ОБ ИНТЕГРАЛАХ ОБОБЩЕННОЙ ЭНЕРГИИ НА ЭКСТРЕМАЛЯХ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА - ЛАГРАНЖА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

ОБ ИНТЕГРАЛАХ ОБОБЩЕННОЙ ЭНЕРГИИ НА ЭКСТРЕМАЛЯХ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА - ЛАГРАНЖА

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Ф. ПАСТУХОВ, канд. физ.-мат. наук, доц. Д.Ф. ПАСТУХОВ (Полоцкий государственный университет)

Рассматриваются свойства функций Гамильтона и Лагранжа в координатно-импульсном пространстве. Основным полученным результатом является свойство сохранения обобщенной энергии ранга n на экстремалях системы уравнений Эйлера - Лагранжа порядка п. Это свойство является достаточным, но не необходимым условием сохранения обобщенной энергии ранга п.

Ключевые слова: Функция Гамильтона, вариационная задача, расслоенное пространство скоростей, уравнения Эйлера-Лагранжа, гладкие многообразия, тензор обобщенного импульса, невырожденный гессиан.

Введение. У.Р. Гамильтон в 1835 г. получил новую форму уравнений движения механических систем - канонические уравнения Гамильтона. Полученная система канонических уравнений содержит вдвое больше дифференциальных уравнений, чем система Ж.Л. Лагранжа, однако все они первого порядка (у Лагранжа - второго).

Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачи о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т.п.).

Подход У.Р. Гамильтона оказался высоко эффективным во многих математических моделях физики. Первоначально вариационный принцип Гамильтона был сформулирован для задач механики, но при некоторых естественных предположениях из него выводятся уравнения Максвелла электромагнитного поля. С появлением теории относительности оказалось, что этот принцип строго выполняется и в релятивистской динамике. Его эвристическая сила существенно помогла разработке квантовой механики, а при создании общей теории относительности Д. Гильберт успешно применил гамильтонов принцип для вывода уравнений гравитационного поля (1915 г.). Из сказанного следует, что принцип наименьшего действия Гамильтона (и естественным образом связанная с ним система канонических уравнений) занимает место среди коренных, базовых законов природы наряду с законом сохранения энергии и законами термодинамики. Представленная работа является продолжением работ авторов [9; 10; 13; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23].

( р)

Основные определения. Пусть L: TpXm L(x,..., x) - локальная запись функции L в локаль-

ных координатах (х) в базе Хш расслоения TpXm.

Определение 1. Система функций

Pn ={p'k (n)} = {pin } , n , k = 0n , i = im

(p)

Pk(n) = Pi„(x,'•,...,x^) = g(-i)'D',(dL(x;;;k;x)) k=оЯi=im

'=a д x

называется обобщенным импульсом ранга n для функции L: TPXm в локальных координатах (х)

• (P)

базы Хт расслоения TPXm, где L(x,x,..., x) - локальная запись функции L при выборе локальных координат (x) в базе Хт расслоения TPXm.

Функция p'kn называются k-й компонентой обобщенного импульса Pn ранга n по i-й координате или импульсами порядка k (k -импульсами) по i-й координате обобщенного импульса Pn ранга n .

(p)

Определение 2. Пусть L: ТрХт , L(x,..., x) - локальная запись функции L в локальных координатах (x) в базе Хт расслоения ТрХт. Функция

• (a(n, р)) . (р) (*)'

H = H (x, x..., x ) = Hn = Hn (L, x) = H (L, x, n) = -L(x, x,..., x ) + XX p'knx =

k=1 i=l

. (p)

(p) n m (p) n m n-k Я/Yv у v ^ (k)i

= -L(x,x,...,x) + XXp^x' = -L(x,x,...,x) + XXX( Sk; x, x = ^V, (1)

k=1 i=1 k =1 i=1 /=0 cx

(p)

. (b(n,p,k)) m n-k ar(r r ) ___

p[(n) = pk,n(x,x,..., x ) = XI(-1/D( , k = 0,n,i = 1,m, (2)

''= '=0 д x

где D - оператор ^-кратного полного дифференцирования по времени t, называется функцией Гамильтона (гамильтонианом) ранга n этого преобразования, двойственной к функции Лагранжа L: TpXm ^ Ш , а также обобщенной энергией системы, состояние которой описывается функцией L: TpXm в локальной системе координат (x) в базе Хт расслоения ТрХт. Имеет место следующая лемма.

Лемма. Максимальные порядки производной по t b(n,p,k) , a(n, p) в выражениях (1), (2) для pk (n), H

(p)

. (b(n,p,k)) n-k dL( x x) — -

pk (n) = p'k,n x ) = X (-1)Dt(-^—), k = 0, n, i = 1, m

l=0 д x

(a(n, p)) . (p) (k)' . (P)

I I

k=1 i=l

H = H(x,x..., x ) = Hn = Hn(L,x) = H(L,x,n) = -L(x,x,..., x) + Цp'kn x =-L(x,x,..., x) +

. (p)

n m (b(n,p,k)) (p) n m n-k ЪТ í ч (k)'

dx(l+k)' )t t

+II pk ,n (x, x,..., x )Dkx' =-L(x, x,..., x) +III (-1)D , x = Dkx¡

k=1 '=1 k=1 '=1 1=0 имеют вид:

2 p - k, k < p < n = < p , p <k < n (3)

2)(p > n), max(2n - k, p), p > n

b(n, p, k) = max(2 min(p, n) - k, p) =

,2 p - k, k < p < n

1)(p < n) \ p , < p <

p , p < k < n

max(2n - k, p), p > n

a(n, p) = max(b(n, p, k), k) =

1< k < n

max( max (2p-k,k), p ) = max( max (2p-k), p), при p <n

\<k <min(n, p)=p p< k < n 1<k<min(n, p)=p

max (max(2n - k, p), k) = max(2n -1, p, n), при p > n

1<k <min(n, p)=n

max(2 p -1, p) = 2 p -1 , при p < n . max(2n -1, p) , при p > n

Доказательство. Максимальный порядок производной по t порядка l в p'h (n) равен l +1 + k = 2 • l + k

( p)

dL(x,..., x) (i+k)•

при l + k < p. Если l + k > p, то -jj^.— = 0, и, значит, коэффициент при производной x равен 0.

д x

Следовательно, при определении максимального порядка производной по t можно считать l + k < p (в частности, k < p , но k < n ^ k < min(n, p)). Кроме того, l < n -k «l + k < n ^ l + k < min(n, p) ^ ^ l < min(n, p) - k ^ 2 • l + k < 2 • (min(n, p) - k) + k = 2 • min(n, p) - 2 • k + k = 2 • min(n, p) - k, p'kn зависит от производных порядка

b(n, p, к) = max(2 min(p, n) - к, p) =

1)(p < n)

2 p - к, к < p < n

yp , p < к < n 2)(p > n), max(2n - к, p), p > n

Учитывая определение b(n, p, к) = max(2min(p, n) - к, p) при p = n, получим

2 p - к, к < p < n p , p < к < n (5)

max(2n - к, p), p > n .

b(n, n, к) = b(n, p = n, к) = max(2min(n, n) - к, p) = max(2n - к, n) = 2n - к .

так как при 1 < к < min(p, n) ^ к < n .

