
- (п) - . -
Ъ дЬ(х(х),..., х (х)) д (дхг(х)) = 0
•=1
(п) • дх
(п)к -]
_ дх дх
Значит, выражение (3), равное выражению (6), с учетом (8) имеет вид:
2
д Ь(х,х,..., х) (п)к (п)г дхдх
(п)
т п т п
= !1 I I
(п)
_ (г)У .
д Ь(х(х),..., х (х) д х (х) д х (х)
(п)
(г)•.
(г) ]
•=1г=0 ^ *=0 д хх д
(п)к (п)г д х д х
+!!
]=1г=0
дЬ(х(х),..., х(х) д д х (х)
(г) • дх
(п)к( (я)г д х д х
)=
0 _ (п) _ _ (г)• _
т п т п д2Ь(х(х),..., х (х) д х (х) д х (х)
(п)к (п)г д х д х
IIII' (г)•
•=1г=0 ^ *=0 д хх д х]
(9)
На основании выражения (7) имеют место равенства:
. _ • п . -
^ ^п дх(г)](х,х,..., х) ы дх](х) гг [1,г = п Т. ....
п > г > 0,----- = 8п —з—, где 8п = ^ - символ Кронекера ; (10)
(п)г дхг 10, г < п
дх
п > * > 0,
_ • (п)
дх(5)^(х,х,..., х)
(п)к
дх
=5
* дхл (х) п —к дх
,1, * = п
, где 5п = ^ - символ Кронекера.
0, * < п
(11)
п!
Подставляя формулы (10), (11) в выражение (9), получим
- • п , _ (п) _ ш _ (г)7 _
2Ь(х,х,..., х) = X " X X д2Ь(х(х),..., х (х)) д х (х) д х (х) =
(п)к (п), = XXXX (5 )1 (г) ] (п)к (п), =
д х д х 7=1г=0 ^ 5=0 д х д х д х д х
9 - (п) _ . _
д2 Ь( х( х),..., х (х)05 дх1 (х) .г дх7 (х)
= ХХХХ--^"ЯГ К—^Т. (12)
7=1г=01=1 ,=° д х д х д х д х
|1,5 = п
Так как оп = < - символ Кронекера, то
10,5 < п
2 - (п) - л - -л 2 - (п) - л - 2 - (п) - л -
X д2Ь(х(х),..., х (х) о5 дха(х) = x1 д2Ь(х(х),..., х (х) о5 дха (х) д2Ь(х(х),..., х (х) о5=п дха (х) =
Х (5)1 (г)7 п Э-к = ^ (5)1 (г)7 п Э-к + (5)1=п (г)7 п Э-к = 5=0 д х д х дх 5=0 д х д х дх д х д х дх
2 - (п) - 2 - (п) _ л _
д2Ь(х(х),... , х (х)~5=п дх (х) д Ь(х(х),..., х (х) дха (х) = (5=п)1 (г)7 п Э-к = (п)1 (г)7 Э-к ' ( )
д х д х дх д х д х дх
так как §п = 0, 5 < п; §п=п = 1.
Подставляем выражение (13) в формулу (12):
, - (п) - , - . _ , - (п) _ _ . _
x x x x д2Ь(х(х),..., х (х)о5 дх1 (х) о дх7 (х) = xx .x 0 xx (x д2Ь(х(х),..., х (х)о5 дх1 (х) дх7(х)) =
xxxx (5)1 (г) 7 °п -к °п = xx °п x (x (5)1 (г) 7 °п ^-к ^Ч ) =
7=1 г=01=15=0 д х д х дх дх 7=1 г=0 1=1 5=0 д х д х дх дх
, - (п) - , - . _ , - (п) _ _ . _
= x x x д2Ь(х(х),..., х (х) _г дх1 (х) дх7 (х) = x x X д2Ь(х(х),..., х (х) _г дх1 (х) дх7 (х)
= xxx (п)1 (г) 7 °п -к =xxx (п)1 (г) 7 °п ..-к ' (14)
7 =1г =1=0 д х д х д х д х 7 =1 =1г=0 д х д х д х д х
Так как 5гп = 0, г < п; 5гп=п = 1, то
X Э2Ь(х(х),...,<х)(х) ог Эх1 (х) Эх7(х) = X1 э2Ь(х(х),...,^) ог Эх1 (х) Эх7(х) Э2Ь(х(~х),..,'х(х) ог=п Эх1 (х) дх7(х) =
X (п)1 (г) 7 п~Рк --1 =X (п)1 (г) 7 п~Ч .-г + (п)1 (г=п) 7 п .-к ,,-г =
г=0 д х д х дх дх г=0 д х д х дх дх д х д х дх дх
(15)
9 - (п) _ . _
= д2Ь(х(х),..., х (х) дх1 (х) дх7(х)
(п)1 (п) 7 -к -г '
д х д х дх дх
Подставляя формулу (15) в формулу (14), получим
, _ (п) _ _ (п) _
xx xx X Э2Ь(х(х),..., х (х) ог Эх1 (х) = x x (x Э2Ь(х(х),..., х (х) ог Эх1 (х)) =
x x x (п)1 (г)7 °п -к = x x (x (п)1 (г)7 °п -к ) =
7 =11=1г=0 э х Э х Э х 7 =1=! г=0 Э х Э х Э х
_ (п) _____ __• (п)
= xx x Э2Ь(х(х),..., х (х) Эх1 (х) дх7(х) = Э2Ь(х,х,..., х)
= xx (п)1 (п) 7 Э-к Э-1 = (п)к (п), •
7= ^ Э х Э х Эх Эх Э х Э х
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Ь : ТпХт - невырожденная (вырожденная) функция в точке угп е ТпХт в системе координат (х) базы Хт расслоения. Тогда в любой другой системе координат (х) в базе Хт функ-
ция Лагранжа Ь: ТпХт также будет невырожденной (вырожденной) соответственно, следовательно, свойства вырожденности и невырожденности не зависит от выбора локальной системы координат в базе Хт, то есть является геометрическим инвариантом в расслоении ТпХт.
- • п , (п) . - . _
^ тг , д2 Ь(х, х,..., х ) тт д Ь( х,..., х ) дх1 (х) дх] (х) Доказательство. По теореме 3, -(и)к (и)г =Ц (л),- (п)• к -г .
д х д х г=1 •=1 д х д х дх дх Невырожденность в системе координат (х) в базе Хт по определению означает, что
д2Ь(х,..., х )
(п)г (п)]
д х д х
(п)
det(
) Ф 0 . Поэтому, по теореме 3, имеем
2
д Ь(х,х,..., х ) (п)к (п)г д х д х
(п)
det(■
) = det(ii
, (п) . -д2Ь(х,..., х ) дхг(х) дх](х)
г=1 •=1 д х д х
(п)1 (п)] ,-к
дх дх
^Г) =
д2Ь(х,..., х )., дх1 (х),. ,дх] (х)л
(п)
= det(
дх1 (х).
дх] (х).
, .. , . . -)det(—У^К--г1-) Ф 0, так как det(—--) Ф 0 и det(---) Ф 0,
(п)г (п) ] —к л~г -\~к -\~г
д х д х дх дх дх дх
поскольку замена координат х = х(х) в базе Хт невырожденная.
(п)
Аналогично, если Ь: ТпХт - вырожденная функция, то det(■
д2Ь(х,..., х )
(п)г (п)] д х д х
—)= 0 . В силу тео-
ремы 3 получим
д Ь(х,х,..., х ) (п)к (п)г д х д х
(п)
det(■
(п)
) = det(ii
д2Ь(х,..., х ) дхг(х) дх](х).
(п)г (п) • к -,-г ) г=1 •=1 д х д х дх дх
д2Ь(х,..., х ).. .дх1 (х).. ,дх](х)
(п)
=
дх1 (х) дх] (х)
(п)1 (п)•
) det(^p) det(^p) = 0 • det(^=^) det(^p) = 0.
д х д х Теорема 4 доказана.
дх
дх
дх
дх
Определение 3. Гладкое отображение / :ТкХт ® ТгХт (0 < к < г) называется сечением, если следующая диаграмма коммутативна (рисунок).
ТХ
Определение 4. Пусть и(у02п-1) - окрестность точки у02п-1 в расслоении Т2п-1Хт .
2 Г
Подмногообразие о у с Т пХт, о у = о у (и) = {у
,2п е Т2п Х х е Т Хт I кх
I У?п = У (у.2-1), Ух2-1 е и у2;-1)}
называется (гладким) подмногообразием, порожденным сечением у : Т2п-1 Хт 3 и (у^-1) ® Т2пХт.
