ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 514

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Ф. ПАСТУХОВ, канд. физ.-мат. наук, доц. Д.Ф. ПАСТУХОВ (Полоцкий государственный университет)

Рассматриваются свойства функций Гамильтона и Лагранжа в координатно-импульсном пространстве. Основным полученным результатом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка Гамильтона является утверждение: решения системы 2тп ОДУ уравнений Гамильтона первого порядка являются решениями соответствующей системы т дифференциальных уравнений порядка п Эйлера - Лагранжа, двойственной к функции Гамильтона, и соответствующего невырожденного преобразования переменных.

Получены формулы, связывающие частные производные в координатно-импульсном пространстве д-р для функций Лагранжа и Гамильтона по одним и тем же переменным. Определены формулы для частных производных для двойственной к функции Гамильтона функции Лагранжа по координатным переменным в координатно-импульсном пространстве (Хп, Рп Х) .

Ключевые слова: функция Гамильтона, вариационная задача, расслоённое пространство скоростей, уравнения Эйлера - Лагранжа, гладкие многообразия, тензор обобщенного импульса, невырожденный гессиан.

Введение. У.Р. Гамильтон в 1835 г. получил новую форму уравнений движения механических систем - канонические уравнения Гамильтона. Полученная система канонических уравнений содержит вдвое больше дифференциальных уравнений, чем система Ж.Л. Лагранжа, однако все они первого порядка (у Лагранжа - второго).

Вариационное исчисление является одним из старейших, богатых содержанием и приложениями, разделов математического анализа. Вариационные задачи (например, изопериметрические) рассматривались и в древности, но исследовались геометрическими методами, поэтому началом зарождения вариационного исчисления можно считать работу П. Ферма 1662 г., где аналитическими методами исследована задача о распространении света из одной оптической среды в другую, а также преломление света на границе двух сред. Аналогичные (но более общие) вариационные задачи исследовались И. Ньютоном (задача о наименьшей поверхности вращения, 1685 г.), Д. Бернулли (задача о брахистохроне) и др.

В 1696 г. И. Бернулли сформулировал и опубликовал математическую проблему, предложив математикам своего времени заняться ее решением. В задаче о брахистохроне требовалось найти форму гладкой кривой, соединяющей две точки так, чтобы материальная точка, двигаясь по ней без трения под действием силы тяжести, прошла участок между этими точками за минимальное время. Задача была решена крупнейшими учеными того времени - Я. Бернулли, Г. Лейбницем, Г. Лопиталем и И. Ньютоном. Свои подходы к решению этой задачи предложили Л. Эйлер и Ж. Лагранж, что привело к рождению вариационного исчисления. Эти решения наметили многие направления будущей общей теории. И. Бернулли исходил из оптико-механических аналогий, Я. Бернулли применил принцип Гюйгенса, Г. Лейбниц решил задачу, заменяя гладкую линию ломаными, заложив тем самым основу прямым методам в вариационном исчислении.

Основателями общей теории вариационного исчисления, которые дали название этой науке, являются Л. Эйлер (уравнения Эйлера) и Ж. Лагранж (метод вариаций). Свой вклад внесли А. Лежандр (исследование второй вариации - необходимое условие Лежандра), У. Гамильтон и Б. Якоби (понятие сопряженной точки, необходимое условие Якоби, теория Гамильтона - Якоби), А. Клёбш и Ю. Майер (задачи с функционалами более общей природы, необходимое условие Клёбша, поля экстремалей Майера), К. Вей-ерштрасс (задачи в параметрической форме, достаточные условия сильного экстремума). Работы Майера конца XIX в. послужили основой для углубленного исследования вариационных задач Лагранжа и Майера, доказательства правила множителей для них и др. В начале XX в. Д. Гильберт ввел свой известный инвариантный интеграл для доказательства достаточных условий экстремума, А. Кнезер исследовал задачи с подвижными концами, Б. Якоби получил геометрическое условие (при помощи огибающей семейства экстремалей). Представленная работа является продолжением работ авторов [9, 10, 13, 16-22].

Основные определения. Пусть Н(д, р): К2тп ^К - функция Гамильтона с 2тп независимыми переменными

(д/22,р-Ц) ]\ = 1,т , 11 = 1,п ,72 = 1,т , 12 = 1,п,

где р=р=(р\\,Р21,...,рп1)=(р\р1...рт,р2р^р,...,р\,...,рт)=(р/11) 7\=1т п=ш;

9 = 9 = (?!% ч2 2,..., чП2) = (?1?12...?Г, ?2?22...?2т,..., ч!,..., чЭ = (?/22) 7 2 =1т 12 = 1, п

При этом нижние индексы меняются от 1 до и, верхние индексы меняются от 1 до да.

п-1 т т (д р)

Определение 1. Ь(д,р): К2тп ^К ¿(д, р) = -Н(д,р) + £ Е р(ч(+1 + Ер'п--- функция

к=1 7=1 7=1 Фп

Лагранжа, двойственная к функции Гамильтона Н(д, р): К2тп ^К.

Постановка задачи. Пусть Н(д, р) - функция Гамильтона зависит от 2тп независимых переменных (Чп , р]п ), И = 1, т, 11 = 1, п, у2 = 1, т, 12 = 1, п , при этом нижние индексы меняются от 1 до и, верхние индексы меняются от 1 до да. Исследуем свойства функции Гамильтона Н(д,р): К2тп ^К и функции Ла-

дн (д, р)

п-1 т т

гранжа, двойственной к функции Гамильтона Ь(д,р) =-Н(д,р) + ££р1ч(+1 + £р'„--,—, а также

к=1 7=1 7=1 др„

связи между этими функциями Н(д, р): К2тп ^К, Ь(д, р): К2тп ^К; сформулируем и докажем обратную

теорему Гамильтона.

Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть 5, к = 1, п, ',7 = 1, т . Тогда

д [(1-81)5' 5к+1 , 5 = 1,к = Гп , ',7 = 1т — _

1) ддк+1 = [( 5) 7 5 , , , ^ , _ = 5' 5к+1 (1-51) , 5,к = 1,п, 7 = 1,т ; (1)

дд5 [(1 -5')5; 5к+1 , 2 < 5 <п,к = 1,п , 7 = 1,т

2) М. = др^ = 0, 5, к = Щ, 1,7 = 1^; (2)

дд; дд1

3) ^ =5/5к, (3)

др5 ' 5

1, а = Р 0, аФР

Доказательство. Прибавим 1 к обеим частям двойного неравенства 1 < к < п -1 ^ 2 < к +1 < п, 1 < 5 < п , поэтому при 5 = 1

где 5раНл п- символ Кронекера.

= о = 1 -1 = 1-51 = (1-51)5' 5к+1, ',7 = 1,т,

дд5

Г1,5 = 1 Г1,5 = 1

где 51 = [ = [ - символ Кронекера. При 5 = 1 формула (1) доказана;

5 [0,5 Ф 1 [0, 5 > 2

1,' = 7 , , [1,5 = к +1

' г к+1 I '

5'. = [ , 5к+1 = ^ - символ Кронекера.

7 [0,1 Ф 7 5 [0,5 Ф к +1

При 2<5<п ^ = |и' = 7Л(5 = к + 1 = 5'^ =5'5к^ 1(1-51), ',7 = или дд[ [0,(' Ф 7) V(5 Фк +1) } 5 } 5 ( 5'' ,7 ,

дд7 [(1 - 51)5'5к+1, 5 = 1, к = , ', 7 = _ _

ддк+1 I у 5' 7 5 ■> я^к=-1 ч 7 , ■ ■ 1

—= [ ___= 5 5 к (1 - 51), 5, к = 1, п, 1,7 = 1, т.