(6)

Этот же результат получается из (3) как граничный случай, так как из p = n ^ (p < n) л (p > n) и, значит, 2(p = n) - к = 2n - к = max(2n - к, p = n) = max(2n - к, n) = 2n - к , так как при 1 < к < min(p, n) < n .

(t)i (t)i

Для каждого слагаемого вида p'ktl x = p'kn x - произведения импульса порядка к на производную того же порядка по i-й координате - справедливо max(max(2 min(p, n) - к, p), к) = max(2 min(p, n) - к, p, к).

(p) (к)' (p) (p) (к)k

Энергия системы Hn(L,x) = H(L,x,n) = -L(x,x..., x) + pk„ x =-L(x,..., x) + pk(x,x..., x) x

к=1 k=1 к=1 k=1

будет зависеть от максимального порядка производной, тогда имеем прямую задачу на max min : a(n, p) = (max(2min(p, n) - к,p) , к, p) = max(2min(p, n) - к, p, к) =

1<к<н l<h<n

= max(max(2 min(p, n) - к, p), к) = max(b(«, p, к), к).

(7)

Подставляя в (4) равенства, полученные в (3), получим:

a(n, p) = max(b(w, p, к), к) =

1< к < n

max( max (2p - к, к), p ) = max( max (2p - к), p), при p < n

1<к <min(n, p)=p p< к < n 1<k<шin(n, p)=p

max (max(2w - к, p), к) = max(2w -1, p, n), при p > n

1<к <min(n, p)=n

max(2p -1, p) = 2p -1 , при p < n . max(2w — 1, p) , при p > n

(8)

Учитывая равенство а(п, р) = шах(Ь(и, р, к), к) , при р = п получим а(п, р) = а(п, р = п) =

1< к < п

= шах(Ь(п, р = п, к), к) = шах(2п - к, к) = 2п -1 , так как при 1 < к < шт(р, п) ^ к < п .

1<к<п 1 <к<п

Этот же результат получается из (5) как граничный случай, так как из р = п ^ (р < п) л (р > п) и, значит, 2(р = п) -1 = 2п -1 = шах(2п -1, р = п) = шах(2п -1, п) = 2п -1, так как п > 1. На основании этого можно записать

. (а(п, р)) . (р) и т . (Ъ(п, р,к) (к )1 . (р)

Н(х,х..., х ) = Нп(Ь,х) = И(Ь,х,п) = -Ь(х,х,..., х) +УУр'кп(х,х..., х ) х =-Ь(х,х,..., х) +

к=1 к=1

(b(n, М )

(p) п т n-к

(p)

Kn (x, xx...; )Dtx' == - L( x, xx,..., x) + XZZ (-DD1, (Щ x,x+;; x ))Dk,x1.

к =1 k=1 1=0

x+к

(9)

Доказательство леммы завершено.

Замечание 1. Тем не менее можно всегда считать, что р > п , так как при р < п можно определить

(п) (р)

Ь(х,..., х) ^Ь(х,..., х)^ а(п,р) = шах(2п-1,р), Ъ(п,р,к) = шах(2п-к,р). В частности, при р = п^ ^ а(п, р = п) = шах(2п -1, р = п) = 2п -1, Ъ(п, р = п, к) = шах(2п - к, р = п) = шах(2п - к, п) = 2п - к, поскольку 2п - к > п , так как при 1 < к < шш(р, п) ^ к < п .

к=1 k =1

Функциональная часть системы уравнений Эйлера - Лагранжа порядка п может быть интерпретирована как импульсы нулевого порядка ранга п:

(р) (р) = £н)'в' (дЬ(^)) = £(-1)'»', (дЬ(^х)) = о, ' = 1т . (10)

1=0 д х '=0 5 х

( р)

Постановка задачи. Пусть Ь: ТрХт ^Ш, Ь(х,..., х) - локальная запись функции Ь в локальных координатах (х) в базе Хт расслоения ТрХт. Рассмотрим функцию Гамильтона, двойственную к Ь: Т"Хт ^ Ш :

. (а(п, р)) . (р) и т . (4(и, р,к) (к )' . (р)

Н(х,х..., х ) = Нп(Ь,х) = Н(Ь,х,п) =-Ь(х,х,..., х) + ££р'кп(х,х..., х ) х =-Ь(х,х,..., х) +

к=1 '=1

. (р)

п т (Ып,р,к) (р) п т п-к р>Т („ „

+]С]^рк,и(х,х..., х )»,кх' ==-Ь(х,х,...,х) + £££(-1)' в;(дЬ(х^х+к').; х )В,х'.

к=1 '=1 к=1 '=1 '=0 дх

Поставим следующую задачу: при каких условиях имеет место сохранение функции Гамильтона на экстремалях системы уравнений Эйлера - Лагранжа.

Докажем, что при р < п имеет место сохранение функции Гамильтона на экстремалях системы уравнений Эйлера - Лагранжа. Ранее было доказано [16], что при р < п энергия системы является тензором нулевого ранга, то есть не зависит от выбора локальной системы координат (х) в базе Хш расслоения ТрХт, а при р > п, вообще говоря, зависит от локальных координат и, таким образом, не сохраняется при замене локальной системы координат в базе Хт расслоения ТрХт. Имеет место следующая важная теорема 1.

Теорема 1 (о дифференциальной связи импульсов к-го и (к - 1)-го порядков ранга п). Пусть

(р)

. (р+п-к) п-к дЬ(х х) _ _

Ь:ТрХт ^Ш - невырожденная функция Лагранжа; р'(х,х,..., х ) = £(-1)'в,(-—), к = 1,п,' = 1,т -

'=0 д х '

. (р)

7 « ' Х-1 / 1\', Г^л /дЬ\х? X,•••, х К 7

импульс к-го порядка по /-ой координате; ркп = £ (-1)1 вд--гт—гг.-) - импульс к-го порядка,

' '1=0 дх(1 ''

. (р)

п-(к-1) I I дЬ(х х х)

а соответственно, п = £ (-1)'1 в'1 (-^ .—) - импульс (к - 1)-го порядка. Тогда справедливо

' 1=0 дх '

. (р)

. (Ь(п,р,к)) дЬ(х х х) . (*("• р,к-1)) В,р'к,п (X, X,..., х ) = ---р'к-1,и (X, X,..., х ) . (11)

дх

Доказательство. Преобразуем выражение

. (р) . (Р) . (Р)

о.р-кп=(£ (-1)'»,' =£в, ((-1}'В'' (дЬ(|х+^))=£ (-юв (»(дЬ(|х+^))=

. (р) . (р) . (р) =£ (-1)'»,'+1(дЬ( х;х+к';х))=с-1)!-£ (-1)'+1 в,'+1( ) == с-1)(!Ё (-1)'+1 .

Выполним замену ^ =' +1, так как ' = 0, и - к, то ' = 1, и - к +1. Следовательно,

(р) . (р) в,р „=(-!)(£ (-1)'+1 в,'+'()))=(-1)(п££+1(-1)4 =

(р) . (р) . (р) = (-1) (-1)'1 в,'- CдЬдX(Й#)) = ИХ Тн)'' В (^^^)) = ИХ Тн)'' В д^) -

' — 1 '1 — 1 '1 — 0

. (р) . (р) . (р)

-(-1) ( ас(0+(к-1))< » = (-1)(рк--¡к-*-) = -рк-1,я +-^-) .