Пусть Ь : ТпХт з я^У - невырожденная функция, Ь(х,х,...,х(п)) локальная запись в системе координат (х) и фх: (У сТ2пХт) ®^(2п+1)т - координатный гомеоморфизм в локальной карте (У сТ2пХт, фх) - расслоенного пространства Т2пХт
Лемма 1. Пусть и(у?п-1) - окрестность точки V?" 1 в расслоении Т2п 1Хт . Подмногообразие
оу сТ2пХт , оу =Оу(и) = {^2п е Т2пХт | V?" = ¡(у2хп-\ V)"-1 е U(v02n-1)} ,
задаваемое сечением /: Т2п 1Хт з и(¿0" 1) ® Т2пХт имеет размерность 2тп .
Доказательство. Пусть (х) - локальная система координат в базе Хт расслоения Т2пХт. Тогда отображение /: Т2п-1Хт з и (v0n-1) ® Т 2пХт в локальных координат имеет вид
• (2п-1)
у(к)г (х, х,.., х ) =
х(к)г, к = 0,2п -1
• (2п-1) /г (х, х,..., х ), к = 2п
г = 1, т.
Рассмотрим отображения s(k,г) = т • к +г, к = 0,2п, р(1, ]) = т • I + j, I = 0,2п -1,г, j = 1, т.
Отображение s(k,г), к = 0,2п, / = 1, т биективно отображает двумерную целочисленную решетку размером [0; 2п]х [1; т] в одномерную целочисленную решетку отрезок [1;(2п +1) • т]. Сюрьективность отображения 1'(к, /) = т • к + / следует из очевидного тождества:
s s s s
т • [—] + s -т • [—], то^1, т) Ф 0 ^ 0 < к = [—] < 2п, 1 < / = s -т • [—] < т, т т т т
s s
т • ([—] -1) + т, то^1, т) = 0 ^ 0 < к = [—] -1 < 2п, / = т, тт
где то^1, т) - остаток от деления * на т.
Докажем, что &'(к, /) инъективно: &'(к, /) = т • к1 + /1 = т • к? + /? ^ т • (к? - к1) = /'1 - г?. Поскольку 1 < 1, /) <т ^ 1 -т </'1 -< т-1, то т• (к? -к1):т ^ /1-/ ?= 0 ^к? -к1 = 0, следовательно, инъек-тивность и сюрьективность, а значит, и биективность 1'(к,г) доказаны.
Аналогично доказывается биективность отображения р(1, ]) = т • I + ]'. Рассмотрим замену переменных
'у1(к,0 = х(к)г, к = 0,2п -1, г = 1т ^ У1 (к) = Утк+' = х(к)г = Хр(к,г) = Хтк+' =
• (2п-1)
У^2^ = х^2п^ = ^(х,х,.., х ) Хр(1,]) = х(1)], I = 0,2п -1, ] = 1т.
1 2 * (2п-1)
Пусть Еотп - единичная матрица размера 2тп, Fi (Х ,...,Х тп) = /г (х,х,..., х ). Тогда ранг матрицы Якоби
.... • (2п-1) • (2п-1) • (2п-1)
дук (/)(х , х,..., х ) , дУ1(к,г)(х , х, ... , х ) , дХ1(к,г)(х , х,... , х )
дх(1) ]
дХр(1,])
= гк-
дХр(1,])
= ±
(Е ) Е2тп
> 2тп.
С другой стороны, ранг матрицы А =
(Е л Е2тп
ЭЕ
размером (2тп + т)х 2тп имеет вид
,ЭХР)
гк А < тш(2тп + т, 2тп) = 2тп ^ гк А = гк
(Е л Е2тп
ЭЕ
ЭХР )
= 2тп.
Значит, отображение f: Т2п~хХт зи^"-1)®Т2пХт задает подмногообразие размерности 2тп . Лемма 1 доказана.
Определение 5. Подмногообразие е = еЬ (У) = {у^п еУ с Т2пХт ,| е(х)Ь (фх )) = 0 е } называется лагранжевым подмногообразием в окрестности У(у|п) сТ2пХт, еЬ сТ2пХт . Здесь <^(2п+1)т з (у ст2пХт) ® - гладкая функция, которая в локальной системе координат (х)
х)Ь :
в базе Хт расслоенного пространства Т2пХт имеет вид
(п)
• (2п) " , , ЭЬ(х,х,..., х\ . — Е(х)Ь(х,х,..., х ) = X (-1УЦ( ^ )), г = 1,т.
I=0
Постановка задачи. Дифференциально-геометрические структуры, используемые в работе: Хт -гладкое многообразие размерности т; ТпХт - гладкое расслоенное пространство скоростей порядка п
с базой расслоения Хт ; Ь : ТпХт ® ^ - невырожденная функция в точке уп е ТпХт .
Ставится следующая задача: пусть Т2пХт з У) = У - окрестность точки е Т2пХт, я2п-1 : Т2пХт ® Т2п-1Хт - каноническая проекция: я^чУ) = и(Ц?п-1) = и = {^-1^) I "у е У(^)}, р2п-1(уоп) = и02п-1 / :Т2п-1 Хт з и(у2п-1) ® Т2пХт - гладкое сечение.
Существуют ли окрестность У) с У ) (я^чУ) = и ) и такая невырожденная функция Ь : ТпХт з я^У , такие что указанные многообразия о у (и) = £ь (У) совпадают.
Теорема 5. Определение 5 корректно, так как оно не зависит от выбора локальных координат (х)
в базе Хт расслоенного пространства Т2пХт, то есть независимо от выбора локальных координат (х)
в базе Хт в окрестности точки у2 е У с Т2пХт расслоенного пространства Т2пХт определяет одно и то же подмногообразие:
г2п
2п л
£ = £
,(У) = {у2п еУ с Т2пХт I е(х)Ь (Фх (у.2п)) = 0 е*т }.
Более точно: если х = х(х) - произвольная невырожденная замена в базе Хт расслоенного про-
странства Т2пХт и функции
(п)
е(х)Ь(х,х,...,(2хп)) = x (-1)г^1 (ЭЬ(х'х- х))
I=0 дх(,)г
_ _ • (п)
е;-х)Ь (х, х,...,(хг))=xx (-1)г^/ ()
-.-(г).
д х
представляющие собой координатные записи отображений:
г = 1, т,
г = 1, т,
х)Ь :
: ^(2п+1)т зфх (у ст2пХт) , е(х)Ь: И<2я+1)т з фх (У сТ2пХт) ,
то имеет место следующее равенство:
. т • . (2п) дх] (х)
е(х)Ь(х,х,..., х ) = !£(х)Ь(х,х,..., х )--— . (16)
•=1 д х
Доказательство. По определению е(х)Ь: ^02и+1)m (^ с Т2пХт)
• (п)
. • (2п) п дЬ(х х х ) . . * (2я-0) -
е(х)Ь(х,х,..., х ) = ! (-1)'Б;(--) = р0(п) = Р0,п(х,х,..., х ), 1 = 1,т.
г=0 дх^1
Действительно, так как Ь : ТпХт з я^^и ® ^ ^ р = п, следовательно,
(п) (п) 1 , • (р+т1п(п,р)-к\ 1 , • (п+т1п(п,п)-к) ^дЬ(х,..., х )ч ^дЬ(х,..., х )ч Рк(п) = Рк,п(x,x,..., х ) = Рк,п(x,х^.- х ) = ! (-1) А(-(г+к)1 ) = ! (-1)Бг(-(г+к)1 ),
_ _ г=0 д (х) г=0 д (х)
к = 0, п, 1 = 1, т. В частности, при к = 0 запишем
(п) • (п)
Рк=0(п) = р0.в (х, х,...,(2х0)) = енУБ (дЬ%^)=! (-1)гя/ (дЬ( х; ха7х))=£(х)Ь (х, х,...,(2хп)).
г=0 д V г=0 дх
• (п)
_ • (2п) п дЬ(х х х ) —1 —I - — (0п~0) _
Аналогично, е(- (х,х,..., х ) = !(-1)'(-^-) = р0(п) = Р0п(х,х,..., х ), 1 = 1,т, поскольку
г=0 д х
(п) (п)
_ . (р+тт(п,р)-к) _ . (п+т1п(_п,п)-к) п-к дЬ(х х) п-к г г дЬ(х х)
Рк(п) = Рк,п(х,х,..., х ) = Рк,п(х,х..., х ) = ! (-1) Я (-ц'+щ ) = ! (-1) Бг(-(¡+к)Г"),
д х д х
к = 0, п, 1 = 1, т.
(п) __• (п)
чг^г.дЬ(х,..., х X г ^г^дЬ(х,х,..., х).
(2п-0) п-0 , , " Л п , , " ^ . _ • (.п)
Рк=0(п)=Р0,„(х,х,..., х ) =! (-1)гбС (х:+'х)) =! (-1)'я;г (Т);'х))=е(х)Ь(х,х,..., х).