дд5 [(1 - 51)5^.5 к+1, 2 < 5 < п, к = 1, п,', 7 = 1, т

Вторая и третья части теоремы очевидны:

др7 др7 — —

= = 0 , 5,к = 1,п, ',7 = 1,т , т.к. переменные р, ч независимы;

дд' дд'

др( _ /1,(1 = Л) Л (к = 5) _

. . = 5Л 5 , условие во второй строке очевидно является отрицанием условия

др 1М' Ф Л) V(к Ф 5) в первой: (г = Л) л (к = 5) = (г = Л) V (к = 5) = (г Ф Л) V (к Ф 5) . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть (д, р) - 2тп независимых переменных (д/22, рЦ), Л1 = 1, т , 11 = 1, п , Л2 = 1, т , 12 = 1, п. Тогда при 5 = 1, п, г, Л = 1, т и произвольных рЛ ей выполнено соотношение

п-1 т п-1 т

XX(р* (!-55)5'л 55+1 = (1 -55)XXрЛ 5Л 55+1 = р5 1 (1 -55) = р5 1 (1 -55 )(1 -5п), (4)

к=1 Л=1 к=1 Л=1

[1,5 = 1 [1,5 = 1 [1, г = Л 8к+1 [1,5 = к +1

где 5, = [ = [ , 5, = [ , 5. =[ - символы Кронекера.

5 [0,5 ф 1 [0,5 > 2 1 [0,' ф Л 5 [0,5 ф к +1

Доказательство. (1-51) не зависит от индексов суммирования к, Л, поэтому

п-1 т п-1 т

X X (Р1 (1 -55) 5Л 55+1 = (1 -55) X Ер* 5 Л 55+1.

к=1 Л=1 к=1 Л=1

п-1 т

При 5 = 1 (1 -55) = 1 -1 = 0 ^ (1 -55)XXрк 5'л 55+1 = 0, ¿-1(1-55) = '0 = 0, и утверждение

к=1 Л=1

теоремы 2 выполнено.

При п > 5 > 2 ^ 5-1 > 1

51 = 0,1-51 = 1-0 = 1 ^ р'-1 (1-51) = Р1 -1 - правая часть;

Л Я' як+1 I Л-1 = р5-1,(Л = 0 л (к + 1 = 5)^п ХК ' п К' '

рк 5Л 5, =[п , , „ , , ^ (!-5,)р^-1 = (1- 0)р_1 = р^-1 - левая часть утверждения.

1 [0, (л Ф г) V (к +1Ф 5)

При п = 1 ^ 5 = 1 (5 = 1, п) ^ = = 1, поэтому

р5-1(1-55 )(1-5п) = р1-1 (1-51 )(1-51) = 0 = р-1(1-51).

При п > 1 ^ = 0 ^ (1-5п) = (1-0) = 1 ^ р'1) = р5-(1-5^ )(1-5п). Формула (4) проверена. Теорема 2 доказана.

п-1 т т дН (д р)

Рассмотрим функцию 1(д, р) = -Н (д, р) + X X р^м + X р--Т7—.

к =1 Л=1 1=1 дрп

"-1 т т дН (д р)

Теорема 3. Пусть Ь(д, р) = -Н(д, р) + X X р1 д*+1 + X рл--,—. Тогда имеют место равенства

к =1 Л=1 Л=1 др

1) +р5 )а-5. )+jГp;^; (5)

дд, ^ К дрЛ ^

2) Щй = -ддНЫ1 + (1-51 )(1 -55 )д'+1 +55 дН + ±рл!Н_, (6)

) др5 р ( п)( п)д5+1 -др: ¿гр дрЛдр\, ()

а [1, а = р

где 5В = [ - символ Кронекера.

р [0 , в Ф р

дЬ(д, р) дН(д, р) ^^ ,дрк' л л д?к+1Ч ^ Ж дН(д, р) J д2Нч Доказательство: ^ =--^^ + XX (ттЛ + рл ^тт) +X (тт + рл Т^г)-

дд5 дд5 к=1 Л=1 дд5 дд5 м дд5 дрп дрп дд5 дрл дрл

По теореме 1 имеем = -¡-2- = 0 . Переменные р, д независимы, поэтому перепишем равенства

дд' дъ

дд{+1 [(1 - 55 )5Л5к+1, 5 = 1, к = й, I, Л = 1т

дд5 [(1 -51)5'.5к+1,2 < 5 < п, к = 1, п, г, л = 1, т

_ _= 5' 5к+1 (1 - 51), 5,к = 1,п, г,л = 1,т , поэтому

Щд,р) _ дН(д,р) , ^Ж' / , , дд.+1Л , ^Ж дН(д,р) , , д2Н

- +

ЕЕ (дР-g¿+\ + р'и ^тТ )+Е (|рг +);

дд5 дд5 к=17=1 дд5 дд5 7=1 дд5 фп фп дд

дДд,р) - +(1 -51 )£ЕЕ7+рк 7+£(М+р^)=

дд5 дд5 " к=1 .=1 дд5 + дд5 7=1 дд5 Фп " др'„ Ч

=-дН (д, р)+(1 -51)£ ££ (7)+£ р.) =

дд5 ( ")£^ дд5 ) £{Р" др/дд-)

- ^И+а-5!)££(р(1 -55)57.5Г1н£р- Нн

I V п ^ / ^ / ; к V 5 / 7 5 / / ; Г п

нч5 к=17=1 7-=1 дкдд*

= -дН(g, р) - 51)(1 - 51)£ £ . 5' 5к+ч £ у =

дд; ( ")( 5 )£ £ А 7 5 £ ^ др/ дд; = -д + (1 -51)(1 -55) р' +£¿-7 .

нч5 7=1 др. нЧ5

п-1 т п-1 т

По теореме 2 £ £ р (1 - 55) 57 5к+1 = (1 - 55) £ £ р. 5) 5к+1 = р[- (1 - 55), поэтому

к=1 7=1 к =1 7=1

.дНдр) + (1 - 51 )(1 - 51 )£ £ р. 5' 5к+1 + £ р = + р' 1 (1 - 51 )(1 - 51) + £ р .

дд5 ' ")( 5 )£ £ рк 7 5 р дрп дд[ дд[ р5-Л ")( 5) £р дрп дд[

Формула (5) проверена. Первая часть теоремы 3 доказана.

¿(д,р) = -Н(д,р) + £+ ±р. д-Н7 = -Н(д,р) + (1 -в^Ёр^ + ±р. Н(чр)

■ ^^ , V £ р'п ■

к =1 7=1 7 = 1 ^Р. к=1 7=1 7=1 др'п

дL<g,р _ дНдр+(1 -51)(н^^ + р Н^+т^дНдр)+р д2Н

Ф5 Ф5 " к=17=1 Ф5 + Ф5 7=1 Ф5 др. п др. др5

дрк I1, (5 = к) Л (' = Л 5 к = 1,п 7 = 1, т ддк+1 А —- = [ _ _= 575х и 1к+1 = 0 , поэтому

др5 [0, (5 Ф к) V (' Ф 7), 5, к = 1, п,', 7 = 1, т др'„

|Н ^+о-5п )£ £ У + р; ^+££ <|Рn нн(ч,р)+р>.-ННг>=

др5 П^4др5"""к др'/ др5 др. гп др.др!!