3 х д х

Теорема 1 доказана.

Имеет место следующая простая теорема 2.

. (р)

Теорема 2 (о связи импульсов к-го порядка рангов п и п +1). Пусть Ь: ТрХт ^ ^. Ь(х, х,..., х) -

локальная запись функции L: TpXm ^ ЭТ при выборе локальных координат в базе расслоения Xm,

(p) (p) ¡ , , дЦх,.., x \ — — , i , . dL(x,..., x )4 Pk,n = Ь(-1) D(-~—)' k = 0,ni= 1m - импУльс к-го порядка ранга п; рк>и+1 = Ь (-1) D,(-——) -

'=0 д х '=0 д х

импульс к-го порядка ранга п + 1. Тогда справедливо

(p)

. (b(n+1,p,k)) . (b(n,p,k)) dL(x x) ---

PkL+i(x, x,..., x ) = p(x, x,..., x ) + (-1)n+- D?"+- (-^—), i = 1, m , k = 0, n . (12)

д x

Доказательство.

(p) (p) (p) „i iVn'rdL(x,..., x) v, lVrWdL(x,..., x) ,Y+1-tn,(dL(x,..., x) p.n+1 = Ь (-1) D (-C+k^") =Ь(-1) D (-ü+k^) +(-1) D ( (n+1-k+k)i ) =

'=0 д x '=0 д x д x

(p) (p) (p)

Zn /" 1\'п'/" ^(X..., x X ,t 14n+1-k ту, дL(X,..., x X „i , l ~i\n+1-k r^n+1-k í дL(X,..., x )4

(-1)D'(-(í+k5i—) +(-1) D'(-¡ñ+ц^-> = pk,n +(-1) D (-¡ñ+^)'

'=0 д x д x д x

(p)

так как p[„ = §(-1)'D(^^k^).

'=0 д x

Теорема 2 доказана.

( p)

Теорема 3. Пусть L: TpXm L(x,..., x) - локальная запись функции L в локальных коорди-

натах (х) в базе Хш расслоения TpXm. Тогда при 1 < p < n выполняется равенство

U (а(п,р)) т _ (Ып,р,к)) I /

D,(H(x,x..., х )) = -J^p'0n(x,x..., х )-х,

i=1

(p) (p)

n-0 x x) n д£( x x) _

где pk=0,n = Ь(-1)1 D'(-C+.,—) = Ь(-1)1 D'(-ToT-) = 0 ,' =1 m - импульсы нулевого порядка

1=0 д x '=0 д x

(функциональная часть системы уравнений Эйлера - Лагранжа порядка n);

I (я(я,р))

Н(х,х..., х ) - обобщенная энергия системы ранга п :

. (a(n, p)) . (p) . (b(n, p,k) (k )i . (p)

H(x,x..., x ) = Hn(L,x) = H(L,x,n) = -L(x,x,..., x) + ЬЬp'kn(x,x..., x ) x =-L(x,x,..., x) +

k=1 i=1

. (p)

n m (b(n,p,k) (p) n m n-k Я/Yv V v^

+Ь (x, x..., x )D.x' == - L( x, x,...,x) + Ь Ь £ (-1)' D1' ( (g+k').; x V'V, (13)

k=1 i=1 k=1 i=1 '=0

(p)

n-k x,..., x)

где p'k n = Ь (-1)' D1' (-—) k = 0, min(n, p), i = 1, m - импульс к-го порядка ранга n,

('+k )i

'=0 д x

Ь(п, р, к) = тах(2 тт(р, п) - к, р) =

1)(р < и)

2 р - к, к < р < и

р , р < к < и 2)( р > и), тах(2и - к, р), р > и

2 р - к, к < р < и р , р < к < п тах(2и - к, р), р > и

а(и, р) = тах(Ь(п, р, к), к) = <

1<к<п

тах( тах (2 р - к, к), р ) = тах( тах (2 р - к), р), при р < и

1<к <тт(и, р)=р <я 1<к <тт(я, р)= р

тах (тах(2п - к, р), к) = тах(2п -1, р, и) , при р > и

1<к <т1п(п, р)=п

|тах(2р -1, р) = 2р -1, при р < и . [тах(2и — 1, р), при р > и Доказательство. Без ограничения общности в силу замечания 1 будем считать, что р = и :

р = и ^ а(и, р = и) = тах(2и -1, р = и) = 2(р = и) -1 = 2и -1, Ь(п, р = и, к) = тах(2и - к, р = и) = 2и - к

. (а(и, р)) (2п-1)) . (р=п) пт . (2п-к) (к )'

Н(х,х..., х ) = Н(х,..., х ) = Ня(Ь,х) = Н(Ь,х,и) =-Ь(х,х,..., х ) + ££р'кп(х,х..., х ) х =

(и) п т . (2п-к) (к)'

= -Ь( X, X,..., X ) +££ р'к п (х, X..., X ) X .

к=1 '=1

Найдем полную производную по , :

(и) п т

(2и-к) (к)'

(и)

(2и-к) (к)'

в,(-Ь(х,х,..., х) + ££р'(х,х.. ., X )х ) = ^^( Ь (х ,х,..., х)) + в,(££р'п(х,X..., х ) х ) =

(и)

(2п-к) (к)'

(2и-к) (к)'

= в,(-Ь(х,х,..., х)) + (££в,(р'Кп(X,х..., х )) х + ркп(X,х..., х )в, х) .

к=1 1

По теореме 1

(р)

(х,х,..., х ) =

(р+и-к) дЬ(х,х,..., х)

(р+п-(к-1))

(к-1)/ дх

- рк (х, х,..., X ) .

(13)

(14)

(р+п-к )

(и+п-к )

(и)

При р = и ^ (х,х,..., х ) = (х,х,..., х ) = в,р, (х,х,..., х ) =

од дЬ(х,х,..., х)

(к-1)' дх

(п+п-(к-1))

(и)

(2п-к+1)

-р'1 (х,х,.../ х ") =дЬ(х,(х-г х} -р'1 (х,х,..., х ).

(к-О'

дх

Подставим (14) в (13):

(и) п т

(2п-к) (к)'

(2и-к) (к)'

в,(-Ь(х,х,..., х)) + (££в,(рк,(х,х..., х )) х + рк,(х,х..., х )в, х) =

. (и)

. (и) т и дЬ(X XX) . (п+п-(к-1)) (к)' . (2и-к) (к)'

= в, ^Цх X,..., X )) +££«---р'к-1,„ ^ x,..., X )) X + ркп ^ X..., X Щх ) =

''=1 к=1 д х

(и) . (и)

т " дЬ(хх х) (к+1)' т П дЬ(х х х) (к)' (п+п-(к-1)) (к)' (2и-к) (к+1)'

= -££—— х +££(—7к-г)т—х -рк-1,пCx,x,..., х )х+Рк,п(х,х..., х ) х) =

(к) д х

(к-1) д х

(п) . (п) ^^дЬ(х,х,..., х)Ck+1>' ^^дЬ(х,х,..., х)(к^^ ' , ■ ^мм» (к)'" ™ " . ■ C2"-k) (к+1)' = "££-ю- х +££-^-х-££Рк_l,л(x,x,..., х ) х +££рКп(x,х..., х ) х . (15)