г=0 - г=0 д х
дх
По теореме 2, для к = 0, п, 1, к = 1, т имеем
— _ • (2п-к) т • • (2п-к) дх](х) • • (2п-к) дхк(х) дхк(х)
Рк (п)( х, х,..., х ) = ! Р]к(п)(х, х,..., х )--^ = Рк (п)( х, х,..., х )--^, det(—Ф 0.
к=1 д х д х дх
В частности, для к = 0 (импульсы 0-го порядка - функциональные части в уравнениях Эйлера - Лагранжа)
— (2п_-0) , т к • (2п-0) дхк (х) • • (2п-0) дхк (х)
р0(п)(х,х,..., х ) = е\- (х,х,..., х ) = ! р0 (п)(х,х,..., х )--—— = р0(п)(х,х,..., х )--—— =
(х)Ь . л 1 1 к =1 дх дх
т . • (2п-0) дхк (х) т . • (Оп) ^//"л = Цр0 (п)( х, х,..., х ) •д^х) = ! (х, х,..., х )) •д^(х) .
. ^ -л 1 . ^ (х)Ь -л 1
к=1 дх /=1 д х
(2"\ т / ' (2п\ дхк (х^ . ,дхк (х).
, II х ) = > ри. . . ( х х -
(х) Ь
Таким образом доказано, что е(- т (х,х,..., х ) = !е(/х)Ь(х,х,..., х )--^— , det(—Ф0,
•=1 д х дх
. _ • (0?) . • (2п) _
поэтому е(х)Ь(х,х,..., х ) = 0 ^ е(/х)Ь(х,х,..., х ) = 0, 1,к = 1,т.
Следовательно, равенство нулю левой части уравнения Эйлера - Пуассона
• . (2л) __. _ • (Оп)
е(х,х,..., х ) = 0,к = 1,т в одной системе координат влечет е1- г(х,х,..., х ) = 0 во всех системах
( х ) Ь ( х ) Ь
координат. Таким образом, лагранжево подмногообразие не зависит от выбора локальной системы координат при замене в базе Хт расслоенного пространства Т2пХт. Теорема 5 доказана.
• (к)
Теорема 6. Пусть /(х,х,..., х) - локальная запись гладкой функции / : ТпХт ® ^. В локальных координатах в базе Хт расслоения ТпХт . Тогда
• (к)
• (к) т д/(х,х,..., х ) (к+р)7 . • (к+р-1\ >. Эр /(х,х,..., х ) = X —(к)7— ' х + а(х,х,..., х ), р > 1.
7 =1 Э хс7
Доказательство. Проведем индукцией по р. База индукции р = 1, тогда
• (к) • (к) • (к) Э/сх.х.....'X') = Э/(х,х.....'х', = XX XЭ/<х,72х"+.)7 = X XЩ^х^)7 + X^йТ) х(к+1)7.
5=0 7=1 Эх( ) 7 5=0 7=1 Эх( ) 7 7=1 Эх( ) 7
• (к) • (к) ,-г , , , Э/(х, х,..., х ) (5+1) г Э/(х,х,..., х ) (5+1) 7 При 5 < к -1^ 5 +1 < к, поэтому ----, х( и и произведение ----х( и зависят от
Эх(5)7 Эх(5)7
производных порядка не выше к, значит и вся сумма
• (к)
, • (к+1-1\ , • (к\ к-1 т д/(х,х,..., х ) (5+1)7 а(х,х,..., х ) = а(х,х,..., х ) = xx--х также зависит от производных порядка не
5=0 7=1 Эх(5) 7
выше к. Получим
• (к) • (к) • (к)
г(х х (х)) = x1 x Э/(^x,..., х )х(5+1)7 + x Э/(^x,..., х ) (к+1)7 = • (х)) + x Э/(x,x,..., х ) х(к+1)7 (X,X,..., х) = 5=07=1 Эх(5)7 х +7=1 Эх(к)7 х =a(X,X,..., х) + 7=1 Эх(к)7 х . База индукции проверена.
Индуктивный переход. Пусть утверждение верно для любого натурального числа р, то есть
• (к)
• « т д/(х,х,..., х ) (к+р)7 . • (к+р-1\ и[ / (х, х,..., х ) =x-(к)7--х + а(х, х,..., х ).
7 =1 Э хх7
Тогда докажем, что оно верно для р +1 , то есть имеет место равенство
• (к) • (к) „р+1 • (к\ т д/(X,X,..., X ) (к+р+1)7' - • (к+р+1-1) т д/(X,X,..., X ) (к+р+1)7' - • (к+р)
и( /(х,х,..., х ) = X-(ку--х + а(х,х,..., х ) = X-—--х + а(х,х,..., х ).
7=! Э д;7 7=! Э х7
По предположению индукции имеем
• (к)
• (к) • (к) т Э/(х х х ) (к + р)7 • (к+р-1)
Эгр+1 /(х,х,..., х ) = Эг(Эр/(х,х,..., х )) = (x х;Г х ) • X + а(х,х,..., х )) =
(к) 7
7=1 Э X • (к) • (к) т д/(X,X,..., х ) (к+р)7 д/(X,X,..., X ) <к+р)7ЛЛ ^ , • (к+р-1)Л
= (x а (к)7--• X + 7 У (к}.-Эг( х )) + Эг а(х,х,..., х ) =
7 =1 Э хс Э хс
• (к) • (к)
™ Э/(X,X,..., X ) (к+р)7 т д/(X,X,..., X ) (к+р+1)7' . • (к+р-1>
= у В ' ' ,—-• X + x ——1—1—х + а(х,х,..., х ).
г ( )7 ( )7 г
7 =1 Э х 7=1 Э х
• (к) ™ Э/(X,X,..., X ) (к+р)7 Максимальный порядок производных в каждом члене суммы x Э--г—.--х равен
( )7
7=1 Э х
тах(к + 1,к + р) = к + р, так как р > 1. По доказанному утверждению при р = 1 максимальный порядок
• (к)
_ ду(х,х,..., х) , 1 ^ • (к+р-1)
производных в 0(-(к)к- равен к +1, а максимальный порядок производных в и1а(х,х,..., х
дх
равен к+ Р-1+1 = к+ Р.
• (к)
_ • (к+р) т ду(х,х,..., х ) (к+Р)к • (к + Р-1)
Значит, а(х,х,..., х ) = ! Б,---х + Б а(х,х,..., х ) зависит от производных
к=1 д хк
порядка не выше к + Р .
• (к) • (к) т ду(х,х,..., х ) (к+р)к т ду(х,х,..., х ) (к+Р+1)к . • (к+ р-1> Итак, ! ¡), (к} к-■ х + (к} к-■ х + Б,а( х, х,..., х ) =
к=1 д х к =1 д
х
• (к)
т д/(х, х,..., х ) (к+р+1)к - • (к+р\
= !---х + а(х,х,..., х ).
. л (к /к к=1 д х
Теорема 6 доказана.
• (2п)
Теорема 7. Пусть е(х)ь(х,х,..., х ) - функции из условия теоремы 5. Тогда
• (п)
I , ' (2п\ „iл,дЬ(х,х,..., х \ , д2Ь (2п)к , • 02и-1) . —
е(х)ь(х,х,..., х ) = £ (-1)'б/( (ддх:(,/)1- )) =(-1)пдх(н)ка^к + ^(х,х,..., х ), 1 = 1 т.
Доказательство. Проведем индукцией по п . База индукции п = 1, тогда
=1 • (п) • (п=1) • (п=1)
е(х)Ь(х,х,...,( ! >) = е(х)ь(х,х) = |(-1)'Б'(дЬ°х^) = (-1)0D0(дЬ0xд-о^) + (-1)1 в}(х )) =
дЬ(х, х) + 11 дЬ(х, х) дЬ(х, х) + т д2Ь(х, х) (р+1) к
= —— +(-1) Б1(-—) = —— +(-1) ! !-77 •хр ;к =
дх д х дх Р=0 к= дх(Р>к д х
= дЬ(х, х) + (-1)1 ^ д2Ь(х, х) х(0+1)к + (-1)1 ^ д2Ь(х, х)х(1+1)к = дх1 к =1 дх(0) к дТ к=1 дх(1) к дТ
дЬ(х, х) + 1 т д2Ь(х, х) • * 1т д2Ь(х, х) ••к 1т д2Ь(х, х) "к + • —— + (-1) !-— х + (-1) ! • к • 1 х = (-1) ! • к • ■ х + (X, х\
дх к=1 дхкд х к =1 д х д х к =1 д х д х
, V дЬ(х, х) + 1т д2Ь(х, х) •1 где gi (х, х) =-:--+ (-1) !-— х . База индукции доказана.