дН(д, р)+а-51 ):Г:££. д +££дН(д, р)+р^^^)=

|р ( п)£' 5 к+1) ^^' 5 др. р др.др5)

^2 1

|Н(д,р>.+о_5 :,К1 -5:д Н^р!+±р НН

Ф' V п' -^;+\ 5 ' / 1 г п ^ у ^ '

. дрп 7=1 др. др5

Формула (6) проверена. Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть Н :К2тп ^К - функция 2тп независимых переменных (д/22, р.1) /1 = 1, т, /1 = 1, п, /2 = 1, т, 12 = 1, п и выполняется условие det<1 Н(д'р)) Ф 0,', / = 1, т окрестности (д, р0) точки (д0, р0). Тогда:

> ш дН (д, р) . — „

1) замена переменных рп ^ х() =-:—,' = 1, т является невырожденной в окрестности точки

др'п

(д0, р0) и справедливо

дх^' _ д2Н(д, р) .

др др др' Г п г П г П

2) локально существует обратная замена

р1п = рп д д2,..., дп, Рl, Р2,•••, p„-l, х<л)); (8)

3) имеет место формула свертки

' д2Н(д, р) дрл- = Г1, ' = Л

X др'пдр5 дх(п)л л [0,' Ф Л

у 8 H (qP) ■ = 8\ = • ' J - символ Кронекера. (9)

8H(q, p)_ 8x(n)i _ 5 fiH(q, p\_ 82H(q, p)

Доказательство. x( n'' =- ^-=-(- ) =

8РП 8PJn 8PJn 8P'„ ФЖ

^2 1

Выражение (7) проверено. Поскольку гессиан det(82H(q, P)) * 0 невырожден, то по теореме об обрат-

8P„ ей

ной функции существует обратная замена

К = pL q q2,..., q„>Pi=P2,-=p„-i=x(n)), (10)

следовательно, первые две части утверждения доказаны.

Продифференцируем зависимости координат по импульсам

xn(,) (qi,..., q„,Pi,p„_i,p„(qi, q2,...,q„, Pi, p2,p„_i, x(n))) = xn(,), i,I, j =1,m . Учитывая, что

8x(„82H(q, p) . 8x„(i) — . _8p

--;—— > -^ = 0 ^ = i,„ ; = 0 s = i,„-i,

8p„ 8p„8p„ 8q7 x„(j)

8x„(i) _ 8x„(i) 8ql „t1^ cxn(i) 8pls m 8xn(0 8pln

j уу Я „n "(j) ууя1 n( j) у

7=i 8q7 xn(j) ti ti P xn(j) n=f 8p„ xn(j)

n(i) Я^1 Я2 HY^ PlW

n-i m m ^ ^ ^ _

L(P,q) = -H(pq) + УУpiqL +Уpi ■8H(LrPL невырождена det() * 0, i, j = i,m , где

_ - ахя(') _дрр_ У 82Н(д, р) др "1 дрп хп(п "1 др'„др'„ хп(Л ,

доказана формула (9) и теорема 4.

Теорема 5. Пусть Н(д, р) - функция Н :й2тп ^й 2тп независимых переменных (д/22, р//)

Л1 = 1, т, /1 = 1, п, Л2 = 1, т , /2 = 1, п, и пусть функция Гамильтона в уравнении связи

дН (д, р) д2 Н (д, р)л --:— невырождена ёе1;(-^иг-'л

к=1 л=1 Л=1 дрп ¿К ср:

и(д0, р0) - окрестность точки (д0, р0 )•

Тогда справедливы следующие результаты:

1) формула замены переменных - это переход от р' к х(п)г:

р ^ ^ , г=1т, (11)

др„

является невырожденным в окрестности точки (д0, р0);

2) локально существует обратная замена р'п = р'п (д, д2 д, р1, р2,..., р^ 1, х(п)); (12)

д

3) ъп'1^, д2-..'д», р1, р2, ри-1, рп ^, ддп, р1, р2, -ри-1, х<и)))=р' - (13)

Доказательство. По теореме 4 первые две части теоремы 5 доказаны:

х(„),. = дН(д, р)_ сх01= д дН(д, р^ д2Н(д, р) . дР: дрЛ др'„ др„ др'„ др„

ае1( дядр))

Ф 0, поэтому по теореме об обратной функции существует обратная замена перемен-

дрл др' Г п г П

ных р'„ = р'„ д д2,...,д„, Рl, р2 ,..., p„-l, х(п)) такая, что

д - ' («)лл_

8x(n)i

- L(qi, q2,...,qn, Pi, P2,..., Pn -, Pn (qi, q2,..., qn, Pi, P2,..., Pn-i,x )) =

xn(j)

д , j j т / т(д,р)ч - (-Н (g, р) + £ £ р. д.+1 + £ р1.--) =

йг^ /=1™ф.

д ^ ч д , II ч т д / / дН(д,р)ч

о?Н^р) + ЕЕтн)7(р/д.+1)+Е1;-н)7(Р. • Г/О = (14)

дxl<:>' /Е .=1 дx(:> к+1 .=1 дx(:>^ п др.

= уу_ 5Н (д, р) дд. дН (др) др. |

£ дд. дx(:)' др/ дx(:)'

+£ £( н^' х.. 1+р.'( н-пт«^ 1»+£« н^- •¡Нр^+РК н^ ¡Н/2»- <15>

дд; — д - - д -

Далее, учитывая тождества ^-(к- = 0; к = 1, и; ^-.т р. = 0; к = 1, п -1; ^-.т д.+1 = 0, формулу (15)

можно переписать в виде

НН(д,р) дд. дН(д,р) _Ф. + уу,_|

££ Нч. дx(:)' др. Е^^'

I/ д I ч т„ д 14 дН(д,р) IV д дН(д,р)..

+£ £рк (нн^ +£(( нн^)-¡р^+р (нн^ -¡р^»=

= ^-Нн(я1р)н/+у(( 1 , ) ННдр. + (_^_Нн(я1р1 » (16)

££ др. дx<:)' £=1«Нс«"^ др7 р(п др7 ( )

др др С учетом теоремы 3 —п- = —• 5п =

др. к = п [1, к = п

д^п, 5п = [ - символ Кронекера, (17)

10, к Ф п

0, к < п

¡x(:>' ¡x(:>1'

(переменные д1,д2 д,р1,р2,...,р^,x(:) независимы), тогда выражение (16) запишем в виде

НН(д,р) др. т д п дН(д,р) п д дН(д,р)

£ £ др. IX<:)' £ НсЮ'^'' др7 Р(п др7

= уу |Н (д,р) ¡р. + у « 1 /) |Н (д,р) + ( 1 |Н (д,р))) =

££ др. дx(:)' п ££«дx(:)' ) др. дx(:)' др. "

дН(д,р) др. т д НН(д,р) . д НН(д,р)

|р7 дx<:)' ее«н^'^ др7 р(п др7 ;)

= т_ дН(д,р)+ // дН(д,р) У п д дН(д,р)

ЕЕ др. дx(:)' £(д^' др7' £ п др

= т НН(д,р) др/+др.. НН(д,р) т / д дН(д,р) ^ . д дН(д,р) (18)

ЕЕ( др. дx(:)' дx(:)' др. ' Е р( дxn др. * £ р( дxn р Л К )