(к) д х

(к-1)'' д х

Сделаем замену к-1 = I ^ к = I +1 1 < к < и « к-1 < I < и-1. С учетом этого запишем (15):

(") . (и)

х,..., х^Ч'' дЬ(х,х,..., х^ ' ,

=-££—«а— х +££—^—х -££ р'-1И (x,

/=1 к=1 д х /=1 к=1

(к)'

'=1 к=0 д X

(2и-(к-1)) (к)' т п . (2и-к) (к+1)'

X,..., X ) X +££ р'п (х, X..., X ) X =

=1 к=1

к=1 '=1

к=1 '=1

1=1 к=0

''=1 к=0

'=1 к=1

(n) . (n)

m " дL(X x x) (k+1)i mn—дL(XX x) C'+1)' ii- (2Л-/) (í+1)í m " (2n-k) (k+1);

= -ЬЬ-' (k7 X -' w" X -ЬЬp,x ) x pin(x,xX ) x . (16)

;=1 k=0 g ;=1 '=0 g i=1 '=0 ;=1 k=1

Так как Ь a = Ь a не зависит от индекса суммирования, то (16) можно преобразовать (17):

. (и) . (и)

дЦ^x,..., x)(k+1)i дL(x,x,..., x)('+1)i i , . (2n-i) c+1)i m » . (2«-k) дада

= -ЬЬ-да— x +ЬЬ-¡да— x -ЬЬp¡,nx,..., x ) x +ЬЬptn(x,x..., x ) x =

i=1 k=0 Q i=1 '=0 Q i=1 '=0 i=1 k=1

(n) . (n)

дL(x,x,..., x)(k+1); mi-дL(x,x,..., x)(k+1)'' ; (2n-k) (k+1)i ; (2n-k) (k+1)i

= -ЬЬ (k); x +ЬЬ (k); x -ЬЬp'(x,x,..., x ) x +ЬЬp'Xx..., x ) x . (17) i=1 k=0 д x '=1 k=0 д x '=1 k=0 '=1 k=1

n n n-1 m n n m n-1 m m n m m

Так гак Ьai = Ьai + а0=Ьa + an ЬЬaik = ЬЬaik =ЬЬak + Ьa'n =ЬЬaik + Ьa'0 =

i=0 i=1 i=0 i=1 k=0 k=0 i=1 k=0 i=1 i=1 k=1 i=1 i=1 n-1 m m m

=ЬЬ a'k+Ь a-e+Ь a« k=0 i=1 i=1 i=1

. (и) . (и) . (и) . (и)

дЬ(x,x,..., x)(k+1);_ дL(x,x,..., x)(k+1); m д!^,x,..., x)(n+1); m д!^,x,..., x)(0+1)i_

-ЬЬ да x = -ЬЬ да x )-Ь да x -Ь (ü)i x =

'= k=0 д x '= k= д x '= д x '= д x

(и) . (и) . (и)

= -ЬЬ-да— x )-Ь-да— x -Ь-(5);—x (18)

'= k= д x '= д x '= д x

. (и) . (и) . (и)

^^ дЦx,x,..., x) (М)'_ ™ дL(x,x,..., x)(k+1); дЦx,x,..., x) (0+1); _

ЬЬ да x = ЬЬ да x + (ÜV x =

'= k=0 д x '= k=1 д x д x

(и) . (и)

= 11 да х +1 (0),- х (19)

'= k= д x '= д x

m n (2n-k) (k+1)i m и-1 . (2 n-k) (k+1)i m . (2n-0 (0+1);

ЬЬpk,n(x,x..., x) x =ЬЬpk,n(x,x..., x) x +Ьpk=o,n(x,x..., x) x =

;=1 k=o ;=1 k=1 ;=1

m n-1 . (2n-k) (£+1)/ ™ . (2n) L/

=ZZK«(x'x-' x) x +Z^o,«(x'x-'x)x (2°)

i=1 k=1 ;=1

m n . (2n-k) (k+1)i m n-1 . (2n-k) (k+1)i m . (2n-n) (n+1)i

ЬЬ pin(x, x..., x) x =ЬЬ p'k,n ^x..., x) x +Ь p7,n(x, x..., x ) x . (21)

i=1 k=1 i=1 k=1 i=1

( n)

Подставляя (18), (19), (20), (21) в (17) и учитывая, что p^ =]Ь (-1)'D/=

'=0 д x

(n) (n)

дЬ(x,..., x) дЬ(x,..., x)

= Ь (-1)'D' ( о; 1 = (0); , имеем:

'=0 д x д x

(и) . (и)

^^ x,x,..., x)(k+1); дL(x,x,..., x)(k+1); ; , . (2n-k)(k+1)' ™ » . (2n-k) (k+1)'

-ЬЬ-^— x +ЬЬ-^— x -ЬЬp-,n(x,x,..., x ) x +ЬЬp-,n(x,x..., x ) x =

;=1 k=0 д x ;=1 k=0 д x '=1 k=o ;=1 k=1

(и) . (и) . (и) . (и)

= -ЬЬ да x )-Ь (й^ x -Ь (ov x + ЬЬ да x +

'=1 k=1 д x ;=1 д x '=1 д x ;=1 k=1 д x

(и)

т х х)1к' тп-1 (2п-к) (4+1)1 т (2и) I тп-1 (2п-к) (4+1)1

+Е——х) х -ЕК»(х'х-'х)х+ЕЕк,»(х'х-' х) х +

'=1 д X '=1 к=1 '=1 '=1 к=1

(я) . (я) . (я)

+1>ии(х>х-, х) х =~ЕЕ —- х )+ЕЕ (.),-—- х (о,-—-х+

'=1 '=1 к=1 д х 1 к=1 д х '=1 д х

(я) . (я)

хр дЬ(Х,Х,..., х)в Л дЬ(Х,Х,..., Х)(и+1)'' Л , (2И-И) (И+1),- (2п-к) (А+1)/

+£-^-х-£-^- х +£ р^пп CX, х..., х ) х -££ рк,п ^ X,..., х ) х +

''=1 д х ''=1 д х ''=1 ''=1 к=1

(я)

т ^ (2п-п) (п+1)/ т ^ (2п) т ^ X X) ^ (2п-п) (и+1)/

+Ек=и,и(х>х-> х) х -ЕКя(х'х-' х)х=-£—— х +Е<я(х'х-- х) х -

1 '=1 '=1 д X '=1

т (2«) и от (2«-«) (и+1)/' т (2«-«) (и+1)/'

-£/4Лх'х-' х)х=-£/4Дх'х-' х ) х +2Хя(х>х-, х ) х -

'=1 '=1 '=1

т . (2«) г/ т . (2«) "/'

-£.Ро,я(х'х-' х )х = -£К,и(х'х-' х)х-

'=1 '=1

Теорема 3 доказана.

Очевидным следствием теоремы 3 является теорема 4.

( р)

Теорема 4. Пусть Ь: ТрХт ^ Ш, Ь(х,..., х) - локальная запись функции Ь в локальных координатах (х) в базе Хш расслоения ТрХт. 1 < р < п. Тогда на экстремалях уравнения Эйлера - Лагранжа

(р) (р)

и-0 дЬ(х х) " дЬ(х х) _

рк=0,п = £ (-1)' в,' (-('1:,0-—) = £ (-1)' в1' (--) = 0 ,' = 1, т - импульсы нулевого порядка (функ-

'=0 д х '=0 д х

циональная часть системы уравнений Эйлера - Лагранжа порядка п ).