дх1 к =1 дхк д Т
Индуктивный переход. Пусть утверждение верно для п . Докажем, что оно верно для п +1
• (п) (п+1)
, . С2^1)) п+1 дЬ( х, х,...,х, х), т д2 Ь (2(„+1)) к , • (2(п+1)-1) е(х)Ь (х,х,..., х ) = у (-1)'б;(—у ' . --) =у ————x(2(и+1))k + g1■ (х,х,..., х ) =
(х)Ь(,, , ) ¿0° '( дх(;)1 ) к=1 дхпкдх^1 ^(,, , )
п^1 т д2Ь(х,х,..., х , х ) (2Ж-2) к , * ( \
= 7 7-УЛ. ' 'х(0 2)к + g¡(х,х,..., х ).
¿0к=1 дх^1к дх^1 g1 (,, , )
Для n +1 имеет место равенство
• (n) (n+1) • (n) (n+1) • (n) (n+1)
V r i\l nhx> x , x \ _ v /_i\l tJrЭДx, x,..., x, x + _\n+1 nn+ьx,..., x, x
k 1 _ ¿=0 9x(')i } +(_1) Dt ( ax("+1)i }.
По теореме 6,
• (n) (n+1) • (n) (n+1)
n (_1) lDl(x,x,..., x, x )) +(_1)n+1 Dn+1(^L(x,x,..., x, x )) _
l_0
dx(l)i 1 dx(n+1)l
• (n) (n+1)
n ¡m Э2L(x,x,..., x, x ) (n+1+l)j , • (n+1+l_1)
_lS'-15'1m-Sjir■ x + ^x..... x »+
• (n) (n+1)
, m э2L(x,x,..., x, x ) (n+1+n+1)j • (n+1+n+1_1) +(_1) (X-, \ ' 1V ■ x + a( x, x,..., x )) _
( ' j__1 Эx(n+1)j Э^ ( , , ,
• (n) (n+1)
n , m Э2L(x,x,..., x, x ) (n+1+l)j , • (n+l>
_ S(-1)l■ x +al(x,x.....x»+
(n) (n+1)
,1 m Э2 L( XX X X ) (2n+2) j • (2n+1)
+(_1)n+1(V Э L(x,x'-..' x + x ' ■ x + a(x,x,..., x )). ( ' j_1 Эx(n+1)j Эx(n+1)г ( , , ,
• (n) (n+1)
n l m Э2L(x,x,..., x, x ) (n+1+l)j • (n+l)
Максимальный порядок производных в ¿(_1) (x-( '"'j—--x + ai(x,x,..., x ))
l _o j_1 Эx(n+1)j Эx(l)г
равен max (n +1, n +1 +1, n +1) _ max (n +1 +1) _ n + n +1 _ 2n +1, поэтому
0<l<n 0<l<n
• (n) (n+1)
« Э2L(x,x,..., x, x ) (n+1+l)j • (n+l) +1 • (2n+1\ _ • (2n+1)^
¿(_1) (x-(~и—Oi--x + at(x,x,..., x )) + (_1) ■ a(x,x,..., x ) _ a(x,x,..., x ).
l _0 j _1 Эx Эx
• (n) (n+1) 0 • (n) (n+1) .
.liTjrЭL(x,x,..., x, x \ .n+1.m Э2L(x,x,..., x, x ) (2n+2)j +_ • (2n+1).
l?0(_1)Dt(-э^-}_(_1} x + a(xx,•••, x ).
Индуктивный переход доказан. Теорема 7 доказана.
Теорема 8. Для двух отображений: e(x)L: ^(2n+1)m з jx (У сT2nXm) ® и e(x)L: ^(2n+1)m з ф (У сT2nXm) ® , рассмотрим 2 их композиции:
е( x) l ° jx: У с T2nXm и e(x)L о j: у с T2nXm
Тогда множества решений уравнений в( х) Ь ° фх (у2п) = 0 е^т и е^ь ° Фх (У2п) = 0 е ,
у2п е W с Т2пХт, совпадают поточечно, то есть задают в Т2пХт одно и то же гладкое подмногообразие размерности (2п +1) • т - т = 2тп .
Более того, имеет место равенство
е( X) Ь (Фх (У2п)) = Ё^ь (Фх (У2п))(17) 7=1 Эх
Доказательство: Для окрестности У у2п е У сТ2пХт из расслоенного пространства Т2пХт, на которую действует локальная карта фх (у2п), запишем
Фх(V ) = (х,х,..., х ), Фх(V ) = (х,х,..., х) . По теореме 5, имеет место следующее равенство:
• -- (2-) т . . (2п) дхк (х)
е!х)ь(х,х,..., х ) =!е(х)ь(х,х,..., х ) —"—, ( ; к=1 д х
^ 0 т ■ 0 дхк (х)
поэтому е(-(Фх(V )) = Це^Ь(фх(у2п))--— , то есть
к=1 дх
е(х)Ь °Фх(V2-) == текх)ь °Фх(V2п)к. (х) Ь к=1 ( ; д х1
Соотношение (17) доказано.
. (Оп)
дег (х х х )
В матрице Якоби (х)Ь ( ' -1, к = 0,0",i = , отображения е(х)Ь: эд(2п+1)т зфх (V сТ2пХт)
(к)]
д х
размером тх (2п +1) существует невырожденный минор порядка тх т. По теореме 7, имеем
• (п)
I , * (2п\ ,дЬ(х,х,..., х\ , д2Ь (2п)к , • 02и-1) . —
е(х)ь(х,х,...,х)=г=0(-1)г( э^ ))=^ дXo?^x(2и)/+gl•(х,х,...,х),;=1,т.
• (2п) • (п)
де( х)^ (х,х,.., х ) = ((-1)п у д? Ь( x, х,.. х ) (2п)к + (х х (2пД =
д (?п)] д (?п)] (( 1) к=1 дх(п)кдх(п)г *^ ))
д х д х к 1
(п) • (2п-1)
((-1)пт д2Ь(х,х,..., х ) (2п)к) + ^ (хх )
(( 1) i ., („)к^ („)/ х ) + (Оп) ] '
д т аО
.(2п) ] к=1 дх(пп)к дх(п)/ л(2п) ]
д х к=1 д х
• (п) • (2п-1)
= (-1)пу д (д Ь(х,х,..., х ) (2п)к) + дЯ/ (хх ) = ( ) ¿1 д (2п)] дх(п)кдх(п)/ д (2п)]
к=1 д х д х
. (п) . (п) . (2п-1)
= (_1)пу д д Ь(х,х,..., х )) ^ (2п)к + • д ( (2п)к)) +
( ) ¿У(2п)]( дх(п)кдх(п)/ дх(п)кдх(п)/ з(2п)]( )) (°п)] ■
д х д х д х
• (п)
• (2п-1\ д2 Цх, х,..., х ) (2п) ] Так как (х, х,..., х ),--- не зависит от х явно, то
г дх(п)кдх(п)/
• (2п-1) 2 • (п)
дgi (х,х,..., х ) д д Ь(х,х,..., х) = 0 (2п)] ' (2п)] ( дх(п)кдх(п)г '
д х д х
Поскольку —д— (х<-2п')к =Ьк = <! - символ Кронекера, то имеет равенство
д (2п)] 10, ] Ф к
д х 1 ^
• (п) 2 • (п) • (2п-1)
(-1)пу Э (Э L(x,X,..., X))• (2п^ + • Э ( (2n)k)) + =
() Ь1Э (2п)] Эx(n)kЭх(п)г ) дx(n)kдх(п)г Э (2п)7 ( Э (2п)7
д X д X д X
• (п) • (2п-1) • (п) • (2п-1)
= (-1)п т Э l(x,x,..., x ) Э ( (2п)к . ^С^x,■■■, x ) = (-1)п т Э l(x,x,..., x ) §к + (Х,X,..., X )
( ) ¿=1 д^Э^' д (2п» X д ^ ) ¿=1 Э^*дx(n)г 7 д
, • (п) , • (п)
п
= (-1)п x д L(X,X,..., X ) ^ = (-1)п •д L(X,X,..., X)
( ) ¿=1 дx(n)kЭ^^ 7 ( ) дx(n)kЭ^' ,
k [1,7 = k
где 5,- = <! - символ Кронекера.
7 (0,- Фk
По условию функция Ь : ТпХт з ® ^ - невырожденная, поэтому, по теореме 4, в любых
2 (п)
. ,Э Ь(х,..., х ). _ координатах аеп—————) Ф 0.
(п)г (п)7
3 х Э х
. _ (2п) Эе(—^Ь (х,х,..., х )
Значит, гапк(---—.-) > т. С другой стороны, ранг матрицы Якоби
(к)7 дх
. _ (2п) Эег- (х,х,..., х )
(х)Ь
гапк(-——-) < тш(т,(2п +1) • т) < т, к = 0,2п, г = 1, т).