тк у( дН(д,р) др. , др. дН(д,р) у ¡Н(д,р) | дН(д,р) ¡р. _р

.. £ др. дx(:)' дx(:)' др. ) др. др. дx(:)' '

Представим выражение (18) в виде двух сумм от матрицы Гессе функции Гамильтона

^ ,(/1Ня1рк ==/ НН 1 ,уу 12 Нк ) (19)

Е£п др. } Е£ддк дx(:)' Е'ЕЕдp:'др. дx(:)'Л ( )

& ' & ' & ' Г1 I

Учитывая, что —= 0, к = 1,п,',I = 1,т по формуле (27) = —^5' , где 51 = [ , - сим-

сх(и)' сх(и)' сх(и)' п п [0,1Ф п

вол Кронекера, преобразуем выражение (19):

у л'(УУ-дН-д!^ + уу д2Н др' _т д2Н дрк _

Xр "XX дрЛддк дхп +XXдpjдрк дx(")'') р XX дрЛдрк дхп

= у рл X X _д2__р =у рл

X п XX р дрк дх(я)' " р дрЛ дрк дх (я)' • ( )

„ _ . у д2Н(д, р) др5 К, [1,' = Л „

По пункту 3 теоремы 4 X - —£-п— = 5г = [ - символ Кронекера, тогда перепишем

5=1 дрдр5 дх(п)л л I0, ' Ф Л формулу (20) следующим образом:

т т р2 тт ¿V)' т т

X рл Xе Н -дрт- = X рл5Л = X р 5Л + рл=''5Л='' = 0+р' -1 = р'.

л=1 I=1 дрп дрп дх Л=1 Л=1,Л'ф1

Теорема 5 доказана.

Обобщением теоремы 4, п. 3 является теорема 6.

Теорема 6. Пусть Н :й2тп ^й - функция 2тп независимых переменных (д^,р//) Л1 = 1,т , 11 = 1, п, Л2 = 1, т, 12 = 1, п и выполняется условие ёе1;(д Н(g, р)) ф 0, ', л = 1, т в окрестности и(д0, р0)

др; Ф;

точки (g0, Р0). Тогда

где x< » )' = dH Р)-

s dp: dx^j s -p»dp» &(n)k ^ » ' ' ' ( )

Spln

1, i = j ^ [ 1, k = n

5' = ^ , 5k = [ - символ Кронекера.

' I 0 , i Ф j n I 0 , k Ф n

v .(n) ' _ dH (g, p)_ dr(n)i _ d (dH (g, p\ _ d2 H (g, p)

Доказательство: х(п)' =— ^-- =—- (— ) = . .

дрг др др др др др г п г п г п г п г п г п

^д2 Н (д, р))

Ф 0, поэтому по теореме об обратной функции существует обратная замена

дрл др г п г п

р'п = р'п (д1, д2,..., -п , р1 , Р2 ,..., рп-1, х( п)). Продифференцируем соотношения

xn(')(gl,...,-п,Рl,...,рп-рп^^^^-2,...,дп,р^р^,...,Рn-l,х(п))) = хпУ), ь л =1,т .

dx(n " d2 H (g, p). dr( n) ' _ — . dp

Учитывая, что -— =-AziiiZ ; — = 0, s = 1, » ; —y- = 0, s = 1, n -1,

Ф» dpn dpn dgs x"J

dxn(i) _ dxn(i) dgk dxn(i) dp\ m dxn(i) Sp^ = m dx^ dp!n d2 H (g, p) dpn

x(k^' = n ' J =tf dgS xk ( ) dpS xk ty') dpn xk(n) dpn x(k)(j) =f dpn dpn xk (n)

dxn(i') dxn(i)

В частности, при k = n -— = ô» • S'' = 5»=п • S'' =ôj = ■

x (k )J » J » J J x(n)j

1, ' = J , [1, k = и

где 5'. =i , Sk = < - символ Кронекера.

j [0 , i Ф j » [0 , k Ф n

Что доказывает формулу (21) и теорему 6. Введем обозначения

X»-1 = (x™, x(1),..., x(n-1)), X» == x(1),..., x("-1), x(")) = (X»-1, x» ),

д = Оьдг,.,д.X р = «р^Р2,...,р.X К-1 = (Р\,Р2,...,Р:-\), р. = р.(g,^-р^.

Теорема 7. 1) Н :К2тп ^К - функция 2тп переменных (д/22, р/1) /1 = 1, т, /1 = 1, п, /2 = 1, т, 12 = 1,..

т, ч ч / / у / НН(д, р)

Ц^ р) = -Н(g, р)+£ £ р/ д/+1 + £ р. —;

к=1 /=1 /=1 др.

2) det(1 Н(g, р)) Ф 0,',/ = 1, т окрестности —,р0) точки (д0,р0) (по теореме 4, п. 2

1рк дрк

р.п =рп (gl' ^^^^^^^ д., р^ р2 ,Рn-l'x(n))) =р. (g' рп-x(n)));

3) рассмотрим замену д(Хл_Ктп ^Ктп д' {Хп_^ = x(k-1)', 5 = 1, п , г = 1, т и функцию

¿1:К2тп ^К, ¿(Хп,Рп-1) = ¿(д1' еС»,д2 = x(1>k,...,д'п = ^,Рп-1,р. = р.(д,Рп-1,x(n))) = ¿(«(Х.-,),Рп_х, р. (д(хп-\), рп-x( п))).

Тогда выполняются соотношения:

14 дg;(Хп-\^ г' х;-\ п я.к\ дx( )/(д, ^^ п ,„ „ 1 ,„ •

1) ¡¡у =8/ А -(1-5п) =-1- к = 0п , 5 = п; (22)

2) ¡¿(7 = -(\ -5.) ¡Н—^ (д = д( хп-\);

дx ); дд;+\

Рп-рп =р. («, -п-)) + а-§0X1-5.) • (1-§п) • р'к + р.-5. = (23)

= (1 -5.) ¡Н(Ч'р) (ч = ч(Х._\),Рп-\,р. = р.(д,Рп-\,X(n>)) + (1 -50) • р; к = 0, п -1. (24)

дЧк+\

Коротко

¡¿(7 = -(1 -5.)НИ + (1 -5к)(1 -5.)• (1 -5.)• р[ + р/ -5. =

|X 1 «к+\

= -(1 -5.)¡1 + (1 -50)• р/ , где (25)

дЧ

Яа [1, а = Р где 5а = [ - символ Кронекера;

Р [0, аФр

3) ¡¿\(Хпп7п-\) = р.'(«(Х.-\),Рп-\,x(n>), 7 = 1т.

Доказательство. При 0 <к< п-\< п, 5 = п,' = т д' (Х^) = x(k-1)l, 5 = п ^ 0 < 5-\< п-\

|д5 (Хп-\) _ |x( ) с;-' _ с' к;-' л К.ч

~1XЖГ_ = "|X^)Г=5/'5; =5/'5; •(1 -5п).

I«' (X ) |x(; ^

При к = п ^ / е1!.- = 0 = (1 -5.) = 5/ • 5;-1 • (1 -5.), т.к. x(^...'х^ и ^ незави-

, с [1,. < п _ _' ск ч Нс^ (д, р)

симы и 1 -5. =5п =[ . Докажем, что 5'. •5;к • (1-5/) =

[0, к = п ' - ; . -- ~п> дд'

При 0 < к < п-1 < п, ; = 1, п, ' = 1, т x(k)J (д, р) = д/+1, ; = 1, п ^ 0 < ;-1 < п-1

Ix(k)7 (4, р) =17 = 5' • 5к+1 = 5' • 5Г1 = 5' • 5Г1 • (1 - 5к).