Двойственная к функции Лагранжа функция Гамильтона (обобщенная энергия) сохраняется:

Г (а(п,р)) га - (Ь(п,р,к)) Г/ - (о(я,р))

01(Н(х,х..., х )) = £/?„я(х,х..., х )-х = 0 а>Н(х,х..., х ^) = сот1. (22)

'=1

Доказательство. На экстремалях системы уравнений Эйлера - Лагранжа

(р) (р) '' '' V, дЬ(х,..., х\ ^ дЬ(х,..., х\ . — р0 ,и = р*=0,я = £(-1)в'(—(7+0^-) = £(-1)в'(-й,—) = 0 ,' = 1т.

'=0 д х '=0 д х

П (а(п,р)) и п (Ь(п,р,к)) и

ПотеоремеЗ для\<р<п имеем £>((Я(х,х..., х )) = £/;',п(х.х.... х )• х = 0 . Теорема4 доказана.

1=1

( р)

Замечание 2. Ь: ТрХт ^Ш, Ь(х,..., х) - локальная запись функции Ь в локальных координатах

(х) в базе Хт расслоения ТрХт. 1 < р < п. По Лемме 1 система уравнений Лагранжа

(р)

' дЬ(х,..., X) рк=0п =£(-1) вд-^-) имеет порядок производных

" '=0 д х

Ь(п, р, к) = тах(2тш(р, п) - к, р) =

2 р - к, к < р < и

1)(р < ") ^ р < р <

р , р < к < и

2)( р > и), maxC2w - к, р), р > и Ь(и, р, к = 0) = 2р - 0 = 2р , а двойственная к функции Лагранжа функция Гамильтона

2 р - к, к < р < и р , р < к < и тах(2п - к, р), р > и

max( max (2p — к, к), p ) = max( max (2p — к), p), при p < n

1<k <min(n, p)=p p< к < n 1<k<min(n, p)=p

a(n, p) = max(b(n, p, к), k) =

|max(2p — 1,p) = 2p — 1 , при p < n

max (max(2n — k, p), к) = max(2n — 1, p, n), при p > n

1<k <min(n, p)=n

) = 2 p — 1 , при p < n

„ a(n,p) = 2p — 1 ,

max(2n — 1, p) , при p > n

то есть на 1 меньше, чем система уравнений Эйлера - Лагранжа и по теореме 4 является интегралом этой системы. Теорема 3 сформулирована для p < n . Для обобщения теоремы 3 докажем следующую теорему 5.

( p)

Теорема 5. Пусть L: TpXm , L(x,..., x) - локальная запись функции L в локальных координатах (х) в базе Хш расслоения TpXm. Функции

• (a(n, p)) (p) n m (к )i (p) n m

Hn(x,x..., x ) = Hn = Hn(L,x) = H(L,x,n) = —L(x,x,..., x) + %%px = —L(x,x,..., x) + %%pf,, =

к=1 i=1 к=1 i=1

. (p)

. (p) n m n—tc^Ti \ (к)i

= —L(x,x,..., x) + %% %(—1)'Dl(^^^iDx- , x = Dx,

к=1 i=1 '=0 OX

• (a(n+1,p)) . (p) и+1 m (к )i

Hn+1 (x,x..., x ) = Hn+1 = Hn+1 (L,x) = H(L,x,n + 1) = —L(x,x,..., x) + %%Дм+1 x =

к=1 i=1

. (p)

(p) n+1 m (p) n+1 m n+1—к Я/Yv V v^ (к)i

= —L(x, x,..., x) + % %pf ,„+1 Dktx' =—L(x, x,..., x) + % % % (—1)'D (^^g+i^DV, x = Dfx'" -

к=1 i=1 к =1 i=1 '=0 Ox

двойственные функции Гамильтона (обобщенная энергия) рангов n и n + 1 соответственно;

( p)

. (b(n,p,k)) и—к OL(x x) - -

Pk(«) = pk,n(xx,..., x ) = %(—1)D,(-^—), к = 0,n,i = 1,m,

'=0 д x

(p)

. (b(n+1,p,k)) n+1—k dJ (x x) ___

pk(n +1) = pk,n+1(x,x,..., x ) = % (—1)'D( ^ 0, k = 0,n +1,i = 1,m -

'=0 д x

импульсы к-го порядка рангов n и n + 1 соответственно. Тогда

• (a(n+1,p)) m и n+1—k dL (x r) (k)i m . (b(np,k)) (n+1)i

Hn+1 (x,x..., x ) = Hn+1 = Hn +%%(—1) • D" ( ))• x +%p„+1n+1(x,x,..., x )• x .(23)

n ¿—¡¿—¡y J t v (n+1).

i=1 k=1 д x i=1

Доказательство.

• (a(n+1,p)) (p) n+1 m (k)i

Hn+1 (x,x..., x ) = Hn+1 = Hn+1 (L,x) = H(L,x,n +1) =—L(x,x,..., x) + %%p[n+l x . (24)

к=1 i=1

n+1 n m n+1 n+1 m n m m

y4HTbmaa тождество % ak = % ak + an+1 =>%% ^^ =%% a,k = %% atk +% ai ,n+1 , преобразуем (24):

k=1 к=1 i=1 k=1 k=1 i=1 k=1 i=1 i=1

• (a(n+1,p)) . (p) n+1 m (k)i

Hn+1(x, x..., x ) = Hn+1 = Hn+1(L, x) = H (L, x, n + 1) = —L(x, x,..., x ) + %% pk,n+1 x =

к=1 i=1

( p) _n ™ (k )i m (n+1)i (p) n m (k )i m (n+1)i

= — L(x x,..., x ) +%% pk ,n+1 x +% pk=n+1,n+1 x =—L(x, X,..., x ) + %% pk n+1 x +% p'n+1,n+1 x . (25)

k=1 i=1 i=1 k=1 i=1 i=1

По теореме 2

(p)

. (b(n+1,p,k)) . (b(n,p,k)) dL(x x) ---

pk,n+1(x,x,..., x ) = pk(x,x,..., x ) + (—( ( —i , i = 1,m , k = 0,n . (26)

(n+1)i

д x

Подставим (26) в (25):

• (а(:+1,р)) (р) п т (к)' т (п+1)' (р)

Hn+l(x,x..., х ) = -Ь(x,x,...,х)+££р'+1 х+£рп+1,и+1 х =-Ь(x,x,...,х)+

к=1 '=1 '=1

(р)

пт . (Ь(п,р,к)) дТ (Г X ) (к)' т (и+1)'

+££(рк(х,х,..., х )+(-'Г^в:^(Щ+^ъх +£Гp:+l(И+l х =

к=1 '=1 д х '=1

(р)

. (р) (Ь(п,р,к)) (к)' пт дЬ(Г Г) (к)' ^ ("+1)'

= ^(х, XX,..., х) + £ £рк (х, XX,..., X ) х + £ £ (-'Г-в'"-' (дЦх-х}) х +£p:+l(:+l х =

к=1 '=1 к=1 '=1 д х '=1

(р)

• (а(и,р)) дЬ( Г Г ) (к)' ™ ("+1)'

= Нп(X,X..., х ) + ££(-'Г'-вГ'(дЬ(х- х}) X +]Гp:+l(И+l X . (27)

к=1 1 д х 1

В (27) было использовано

(а(п, р)) . (р) и т (к)'

-£ £

к=1 '=1

Н"(х,х..., х ) = Нп = Нп(Ь,х) = Н(Ь,х,:) =-Ь(х,х,..., х) + ££р'к,п х . (28)

Теорема 5 доказана.