(к) 7
дх
. _ _ (2?)
Эе'- (х, х,..., х )
Значит, гапк( (х)Ь_) = т. Следовательно, система уравнений е- :ЭД(2п+1)т зф
V (к) 7 (х)Ь х
Э х
сТ пХт) ® задает гладкое подмногообразие размерности (2п +1) • т - т = 2тп .
Теорема 8 доказана.
Рассмотрим У окрестность точки е Т2пХт, на которой определена проекция я2п-1 : Т2п Хт ® Т 2п-1Хт (каноническая проекция). Окрестность и (и2'1-1) = я2п-1 (у (у^ п)) - образ при каноническом проектировании окрестности У .
Функция / : Т2п-1 Хт з и -1) ® Т2пХт представляет собой гладкое сечение и невырожденную функцию Лагранжа во всей области определения Ь : ТпХт з -1и ® ^ .
Теорема 9 (инвариантный критерий решения задачи). Пусть о/ - подмногообразие сечения / , то есть
о/ =о/ (и) = {у2 п еУ с Т2 пХт | у2 п = /(и2 п-1), и2 п-1 е и(и2п-1)}, а еь (У) - лагранжево подмногообразие в Т2п Хт, то есть
еь (У) = {у2п еУ с Т2пХт I е(х)Ь (Фх (у2п)) = 0 е } .
Два подмногообразия о/ и eL совпадают
о / (и) = о / (я2п-1(У)) = еь(У), тогда и только тогда, если в любой локальной системе координат (х) в базе Хт
е(х)Ь ° Фх ° / : Т2п-1 Хт з и (и2п-1) ® 0 е .
Доказательство проведем от противного. По теореме 8, решение уравнения е(х)Ь ° Фх (у2п ) = 0 е не зависит от выбора локальных координат (х) в базе Хт . Значит, равенство композиции
е(х)Ь ° Фх ° / : Т2п-1Хт з и(и2п-1) = 0 е
не зависит от выбора локальных координат Так как / : Т2п-1 Хт з и(и2п-1) ® Т ( х) в базе Хт лагранжево сечение задается уравнением
Так как / : Т2п 1 Хт з и(и^п 1) ® Т2пХт - гладкое сечение, то в локальной системе координат
(2п)г • (2п-1)
х = /г(х,х,..., х ), (18)
еЬ (У) задается системой уравнений Эйлера - Пуассона
• (п)
• (2п\ п, ЭЬ( х, х,..., х X п Э2 Ь (2п) / , ь • (2п-1)
е(х)Ь(х,х,..., х ) = (Ь(х^Г х )) 7 ЭXс^ЭX(?C^xC2n,7 + (х,х,..., х ) = 0, г' =1,т. (!")
2 (2п)г • (2п-1)
Равенство о/(и) = о/(я2п-1 (У)) = еь(У) означает, что наборы х = /(х,х,..., х ) являются решением системы уравнений (18). Это значит, что
• (п)
г . (2п) • (2п-1) п Э2Ь(х х х) , • (2п-1) г • (2п-1) _
е(х)ь(х,X,..., X = /(х,х,..., х )) = X Э (п)]Э (п)г /](х,X,..., X ) + 81 (X,х,..., х ) = 0, г = 1,т . (20)
• (2п-1) (2п)
Пусть существует набор (х,х,..., х , х ), являющийся решением (19), но не удовлетворяющий
(2п) 7 • (2п-1)
условию (18), то есть х = /7(х,х,..., х ) + ,| Л |=
т
X Л2 Ф 0, тогда 7=1
п д2Ь • (2п-1) п д2Ь • (2п-1) • (2п-1)
5 шх^' +^(х,х..... х '=0(х,х..... х '+^)+'(х,х,...,х )=
п Э2Ь • (2п-1) г . (2п-1) п д2Ь _
= у ——тт^(/7(х,х,..., х ) + е1 (х,х,..., х ) +у ——-—тг^Л; = 0, г = 1,т. (21)
7=1 Эх 7 Эх(п)г ( ] ) е (,,, ) 7=1 Эх 7 Эх(п)г 7 , , ( )
В силу равенства (21) имеем
п э2ь • (2п-1) . • (2п-1) _
x——-—-л-г( (х,х,..., х ) + е1 (х, х,..., х ) = 0, г = 1, т . Значит,
7=1 Эх(п)7 Эх(п)г ( ] ) е ( , , , ) , , ,
п
д2Ь
x , = 0, г = 1, т. (22)
7=1 Эх(п)7 Эх(п)г 7 , , ( )
Так как Ь: ТпХт з к°гп 1и ® ^ - невырожденная функция, то, по теореме 4, в любой системе
2 {п) 2 {п)
, ,д Ь(х,..., х X ^ ~ ,д Ь(х,..., х X-1 , • ;—
координат det(— ) Ф 0. Значит, существует обратная матрица (————) , к, I = 1, т ,
(п)1 (п) 7 (п^к (п)1
д х д х д х д х
такая что
т ,д Ь(х,..., х Х-1 д2Ь Як як [1,к = к
/ (—гг;—ггУ —гг^—гг^ = 8; , где О; = [ - символ Кронекера.
(п)к (ф ) дх кдх к к [0, к Ф к у у
11 д х д х
(п) (п) (п)
т д2Ь(х,..., х ))-1(т д2Ь = т (д2Ь(х,..., х )1 0 = 0 = д2Ь(х,..., х ))-1 д2Ь =
i( (п)к (п); ) (Iдr(и) к 'х»; к) ^ (п)к (п)1 ) ii( (п)к (п)1 ) дх(п) к 'х»/ к
1=1 д х д х к=1 дх дх 1=1 д х д х 1=1 к=1 д х д х дх дх
0 (п) 0
т п ?\2т/ \ р.2т т т т _
=(п(д ^г^ )-1 д (пдЬ(н)!)=^як=^8к+^8к=к=^• 0+^%=^,к=1«. (.з)
3=1 1=1 д х а х дх дх 3=1 к =1 к =1
}Фк }Фк
гк _ А п _ п „ „ як 11 к = к
В правой части выражения (22) уd,• 8 • = уd,• • 0 = 0, т.к. 8; = У - символ Кронекера, то
к=1 /=1 3 3 10, к Фк
кФк кФк
есть d = do,..., dm) = (0,0,...,0) = 0. Получили противоречие с тем, что
V:
(2п) к • (2п-1)
х = у.(х,х,..., х ) + d/,| d |=
т
^О Ф 0. Значит, решением системы (19) являются только наборы ] =1
вида (18).
Теорема 9 доказана.
Следствие. Из теоремы 9 вытекает, что лагранжевость сечения у : Т2п-1Хт з и(v0n-1) ® Т2пХт, которое в локальных координатах задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
(2п) к . . (2п-1) __• (п)
х = у3(х,х,..., х ),к = 1,т, эквивалентно существованию невырожденной матрицы а.(х,х,..., х ),
• (п)
det(a1k• (х,х,..., х)) Ф 0, такой что
т • (п) (2п) к . • (2п-1) т • (п)
Ца. (х, х,..., х )( х - у3 (х, х,..., х )) = Ца. (х, х,..., х к =1 к к=1 к
• (п)
е(х)Ь(х,х,...,(2хп)) = У (-1)'Б(дЬ(x,Г,^.;, х)) = п д.Ь, г(2п>• + g1• (х,х,...,(2Г) = 0, 1 = 17т.
(х)Ь( , , , ) г=0( ) '( дх(г)1 ) /=1 дх(п)кдх(п)1 ^( , , , ) , ,
Итак, сформулированная выше задача лагранжевых сечений в расслоенных пространствах скоростей в локальных координатах означает существование невырожденной системы уравнений Эйлера -Лагранжа, разрешая которую относительно старших производных можно получить обыкновенные дифференциальные уравнения с заданной правой частью.
Возникает естественный вопрос: существуют ли нелагранжевые сечения. Оказывается при п > 1 существует прозрачный необходимый признак.