дд' дд' 7 ; 7 к 7 к ( п)

дх(п)л' (д Р х(п)) ЯГ(п)1

При к = п ^ (g, Рn-1, х ) = = 0 = 5' - 55-1 - (1 - 5к=п), т.к. д , Р 1, х(п) независимы

дд„ дх^5 )л л

к -к [1, к < п

и 1 -5п = 5п = [ .

[0, к = п

Пункт 1 теоремы 7, равенство (24) доказано.

дА(Хп, Рп-1) у у дЬ(д, р) д-5 (Хп-1) дЦд, р) др5 А дЬ(д, р) др'п

дх(ку XX д-5 дх1"» X др дх1"» дрп дх(к)л' ( )

По теореме 3 выполнены соотношения

1) ^=-дНдр1+р:-1(1-5П )(1 - 55)+£р:-сн ; (27)

ддд 5 В=1 Ф^д,

n ls

л2 ]

) др. SpS ( n)( n )qs+1 n дрП X Pn дрЖ ' ( )

[1, В = р . [1,1 = Л ! [1,5 = к +1 где 5в =[ , 5, = [ , 55 = [ - символы Кронекера.

р [0,вф^ ' [0,1 ФЛ к [0,5 Фк +1

др' -

Подставляя (27), (28) в (26), учитывая, что —= 0 при 0 < к < п -1, 5 = 1, п -1 (Хп, р^ - незави-

дх( '1

Sql (X

n-1) _ я' xs-1 Л

дх(к )j

симы) и согласно теореме 7, п. 1 —^ ' =5^ • 5к - (1 - 5п) , к = 0, п , я = 1, п , получим

+

дЦ(Хп, P_i) _ ^ dL(q, р) J5qL + YY SL(q, р) _др^=у" SL(q, р) Sq's dxik)J Х Х dqS дх(к)л' ХХ др: Sx(k)j ХХ dqS дх(к)л'

m п-1 дL(q, р) др: SL(q, р) др' _dL1(Xn,Pn-1) _ SL(q, р) dq: р) др:

у(у дL(q,р) др | дL(q,р)= sl1(x„,Pn-1) = уу дL(q,р) дqs уу _

trtr др: дх(к )J др'п дх(к )J) дх(к )j Х Х Sq[ дх(к )J Х Х др[ дх(к)л'

y дL(q,р) д yy, дН(q,р) , , ,y „а д2Н л ^ ^^yn-1 SL(q,р) др:

+Х ^ГТ^ д Х Х + ^^ )(1-g: ) + Х рпШ} А 'gj'(1-gn ) + Х Х "L^r^ дд +

-„ — :=1 :=1 чЧ: а=1 Чр„ чЧ: :=1 :=1 Чр

+ХдL(q,р) дд =хХХ(-ЧНМ+р. (1-g1 )(1-§1),8:-1 .(1-gk)+ХдL(q,р) д =

+Х Чр„ дх<к)л ХХ( dq: + р:-1(1 gn )(1 g) + Х=1 р„ЧрЖ )Ьк gj(1 gn) + ^=1 Чр„ дх(к) j ЧН (q, р) : 1 ^ ^ а д2Н N 1=к .=j SL(q, р) Чр„

Х=1Х( ^+р:-1(1 -gn)(1 -g:)+Х р„ дЧ:Н:) "8к ■(1 -gn)+Х=1 "Lq~ ^=

-ж^р)■gk-,=k.g^- ■ (1-gn)+р,-1(1 -gn)(1-g,).gk-i=k.g^■ (1-gn)+ХХр: ja ^^^^^^^.gj=j■ ^^^^^)+

Ч - tí Чр„ Sq: J

+Х чд=-^НГ ■ (1-gn)+р ■ (1-gn )(1-gk+1) ■ (1-gn)+Х р £ ■ (1-gn)+Х : дд ^^^^^

По формуле (28) = -SH(M + (1 -gn)(1 -gnK+i +gn^^ + jCpa^^H, при к = n

dPs dPs dPn 0=í SPnSPs

SL(q, р)= ЧН (q, р) . y д2Н = sH (q, р) sH (q, р) y д2Я

чр„ = чр„ ( n)( n ;qn+1 n чр„ р„ дрЖ = чр„ чр„ р„ драдр

= £рВ — = ]Тр = . (30)

х р држ к п дрп дрп К '

Подставим (30) в последнее слагаемое в (29):

т дЬ(д, р) ^ = пвдх(пВ, _Ср^ = угу „вдхп\ _др^ = т у дх(п)В т1

X дрп ' дх(к)л Xl^Рn дрп )' дх(к» Рп дрп )' дх(к^ ^ дрп 'дх<к)л). ( )

да -х(п)а др' _ вк . [1,' = / . [1, к = п

По теореме 6 £—-¡(Й- = 5 а А , где 5/. =[0,'Фу.. 5 =^0, .Фп - символ Кронекера,

V „а/да |х(")а дР^ V „а га ^ , .к V Р) дРИ

поэтому (31) равно £ ра Е-рг ■ нш) = Е Рп , • 5и =рИ • 5и = £~^РГ ■ нж-.

а=1 г=1 рп а=1 г=1 Рп

тт н 1 х' Й;-\ /1 як\ дx<' )/(д,Рп-\,xC )) дx<' ) (д,Рп-\,x<' )) ц/ йк+\-\ п ^к=п\

По теореме 7, п. 1 5/-5к •(1 -5.)=-—-^-—-=5а•5п • (1-5п )=

|д; |дк+\ да р, (п)а да р, (п)а да

= 5а ^• (1-1) = 0 . Следовательно, £рО НХ— ■ (1 -5И) = (1 -5к)•£р„а НХ— = (1 -5к)•£р„а • 0 = 0,

п , \ п ' \ п ' ^^ -г п , \ п / ^^ -г п

а=1 |дк+1 а=1 |дк+1 а=1

тогда преобразуем (26):

д—,^ дН(д,р),(1 -5.) + р, ,1-51Х1-5к+\И1-5к) +£р:||.(1 -5.) + ЕГ¡¿(д,р) дН

дx(k); ддк+1 п к " к+' " ОТ" ддк+\ п £ др'„ д^1

---¡Т-• (1 -5.) + р; • (1 -5.)(1 -5.+\)• (1 -5.) + р. •5. =

дЧк+\

_ дН (4, р) П _ хкч , „] .П _ X1 VI Л.П _ ^ ,як

д«к

(1 -5.) + Рк • (1 -5.)(1 -50)• (1 -5.) + Р/ •5., (32)

к+\

где в последней записи формулы (32) используется очевидное равенство 5к+1 = 5°, т.к. по определению

, [1,1 = к + 1 0 = к о0 [1,0 = к из 5\ и = [ следует 50 = [ - символ Кронекера.

к+\ [0,1 ф к + 10 ф к к [0,0 ф к

Равенство (23) доказано.

Докажем, что • (1 ^) + р[ • (1Ч)(1 -51*+1)• (1 -5к) + р. >5$--(1 -5п)^^ + (1 -50)• р[ .

Сравним (32) с (25): - (1 -5кп)¡Ш^ + (1 - 50) • р, .

к+1

При к< п ^5кп - 0 ^Нг1 • (1 -5«) + Рк • (1 )(1 -50) • (1 -5п) + Р, ^--ШШ. + Р, • (1 )(1 -50).