Теорема 3 сформулирована для 1 < р<п. Обобщением Теоремы 3 для любого р е является Теорема 6.

( р)

Теорема 6. Пусть Ь: ТрХт ^Ш, ЬCx,,,,, х) - локальная запись функции Ь в локальных координатах (х) в базе Хт расслоения ТрХт. Тогда при р е выполняется равенство

(р)

1_ (Мп.рУ) ™ р дНх х х 1(к+1)'' Л J -

Д(Яи(х,х..„ х )) = -9(р-я)ХХ } х -Х<я(х,х-, X )-х, /=1,ш (29)

'=1 к=:+1 д х '=1

Г1, и > О

где 0(н) = - тета-функция Хевисаида;

[О , и < О

(р) (р) :-0 дЬ(X X ) " дЬ(X X ) _

рк^,: = £(-1)'в,'(-^—) = £(-;)'в,'(-^-) = 0,' = 1,т - импульсы нулевого порядка

'=0 д х '=0 д х

(функциональная часть системы уравнений Эйлера - Лагранжа порядка п ). Доказательство проведем методом математической индукции по п . База индукции п = 1

• (а(п, р)) . (р) и т (к)'

Нп(х,х..., х ) = Нп = Нп(Ь,х) = Н(Ь,х,:) =-Ь(х,х,..., х) + ££рк,: х

к=1 '=1

• ("(", р)) . (р) . (к)' Ни=1 (х,х..., х ) = Н = Н(Ь,х) = Н(Ь,х,: = 1) =-Ь(х,х,..., х) + ££р'кп=1 х =

к=1 '=1

(р) ™ . (1)' (р) ™ . (1)' = -Ь(х,х,..., х) + £р' 1 х = -Ь(х,х,..., х) +£р' 1 х ;

'=1 '=1

(р) (р) (р) (р)

рк,: = £ (-1) в' (-(Тк^") ^ рк=1,:=1 = р',1 = £ (-1) в' (-ОыГ-) = -(0+1)^ = -Ш-

/_0 д х д х д х дх

(р) (р) (р) (р) (р) ' ' IV дЬ(х,..., х) дЬ(х,..., х) , 1 дЬ(х,..., х) дЬ(х,..., х) дЬ(х,..., х) рк=0,:=1 = р0,1 =£ Н) в'(-=-(0+0^ + Н) в' -(0+1^ =-'--в' (-Ш-) ,

'=0 д х д х д х дх дх

поэтому

(р) (р) (р) ™ . О)' (р) ^дЬ(х х)(1)' <-р) -^дЬ(х х)в

Н = -Ь(х, х,..., х) + Ер'и х = -Ь(х, х,..., х) + Е—— х = -Ь(х,х,..., х) + Е—^— х; (30)

1=1 1=1 дх ,=1 дх

(р) т (1),' (р) га Ц( Ш

'=1 '=1

По теореме 1

. (р )

. (Ъ(п,р,к)) дЬ (х х х) . (Ъ(п,р,к-1))

Бркп(х,х,..., х ) = (^-г;;' ) -рк-1,и(х,х,..., х ) ^Б,(рЦи=1) = Б,(р;д) =

дх

. (р) . (р) 3Ь(х, х,..., х) к , . (Ъ("=;.р.(к=1;-1;; дЬ(х, х,..., х) к ^ I, (¿«Хр.^1»

= а-г,/ -P(k-;;-l,„-l(x,x,..., х ) = ' ' '' ' ' -р0д = Ор^x,..., х ) = . (32)

д х дх

. (р;

V П(Т( . (^ ^ дЬ(х,х,..., х)(к+;;'

Учитывая, что -О1 (Ь(х,х,..., х)) = -ЕЕ-^- х , а также очевидные равенства

'=; к=0 з х'

п п т п п т п т т т т п т т

Еак = Еак+ао+а1 ^ ЕЕак = ЕЕал = ЕЕа» +Еа«>+Еа; ==ЕЕа»+Еа«> +Еа«,

к=0 к=2 '=1 к=0 к=0 '=1 к=2 '=1 '=1 '=1 1=1 к=2 '=1 '=1

р р

Е а=е(р -п) Е ак,

к=п+1 к=п+1

где 9 :Ы —>и 9(и) = !' " - тета-функция Хевисайда, подставляем левую часть (32) в (31):

[0 , п < 0

(р) т (1)/ (р) т П[ т

О, (Н1) = О, (-¿(х, х,..х ) + X р1 х ) = -О, (Дх, х,..., х )) + X ( /) (р;л ) • х+ • *) =

'=1 '=1

(р) . (р) . (р) = -ВД1(х,х,...,х)) + Е(( -К1)-х+А,1-х) = -ЕЕ (I), х +Е -х~

'=1 дх '=; к=0 д х ,=; дх

(р) . (р) . (р) -Еа,д-*+ЕЛд-* = -ЕЕ—да— х -Е—^— х -Е—^— х +

'=1 '=1 '=1 к=2 д х '=1 д х '=1 д х (р) . (р) +Е-'--х-Еро,; • х+Ери • х = -ЕРО,; • х-ЕЕ-да— х -

'=1 д х '=; '=; '=; '=; к=2 д х

(р) . (р) . (р) Л дЦх,х,..., х)<к=г>' Л дЦх,х,..., х) к дЬ(х,х,..., х) (к=1+1)' ™ ||к'

-Е дао,- х +Е——;—--х~Е (.=.),■ х +Еад-х =

,=1 д х ,=; д х '=; д х ,=;

(р) . (р) = -Еро,; • х-ЕЕ-^— х =Еро,; • х-е(р-;)ЕЕ-т<— х .

'=1 '=1 к=2 д х '=1 '=1 к =2 д х

База индукции доказана. Индуктивный переход. Пусть для п е □ справедливо утверждение

(р)

С (а(и,р)) ■ Р ЯГ^г V х1!-^ : (Ь<-"-Р-кУ> П' -

Д(Яи(х,х..„ х )) = -9(р-я)ЕЕ да" -ТРи*'*-' х (33)

'=1 к=п+1 д х '=1

Докажем, что

(р)

С (а(и+1,р)) т Р дТ (х X Х~) ™ С {Ь{п+\,р,к)> а _

Д(Яи+1(х,х..„ х )) = -6(р-(Я + 1))£ £ ^ ' — ;-£^я+1(х,х..., х ).х, 1=1,т. (34)

'=1 к=:+2 д х '=1

По теореме 5

• (а(:+1,р)) т и :+1-к дЬ (X (к)' ™ . (Ь(:,р,к)) (:+1)'

Н:+1 (х,X..., X ) = Н:+1 = Н: +££(-1) • в^( ( е-1+,1-/ ^' х +£р"+1,:+1 (х,хх,..., х )• X ^

'=1 к=1 д X '=1

П (а(п+1 ,р)) "+1~к , дТ(х г\ (*)' ^ ("+!)'