Теорема 10. Имеет место формула разложения от производной функции Лагранжа порядка к по независимой переменной ,
• (п) к р т . . . (п) (п)
Б,Ь(х,х,...,х) = £! £ ! с/"кг (х,..., х )х(к1)к1 •... • х(кг• + й(х,..., х ),к > 1. (24)
Р=1 Г =1 /1...../г =1 п+1£к1 ,;;;,kr Г
г
2 к1 = гп+ р 1=1
Доказательство. Проведем индукцией по к . Для базы индукции к = 1
• (п) к=1 р т . . . (п) (п)
ВкЬ(,Х, X,..., х) = xx x x С^Х7 (х,..., х )х(к1)71 •... • х(кг 7 + Н( X,..., X ) =
р=1 г=171,..., 7Г =1 п+1<к1'...'кг
'V
■Т-1 п| "к1'—'"г
г
X кг = гп+р г=1
Р=1 т ■ ■ ■ (п) (п)
= x x x с""7г(х,..., х )х(к1)71 •...• х(кг)7г + к(х,..., х). (25)
г=1 Л,..., 7г =1п+1<к1'...'кг г
г
X г. = гп+ р г=1
Так как г = р = 1 , то выражение (25) примет вид
x Ск^'.^^к...'7 (х,...,(х))х(к1)71 •...• х(кг7 + й(х,...,(х}) =
п+1<к1'...'кг 1
г
Xki = гп+р г=1
т 7 м ; (п) ,, , ■ п л- (п) т 7 (п) (п)
= x x С71 к."7г (х,..., х )х(к1)71 •...• х(кг)7г + к(х,..., х) = x С^х,..., х )х(п+1)71 + й(х,..., х ). (26)
71=1 п+Кк! 71=1
=п+1
( ) • (п) • (п) • (п)
Вк=1Ь(х,X,...,хп= АЬ(х,X,...,х()п)= т у ЭЬ(х'х'..., х)х(р+1)71 = т (V ЭЬ(х'х'...,х)х(р+1)71 +ЭЬ(х,х,..., х) х( п+1)71) = ' ' 71=1 р=0 Эх( р)71 71=1 р=0 Эх( р) 71 Эх(п) 71
-1 • (п) • (п) • (п) ( ^
= т x-1 эь(х,х,...,х)х(р+1)Л+т эь(х,х,...,х) х(п+1) 1=т эь(х,х,...,х) х(п+1)л+А(х (х))
7=1 р=0 Эх(р)71 7=1 Эх(п)71 7=1 Эх(п)71 ( ,..., ).
База индукции доказана.
Рассмотрим индуктивный переход. Пусть утверждение верно для к . Докажем, что оно верно для к +1
,,, • (п) к+1 р т . • ■ (п) _ (п)
В^Цх, х,..., х) = xx x x С7; (х,..., х )х(к1)71 •... • х(кг)7 г + й(х,..., х ), к > 1. (27)
р=1 г=1 1,... , г=1 п+1<к1,...,кг 1 г
г
X г/ = га+ р г=1
По предположению индукции имеем
• (п) к р т ,... , (п) (п) ЛкЬ(х,X,...,х) = xx x x Ск;: Х г(X,..., х )х(к1)71 •...• х(кг7 + к(X,..., X )
р=1 г =171'...' 7г =1 п+1<к1'...'кг
X г. = гп+р ¿=1
г
г г П /я
Учитывая линейность оператора дифференцирования Б, (П /) = X ~—В,/и, получим
5=1 и=1 -^и
(п)
• (п) • к р т •••(n) (п)
В.+1Ь{х, х,..., х) = В, (Вкь(х, х,..., х)) = В, (x ее x с71'72;"'7 (х,..., х )х(к1)л .... • х г) 7г + й(х,..., X ) ) =
р=1 г=171,..., 7г =1 п+1<к1,...,к
г
X к/ = гп+ р 1=1 (п)
к р т (п) (п)
xxx x В,Ск;:72к'г"7г(X,..., х )х(к1)71 •...• х(кг7 + ЦИ(X,..., X ) +
р=1 г=171'...' 7г =1 п+1<к1'...'кг
г
Xki = гп+р г=1
--— ' V/,, „ чт-1 „.(к|) 71 „(кг)}, . ^ ^ ^ -V n]lJ2,...,]r,
^ x x x С^2;;7-(х,..., хв,^71,.,хкг7 +x x x x СЙ.:7(х,..., х)х(к1)71 ,., цЛ7
р=1 г=171,..., 7г =1 п+1<к1,... ,кг р=1 r=1]l,...,]r =1 п+1<к1,...,кг
гг X кг = гп+р X кг = гп+ р
¿=1 г=1
г
k p m . . . (n) (n)
z z i i DC^j(x,..., x )x(k1)j .....x(kr)jr + Dth(X,..., x ) +
p=l r=1 ji.....jr =1 n+l<kj,..., kr
r
Z kf = rn+ p i=1
k p mm ^ j ь / (n)
j j2.....x~
+ zz z z jr (x,..., x )x(ki+1) ji ..... x(kr) jr +
p=1 r=1 jijr =1 n+1<ki,...,kr r
Zki = rn+p i=1
k p m (n)
+... + zz z z Cij'k'3r (x,..., x )x(k1)j1 x(k2 +1)j2 ..... x(kr )jr +
p=1 r=1 j1.....jr=1 n+1<k1,...,kr r
r
Zki = rn+p i=1
k p m (n)
+ zz z z ckj2'k'jr (x,..., x )x(k1)j1 ..... x(kr +1) jr. (28)
p=1 r=1 j1.....jr =1 n+1<k1,...,kr r
Zki = rn+ p i=1
rr
Условие zki = rn + p ^ zk-n) = p приводит к виду ¿=1 i=1
... (n)
jj2,-, jr (x 7) m
(n) m n ЭС, , ,, , r (x,..., x ) m (n) . . (n)
D.c/1,72^-j (x,...,(x ) = У У k1,-,k- "--x(u+1)j = У j2V- j (x,...,(x )x(n+1)j + D^2- j (x,...,(x )
j=1« =0 x j=1
г
: означает, что набор (к1,..., кг ):z(k1• - п) = р в сумме
¿=1
к р т ... (п)
НЕ £ Аск;/;;кг(х,...,х)х(к1к •...• х(кг• (09)
Р=1 г =1 /1...../г =1 и 11 ,
г
2k1 = т+р 1=1
г+1 г
будет соответствовать набору (%,...,кг,кг+1 = п +1):Ц (к^ - п) = I(k1• - п) + (п +1 - п) = р +1.
1=1 1=1
В формуле (29) г < р < к ^ г +1 < к +1, р +1 < к +1, а т.к. в выражении (27) выполнено неравенство г < р < к +1, то все слагаемые вида (29) войдут в сумму (27). Каждому набору
г
(%,..,кI,.,кг): £ (к. -п) = р в сумме (28) 3=1
k p m (n)
k j^.-Jr (x,...,(x )x(k1)j1 x(k2)j2 ...x(ki +1)j2.. x(kr)jr
zz z z ckj^^;.'kr(x,...,x)x(
r
r~1 n I ^k1,...,kr
r
p=1 r=1 л,..., jr =1 n+1<k1,...,k,
£ к1 = т+ р 1=1
г
соответствует набор (к1,.., к +1,., кг): £ (к/ - п) = р +1.
3=1
В сумме (28) г < р < к ^ р +1 < к +1, а т.к. в (27) г < р < к +1, то все слагаемые вида (28) войдут в сумму (27).
(п)
(п) т п дА(х х) / • т (п) (п)
Еще одно слагаемое в (28) БДх,..., х) =£ £ ОЯ(х'"-,-х ) х(и+1)к =£В(х,..., х)х(п+1)к + Б(х,..., х).
к=1 и=0 х(и)к /=1
r
Очевидно, что первое слагаемое в последней формуле как частный случай при г = р = 1 входит в первую
(п) _ (п)
сумму формулы (27), а второе слагаемое В(х,..., х ) - в свободный член й(х,..., х ) той же формулы (27).
Итак, все слагаемые суммы (28) являются членами суммы (27). Индуктивный переход доказан. Теорема 10 доказана.
Замечание 1. Все слагаемые в сумме при / > 1,/ < к
• (п) I р т . . . (п) (п)
В, Ь( х, х,..., х) = xx x x C]1,72,t•"7г (х,..., х )х(к1)71 •... • х(кг)7г + й(х,..., х), / > 1, / < к (30)
р=1 г=171'...' 7г =1 п+1<к1'...'кг
г
г
Xki = гп+р i=1
структурно входят в сумму (24), т.к. / < к и все условия в сумме (30) выполняются для суммы (24).
Замечание 2. Введем новые переменные: к1 - п = , к2 - п = 52 ,..., кг - п = 5г ^ 51 > 1,52 > 1,..., 5г > 1 к1 = 51 + п,...,кг = 5г + п , тогда
• (п) I р т . . . (п) . . (п)
В, Ь(X,X,...,х) = xx x x С^1^;-7г (х,..., х )х(51+п)71 •... • х(5г+п)7г + Н(X,..., X ), / > 1.