-дк+1 дЧк+1

Рассмотрим различные случаи:

1) при и > 1 ^ - 0 + Р(. (1 -5п )(1 -50) --1, + р^1 -50)-- (1 -5-) д, + (1-50Х р1 ;

, ^l_5п )(1 -5к ) ---Г"- + Рк Ч1 -5к ) =- (' ^ ,

¡Чк+1 дчк+1 дчк+1

2) при п - 1,(к < и ^к-0) 1, + Рк 41 -5п )(1 -50=0) ==-'-, = -(1 + (1 ^Р^

¡чк+1 ¡40+1 ¡40+1

т.е. при к < п доказано - • (1 -5п) + р{ 41 - 5п)(1 -5?)• (1 -5п) + р^п • 5п = -(1 - 5п)+ (1 -5^) • р{ ;

п) ■ Рк V «п)(* 5к )•(*-5п) + Рп '5п --(1 ~5п)——,- +(1 -5к)

к+1 д%+1

3) при к = п ^ 5 п=п = 1 ^ Л!/! •(' -5.=п) + Р; •(!-5. )(1 -5. )•('-5.-п) + р. •5к;п - р.,

'к+\

¡д.

(к - п > 1 ^к> 0 ^50 >0 - 0) ^-(1 -5п=п) -Н 'Р) + (1 -5°) • Рк - (1 -50)^ Рк - (1 - 0) • Рк - Рк , значит,

п

-чк

НИ41 -5п) + Рк •(1-51и)(1 5£)• (1 -5п) + Рп ^--Ш.,^ + Рк •(!-5п)(1 -50) доказано.

|д,+1 дЧк+\

Из теоремы 7, п. 2 следует основное утверждение теоремы 7, п. 3 (основное утверждение теоремы 5, п. 3):

¡¿\(хп, Рп-\» = (1 5к-п) -Н(ч, Р) + (1 50 ) I = (1 1) (ч, р) + (1 0) 1 = 1 = р/

-—п)/- = -(1 -5п —- + (1 -5к=. рк-п = -(1 - 1)——- + (1 - 0)^ р.-п = рк-п = рп .

^ -ди+1 -ди+1

Этот результат можно получить иначе:

Хп-1 = (х°\хт ,...,х^п Хп = (x<0), x^),•••, х<~п 1),х<п)) = (Хп-1,хп) ,

д = Оь-2,...,дп), р = (Рl,Р2,...,Рп), рп-1 = (р^Р2,...,Рп-1), Рп = Рп^рn-l,х(п)).

Ранее была введена замена д(Хл_5): йтп ^йтп д'„(Хл_= х(5-1)1, 5 = 1,п , г = 1,т . Рассмотрим функцию Лагранжа Ь,: й2тп ^й, ^(Х» , Рп-.) = Ь( - = х(0)', -2 = х(1)',..., д'п = х(п-1)', Рп-., рп = рп (д, Рп-., х(п))) = = Цд(Хл_Д Р_^ рл (д(Хл_Д Р_^ х(п))) и функцию Гамильтона Н :й2тп ^й - функцию 2тп переменных (д/22,Р/11) Л1 = 1,т, 11 = 1,п, Л2 = 1,т, 12 = 1,п :

IV Ч Ч ХХ л л X л дН(д,р)

р) = -Н д р)+X X р^ -к+1 + X РП —,

к=1 Л=1 Л=1 дрп

НХ,Рп-1) = Н(д(Х»-1),Рп-.,Рп(д(Х»-1),Рп_х,х(п))),

т п т п-1 т

А(Хп,Рп-1) = -Н.(Х",Рп-1) +XXх(')лРЛ =-Н.(Х",Рп-1) + XXх(')>Р\ +Xх(п)Лр" .

л=1 1=1 л=1 '=1 Л=1

дН (д, р)

1) 0 < к < п-1 < п, 5 = 1, п, ' = 1, т х(п>л =

'=1 Л=1

др"

\

дЦ(Хп,Рп-.) = дН. у дН(д,р) дЛ ^(дх(Л л ы Л1 у (П)л др; дх(к): дх(к): X дрл дх(к): +XX ^-(к):Р' +х ^-(к): +Xх

чдх(к): " дх(к> ,

л=1 дх(к ):

дН1 X дН(-,р) др" + 2-1Vрл + 2-1 Хх(')л -дЛ + -СЛ =

дх(к): X дрлп дх(кX X дх(к)'Р' X X дх(к)' X дх(к)'

_ у дН(д, р) дрП у т л 2-1 у (')л дрЛ_ у дН(д, р) др;

Д, „(к)' X -лл' -(к)' + XX;л ,(к)' р1 + XX х я,,(к)' +X

дх(к): дрл дх<к)' х X дх(к)' ' х £ дх<к): Л"! дрл дх(к):

дН, П-1у дхл "4у (1)л дрк _ дН! ^^ йсу л (1)л дрк

дх®7+X ¿гСх^7р' +X¿гх ах' +X^тах^р' + X ¿Гх ах'.

л

С учетом свертки

— . — дх"» [0 , (к = 0) л (1 < I < п-1)

= 5 >-

где 5Л =[л = , =[ , , 5° = [ ^ 1 п - символ Кронекера, получим

0 < к < п-1 < п, 1 <' < п-1 5 = 1, п,' = 1, т —^ ^ =5'. 5Л (1 -50).

, , , , дх(к)1 |515J ,1 < к, I < п-1 к 1 ( к)'

1, Л = г = [1,' = к ъ,= [1, к = 0

0 , Л Ф' , к 10 ,1 Ф к, к [ 0 , к ф 0

ЯДТ" п-1 т п-1 т Лпл' п-1 т п-1 т

+X ^ ^р/ + X ^х^' - ^ = -11, ^^ ^^^^ 8/ (1 - 8 0) р + X схр =

дх I=1 л=1 дх '=1 л=1 дх дх '=1 л=1 I=1 j=1 дх

Л г/" п-1 т п-1 т Р>Т-Т "-1 т Япл'

=+X ^^^ ^^ а-80) р/ + X §х('" дл=^^+а-*:) Рй+X " дд=

ЯДТ^ п-1 т Япл'

+ (1 -5^)р> +X^х.

дх(кк^к X, дх(к)г

Напомним, что = (р,р2,...,ря-1) и Х^ = (х1),х1 ),...,х(П )) - независимы, тогда

дпл дН пЧ т дпл дН п-1 т

-сp1 = 0+ (1 -80)р[ +XЕх('^ = + (1-80)р> +X]Тх('-0 =

ах(к)1 дх(к)г к к X X Схк)1 дх X

= +(1 -5?)р[ =--Щ*та-8к)+а^0Р, 0<к<п-\.

2) Отдельно рассмотрим случай к = п . По теореме 5, п. 3

д

5Х( n >

■L{qx, q2,..., qn, p^ Pn- Pnq 4n, P^ P2,..., Pn- = рП =

5ЯП7 (1 -§n =" ) + (1 -80=n ) Pk=n ^^ЩТ (1 -1) + (1 - °) Pk=n •0 +1 рП = P,

5x(k

5x(k=

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1), 2), имеем

= -(1 -8n)+ (1 -80)(1 -8n) • (1 -8!) • Pk + pj -sn =-(1 -8n) + (1 -80 )• p ,0 < k < n .

dx(k )j

dq

j k+1

Теорема 7 доказана.