^ц(нп+1(х,х..„ х ))=д(яи+хх(-1) -вгч 1 ;•;;;, о-х + £к+,я+1(х,х,..., х ). х ) =

'=1 к=1 д х '=1

^ ( р)

т : (к)' т (Ь(:, р,к)) (:+1)'

= в, ( Н: ) + в, (££ (-1) • вГ"к CдLеX^) • X + £ р"+1,:+1 (X, XX,..., X ) •х)) =

'=1 к=1 д х '=1

(р)

_к дЦх,..., х ) (к)' т . (Ь(:-Р-k)) (:+1)'

(:+1)' д х

= в,(Н:) + ££(-1) • в,CВг1-k• X) + в,(£р:+;,:+;(х,X,..., х )• х ) =

И+1-* (р) (р) = в, (Н:)+£ £ (-1) • (в;— • (х+ в,:+1-к (дЬ ^)) в, X +

'=1 к=1 д х д х

т (Ь(:, р,к)) (:+1)' (Ь(:, р,к)) (:+1)'

+ £ В'Р:+1,:+1(X, X,..., х ) • х + Р:+1,:+1(X, X,..., х )в' х ) (35)

'=1

(р) (р) (р) (р)

„' _УГ IV Ы(дЬ(х,..., X) ' _ ' УпУдЬ(х,..., хX дЬ(х,..., х)_ дЬ(х,..., х)

рк,п £( 1) в' ( +к>' ) ^ рк=и+1,и+1 рп+1,п+1 £ ( 1) в' ( +к)' ) C0+n+1)/ ("+1)'' . ( )

' д х ' д х д х д х

По теореме 1

. (р)

. (Ь(:,р,к)) дLCх х х ) (Ь(:,р,к-1))

в,р'к,: ^ X,..., х ) =-^¿17--рк-1,: CX, х ) ^ в, (Р'k—:+1,:+l) =

дх

. (р)

' дЬ(х,х,..., х) ' ■ (Ь(:.р.к-1))

= в, ( р:+1,:+;) =-да--р„, :+1 (X, X,..., х ) . (37)

дх

Поэтому перепишем (35):

(р) (р) т "+1 к дЬ(г Г) (к>' дЬ( Г Г) (к)' т . CЬCи, р,к)) (п+1)''

= в,(Н)+£££(-1) • (вг1-к(д%+хх))• х+в;+1-к(дLег-+X))В; х + твр+;,я+;(х,х,..., х )• х +

'=1 к=1 д х д х '=1

(р) (р)

. (Ь(:,р,к)) (:+1)' "+1 к дЬ (Г Г ) (к)' дЬ(Г Г ) (к+1)'

+р^1(х,XX,..., х )в,+) = в,(Н;)+££(-1) • (в;+1+1-к(дЬ%+Й• * + в;+1-к()) + )+

'=1 к=1 д х д х

( р ) ( р ) ( р )

+£(^^2_+^дl%i-£)е:r = в,(Н;)♦ ¿£>1) ".гг"

'=1 д х '=1 д х '=1 к=1 д х

1=1 к=1

+

(р; (р; (р; т " 1 -кг>и+1-к/дЬ(х,..., х) (к+1;' т дЬ(х,..., х) ,. ("+1;' ^ дЬ(х,..., х) (и+2;'

ЕЕ(-;) ° (—(—; х +Е(—¡до— р».»+;) х +Е- (п+1;'

'= к=; д х '=; д х '=; д х

(р; (р; =О, (н)+Е ЕЕ (-1)" • о;+2-к (дЬ(х• сх'+ ЕЕ Е (-;)и+2-(к+1; о;+2-(к+1;( дЬ(х^;+х К ? +

'=; к=; д х '=; к=; д х

(р; (р; (р; +Е (^^ - р" +Е О, (н)ее с-;/' - • ог - к (^М)™-

'=; д х '=; д х '=; к=; д х

( р ) ( р ) ( р )

дЬ(х,..., х)/кт ,дЬ(х,..., х) ' ("+1;' ^ дЬ(х,..., х) ¡"+2;'

+ЕЕ(-;) О' (—даг^ х +Е(—¡до— ри,и+1) х +Е—х =

'=; к=2 д х '=; д х '=; д х

и+1-* (р; (р;

=О, (Нп)+Е ЕЕ (-1) • о"+2-к (дЬ( X.'^;;;,.x• х'-Е Е(-;г;-кОГк с^^х+х +

'=; к=; д х '=; к=2 д х

(р; (р; (р; т дЬ(х,..., х) дЬ(х,..., х) (и++2;' П(Ч п„+;-1 ^ пя+2-;,дЬ(х,..., х)ч Ск=;;'

+Е(—¡до— р","+;) х +Е—х = О>(нп;+(-;) •ЕО' (—("++• х -

'=; д х '=; д х '=; д х

(р; (р; (р; ,дЬ(х,..., х) (и+1;' ^ дЬ(х,..., х) ' ^ дЬ(х,..., х)(и+2;'

Х дЬ(х,..., х К у ,дЬ(х,..., х) ' '

О,( (П+Т)' ) х +Е( да ри,и+1) х + Е~ (и+1;> '=; д х '=; д х '=; д х

х =

(р) (р) =-е(р-я)ЕЕ да—- х -Е^^+Ес-1) -А ( (я+1),- >х~

'=1 к="+; д х '=; '=; д х

(р; (р; (р; ^ дЬ(х,..., х) с"+;;' ^ дЬ(х,..., х) ' <"+.1;' ^ дЬ(х,..., х) с"+2)'

-ЕО,(—^—; х +Е(-¡до--р«,«+1) х +Е—^— х . (38)

'=; д х '=; д х '=; д х

По теореме 2

(р;

. (р+и+1-к; . (р+и-к; дЬ( х х) ---

' / ч ' / \ , / 1\"+1-к г-.И+1-к / • /\ ■ 1 7 п _,

Pk,и+1(x, X,..., х ; = рк" (x, Х.- х ; + (-;) О, (-^-Ь ' = ;, т , к = 0, " ^

дх

(р;

. (р+и+1; . (р+и-о; дЬ(х х) ---

ро,"+;(х,хх,..., х ) = ро,"(х,х,..., х ) + (-;)и+1-0О"+;( ( — , i = ;,т , к = о,и^ ро,"+; =

д х

(р) (р) (р) = рои + (-1)"+; О"+1(дЬ( х^^ ро," = ро,„+1 - (-1)"+; ОГ1(дЬСх^)=ро ,Л+1 + (-1)"+2 ОГ;( ЗЬСх^ ). (39)

д х д х д х

(р) (р) (р) (р) р =У (-1)'О'(дЬ(х- х;) ^ р' = = "+У+1)(-1)'О'(дЬ(х- х;) = дЬ(х^. х; _дЬ(х,::,х1 {щ

рк,п Е( Г) ( (1+к)! ; ^ рк=" + 1,"+1 р" + 1,"+1 Е ( Г) ( (1+к)! ; (о+и+1)/ (и+1)' . (40)

'=" д х 1=о д х д х д х

По теореме 1

. (р;

(Ъ(и,р,к;; дЬ(х х х) (Ъ(и,р,к-1;;