р=1 г=1 71'...'7г =1 1<51'...'5г ' ' г
г
X5¿ = р i=1
(2п)г • (2п-1) _
Теорема 11. Пусть х = /7(х,х,..., х ),г = 1,т - локальная запись в системе (х) в базе Хт
гладкого сечения / : Т2п-1 Хт з и («о?-1) ® Т 2пХт , п > 1, являющегося лагранжевым сечением
О 1 О 1 О 1 О
в окрестности и (и0п- ) карты (и («02п-1), Фх ); Фх : и(и0п ) ® ^ тп - координатный гомеоморфизм,
, , • (2п-1) • (2п-1)
где Фх (и («о )) = (х)(х0, х0,..., х0 ) с^2тп, Фх (и («2п-1)) = (X, X,..., X ).
Тогда
• (2п-1) п т (п)
/ (X, X,..., X ) =x x x 7г (X,..., X )х(п+51} 71 •... • х(п+5г} 7г +
г=2 71'-' 7г =1 1<51'...'5г г
г
Xsi = п
,=1 (31)
п-1 р т (п) (п)
+ x x x x С^1;72;-7г (х,..., х )х(п+51}71 •... • х +5г}7г + й.(х,..., х ).
р=1 г=171'...' 7г =1 п+1<к1'...'кг г
г
Xsi = р г=1
Доказательство. На основании теоремы 7 имеем относительно старших производных линейную невырожденную систему уравнений
• (п)
. • (2п) п ЭЬ(х х х ) п д2Ь , . • (2п-1) _
е(х)Ь(Xx,..., X ) = у (-1) В,(ЭЬ(*х,7 х )) = 1-7-Э^х(2п)7 + е(X'x,..., х ) = 0' г =1т .
/=0 ' дх(1 7=1 дх(п) 7 дх(п)
Разрешая эту систему относительно старших производных, умножая обе части на (—'.Ь сn,¿.) 1, в силу
Эх Эх
2 (?)
невырожденности функции Ь: ТпХт ® (аеК—^(X'";n,.Д ^) Ф 0), выражаем
Э х Э х
• (2п-1) т э2ь -1 • (2п-1)
/г(х'x,..., х )=-11(Эх(?^ге7(х'x,.., х
(2п)г • (2п-1) _
в результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений х = / (х,х,..., х ),г = 1,т .
Поскольку член со старшей производной в сумме
• (?)
x)L(x,x,...,(2xn)) = ± (~1)ldlt (Шx'x- x)) (32)
/=0 «x()
(n)
,9L(x,x,..., x ).
равен Dt (-—-), то на основании теоремы 10 имеет место равенство
• (n)
ч n p m ••• • (n) (n)
D? = ii у ^ z , j (x,...,x)x(k1) j1 ..... x(kr )jr + h (x,...,x), n > 1. (33)
p=1 r=1 j1,..., jr =1 n+1<k1,...,k,
r
r
Z ki = rn+p i=1
Из замечания к теореме 10 все члены суммы (34) при l < n структурно входят в сумму (33) • (n)
Dl(^xx^) = ¿I У z cj;5;jr(x,...,(x})x(k1)j1 .....x(kr)jr + hi(x,...,(x}),l > 1, (34)
«x p=1 r=1 j1.....jr =1 n+1<k1,...,kr r
r
Zki = p i=1
поэтому вся сумма (32) будет структурно иметь такой вид, как и выражение (33) • (?)
nЭЦx,x,..., x \ = np У z j2,...У.. (n-\-(k,) j „(kr) /r , dx(n)i
d?c^^^n^) =zz _ z z j,;;7''(x,...,x)x(k1)j1.....x(kr)jr+h(x,...,x)(n> 1). (35)
p=1 r=1 j1.....jr=1 n+1<k1,...,kr
r
Zki = rn+p i=1
По теореме 7, запишем биномиальный коэффициент
(?)
С/1 (х)) (36)
Соп(x,..., х ) = (п)1- (п)/1 . (36)
д х д х
(2п) /1 _
Слагаемым х , /1 = 1, т в сумме (35) с максимальным порядком производной, равным 2п,
г=1
имеющим коэффициенты вида (36) соответствует условие £ (к; - п) = п^ к1 = 2п, то есть г = 1, р = п .
1=1
Все остальные слагаемые в сумме (35) зависят от производных порядка не выше 2п -1. Поэтому выде-
(п)
(2п)/1 __т .. (п) (2п)/1 т д2 (
(2п)/1 __т /. (п) (2п)/1 т д2Ь(х,..., х) (2п)/1
ление в (35) слагаемых х ,/1 = 1,т в отдельную сумму £ сО/п(х,..., х ) х =£ —; х
•1=
означает исключение из суммы (35) слагаемых с г = 1м р = п .
. t x ) x = ^ (n)i (n)j1 x
j1=1 j1=1 Э x Э x
Отрицание условия (г = 1) л (р = п) имеет вид (г = 1) л (р = п) = г = 1V р = п = (г Ф1) V (р Ф п). Условие (г Ф1) л (р Ф п) включается в условие (р Ф п). Это следует из
(г Ф1) = (г Ф1) л 1 = (г Ф1) л ((р = п) V (р Ф п)) = (г Ф1) л (р = п) V (г Ф1) л (р Ф п).
(г Ф 1) V (р Ф п) = ((г Ф1) л (р = п) V (г Ф1) л (р Ф п)) V (р Ф п) =
= ((г Ф1) л (р = п)) V ((г Ф1) л ( р Ф п)) V (р Ф п) = ((г Ф1) л ( р = п)) V ((г Ф 1) л (р Ф п)) V (р Ф п) л 1) =
= ((г Ф1) л (р = п)) V ((г Ф 1) V 1) л (р Ф п) = ((г Ф1) л (р = п)) V ((г Ф 1) V 1) л (р Ф п).
Так как ((г Ф1) V1) = 1 и ((г Ф1) V1) л (р Ф п) = 1 л (р Ф п) = (р Ф п) то,
((г Ф1) л (р = п)) V ((г Ф 1) V1) л (р Ф п) = ((г Ф1) л (р = п)) V (р Ф п).
Итак, (г Ф1) V (р Ф п) = ((г Ф1) л (р = п)) V (р Ф п) = ( г > 2) л (р = п)) V (р < п-1). (37)
Условия ((г Ф1) л (р = п)) и (р < п -1) не пересекаются.
(п)
Эх(п)/
ЭЬ(х,х,..., х ^ = т _ ,7,^ 7 (?) (?)
р=1 г=1 71,... , 7г=1 п+1<к1,...,кг
В?= x x x x С7;'7(х,..., х )х(к1)71 •...• х(кг7 + I.(х,..., х ) =
г
X г, = гп+ р ¿=1
т .. (?) (2п)71 п р т ■■ ■ ■ (п) (п)
тС2П(х,...,х) х + У x т x Т;';;7'' (х,..., х)х(к1) 71 •... • х 7 + й (х,..., х) =
71=1 р=1 г=1 71'...' 7г =1 п+1<к1'...'кг г
(г*1)у (рФп) г
X к/ = гп+р ¿=1
т (п) (2п)71 п р т ¿. . , (?),,,.„,. (?)
= xcfn(х,...,х) х +x x xx c;l:j.2;;,7(х,..., х)х(к1)71 •...• х(кг)7 + й(.(х,..., =
71=1 р=1 г=1 71.....7г =1 п+1<к1,..., кг
((г>2)л(р=п)) у(р<п-1) г
Xк, = гп+р ¿=1
(п)
т 2 (2п) 71 п т (п)
= т Э-Ь;()гlínf х 1+ п т x 7Гг и.....'^•...•х«..7+
71 =1 Э х Э х г=2 Л'""7г =1 п+1<к1'-'кг
г
X к/ = гп+п ¿=1
п-1 р т (п) (п)
+ xx x x (х,..., х )х(к1)71 •...•х^г +Й/.(х,..., х). (38)
р=1 г=171'...' 7г=1 п+1<к1'...'кг
Xki = ГП+р ¿=1
• (п)
• (2?) п , , ЭЬ(х,х,..., х ) Тогда уравнения е(х)ь(х,х,..., х ) = x (-1) в( (-' -) = 0 будут иметь структурный вид (38).
I=0 Эх(/)/
(п)
Э2Ь(X,..., X )(2п?71 " т X 772'...'7^. (п.\
xд ьех-ух1) х -x x x ск11:7х"7г(х,.. х^71 •...•х^-
71 =1 д х д х г=2 71'-'7 =1п+1<к1'...'кг
г
кг = гп+п
¿=1
п-1 р т (п) (п)
-xx x x С7''7г(X,..., х )х(к1)71 •...• х(кг7 + (х,..., х). (39)
р=1 г=171'...' 7г =1 п+1<к1'...'кг
X к/ = гп+р ¿=1
2 (п)
д Ь(х,..., х X-1 л
Так как (—^^—) зависит от производных порядка п, то при умножении обеих частей
3 х Э х
д2 (п)
формулы (39) на обратную матрицу (—Ь(х,..7 х.))-1 правая часть (39) сохранит свой структурный вид:
(п)к (?) 71
Э х Э х
(2п)г • (2п-1) п т . , (?)