-Т (X р ) •

Теорема 8. „ Р-1 = (1 - 5п) Рк+1 + (1 - 50) • Рк в силу системы уравнений Гамильтона

dx(k)j

dqk (t) 5H(q(t), p(t))

dt

dpk

dpk (t) 5H (q(t), p(t))

i = 1, m, k = 1, n .

(33)

dt

dqk

n (1,0 = k [1, i = k где 8, = [ , 8, = [ - символ Кронекера.

k [0,0 ф k k [0, i ф k

5H(q, p) dpk+1(t) * „ 5L (X , P ,)

Доказательство.--—-=-+-= pk+1, поэтому по теореме 7, п. 2 n n

5qk+i

dt

5x( k )j

= -(1 -8n) + (1 -8k) • pj = (1 -8n) pL + (1 -8k) • Pk

dqk+1

Теорема 8 доказана.

Определение 2. Рассмотрим функцию Ь1: К2дап ^К переменных (Хп,РпА)-<x(0)l,x(1)l,...,x(n_1)l,x(n)l

p\,...,p^_j) из теоремы 7:

Lx(Xn,Pn_1) = L(q1 = x(0)',q2 = ,...,q'n = x(n-1)i,Pn_x,pn = Pn(q,Pn_x,Xn))) = L(q(XnJ,Pn_x,pn(q(Xn_x\Pn_x,Xn))) ,

q(Xn-1) : W" , qi (Xn-1) = xti-1)i , S = 1, n , i = 1, m

p) = - H (q, p) + £ ]^pk'qk+1 + £р>

5H (q, p)

k=1 j=1

j =1

5P,

где Цд, р) : К2дап ^ К - функция Лагранжа, двойственная к функции Гамильтона Н(д, р) : К2дап ^ К.

Назовем функцию Лагранжа, адаптированной двойственной к функции Гамильтона Н(д, р) или просто адаптированной к функции Гамильтона; преобразование д(Хл5):К™ ^Ктп {Хп_¡) = x<k-\>1, 5 = 1, п ,' = 1, т назовем адаптирующим преобразованием д координат, которое невырождено; преобразование А:(д( X., Р^), р(Хп, Рп_х)): (д. = д. ((Х., Р.-,) = x(k-1)'), р\ ((Х., Р.-,) = р\,..., р>п_х«Хп, Рп_^) = = р'п_х, р'п ((Хп , ) = = р'(д = Хп_х, Рп_х, Xепп)) назовем адаптирующим преобразованием (д, р) координат.

Теорема 9. Адаптирующее преобразование А:К2тп ^К2тп (Хп,Р^) = (д(Хп,Р^),р(Х„,Р^)) д* (X, Р__{) - х(к-1)г к- й, ри-1^Хи, Рп-1) - Рп-!, Ри - Рп (Хп-!, рп-х, х(п))) нев^1рождено.

Доказательство. Матрица Якоби

5(q, p)

д( X„-i, Pn-i, xn)

с невырожденным гессианом

( д2 н ^

K5P'ndPn /

имеет вид:

5(q, p)

д(Xn-1, Pn-1, xn )

^m • (2n-1)

dp'„

д2 L

' 52 H V1

где Еда^(2п-1) - единичная матрица, 0^

4) dx(n)idx(n)j

- нуль-матрица, 0T

5рП 5РП

V fnfn J

- транспонированная нуль-матрица.

д 2 L

В правом нижнем углу матрицы использован основной результат работы [22, с. 150, теорема 12]:

' -2ГГ Л

( д 2я V1

дx {ш)1дх{ш)1

ЧФШФП У д(q, p)

д(Х„ -1, Pn—1, Xn ) а Теорема 9 доказана.

и так как ёе! ) = ёе!-1

УдРшдРШ У

ф 0 ^ ёе!

кдх{"*дх(ш) j ,

= ёе!

д2 Н УдРшдРШ у

ф 0

< д 2 Н ^

КдРшдРШ у

ф 0,

значит, переменные (Хш, Рш-1) - независимы,

Определение 3. Рассмотрим отображение Л:й2ш ^й2тп Л(Хп,Р^) = (д(Х„, Р^), р(Хп, Р^)) дк(Хя,Р„-!) = х(к—1)к к = Щ р„-1(Х„,Рп_,) = рп—\,ря = ря(Х„-!,Р„-!,х(п))). Отображение Л"', обратное

п—1 \ п' п—1/ п п—1 ' п—

-1 • ^ V Г V Г„ Т> Г„ —1)'/

к отображению А: Л-1: (д, р) ^ (Хп (д, р), Р—1 (д, р)) Л-1 (д, р) = (х(к 1)к (д, р) = д'к к = 1, п; х(п)к (д, р) = дН(др) ; рк (д, р) = рк 1 = 1, и — 1), называется обратным адаптирующим преобразованием

дрп

координат (преобразованием Лежандра).

Определение 4. Пусть Н(д, р): й2тп ^ й - функция Гамильтона, Ц (Хп, Р^): й2тп ^ й - адап-

п дЬ (Х Р ) _

тированная к ней функция Лагранжа. Систему уравнений У (—1)к Ок(—1—п—1 ) = 0, к = 1,т назовем

к=0 дх( )к

системой уравнений Эйлера - Лагранжа, адаптированной к функции Гамильтона Н(д, р): й2тп ^ й, где - оператор к -кратного полного дифференцирования по переменной г.

Теорема 10. Пусть выполнены три условия:

1) Н:й2тп ^й - функция 2тп переменных (д/22,рЦ) у1 = 1,т, /1 = 1,п, у2 = 1,т, 12 = 1,и.

р) = -Н (д р)+££ ркдк+1 + £ ру

к=1 у=1

У =1

дН (д, р)

дрп

двойственная к Н :й2тп ^й функция Лагранжа;

2) ёе^

д2 Н (д, р)

) ф 0, к, у = 1, т в окрестности и(д0, р0) точки (д0, р0) по теореме 4, п. 2

дрк др'к

рп =рпдд2,...,дп,р^р2,рп—^х(п))= рпдРп—^х(п));

3) пусть Ц : й2тш ^й - адаптированная функция Лагранжа переменных (Хш,Рш—1): Ц(Хп,РлЧ) = = Ь( д1 = х(0)к, д2 = х(1)к,..., д'п = х(п—1)к, Р^, рп = рп (д, Р^, х(п))) = Ь(д(Хп_) Рп_х, рп (д(Хп_) Рп_х, х(п))).

Тогда преобразование Лежандра (обратное адаптирующее преобразование координат)

Л-1:(д,р) ^ (Хп(д,р), Р„—Дд,р)) ; Л-1(д,р) = (х(к—1>'(д,р) =дк к = 1,п; х^ (д, р) = любого решения (д(/), р(г)) системы ОДУ 1-ого порядка Гамильтона

\адк (г) _ дН(д(г), р(г))

дН(д, р).

дрп '

=1=1, п—1

л

дрк

арк (г)_ дН(д(г), р(г))

к = 1, т, к = 1,« .

(34)

аг ддк

(Хп (г), Рп—1 (г)) = Л-1 ((д(г), р(г))) = (х(к—1* (д(г), р(г)) = дк (г) к = ;

дН (д, р)

х( (д(г), р(г)) = (д(г), р(г)) ; рк (д(г), р(г)) = рк (г) I = 1, п —1

дрп

является решением адаптированной системы уравнений Эйлера - Лагранжа

£

(—1)к ок (дЬ1(Х"ДРп—1)) = 0, к = 1, т .