О,рк,и (X, Х.- х ; =-1кр)г--р'к-1,и (x, X,..., х ):

дх

(p) . (p)

^ D(pk=и+1,и+1) = D(р;+1,и+1) = -<„+i(x,x,../™) = DtC33^). (41)

3 x 3 x

Подставляем (39), (41) в (38):

(p) (p) (p)

-9(p-H)ZZ W—^ x -ХРМ-Х+£(-1)я-Ая+1( \я+1),- O-X -Еде \я+1),. О х + ,=1 k=n+1 3 x ''=1 ,=1 3 x 1=1 3 x

(p) (p) . (p)

^ ,3L(x,..., x) ,. <"+1)'' m 3L( x,..., x )(n+2)'' ^ ^ ^ 3L(x, x,..., x) (k+1)'' +j( („),- -p^) x +j (Я+1), x =-0(p-—-x -

'= 3 x '= 3 x '= k=n+1 3 x

(p) (p) (p) (p) '= 3 x '= 3 x 3 x 1-1 3 x

(p) . (p) = -9(P-n)XX -" x -ZPo,„+1-x=-9(P-(w + 1))Z Z w,-" x "I>Urx-

'=1 k=n+2 3 x '=1 '=1 k=n+2 3 x '=1

Индуктивный переход доказан. Теорема 6 доказана. Следствием теоремы 6 является теорема 7.

( p)

Теорема 7. Пусть L:TpXm L(x,..., x) - локальная запись функции L в локальных коорди-

натах (х) в базе Хш расслоения TpXm. Тогда на экстремалях уравнения Эйлера - Лагранжа

(p) (p) pk=o,=zc-dd с3^=£ (-1)1 d =o,,=1m.

1=0 3 x ?=0 3 x

Двойственная к функции Лагранжа функция Гамильтона (обобщенная энергия):

1) при 1 < p < n сохраняется (теорема 4):

(а(и,р)) т (Ып,р,к)) П/ и (а(п,р))

Dt(H(x,x..., х )) = £р„я(х,х..., х )-х = 0 а>Н(х,х..., х )=const; (42)

,=1

2) при p > n

(а(и,р)) m II (b(n,p,kУ) Yi | | (а(и,р))

Dt(H(x,x..., x )) = £р„я(х,х..., x )-x^0 a>H(x,x..., x ) Ф const. (43)

,=1

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубровин, В.А. Современная геометрия. Методы и приложения / В.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М. : УРСС, 1994.

2. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. - М. : Гостехиздат, 1956.

3. Погорелов, А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. - М. : Наука, 1974.

4. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М. : Наука, 1974.

5. Козлов, А.А. Об управлении показателями Ляпунова двумерных линейных систем с локально интегрируемыми коэффициентами / А.А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 10. -С. 1319-1335.

6. Козлов, А.А. Об управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / А.А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 5. - С. 621-627.

7. Козлов, А.А. О глобальном управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / А.А. Козлов // Изв. Ин-та матем. и информ. Удмурт. гос. ун-та. - 2006. - № 3. - С. 63-64.

8. Галеев, Э.М. Краткий курс теории экстремальных задач / Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. - М. : МГУ, 1989. - 203 с.

9. Обобщение теоремы Гамильтона - Остроградского в расслоениях скоростей произвольного порядка / Ю.Ф. Пастухов [и др.]. // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2016. - № 12. - С. 125-133.

10. Закон преобразования обобщенного импульса / Ю.Ф. Пастухов [и др.]. // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 4. - С. 85-99.

11. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е. Евтушик [и др.]. // Итоги науки и техники. Сер. «Проблемы геометрии» : ВИНИТИ. - 1979. - Т. 9. - С. 5-246.

12. Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых и дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко. - М. : Факториал, 1995.

13. Пастухов, Ю.Ф. Инварианты в расслоениях скоростей произвольного порядка / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов, С.В. Голубева // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2015. - № 12. - C. 117-123.

14. Вакуленко, С.П. К вопросу о нелинейных волнах в стержнях / С.П. Вакуленко, А.К. Волосова, Н.К. Волосова // Мир транспорта. - 2018. - Т. 16, № 3 (76). - С. 6-17.

15. Пастухов, Ю.Ф. Задача построения поля линий тока по температурному разрезу / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2015. - № 4. - C. 27-36.

16. Пастухов, Ю.Ф. Тензор обобщенной энергии / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2017. - № 12. - C. 78-100.

17. Пастухов, Ю.Ф. Группы преобразований, сохраняющие вариационную задачу со старшими производными / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2018. - № 4. - C. 194-209.

18. Пастухов, Ю.Ф. Сборник статей по дифференциальной геометрии [Электронный ресурс] / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов. - Новополоцк : ПГУ, 2018. - Режим доступа: http://elib.psu.by:8080/handle/ 123456789/22094. - Дата доступа: 15.06.2019.

19. Пастухов, Ю.Ф. Необходимые условия в обратной вариационной задаче / Ю.Ф. Пастухов // Фундам. и прикл. матем. - 2001. - Т. 7, вып. 1. - С. 285-288.

20. Пастухов, Ю.Ф. Лагранжевы сечения / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2018. - № 12. - C. 75-99.

21. Пастухов, Ю.Ф. Сборник статей по дифференциальной геометрии 2 [Электронный ресурс] / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф. Пастухов. - Новополоцк : ПГУ, 2019. - Режим доступа: http://elib.psu.by:8080/ handle/123456789/23288. - Дата доступа: 26.03.2019.

22. Пастухов, Ю.Ф. Свойства функции Гамильтона в вариационных задачах со старшими производными / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2018. - № 4. - C. 137-153.

23. Пастухов, Ю.Ф. Обратная теорема Гамильтона / Ю.Ф. Пастухов, Д.Ф Пастухов // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2019. - № 12. - C. 86-100.

24. Пастухов, Д.Ф. Минимальная разностная схема для уравнения Пуассона в параллелепипеде с шестым порядком погрешности / Д.Ф. Пастухов, Ю.Ф. Пастухов, Н.К. Волосова // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2019. - № 4. - С. 154-174.

25. Волосова, Н.К. Векторный аналог метода прогонки для решения трех- и пятидиагональных матричных уравнений / Н.К. Волосова [и др.]. // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия С, Фундаментальные науки. - 2019. - № 12. - С. 101-115.

26. Пастухов, Д.Ф. Некоторые методы передачи QR-кода в стеганографии / Д.Ф. Пастухов, Н.К. Волосова, А.К. Волосова // Мир транспорта. - 2019. - Т. 17, № 3 (82). - С. 16-39.

Поступила 12.02.2020

ABOUT INTEGRALS OF GENERALIZED ENERGY AT THE EXTREMALS OF THE EULER-LAGRANGE EQUATION SYSTEM

Y. PASTUKHOV, D. PASTUKHOV

The paper considers the properties of the Hamilton and Lagrange functions in the coordinate-momentum

space. The main result obtained is the property of conservation of generalized energy of rank n on the extremals

of the system of Euler - Lagrange equations of order n. This property is a sufficient but not necessary condition

for the conservation of generalized energy of rank n.

Keywords: Hamilton function, variation problem, fiber space of velocities, Euler - Lagrange equations, smooth manifolds, energy tensor, tensor of generalized momentum, non-degenerate function.