X = /¿.(X, X,..., X ) =x x x с^Х7 (х,...,х)х(к1)71 •... • х(кг)7г +
г=2 71'...' 7г=1 п+1<к1'...'кг г
■Т 1 *-'Ч.—. "г
г
X к/ = т+и ¿=1
г
г
+ zz z z Cjj£lr (x,..., x )x(k1)j1 ..... x(kr) j + h¡ (x,..., x ). (40)
p=1 r=1 j1,..., jr=1 n+1<k1,...,kr
r
Zki = rn+p i=1
При замене переменных в сумме (40)
k1 - n = 51,k2 - n = S2,...,kr - n = sr ^ ; > 1,S2 > 1,...,sr > 1 k1 = ; + ",...,kr = sr + n
получим
(2n)i • (2n-1) " m j. . . (?) , ,
x = f(x,x,..., x ) =z z z С^;-.'jr(x,..., x )x(n+51)j1 .....x +5r)Jr +
r=2 j1.....jr =1 1<;1,...,;r r
r
Z;i = n i=1
n-1 p m (n) (n)
+ zz z z С*^;-jr (x,..., x )x(n+;1)j1 ..... x(n+;r )jr + h¡ (x,..., x). (41)
p=1 r=1 j1 ,..., jr =1 n+1<k1,...,kr
r
Z;i = p i=1
Теорема 11 доказана.
(2n)i • (2n-1) _
Теорема 12. Пусть x = fj(x,x,..., x ), i = 1,m - локальная запись в системе (x) в базе Xm
гладкого сечения f : T2"-1 Xm é U(«o"-1) ® T2nXm , n > 1, являющегося лагранжевым сечением в окрестности U(uO?-1) . Тогда
• (2"-1) m m • (?) ("+1)k (2"-1)j m • (?) (2"-1)j • (2"-2) _
fi(x,x,..., x ) =z Zaji(x,x,..., x) x x + zbji(x,x,..., x) x + c¿(x,x,..., x ) i = 1,m . i k=1 j=1 kji j=1 ji i
Доказательство. Используем основное утверждение теоремы 11 - формулу (31)
• (2n-1) n m (n)
f (x x,..., x ) =z z z C^.'Jr (x,..., x )x("+;1)j1 ..... x("+;r )jr +
r=2 j1.....jr =1 1<;1.....;r r
r
Z;i = " i=1
n-1 p m (n) (n)
+ zz z z C1*;-jr (x,..., x )x("+*> j1 ..... x +;r )jr + h¡ (x,..., x ). (42)
p=1 r=1 j1 ,..., jr =1 "+1<k1,...,kr r
r
Z; = p i=1
" m • (?)
Слагаемые со старшей производной в сумме z z z Cíj1,j2'"''jr (x,..., x )x("+;1)j1 ..... x("+sr)j
r=2 A — jr =1 1<;1,-,;r r
r
Zsi=" i=1
• (") ("+"-1) ("+1)
имеют вид a(x,x,..., x) x x . Это следует из того что r = 2 и ; + = ", тогда решениями являются
• (?) (2"-1) ("+1)
наборы (s1,S2) = (n-1,1), (s1,52) = ("-2,2), ... Член со старшей производной такой a(x,x,..., x ) x x . Аналогично слагаемые со старшей производной во второй сумме
" 1 p m i. . . ("),,,.,,,. (") • (n) (n+n-1)
zz z z j jr (x,..., x )x(n+;1) j1 ..... x(n+;r)jr + h (x,..., x) имеют вид b(x, x,..., x) x .
p=1 r=1 j1 ,..., jr=1 n+1<k1 ,...,kr r
Z; = p i=1
Это следует из того, что г = 1, р = п -1 и 51 = р = п -1, тогда решениями являются наборы
• (п) (2п-1)
(51) = (п-1). Член со старшей производной равен Ь(х,х,..., х ) х .
Теорема 12 доказана.
Результаты, полученные методами дифференциальной геометрии, применимы в линейных и нелинейных задачах математической физики, а также в технических приложениях [20-23].
ЛИТЕРАТУРА
1. Дубровин, В. А. Современная геометрия. Методы и приложения / В. А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М. : УРСС, 1994.
2. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. - М. : Гостехиздат, 1956.
3. Погорелов, А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. - М. : Наука, 1974.
4. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М. : Наука, 1974.
5. Козлов, А. А. Об управлении показателями Ляпунова двумерных линейных систем с локально интегрируемыми коэффициентами / А. А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 10. -С. 1319-1335.
6. Козлов, А.А. Об управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / А.А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 621-627.
7. Козлов, А. А. О глобальном управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / А.А. Козлов // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. - 2006. - № 3. - С. 63-64.
8. Галеев, Э.М. Краткий курс теории экстремальных задач / Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. - М. : Изд-во МГУ, 1989. - 203 с.
9. Обобщение теоремы Гамильтона - Остроградского в расслоениях скоростей произвольного порядка / С.Г. Ехилевский [и др.] // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2016. - № 12. - С. 125-133.
10. Закон преобразования обобщенного импульса / С.Г. Ехилевский [и др.] // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 4. - С. 85-99.
11. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Серия «Проблемы геометрии»: ВИНИТИ. - 1979. - Т. 9. - С. 5-246.
12. Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых и дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко. - М. : Факториал, 1995.
13. Инварианты в расслоениях скоростей произвольного порядка / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов, С.В. Голубева // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2015. - № 12. - С. 117-123.
14. Вакуленко, С.П. К вопросу о нелинейных волнах в стержнях / С.П. Вакуленко А.К. Волосова, Н.К. Волосова // Мир транспорта. - 2018. - Т. 16, № 3 (76). - С. 6-17.
15. Пастухов, Ю.Ф. Задача построения поля линий тока по температурному разрезу / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2015. - № 4. - С. 27-36.
16. Пастухов, Ю.Ф. Тензор обобщенной энергии / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 12. - С. 78-100.
17. Пастухов, Ю.Ф. Группы преобразований, сохраняющие вариационную задачу со старшими производными / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2018. - № 4. - С. 194-209.
18. Пастухов, Ю.Ф. Сборник статей по дифференциальной геометрии [Электронный ресурс] / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов. - Новополоцк : ПГУ, 2018. - Режим доступа: Ьйр://еИЬ.р8и.Ьу:8080/ЬапШе/123456789/22094. - Дата доступа: 15.06.2018.
19. Пастухов Ю.Ф. " Необходимые условия в обратной вариационной задаче ", Фундаментальная и прикладная математика,7:1(2001), 285-288.
20. Пастухов Д.Ф. Аппроксимация уравнения Пуассона на прямоугольнике повышенной точности / Д.Ф. Пастухов, Ю.Ф. Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 12. - С. 62-77.
21. Пастухов, Д.Ф. Оптимальный порядок аппроксимации разностной схемы волнового уравнения на отрезке / Д.Ф. Пастухов, Ю.Ф. Пастухов, Н.К. Волосова // Вестник Полоцкого университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2018. - № 4. - С. 167-186.
22. Наилучшее приближение монотонно убывающих функций кусочно-постоянными функциями в метрике квадратичного отклонения / Р.Ю. Карабанов // Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук : сб. науч. ст. IV науч.-практ. междунар. конф. (школы-семинара) молодых ученых: в двух частях. - 2018. - С. 48-53.
23. Пастухов, Ю.Ф. Квантование функции плотности нормального распределения в метрике квадратичного отклонения [Электронный ресурс] // Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов, Р.П. Богуш / Информационно-коммуникационные технологии: достижения, проблемы, инновации (ИКТ-2018) : Электронный сб. ст. I междунар. науч.-практ. конф., посвящ. 50-летию Полоцкого государственного университета, Новополоцк, 14-15 июня 2018 г. / Полоцкий государственный университет. - Новополоцк, 2018. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). - С. 92-95.
Поступила 24.09.2018
LAGRANGIAN SECTIONS Y. PASTUKHOV, D. PASTUKHOV
The concept sections of Lagrange in fibered velocity spaces of arbitrary order is defined invariantly, their properties are formulated and proved, an invariant criterion for solving the problem is given, a necessary condition for Lagrangian sections and ODE systems of arbitrary even order is obtained.
Keywords: inverse variational problem, stratified velocity space, Lagrangian section, Euler - Lagrange equations, smooth manifolds, energy tensor, tensor of generalized momentum, nondegenerate function.