^ сх(к )к

-1

к=0

—Ь (X Р ) •

Доказательство. По теореме 8 —1 ( .п-1) = (1 -5.) р(+1 + (1 -50) • р. , по теореме 7, п. 3

дx { '1

—Ь (X ,Р ,) „0 [1,0 = к

———п—= р/ , где 5к = [ - символ Кронекера.

дx< т) 1 Гп к [0,0 ф к

При 0 < 1 < к < п-1 < п = 5. = 0=50 => 1-5° = 1

X" ( 1 \кГ)к( дЬ\(Хп, Рп-\Х=Г П0 дЬ\(Хп, Рп-\) ЛТ1/ \\кпк( —Ь\(Хп, Рп-\Х, , IV пп I —Ь\(Хп, Рп-\)

( Х) Б ( Л,(к)' ) ( Х) ^ -.(0)' +£ ( Х) Б/ ( -(/)' ) + ( Х) Б/

дx(k)' ^ ' дx(0)' и дx<k')' ' У ' ' { дx<n)'

+(-1). Б. (р.) = Рх + (-1)п^п (р. ) + £(-1)к Б. ((1-5.) Рк'+х + (1-50) • Рк) = Р\\ + (-1)п^п (Р.) +

к=1

+п(-1)кБ,к(рк'+\ + рк) = Р + (-1)пБп (рп) + п(-1)кБ,к(рк+х) + (-1)кБ,к(р.)) =

к=\ к=\

• п-Х • п-Х • п-Х

= Р\\ + (-1)пБ,п (р.) + £(-1).Б.(р.+\) + £(-1)кБк(р') = р\ + (-1)п Б. (р.) + £(-1)кБк+1(р\+\) +

к=\ к=1 к=1

п-\ • п п-Х •

+£(-1).Б/(Рк) = Р\\ + (-1)пБп (р.) + £(-1)1 -хБ/(р) +£(-1)кБ,(р') = Р + (-1)пБ. (р.) +

к=\ /=2 к=1

п п-\ • п-Х

(-1)•£(-ЦБ/(р') +£(-1)кБ,к(Рк) = Р\\ + (-1)пБ,п (р'п)-(-1)пБ. (Рп)-£(-1)1 Б/(Р)-

V ) +£(-1)кБ,к(р.) = р; + (-1)пБп (р.)-(-1)пБ,п (р.)-£(-1)1 Б/(р/) +

/=2 к=\ /=2 п-Х • п-\ п-Х

+£ (-1)кБ,к (Рк ) +(-1)к-Х Б,=х (р. - ) = Р\\-£ (-1) Б, (р/) + £ (-1)кБ,к (р. ) +(-1)к-Х Б,=х( р.=) =

к =2 /=2 к=2

= Р;+(-1)х Б^^р\\)=р - Р\ = 0.

Теорема 10 доказана.

В качестве численных методов проверки невырожденности блочно-диагональной матрицы из теоремы 9 можно использовать результаты работы «Векторный аналог метода прогонки для решения трехи пятидиагональных матричных уравнений»1.

Заключение. Основным полученным результатом является теорема 9, в которой старые значения координатно-импульсного пространства выражаются через новые значения с помощью блочной матрицы, где один из блоков представляет собой гессиан от функции Лагранжа, обратный к гессиану от функции Гамильтона. Дополнительным блоком к нему на главной диагонали является единичная матрица. Таким образом, получены достаточные условия для обратной теоремы Гамильтона.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубровин, В.А. Современная геометрия. Методы и приложения / В.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М. : УРСС, 1994.

2. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. - М. : Гостехиздат, 1956.

3. Погорелов, А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. - М. : Наука, 1974.

4. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М. : Наука, 1974.

5. Козлов, А.А. Об управлении показателями Ляпунова двумерных линейных систем с локально интегрируемыми коэффициентами / А.А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 10. -С. 1319-1335.

6. Козлов, А.А. Об управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / А.А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 621-627.

7. Козлов, А.А. О глобальном управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / А.А. Козлов // Изв. Ин-та матем. и информ. Удмурт. гос. ун-та. - 2006. - № 3. - С. 63-64.

8. Галеев, Э.М. Краткий курс теории экстремальных задач / Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. - М. : МГУ, 1989. - 203 с.

1 Векторный аналог метода прогонки для решения трех- и пятидиагональных матричных уравнений / Н.К. Воло-

сова [и др.] // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2019. - № 12. - С. 101-115.

9. Обобщение теоремы Гамильтона - Остроградского в расслоениях скоростей произвольного порядка / Ю.Ф. Пастухов [и др.] // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2016. - № 12. - С. 125-133.

10. Закон преобразования обобщенного импульса / Ю.Ф. Пастухов [и др.] // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2017. - № 4. - С. 85-99.

11. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Сер. «Проблемы геометрии» : ВИНИТИ. - 1979. - Т. 9. - С. 5-246.

12. Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых и дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов А.Т. Фоменко. - М. : Факториал, 1995.

13. Пастухов, Ю.Ф. Инварианты в расслоениях скоростей произвольного порядка / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов, С.В. Голубева // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2015. - № 12. - C. 117-123.

14. Вакуленко, С.П. К вопросу о нелинейных волнах в стержнях / С.П. Вакуленко, А.К. Волосова, Н.К. Волосова // Мир транспорта. - 2018. - Т. 16, № 3 (76). - С. 6-17.

15. Пастухов, Ю.Ф. Задача построения поля линий тока по температурному разрезу / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2015. - № 4. - C. 27-36.

16. Пастухов, Ю.Ф. Тензор обобщенной энергии / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2017. - № 12. - C. 78-100.

17. Пастухов, Ю.Ф. Группы преобразований, сохраняющие вариационную задачу со старшими производными / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. -2018. - № 4. - C. 194-209.

18. Пастухов, Ю.Ф. Сборник статей по дифференциальной геометрии [Электронный ресурс] / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов. - Новополоцк : ПГУ, 2018. - Режим доступа: http://elib.psu.by:8080/handle/ 123456789/22094. - Дата доступа: 15.06.2019.

19. Пастухов, Ю.Ф. Необходимые условия в обратной вариационной задаче / Ю.Ф. Пастухов // Фундам. и прикл. матем. - 2001. - Т. 7, вып. 1. - С. 285-288.

20. Пастухов, Ю.Ф. Лагранжевы сечения / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2018. - № 12. - C. 75-99.

21. Пастухов, Ю.Ф. Сборник статей по дифференциальной геометрии 2 [Электронный ресурс] / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов. - Новополоцк : ПГУ, 2019. - Режим доступа: http://elib.psu.by:8080/ handle/123456789/23288. - Дата доступа: 26.03.2019.

22. Пастухов, Ю.Ф. Свойства функции Гамильтона в вариационных задачах со старшими производными / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2018. -№ 4. - C. 137-153.

Поступила 17.09.2019

HAMILTON INVERSE THEOREM Y. PASTUKHOV, D. PASTUKHOV

The solution of a system 2mn ordinary differential Hamilton's equations of the first order are solutions

of the system of the corresponding system of m differential equations of order n Euler -Lagrange dual for

the Hamiltonian Lagrangian function and the corresponding transformation of variables.

Keywords: Hamilton function, variation problem, fiber space of velocities, Euler-Lagrange equations,

smooth manifolds, energy tensor, tensor of generalized momentum, non-degenerate function.